2024-2025 学年陕西省西安市西咸新区七年级（下）期末数学试卷（有答案）

这是一份2024-2025 学年陕西省西安市西咸新区七年级（下）期末数学试卷（有答案），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 ．（3 分）计算 3m2÷m 的结果为 ( )
A ．3 B ．3m C ．m D ．3m3
2 ．（3 分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是 ( )
A．
B．
C．
D．
3 ．（3 分）如图，直线 AB ，CD 交于点 O ．射线 OE 在∠AOD 内，若∠1+∠2 ＝100 ° , 则∠2+∠3 等于( )
A ．100 ° B ．120 ° C ．130 ° D ．140 °
4 ．（3 分）一个书架上仅摆放着 5 本书．若从这个书架上随意抽取一本，抽到的书是文学类书籍这一事件为必然事件，则书架上有 ( )
A ．1 本文学类书籍，4 本传记类书籍
B ．2 本文学类书籍，3 本传记类书籍
C ．5 本传记类书籍
D ．5 本文学类书籍
5 ．（3 分）如图．直线 AB ．CD 被直线 CE ，BF 所截，点 E、F 分别在 AB 、CD 上，现有以下条件： ①∠ AEC = ∠C； ②∠BEC+∠C ＝180 ° ; ③∠C = ∠BFD ．其中能判断 AB∥CD 的是 ( )
A ． ①② B ． ②③ C ． ①③ D ． ①②③
6 ．（3 分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC，AD 是△ABC 的角平分线，点 E ，F 是 AD 上的两点，连接 BE， BF，CE ，CF．若 BC ＝6 ，AD ＝5 ，则图中阴影部分的面积是 ( )
A ．15 B ．7.5 C ．6 D ．4.5
7 ．（3 分）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如表数据：下列说法错误的是 ( )
A ．在这个变化中， 自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离
B ．当老花镜的度数为 200 度时，镜片与光斑的距离为 0.5m
C ．在一定范围内，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小
D ．老花镜的度数每升高 100 度，镜片与光斑的距离减小 0.3m
8 ．（3 分）如图，在等腰三角形 ABE 中，AB ＝AE ，点 D 为 AE 右侧一点，连接 AD，BD，DE ，点 C 是 BD上一点，连接 AC，AC ＝AD ．若∠BAE = ∠CAD ， ∠1+∠2+∠3 ＝100 ° , 则∠3 的度数为 ( )
A ．60 ° B ．55 ° C ．50 ° D ．45 °
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9 ．（3 分）据悉，AI 模型 DeepSeek 在分析微型数据单元时，测得每个单元的存储量为 0.0000025 千兆字节．0.0000025 用科学记数法表示为 ．
10 ．（3分）某兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：通过试验，估计在这批麦粒中任取 1 粒在相同条件下能发芽的概率为 ．（结果精确到 0. 1）
老花镜的度数/度
100
200
250
300
400
镜片与光斑的距离/m
1
0.5
0.4
0.33
0.25
试验的麦粒数 n
100
200
500
1000
2000
11 ．（3 分） 如图 ， △ABC≌△DEC ，过点 A 作 AF⊥CD 于点 F ，若∠BCE ＝65 ° , 则∠CAF 的度数是 ．
12 ．（3分）如图是小刚设计的一个计算程序，输入一个自变量 x ，便可输出一个相应的因变量y ，则y 与 x之间的关系式为 ．
13 ．（3 分）如图，直线 MN∥PQ ，点 A 在直线 MN 与 PQ 之间，点 B 在直线 MN 上，连接 AB ， ∠ABM 的平分线 BC 交 PQ 于点 C，连接 AC，过点 A 分别作 AE∥BC 交 PQ 于点 E，AD⊥PQ 于点 D ．若∠EAD =20 ° , ∠BAC ＝80 ° , 则∠ACD 的度数为 ．
三、解答题（共 13 小题，计 81 分.解答应写出过程）
14 ．（5 分）计算
15 ．（5 分）在 3×3 的正方形网格中，格线的交点称为格点， 以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已
知图中△ABC 是一个格点三角形．请在图 1 和图 2 中各画出一个与△ABC 成轴对称的格点三角形．
发芽的麦粒数 m
91
178
450
900
1820
m
发芽的频率
n
0.91
0.89
0.90
0.90
0.91
1
16 ．（5 分）一个角的余角比它的补角的 多 12 ° , 求这个角的度数．
3
17 ．（5 分）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在 BC 上找一点 D ，连接 AD ，使得△ABD 的面积是△ABC面积的一半．（保留作图痕迹，不写作法）
18 ．（5 分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，过点 B 作 BE⊥AC 于点 E ，判断∠ CBE 与∠BAC 之间的数量关系，并说明理由．
19 ．（5 分）如图，在长方形 ABCD 中，AD ＝8 ，CD ＝6 ，点 E 为 AD 边上的动点，连接 CE ，随着点 E 的运动， △DCE 的面积也发生变化．
（1）写出△DCE 的面积y 与 AE 的长 x（0＜x＜8）之间的关系式；
（2）当 x ＝2 时，求y 的值．
20 ．（5 分）一个不透明的袋子中装有 8 个红球和 7 个蓝球，每个球除颜色外都相同．
（1）从这个袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是多少？
（2）往这个袋子中再放入 9 个球，其中有 4 个红球，从袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是多少？
21 ．（6 分）如图，公园有一条“Z”字形道路 AB﹣BC﹣CD ，其中AB∥CD ，在 E、M、F 处各有一个小石凳，且 BE ＝CF，M 为 BC 的中点，连接 EM、MF，请问石凳 M 到石凳 E 、F 的距离 ME 、MF 是否相等？说出你推断的理由．
22 ．（7 分）如图，学校有一块长为 6b 米，宽为 2a米的长方形劳动教育基地，为了满足需要，现计划在旁边开垦出新的土地，使原来的长增加 a 米，宽增加 b 米，变成一个大长方形．
（1）求该基地现在（大长方形）的土地面积；（用含 a 、b 的式子表示，并化至最简）
（2）当 a ＝2 ，b ＝3 时，求该基地现在（大长方形）的土地面积．
23 ．（7 分）如图，在△BCD 中，BD⊥DC ，过点 D 作MN∥BC ，点 A 、E 分别在线段 DM、BC 上，连接AB ，DE ，已知∠1 = ∠2 ，DC 是∠NDE 的平分线．
（1）AB 与 DE 平行吗？请说明理由；
（2）若∠2 ＝60 ° , 求∠DBC 的度数．
24 ．（8 分）司机小王开车从 A 地出发去 B 地送信，原计划匀速行驶 6 小时到达．而实际行驶的路程 S（千米）与时间 t（小时）之间的关系如图所示（全程），当汽车行驶若干小时到达 C 地时，汽车发生了故障，需停车检修，修理了一段时间后，为了按时赶到 B 地，汽车加快了速度，结果正好按时赶到，根据题意及图象回答下列问题：
（1）A 地和 B 地之间的路程为 千米，汽车检修的时间为 小时；
（2）求汽车从 C 地出发到达 B 地所行驶的时间；
（3）求检修前汽车的行驶速度为多少千米/小时？
25 ．（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，连接 AC，BD ，过点 A 作 AF∥BC 交 CD 于点 F，延长 AB 、DC 交于点 E ，已知 BD 所在的直线是线段 AC 的垂直平分线．
（1）AC 是否平分∠EAF？请说明理由；
15
（2）过点 C 作 CM⊥AE 于点 M，若∠BCD ＝90 ° , AE ＝5 ， △AEC 的面积为 ，求 CF 的长． 4
26 ．（10 分）【问题探究】：
（1）如图 1 ，在△ABC 中，AB ＝AC ，直线 l 经过点 A ，点 D ，E 在直线 l 上，且分别在点 A 的两侧，连接 CE ，BD ， ∠CEA = ∠ADB = ∠BAC ，试说明：DE ＝BD+CE；
【问题解决】：
（2）如图 2 ，在△ABC 中，AG 是它的高，分别以△ABC 的边 AB ，AC 为一边向外作等腰直角△BAD和等腰直角△CAE，连接 DE，其中∠BAD = ∠CAE ＝90 ° , AB ＝AD，AC ＝AE，延长 GA 交 DE 于点 H，过点 D 作DM⊥AH，交 AH的延长线于点 M，过点 E 作 EN⊥AH 于点 N，设△ADH的面积为 S1，△AEH的面积为 S2 ，猜猜 S1与 S2之间的数量关系，并说明理由．
2024-2025 学年陕西省西安市西咸新区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，计 24 分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1 ．（3 分）计算 3m2÷m 的结果为 ( )
A ．3 B ．3m C ．m D ．3m3 【解答】解：3m2÷m
=（3÷1） •（m2÷m）
=3m，
故选：B．
2 ．（3 分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列四个图案中，不是轴对称图形的是 ( )
A．
C．
.
B．
D
【解答】解：A ．是轴对称图形，故此选项不合题意；
B ．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C ．是轴对称图形，故此选项不合题意；
D ．是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：B．
3 ．（3 分）如图，直线 AB ，CD 交于点 O ．射线 OE 在∠AOD 内，若∠1+∠2 ＝100 ° , 则∠2+∠3 等于
( )
A ．100 ° B ．120 ° C ．130 ° D ．140 °
【解答】解： ∵ ∠1 和∠3 是对顶角，
∴ ∠1 = ∠3，
∵ ∠1+∠2 ＝100 ° ,
∴ ∠2+∠3 ＝100 ° ,
故选：A．
4 ．（3 分）一个书架上仅摆放着 5 本书．若从这个书架上随意抽取一本，抽到的书是文学类书籍这一事件为必然事件，则书架上有 ( )
A ．1 本文学类书籍，4 本传记类书籍
B ．2 本文学类书籍，3 本传记类书籍
C ．5 本传记类书籍
D ．5 本文学类书籍
【解答】解：一个书架上仅摆放着 5 本书．若从这个书架上随意抽取一本，抽到的书是文学类书籍这一事件为必然事件，则书架上有 5 本文学类书籍．
故选：D．
5 ．（3 分）如图．直线 AB ．CD 被直线 CE ，BF 所截，点 E、F 分别在 AB 、CD 上，现有以下条件： ①∠ AEC = ∠C； ②∠BEC+∠C ＝180 ° ; ③∠C = ∠BFD ．其中能判断 AB∥CD 的是 ( )
A ． ①② B ． ②③ C ． ①③ D ． ①②③ 【解答】解： ①∠AEC = ∠C，根据内错角相等，两直线平行，可得 AB∥CD；
②∠BEC+∠C ＝180 ° , 根据同旁内角互补，两直线平行，可得 AB∥CD；
③∠C = ∠BFD ，根据同位角相等，两直线平行，可得 EC∥BF，综上所述，能判断 AB∥CD 的是①② ,
故选：A．
6 ．（3 分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC，AD 是△ABC 的角平分线，点 E ，F 是 AD 上的两点，连接 BE， BF，CE ，CF．若 BC ＝6 ，AD ＝5 ，则图中阴影部分的面积是 ( )
A ．15 B ．7.5 C ．6 D ．4.5
【解答】解： ∵AB ＝AC，AD 是△ABC 的角平分线，
∴AD⊥BC ，BD ＝CD，
∵AD ＝6 ，BC ＝5，
∴阴影部分的面积S△ABC．
故选：B．
7 ．（3 分）小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如表数据：下列说法错误的是 ( )
A ．在这个变化中， 自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离
B ．当老花镜的度数为 200 度时，镜片与光斑的距离为 0.5m
C ．在一定范围内，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小
D ．老花镜的度数每升高 100 度，镜片与光斑的距离减小 0.3m
【解答】解：在这个变化中， 自变量是老花镜的度数，因变量是镜片与光斑的距离，
∴A 正确，不符合题意；
当老花镜的度数为 200 度时，镜片与光斑的距离为 0.5m，
∴B 正确，不符合题意；
在一定范围内，老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越小， ∴C 正确，不符合题意；
老花镜的度数每升高 100 度，镜片与光斑的距离的减小不是定值， ∴D 错误，符合题意．
故选：D．
8 ．（3 分）如图，在等腰三角形 ABE 中，AB ＝AE ，点 D 为 AE 右侧一点，连接 AD，BD，DE ，点 C 是 BD
老花镜的度数/度
100
200
250
300
400
镜片与光斑的距离/m
1
0.5
0.4
0.33
0.25
上一点，连接 AC，AC ＝AD ．若∠BAE = ∠CAD ， ∠1+∠2+∠3 ＝100 ° , 则∠3 的度数为 ( )
A ．60 ° B ．55 ° C ．50 ° D ．45 °
【解答】解： ∵ ∠BAE = ∠CAD，
∴ ∠BAC = ∠DAE，
在△ACB 和△ADE 中，
∴△ACB≌△ADE（SAS），
∴ ∠1 = ∠ABC，
∵ ∠3 = ∠BAC+∠ABC，
∴ ∠3 = ∠1+∠2，
∵ ∠1+∠2+∠3 ＝100 ° ,
∴ ∠3 ＝50 ° ,
故选：C．
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，计 15 分）
9 ．（3 分）据悉，AI 模型 DeepSeek 在分析微型数据单元时，测得每个单元的存储量为 0.0000025 千兆字节．0.0000025 用科学记数法表示为 2.5×10﹣6 ．
【解答】解：0.0000025 ＝2.5 × 10﹣6．故答案为：2.5×10﹣6．
10 ．（3分）某兴趣学习小组对某品种的小麦在相同条件下进行发芽试验，结果如表所示：通过试验，估计在这批麦粒中任取 1 粒在相同条件下能发芽的概率为 0.9 ．（结果精确到 0. 1）
【解答】解： 由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在 0.9 左右，
试验的麦粒数 n
100
200
500
1000
2000
发芽的麦粒数 m
91
178
450
900
1820
m
发芽的频率
n
0.91
0.89
0.90
0.90
0.91
所以估计在这批麦粒中任取 1 粒在相同条件下能发芽的概率为 0.9．
故答案为：0.9．
11．（3 分）如图，△ABC丝△DEC，过点A 作AF丄CD 于点F，若LBCE ＝65 ，则L CAF 的度数是 25 ．
【解答】解： 丫△ABC丝△DEC，
：LACB ＝LDCE，
：LACB _ LACE ＝LDCE _ LACE，
：L BCE ＝LACD，
丫L BCE ＝65 ，
：LACD ＝65 ，
丫AF丄CD，
：LAFC ＝90 ，
：L CAF＝90 _ LACD ＝25 ，
故答案为：25 ．
12 ．（3分）如图是小刚设计的一个计算程序，输入一个自变量 x ，便可输出一个相应的因变量y ，则y 与 x之间的关系式为 y ＝（x _ 1）2+2 ．
【解答】解：根据题意，得y ＝（x _ 1）2+2．
故答案为：y ＝（x _ 1）2+2．
13 ．（3 分）如图，直线 MN聂PQ ，点 A 在直线 MN 与 PQ 之间，点 B 在直线 MN 上，连接 AB ，LABM 的平分线 BC 交 PQ 于点 C，连接 AC，过点 A 分别作 AE聂BC 交 PQ 于点 E，AD丄PQ 于点 D ．若LEAD =20 ，LBAC ＝80 ，则LACD 的度数为 40 ． ．
【解答】解： ∵AD⊥PQ ， ∠EAD ＝20 ° ,
∴ ∠AED ＝70 ° ,
∵MN∥PQ ，BC 平分∠ABM，
∴ ∠ECB = ∠MBC = ∠ABC，
∴AE∥BC，
∴ ∠ECB = ∠MBC = ∠ABC = ∠AED ＝70 ° , ∠ABC+∠BAE ＝180 ° ,
∴ ∠BAE ＝110 ° ,
∴ ∠CAE = ∠BAE﹣ ∠BAC ＝110 ° ﹣80 ° =30 ° ,
Rt△ACD 中， ∠ACD ＝90 °﹣ ∠CAD ＝90 °﹣（30 °+20 ° ) =40 ° .
故答案为：40 ° .
三、解答题（共 13 小题，计 81 分.解答应写出过程）
14 ．（5 分）计算 【解答】解：原式＝1+4﹣4 ＝1．
15 ．（5 分）在 3×3 的正方形网格中，格线的交点称为格点， 以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知图中△ABC 是一个格点三角形．请在图 1 和图 2 中各画出一个与△ABC 成轴对称的格点三角形．
【解答】解：如图所示（答案不唯一）．
1
16 ．（5 分）一个角的余角比它的补角的 多 12 ° , 求这个角的度数． 3
【解答】解：设这个角的度数为 x ° ,
由题意得：（90﹣x） − （180﹣x）＝12，解得 x ＝27，
答：这个角的度数为 27 ° .
17 ．（5 分）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在 BC 上找一点 D ，连接 AD ，使得△ABD 的面积是△ABC面积的一半．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图，作线段 BC 的垂直平分线，交 BC 于点 D ，连接 AD，此时 S△ABD ＝S△ACD，
∴△ABD 的面积是△ABC 面积的一半，则点 D 即为所求．
18 ．（5 分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，过点 B 作 BE⊥AC 于点 E ，判断∠ CBE 与∠BAC 之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解： ∠CBEBAC ，理由如下： ∵AB ＝AC，AD 是△ABC 的角平分线，
∴AD⊥BC ， ∠CADBAC， ∴ ∠ADC ＝90 ° ,
∴ ∠C+∠CAD ＝90 ° , ∵BE⊥AC，
∴ ∠BEC ＝90 ° ,
∴ ∠C+∠CBE ＝90 ° ,
∴ ∠CAD = ∠CBE，
19 ．（5 分）如图，在长方形 ABCD 中，AD ＝8 ，CD ＝6 ，点 E 为 AD 边上的动点，连接 CE ，随着点 E 的运动， △DCE 的面积也发生变化．
（1）写出△DCE 的面积y 与 AE 的长 x（0＜x＜8）之间的关系式；
（2）当 x ＝2 时，求y 的值．
【解答】解：（1） ∵AD ＝8 ，AE ＝x，
∴DE ＝AD﹣AE ＝8﹣x，
∵CE ＝6，
∴y 与 x 之间的关系式为y ＝24﹣3x（0＜x＜8）．
（2）当 x ＝2 时，y ＝24﹣3×2 ＝18．
20 ．（5 分）一个不透明的袋子中装有 8 个红球和 7 个蓝球，每个球除颜色外都相同．
（1）从这个袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是多少？
（2）往这个袋子中再放入 9 个球，其中有 4 个红球，从袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是多少？
【解答】解：（1） 由题意知，从这个袋子中任意摸出一个球共有 15 种等可能结果，其中摸到红球的有8 种结果，
8 所以摸到红球的概率是 ；
15
（2） 由题意知，此时从袋中任意摸出一个球共有 24 种等可能结果，其中摸到红球的有 12 种结果，所以摸到红球的概率是
21 ．（6 分）如图，公园有一条“Z”字形道路 AB﹣BC﹣CD ，其中AB∥CD ，在 E、M、F 处各有一个小石凳，且 BE ＝CF，M 为 BC 的中点，连接 EM、MF，请问石凳 M 到石凳 E 、F 的距离 ME 、MF 是否相
等？说出你推断的理由．
【解答】解：石凳 M 到石凳 E、F 的距离 ME 、MF 相等．理由如下：
∵AB∥CD，
∴ ∠B = ∠C，
又∵M 为 BC 中点，
∴BM＝MC．
在△BEM 和△CFM 中，
∴△BEM≌△CFM（SAS），
∴ME ＝MF．
即石凳 M 到石凳 E、F 的距离 ME 、MF 相等．
22 ．（7 分）如图，学校有一块长为 6b 米，宽为 2a米的长方形劳动教育基地，为了满足需要，现计划在旁边开垦出新的土地，使原来的长增加 a 米，宽增加 b 米，变成一个大长方形．
（1）求该基地现在（大长方形）的土地面积；（用含 a 、b 的式子表示，并化至最简）
（2）当 a ＝2 ，b ＝3 时，求该基地现在（大长方形）的土地面积．
【解答】解：（1）（6b+a）（2a+b）＝（2a2+13ab+6b2）平方米，
答：该基地现在（大长方形）的土地面积为（2a2+13ab+6b2）平方米．
（2）当 a ＝2 ，b ＝3 时，2a2+13ab+6b2 =2×22+13×2×3+6×32
= 8+78+54
= 86+54
= 140（平方米），
答：当 a ＝2 ，b ＝3 时，求该基地现在（大长方形）的土地面积为 140 平方米．
23 ．（7 分）如图，在△BCD 中，BD丄DC ，过点 D 作MN聂BC ，点 A 、E 分别在线段 DM、BC 上，连接AB ，DE ，已知L 1 ＝L2 ，DC 是LNDE 的平分线．
（1）AB 与 DE 平行吗？请说明理由；
（2）若L2 ＝60 ，求LDBC 的度数．
【解答】解：（1）AB聂DE ，理由如下：
丫MN聂BC，
：L2 ＝LADE，
丫L 1 ＝L2，
：L 1 ＝LADE，
：AB聂DE；
（2） 丫MN聂BC，L2 ＝60 ，
：L2 ＝LADE ＝60 ，
：LEDN＝180 _ LADE ＝120 ，
丫DC 是LNDE 的平分线，
：LC ＝LNDC ＝60 ，
丫BD丄DC，
：LCDB ＝90 ，
：在 Rt△CDB 中，LDBC ＝90 _ LC ＝30 ．
24 ．（8 分）司机小王开车从 A 地出发去 B 地送信，原计划匀速行驶 6 小时到达．而实际行驶的路程 S（千米）与时间 t（小时）之间的关系如图所示（全程），当汽车行驶若干小时到达 C 地时，汽车发生了故障，需停车检修，修理了一段时间后，为了按时赶到 B 地，汽车加快了速度，结果正好按时赶到，根据题意及图象回答下列问题：
（1）A 地和 B 地之间的路程为 300 千米，汽车检修的时间为 1 小时；
（2）求汽车从 C 地出发到达 B 地所行驶的时间；
（3）求检修前汽车的行驶速度为多少千米/小时？
【解答】解：（1）A 地和 B 地之间的路程为 300km ，汽车检修的时间为：4﹣3 ＝1（小时）；
故答案为：300；1；
（2）汽车从 C 地出发到达 B 地所行驶的时间为：6﹣4 ＝2（小时）；
（3）150÷3 ＝50（千米/小时），
答：检修前汽车的行驶速度为 50 千米/小时．
25 ．（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，连接 AC，BD ，过点 A 作 AF∥BC 交 CD 于点 F，延长 AB 、DC 交于点 E ，已知 BD 所在的直线是线段 AC 的垂直平分线．
（1）AC 是否平分∠EAF？请说明理由；
15
（2）过点 C 作 CM⊥AE 于点 M，若∠BCD ＝90 ° , AE ＝5 ， △AEC 的面积为 ，求 CF 的长． 4
【解答】解：（1）AC 平分∠EAF，理由如下： ∵BD 所在的直线是线段 AC 的垂直平分线，
∴BA ＝BC，
∴ ∠BAC = ∠BCA， ∵AF∥BC，
∴ ∠CAF= ∠BCA，
∴ ∠CAF= ∠BAC，即 AC 平分∠EAF；
（2）如图， ∵BC∥AF， ∠BCD ＝90 ° ,
∴ ∠AFD = ∠BCD ＝90 ° ,
∴AF⊥CF，
15 ∵△AEC 的面积为 ，
4
又∵AE ＝5，
∵AC 平分∠EAF，CM⊥AE ，CF⊥AF，
26 ．（10 分）【问题探究】：
（1）如图 1 ，在△ABC 中，AB ＝AC ，直线 l 经过点 A ，点 D ，E 在直线 l 上，且分别在点 A 的两侧，连接 CE ，BD ， ∠CEA = ∠ADB = ∠BAC ，试说明：DE ＝BD+CE；
【问题解决】：
（2）如图 2 ，在△ABC 中，AG 是它的高，分别以△ABC 的边 AB ，AC 为一边向外作等腰直角△BAD和等腰直角△CAE，连接 DE，其中∠BAD = ∠CAE ＝90 ° , AB ＝AD，AC ＝AE，延长 GA 交 DE 于点 H，过点 D 作DM⊥AH，交 AH的延长线于点 M，过点 E 作 EN⊥AH 于点 N，设△ADH的面积为 S1，△AEH的面积为 S2 ，猜猜 S1与 S2之间的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明： ∵∠CAD 是△ACE 的外角， ∴ ∠CAD = ∠CEA+∠ACE，
又∵∠CAD = ∠BAD+∠BAC，
∴ ∠CEA+∠ACE = ∠BAD+∠BAC，
∵ ∠CEA = ∠ADB = ∠BAC， ∴ ∠ACE = ∠BAD，
在△ACE 和△BAD 中，
∴△ACE≌△BAD（AAS）， ∴CE ＝AD ，AE ＝BD，
∴DE ＝AE+AD ＝BD+CE；
（2）解：S1 与 S2之间的数量关系是：S1 ＝S2 ，理由如下： ∵AG 是△ABC 的高，DM⊥AH，
∴ ∠AGB = ∠M＝90 ° , ∴ ∠GAB+∠GBA ＝90 ° , ∵ ∠BAD ＝90 ° ,
∴ ∠MAD+∠GAB ＝90 ° , ∴ ∠GBA = ∠MAD，
在△GBA 和△MAD 中，
∴△GBA≌△MAD（AAS），
∴AG ＝DM，
同理证明： △GAC≌△NEA（AAS）， ∴AG ＝EN，
∴DM＝EN，
∵△ADH 的面积为 SAH•DM， △AEH 的面积为 SAH•EN， ∴S1 ＝S2．