2023-2024学年陕西省西安市长安区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市长安区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.小红有两根木棒长分别为10cm和20cm，她想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选用一根木棒的长度应为( )
A. 10cmB. 15cmC. 20cmD. 10cm或20cm
2.第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图是巴黎奥运会项目图标，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图是一个4×4的正方形网格.根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与△ABC全等的是( )
A. △ABD
B. △ABE
C. △ABF
D. △ABG
4.如图，直线a//b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1=40∘，则∠2的度数为( )
A. 100∘
B. 90∘
C. 80∘
D. 60∘
5.如图，是一个游戏转盘，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为40∘、120∘、200∘，自由转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率是( )
A. 19
B. 13
C. 59
D. 79
6.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AB的垂直平分线MN分别交AC、AB于点D、E.若∠CBD比∠DBA的2倍少10∘，则∠A的度数为( )
A. 20∘
B. 25∘
C. 22.5∘
D. 30∘
7.某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的小球(小球除颜色外完全相同)共60个.通过大量摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别在30%和50%附近，由此估计口袋中蓝球的个数约为( )
A. 30B. 18C. 15D. 12
8.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G.若∠AED=105∘，∠CAD=18∘，∠B=30∘，则∠1的度数为( )
A. 67∘
B. 63∘
C. 57∘
D. 53∘
9.如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=20∘，AB+BD=AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B恰好落在AC边上点E处.则∠B的度数为( )
A. 70∘
B. 60∘
C. 50∘
D. 40∘
10.如图，在△ABC中AB=AC，BC=4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则△CDM周长的最小值为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在△ABC中，∠C=80∘，AC=BC，则∠A的度数为______.
12.在一个不透明的盒子里，装有10个白球和5个黄球，每个小球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是______.
13.若(m−3)2=4，则m2−6m=______.
14.如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=50∘，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点E，则∠ABE的度数为______.
15.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC=130∘，则∠A=______.
16.一辆汽车在行驶的过程中，已知汽车行驶的速度是60千米/小时，若设x小时行驶的路程为y千米，那么变量y与x之间的关系式为______.
17.在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的小球，已知袋中有6个红球，且摸出红球的概率为25，则袋中小球的个数为______.
18.如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，AD=10cm，延长BC到点E，使CE=4cm，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，若△ABP与△DCE全等，则t的值为______.
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(−a2b)4⋅(−12ab2)；
(2)[(2a+b)2−(a−2b)(4a−b)]÷2b.
20.(本小题6分)
作图题(保留作图痕迹，不写作法)
(1)如图1，在5×5的正方形网格中，已知△ABC是格点三角形(顶点都在格点上的三角形)，画一个格点△ABM，使得△ABM与△ABC全等；
(2)如图2，在△DEF中，利用尺规作出直线DP，使得DP平分△DEF的面积，其中DP与EF的交点为P.
21.(本小题7分)
如图，点E、F分别在AB、CD上，小红想知道∠AEF和∠EFC是否互补，但是她没有带量角器，只带了一副三角板，于是她想了这样一个办法：首先在CD上取点D，连结DE，再找出DE的中点O，然后连接FO并延长交AB于点B，经过测量，她发现FO=BO，因此她得出结论：
∠AEF+∠EFC=180∘.以下是她的推理过程，请你在横线上补充其推理过程或理由.
解：因为DE和BF相交于点O，
所以∠BOE=∠FOD(理由：______)，
因为O是DE的中点，
所以DO=EO，
又因为FO=BO，
所以△BOE≌______(理由：______)，
所以∠EBO=______(理由：______)，
所以AB//CD(理由：______)，
所以∠AEF+∠EFC=180∘理由：______).
22.(本小题8分)
如图，已知A、B、C、D在同一直线上，AB=CD，DE//AF，且DE=AF.试说明：
(1)△AFC≌△DEB；
(2)BE//CF.
23.(本小题8分)
在一个不透明的袋子中装有6个白色乒乓球和10个黄色乒乓球，这些乒乓颜色外都相同.
(1)下列事件：
①从袋子中同时摸出7个乒乓球至少有一个是黄球；
②从袋子中同时摸出2个乒乓球都是白球；
③从袋子中摸出1个乒乓球是红球.
其中不可能事件是______，必然事件是______，随机事件是______；(填序号)
(2)求从袋子中随机摸出1个乒乓球是白球的概率；
(3)小明从袋子中取出x个黄色乒乓球，同时又放入相同数目的白色乒乓球，发现随机摸出一乒乓球是白球的概率为34，求x的值.
24.(本小题9分)
一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(km)，图中的折线表示y与x之间的关系.
(1)甲、乙两地之间的距离是______千米；
(2)求慢车和快车的速度；
(3)当快车到达乙地时，求y的值；
(4)求图中线段CD表示的y与x之间的关系式.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：①10cm是腰长时，三角形的三边长分别为10cm、10cm、20cm，
∵10+10=200，
∴10cm、10cm、20cm不能组成三角形；
②10cm是底边时，三角形的三边长分别为10cm、20cm、20cm，
能够组成三角形，
综上所述，还需再选一根20cm长的木棒．
故选：C.
题目给出长为10cm和20cm的木棒，做一个等腰三角形，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A，C、D选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】C
【解析】解：连接BD，BF，AF，BE，AG，如图所示：

依题意得：AB=3，AC= 22+22=2 2，BC= 22+12= 5，
对于选项A，
∵AB=3，AD=2，BD= 22+32= 13，
∴AD≠BC，BD≠AC，
∴△ABD和△ABC不全等，
故选项A不符合题意；
对于选项B，
∵AB=3，AE=2，BE= 22+32= 13，
∵AE≠BC，BE≠AC，
∴△ABE和△ABC不全等，
故选项B不符合题意；
对于选项C，
∵AB=3，AF= 22+22=2 2，BF= 22+12= 5，
∴AF=AC，BF=BC，
在△ABF和△△ABC中，
AB=ABAF=ACBF=BC，
∵△ABF≌△△ABC，
故选项C符合题意；
对于选项D，
∵AB=3，BG=2，AG= 22+32= 13，
∴BG≠BC，AG≠AC，
∴△ABG和△ABC不全等，
故选项D不符合题意．
故选：C.
连接BD，BF，AF，BE，AG，根据正方形网格的特点及勾股定理求出AB=3，AC=2 2，BC= 5，对于选项A，根据正方形网格的特点及勾股定理求出AB=3，AD=2，BD= 13，由此可判定△ABD和△ABC不全等；对于选项B，根据正方形网格的特点及勾股定理求出AB=3，AE=2，BE= 13，由此可判定△ABD和△ABC不全等；对于选项C，根据正方形网格的特点及勾股定理求出AB=3，AF=2 2，BF= 5，根据“SSS”可判定△ABF和△△ABC全等；对于选项D，根据正方形网格的特点及勾股定理求出AB=3，BG=2，AG= 13，由此可判定△ABG和△ABC不全等，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，理解三边对应相等的两个三角形全等，利用勾股定理分别求出相关线段的长是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：设AC与直线a交于D，AB与直线a交于E，如下图所示：

∵直线a//b，∠1=40∘，
∴∠ADE=∠1=40∘，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60∘，
∴∠2=180∘−(∠A+∠ADE)=180∘−(60∘+40∘)=80∘.
故选：C.
设AC与直线a交于D，AB与直线a交于E，根据平行线性质得∠ADE=∠1=40∘，再根据等边三角形性质得∠A=60∘，据此可得∠2的度数．
此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由转动转盘，转盘停止时，指针落在红色区域的概率=40360=19.
故选：A.
指针落在红色区域的概率等于红色区域扇形的面积与圆的面积之比，然后把面积之比转化为圆心角的度数之比．
本题考查了几何概率：某事件的概率=某事件所占有的面积与总面积之比．
6.【答案】B
【解析】解：设∠A的度数为x，
∵MN是AB的垂直平分线MN，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=x，
∴∠CBD=2x−10∘，
∵∠C=90∘，
∴∠A+∠ABC=90∘，
∴x+x+2x−10=90，
解得：x=25∘，
故选：B.
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，∠DBA=∠A，根据直角三角形的两锐角互余列式计算即可．
本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得：1−(30%+50%)=20%，
60×20%=12(个)，
则估计口袋中蓝球的个数约为12.
故选：D.
根据通过大量摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别在30%和50%附近，可得出通过大量摸球试验后，发现摸到红球、黄球的概率，进而求出篮球的概率，根据三种颜色总数和概率求出篮球个数即可．
此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D=30∘，∠ACB=∠AED=105∘，
∵∠ACB=∠CAD+∠CFA，
∴∠CFA=105∘−18∘=87∘，
∴∠DFG=∠CFA=87∘，
∵∠1+∠D+∠DFA=180∘，
∴∠1=180∘−87∘−30∘=63∘.
故选：B.
先根据全等三角形的性质得到∠B=∠D=30∘，∠ACB=∠AED=105∘，再利用三角形外角性质计算出∠CFA=87∘，则根据对顶角相等得到∠DFG=87∘，然后根据三角形内角和定理计算∠1的度数．
本图考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．
9.【答案】D
【解析】解：由翻折得△AED≌△ABD，
∴AE=AB，ED=BE，∠B=∠AED，
∴AB+BD=AE+ED，
∵AB+BD=AC，
∴AE+ED=AC=AE+EC，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠C=20∘，
∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=20∘+20∘=40∘，
故选：D.
由翻折得AE=AB，ED=BE，∠B=∠AED，所以AB+BD=AE+ED=AC=AE+EC，则ED=EC，所以∠EDC=∠C=20∘，求得∠B=∠AED=∠EDC+∠C=40∘，于是得到问题的答案．
此题重点考查轴对称的性质、全等三角形的性质、“等边对等角”、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明∠EDC=∠C=20∘是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接AD，AM.
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=20，解得AD=10，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA=MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+12BC=10+12×4=10+2=12.
故选：D.
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11.【答案】50∘
【解析】解：∵∠C=80∘，AC=BC，
∴∠A=∠B=180∘−∠C2=180∘−80∘2=50∘.
故答案为：50∘.
根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可求得答案．
本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解决问题的关键．
12.【答案】13
【解析】解：在不透明的盒子里，共有15个球，其中黄球有5个，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到每一个球的可能性是均等的，
所以随意摸出一球是黄球的概率为515=13，
故答案为：13.
共有15个小球，摸到每一个球的可能性是均等的，其中黄球有5个，可以求出任意摸出一球摸到黄球的概率．
本题考查简单的随机事件的概率，列举出所有等可能出现的结果情况是解决问题的关键．
13.【答案】−5
【解析】解：∵(m−3)2=m2−6m+9=4，
∴m2−6m=4−9=−5.
故答案为：−5.
用完全平方公式展开、移项即可求得结果．
本题考查了完全平方公式及求代数式的值，掌握完全平方公式是解题的关键．
14.【答案】15∘
【解析】解：∵∠AB=AC，∠A=50∘，
∴∠ABC=∠ACB=180∘−∠A2=65∘.
∵BC=BE，
∴∠BCE=∠BEC=65∘，
∵∠BEC=∠ABE+∠A，
∴∠ABE=65∘−50∘=15∘.
故答案为：15∘.
根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出∠BEC的度数，由三角形外角定理即可求出答案．
本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角定理，综合运用相关知识是解决问题的关键．
15.【答案】80∘
【解析】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
又∵∠ABC+∠ACB+∠A=180∘，
∴2∠OBC+2∠OCB+∠A=180∘，
∴∠OBC+∠OCB=90∘−12∠A，
又∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180∘，
∴90∘−12∠A+∠BOC=180∘，
∴∠BOC=90∘+12∠A，
∵∠BOC=130∘，
∴90∘+12∠A=130∘，
解得：∠A=80∘.
故答案为：80∘.
直接利用角平分线的定义结合三角形内角和定理得出∠BOC=90∘+12∠A，进而得出答案．
此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，正确得出∠BOC=90∘+12∠A是解题关键．
16.【答案】y=60x
【解析】解：y=60x.
故答案为：y=60x.
根据路程=速度×时间，即可得出答案．
本题主要考查函数关系式，熟练掌握“路程=速度×时间“是解题的关键．
17.【答案】15
【解析】解：设袋中球的总数量为n个．
由题意得，摸出红球的概率为6n=25.
∴n=15.
∴袋中的球共有15个．
故答案为：15.
设袋中球的总数量为n个，利用概率公式列式求解即可．
本题主要考查概率公式，熟练掌握概率的定义是解决本题的关键．
18.【答案】2或12
【解析】解：∵AB=CD，
∴当∠ABP=∠DCE=90∘，BP=CE=4时，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP=2t=4，
∴t=2，
∵AB=CD，
∴当∠BAP=∠DCE=90∘，AP=CE=4时，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP=28−2t=4，
解得t=12.
所以，当t的值为2或12时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：2或12.
分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=4和AP=28−2t=4即可求得．
本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
19.【答案】解：(1)(−a2b)4⋅(−12ab2)
=a8b4⋅(−12ab2)
=−12a9b6；
(2)[(2a+b)2−(a−2b)(4a−b)]÷2b
=[4a2+4ab+b2−(4a2−ab−8ab+2b2)]÷2b
=(4a2+4ab+b2−4a2+ab+8ab−2b2)÷2b
=(13ab−b2)÷2b
=132a−12b.
【解析】(1)先算乘方，再算乘法，即可解答；
(2)先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1所示，三角形ABM即为所求(答案不唯一)；
(2)如图2所示，直线DP即为所求．

【解析】(1)根据全等三角形的性质结合网格作出图形即可；
(2)先作出线段EF的垂直平分线交EF于点P，过点P与点D作直线DP，则直线DP即为所求．
本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的作法，熟记全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的作法是解题的关键．
21.【答案】对顶角相等 △FODSAS∠DFO全等三角形的对应角相等 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补
【解析】解：因为DE和BF相交于点O，
所以∠BOE=∠FOD(对顶角相等)，
因为O是DE的中点，
所以FO=BO，
在△BOE和△FOD中，
BO=FO∠BOE=∠FODEO=DO，
所以△BOE≌△FOD(SAS)，
所以∠EBO=∠DFO(全等三角形的对应角相等)，
所以AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
所以∠AEF+∠EFC=180∘(两直线平行，同旁内角互补).
故答案为：对顶角相等，△FOD，SAS，∠DFO，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．
因为对顶角相等，所以∠BOE=∠FOD，而BO=FO，EO=DO，即可根据“SAS”证明△BOE≌△FOD，由全等三形的对应角相等得∠EBO=∠DFO，因为内错角相等，两直线平行，所以AB//CD，而两直线平行，同旁内角互补，所以∠AEF+∠EFC=180∘，于是得到问题的答案．
此题重点考查对顶角相等、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，证明△BOE≌△FOD是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵DE//AF，
∴∠A=∠D，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=DB，
在△AFC和△DEB中，
AC=DB∠A=∠DAF=DE，
∴△AFC≌△DEB(SAS).
(2)由(1)得△AFC≌△DEB，
∴∠ACF=∠DBE，
∴BE//CF.
【解析】(1)由DE//AF，得∠D=∠A，由AB=CD，推导出AC=DB，而AF=DE，即可根据“SAS”证明△AFC≌△DEB；
(2)由全等三角形的性质得∠ACF=∠DBE，则BE//CF.
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠D=∠A，AC=DB，进而证明△AFC≌△DEB是解题的关键．
23.【答案】③ ① ②
【解析】解：(1)①从袋子中同时摸出7个乒乓球至少有一个是黄球，必然事件；
②从袋子中同时摸出2个乒乓球都是白球，随机事件；
③从袋子中摸出1个乒乓球是红球，不可能事件．
故答案为：③，①，②；
(2)从袋子中随机摸出1个乒乓球是白球的概率=66+10=38；
(3)由题意得：6+x6+10=34，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，
答：x的值为6.
(1)由随机事件、必然随机、不可能事件的定义即可得出结论；
(2)直接由概率公式求解即可；
(3)由概率公式列出方程，解方程即可．
本题考查了概率公式、随机事件以及必然随机等知识，熟记概率公式是解题的关键．
24.【答案】900
【解析】解：(1)由图象可得，
甲、乙两地之间的距离是900km，
故答案为：900；
(2)由图象可得，
慢车的速度为：900÷12=75(km/h)，
快车的速度为：900÷4−75=150(km/h)，
即慢车的速度为75km/h，快车的速度为150km/h；
(3)快车从甲地到乙地用的时间为：900÷150=6(h)，
当快车到达乙地时，y=(75+150)×(6−4)=450；
(4)设图中线段CD表示的y与x之间的关系式为y=kx+b，
由(3)知，点C的坐标为(6,450)，
由图象可知，点D的坐标为(12,900)，
则6k+b=45012k+b=900，
解得k=75b=0，
即图中线段CD表示的y与x之间的关系式为y=75x(6≤x≤12).
(1)根据图象中的数据，可以直接写出甲、乙两地之间的距离；
(2)根据图象中的数据，可以先计算出慢车的速度，然后再计算出快车的速度；
(3)先计算出快车从甲地到乙地的时间，然后即可计算出当快车到达乙地时，y的值；
(4)根据(3)中的结果可以写出点C的坐标，然后根据图象写出点D的坐标，再将点C和点D的坐标代入函数解析式，即可得到图中线段CD表示的y与x之间的关系式．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．