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新高考高考数学一轮复习巩固练习1.4第04练《基本不等式》（2份打包，解析版+原卷版）
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这是一份新高考高考数学一轮复习巩固练习1.4第04练《基本不等式》（2份打包，解析版+原卷版），文件包含新高考高考数学一轮复习巩固练习14第04练《基本不等式》解析版doc、新高考高考数学一轮复习巩固练习14第04练《基本不等式》原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
考点一 利用配凑法求最值
1．已知x>1，则eq \f(9,x－1)＋x的最小值为( )
A．4 B．6 C．7 D．10
答案 C
解析 已知x>1，则x－1>0，
∴eq \f(9,x－1)＋x＝eq \f(9,x－1)＋(x－1)＋1
≥2eq \r(\f(9,x－1)×x－1)＋1＝7，
当且仅当eq \f(9,x－1)＝x－1，即x＝4时等号成立．
∴eq \f(9,x－1)＋x的最小值为7.
2．若0A．1 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,8)
答案 C
解析 ∵0当且仅当4x2＝1－4x2，即x＝eq \f(\r(2),4)时取等号，
则y＝xeq \r(1－4x2)的最大值为eq \f(1,4).
3．当x>1时，不等式eq \f(x2＋3,x－1)的最小值为________．
答案 6
解析 因为x>1，x－1>0，
所以eq \f(x2＋3,x－1)＝eq \f(x2－1＋4,x－1)＝x＋1＋eq \f(4,x－1)＝(x－1)＋eq \f(4,x－1)＋2≥2eq \r(x－1·\f(4,x－1))＋2＝6，
当且仅当x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3时取等号，
所以eq \f(x2＋3,x－1)的最小值是6.
考点二 利用已知条件求最值
4．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
答案 A
解析 因为正实数a，b满足a＋4b＝ab，
所以ab＝a＋4b≥2eq \r(4ab)＝4eq \r(ab)，
所以ab≥16，
当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时，等号成立．
5．已知a，b为正实数，且eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝4，则a＋2b的最小值是( )
A．2 B.eq \f(9,4) C.eq \f(5,2) D．3
答案 B
解析 ∵a＋2b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2b))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))×eq \f(1,4)
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2b,a)＋\f(2a,b)))≥eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))))＝eq \f(9,4)，
当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(2a,b)，即a＝b＝eq \f(3,4)时等号成立，
∴a＋2b的最小值是eq \f(9,4).
6．正数m，n满足m＋n＝2，则eq \f(1,m＋1)＋eq \f(1,n＋2)的最小值为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(5,4) D．2
答案 B
解析 ∵m＋n＝2，∴(m＋1)＋(n＋2)＝5，
即eq \f(m＋1,5)＋eq \f(n＋2,5)＝1，
∴ eq \f(1,m＋1)＋eq \f(1,n＋2)
＝eq \f(\f(m＋1,5)＋\f(n＋2,5),m＋1)＋eq \f(\f(m＋1,5)＋\f(n＋2,5),n＋2)
＝eq \f(2,5)＋eq \f(n＋2,5m＋1)＋eq \f(m＋1,5n＋2)≥eq \f(2,5)＋2eq \r(\f(n＋2,5m＋1)·\f(m＋1,5n＋2))
＝eq \f(4,5)，
当且仅当eq \f(n＋2,5m＋1)＝eq \f(m＋1,5n＋2)，
即m＝eq \f(3,2)，n＝eq \f(1,2)时，取等号．
7．已知x>0，y>0,2x＋y＋2xy＝3，则z＝2x＋y的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 因为2x＋y＋2xy＝3，
故可得2xy＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))＋3，
因为x>0，y>0，故可得2xy≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))2，
即－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))＋3≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))2，
令z＝2x＋y，则z2＋4z－12≥0，
解得z≥2或z≤－6，因为z>0，故z≥2，
当且仅当2x＝y, 2x＋y＋2xy＝3时，
即x＝eq \f(1,2)，y＝1时取得最小值2.
考点三 基本不等式的应用
8．关于x的不等式x2－ax＋4≥0在区间(0,2]上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．[4，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
答案 A
解析 由题意得a≤eq \f(x2＋4,x)＝x＋eq \f(4,x)恒成立，
因为x∈(0,2]，
所以x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(4)＝4，
当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时等号成立，
所以a≤4.
9．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的取值不可能是( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
答案 AD
解析 由已知和余弦定理推导式可得，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－\f(a2＋b2,2),2ab)＝eq \f(1,4)×eq \f(a2＋b2,ab)，
∵a>0，b>0，
∴eq \f(a2＋b2,ab)＝eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝2，当且仅当a＝b时等号成立．
∴cs C≥eq \f(1,4)×2＝eq \f(1,2)，∴C∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).
10．每年五月最受七中学子期待的学生活动莫过于学生节，在每届学生节活动中，着七中校服的布偶“七中熊”尤其受同学和老师欢迎．已知学生会将在学生节当天售卖“七中熊”，并且会将所获得利润全部捐献于公益组织．为了让更多同学知晓，学生会宣传部需要前期在学校张贴海报宣传，成本为250元，并且当学生会向厂家订制x只“七中熊”时，需另投入成本C(x)元，C(x)＝71x＋eq \f(40 000,x)－3 250，x∈N*.通过市场分析， 学生会订制的“七中熊”能全部售完．若学生节当天，每只“七中熊”售价为70元，则当销量为________只时，学生会向公益组织所捐献的金额最大．
答案 200
解析 由题意，设学生会向公益组织所捐献的金额为F(x)，
则F(x)＝70x－C(x)－250＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(40 000,x)))＋3 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈N*))，
由对勾函数的性质知，g(x)＝x＋eq \f(40 000,x)在x＝eq \r(40 000)＝200时取得最小值，
所以当x＝200时，F(x)取得最大值．
11．下列函数中最小值为4的是( )
A．y＝x＋eq \f(4,x)
B．y＝3x＋4·3－x
C．y＝sin x＋eq \f(4,sin x)(0D．y＝lg x＋4lgx10
答案 B
解析 对于A，当x<0时，y＝x＋eq \f(4,x)<0，故A错误；
对于B，y＝3x＋eq \f(4,3x)≥2eq \r(3x·\f(4,3x))＝4，
当且仅当3x＝eq \f(4,3x)，
即x＝lg32时取等号，故B正确；
对于C，虽然x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))，sin x>0，
但运用基本不等式后，等号成立的条件是sin x＝eq \f(4,sin x)，
即sin x＝2，
显然不可能，故C错误；
对于D，由于没有给出x的范围，所以lg x的正负不确定，不满足最小值为4，故D错误．
12．(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列结论正确的是( )
A．ab≤4 B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥1
C．2a＋2b≥16 D．a2＋b2≥8
答案 ABD
解析 A项，因为a＋b＝4，所以2eq \r(ab)≤4，所以ab≤4，当且仅当a＝b＝2时，取等号，故正确；
B项，因为eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(4,ab)≥1，
当且仅当a＝b＝2时，取等号，故正确；
C项，因为2a＋2b≥2eq \r(2a·2b)＝2eq \r(2a＋b)＝8，
当且仅当a＝b＝2时，取等号，故错误；
D项，因为eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2)，所以a2＋b2≥8，
当且仅当a＝b＝2时，取等号，故正确．
13．已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 由a>－1，b>－2，得a＋1>0，b＋2>0，a＋b＝(a＋1)＋(b＋2)－3≥2eq \r(a＋1b＋2)－3＝2×4－3＝5，当且仅当a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值是5.
14．已知正数a，b满足a＋b＋eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝10，则a＋b的最小值是________．
答案 2
解析 因为a＋b＋eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝10，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2＋eq \f(a＋b,a)＋eq \f(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b)),b)＝10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2＋10＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)＝10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))，
所以10＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)＝10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2，
所以10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2≥10＋2eq \r(\f(b,a)·\f(9a,b))＝16，
当且仅当b＝3a时，等号成立，
所以[(a＋b)－2][(a＋b)－8]≤0，
所以2≤a＋b≤8，
当a＋b＝2时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(3,2)，)) 符合条件，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))min＝2.
考点一 利用配凑法求最值
1．已知x>1，则eq \f(9,x－1)＋x的最小值为( )
A．4 B．6 C．7 D．10
答案 C
解析 已知x>1，则x－1>0，
∴eq \f(9,x－1)＋x＝eq \f(9,x－1)＋(x－1)＋1
≥2eq \r(\f(9,x－1)×x－1)＋1＝7，
当且仅当eq \f(9,x－1)＝x－1，即x＝4时等号成立．
∴eq \f(9,x－1)＋x的最小值为7.
2．若0
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,8)
答案 C
解析 ∵0
则y＝xeq \r(1－4x2)的最大值为eq \f(1,4).
3．当x>1时，不等式eq \f(x2＋3,x－1)的最小值为________．
答案 6
解析 因为x>1，x－1>0，
所以eq \f(x2＋3,x－1)＝eq \f(x2－1＋4,x－1)＝x＋1＋eq \f(4,x－1)＝(x－1)＋eq \f(4,x－1)＋2≥2eq \r(x－1·\f(4,x－1))＋2＝6，
当且仅当x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3时取等号，
所以eq \f(x2＋3,x－1)的最小值是6.
考点二 利用已知条件求最值
4．若正实数a，b满足a＋4b＝ab，则ab的最小值为( )
A．16 B．8 C．4 D．2
答案 A
解析 因为正实数a，b满足a＋4b＝ab，
所以ab＝a＋4b≥2eq \r(4ab)＝4eq \r(ab)，
所以ab≥16，
当且仅当a＝4b，即a＝8，b＝2时，等号成立．
5．已知a，b为正实数，且eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝4，则a＋2b的最小值是( )
A．2 B.eq \f(9,4) C.eq \f(5,2) D．3
答案 B
解析 ∵a＋2b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋2b))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))×eq \f(1,4)
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2b,a)＋\f(2a,b)))≥eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(2b,a)·\f(2a,b))))＝eq \f(9,4)，
当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(2a,b)，即a＝b＝eq \f(3,4)时等号成立，
∴a＋2b的最小值是eq \f(9,4).
6．正数m，n满足m＋n＝2，则eq \f(1,m＋1)＋eq \f(1,n＋2)的最小值为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(5,4) D．2
答案 B
解析 ∵m＋n＝2，∴(m＋1)＋(n＋2)＝5，
即eq \f(m＋1,5)＋eq \f(n＋2,5)＝1，
∴ eq \f(1,m＋1)＋eq \f(1,n＋2)
＝eq \f(\f(m＋1,5)＋\f(n＋2,5),m＋1)＋eq \f(\f(m＋1,5)＋\f(n＋2,5),n＋2)
＝eq \f(2,5)＋eq \f(n＋2,5m＋1)＋eq \f(m＋1,5n＋2)≥eq \f(2,5)＋2eq \r(\f(n＋2,5m＋1)·\f(m＋1,5n＋2))
＝eq \f(4,5)，
当且仅当eq \f(n＋2,5m＋1)＝eq \f(m＋1,5n＋2)，
即m＝eq \f(3,2)，n＝eq \f(1,2)时，取等号．
7．已知x>0，y>0,2x＋y＋2xy＝3，则z＝2x＋y的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 因为2x＋y＋2xy＝3，
故可得2xy＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))＋3，
因为x>0，y>0，故可得2xy≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))2，
即－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))＋3≤eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y))2，
令z＝2x＋y，则z2＋4z－12≥0，
解得z≥2或z≤－6，因为z>0，故z≥2，
当且仅当2x＝y, 2x＋y＋2xy＝3时，
即x＝eq \f(1,2)，y＝1时取得最小值2.
考点三 基本不等式的应用
8．关于x的不等式x2－ax＋4≥0在区间(0,2]上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．[4，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
答案 A
解析 由题意得a≤eq \f(x2＋4,x)＝x＋eq \f(4,x)恒成立，
因为x∈(0,2]，
所以x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(4)＝4，
当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时等号成立，
所以a≤4.
9．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的取值不可能是( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
答案 AD
解析 由已知和余弦定理推导式可得，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－\f(a2＋b2,2),2ab)＝eq \f(1,4)×eq \f(a2＋b2,ab)，
∵a>0，b>0，
∴eq \f(a2＋b2,ab)＝eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝2，当且仅当a＝b时等号成立．
∴cs C≥eq \f(1,4)×2＝eq \f(1,2)，∴C∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))).
10．每年五月最受七中学子期待的学生活动莫过于学生节，在每届学生节活动中，着七中校服的布偶“七中熊”尤其受同学和老师欢迎．已知学生会将在学生节当天售卖“七中熊”，并且会将所获得利润全部捐献于公益组织．为了让更多同学知晓，学生会宣传部需要前期在学校张贴海报宣传，成本为250元，并且当学生会向厂家订制x只“七中熊”时，需另投入成本C(x)元，C(x)＝71x＋eq \f(40 000,x)－3 250，x∈N*.通过市场分析， 学生会订制的“七中熊”能全部售完．若学生节当天，每只“七中熊”售价为70元，则当销量为________只时，学生会向公益组织所捐献的金额最大．
答案 200
解析 由题意，设学生会向公益组织所捐献的金额为F(x)，
则F(x)＝70x－C(x)－250＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(40 000,x)))＋3 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈N*))，
由对勾函数的性质知，g(x)＝x＋eq \f(40 000,x)在x＝eq \r(40 000)＝200时取得最小值，
所以当x＝200时，F(x)取得最大值．
11．下列函数中最小值为4的是( )
A．y＝x＋eq \f(4,x)
B．y＝3x＋4·3－x
C．y＝sin x＋eq \f(4,sin x)(0
答案 B
解析 对于A，当x<0时，y＝x＋eq \f(4,x)<0，故A错误；
对于B，y＝3x＋eq \f(4,3x)≥2eq \r(3x·\f(4,3x))＝4，
当且仅当3x＝eq \f(4,3x)，
即x＝lg32时取等号，故B正确；
对于C，虽然x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))，sin x>0，
但运用基本不等式后，等号成立的条件是sin x＝eq \f(4,sin x)，
即sin x＝2，
显然不可能，故C错误；
对于D，由于没有给出x的范围，所以lg x的正负不确定，不满足最小值为4，故D错误．
12．(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列结论正确的是( )
A．ab≤4 B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥1
C．2a＋2b≥16 D．a2＋b2≥8
答案 ABD
解析 A项，因为a＋b＝4，所以2eq \r(ab)≤4，所以ab≤4，当且仅当a＝b＝2时，取等号，故正确；
B项，因为eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(4,ab)≥1，
当且仅当a＝b＝2时，取等号，故正确；
C项，因为2a＋2b≥2eq \r(2a·2b)＝2eq \r(2a＋b)＝8，
当且仅当a＝b＝2时，取等号，故错误；
D项，因为eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2)，所以a2＋b2≥8，
当且仅当a＝b＝2时，取等号，故正确．
13．已知a>－1，b>－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 B
解析 由a>－1，b>－2，得a＋1>0，b＋2>0，a＋b＝(a＋1)＋(b＋2)－3≥2eq \r(a＋1b＋2)－3＝2×4－3＝5，当且仅当a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值是5.
14．已知正数a，b满足a＋b＋eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝10，则a＋b的最小值是________．
答案 2
解析 因为a＋b＋eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝10，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2＋eq \f(a＋b,a)＋eq \f(9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b)),b)＝10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2＋10＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)＝10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))，
所以10＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b)＝10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2，
所以10eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))2≥10＋2eq \r(\f(b,a)·\f(9a,b))＝16，
当且仅当b＝3a时，等号成立，
所以[(a＋b)－2][(a＋b)－8]≤0，
所以2≤a＋b≤8，
当a＋b＝2时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝\f(3,2)，)) 符合条件，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))min＝2.
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