高考数学冲刺押题卷03（原卷版）

这是一份高考数学冲刺押题卷03（原卷版），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．样本数据的中位数为（ ）
A．B．C．D．
2．椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
3．在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（ ）
A．50B．70C．90D．110
4．已知直线为异面直线，为不重合的两个平面，则（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
5．某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（ ）
A．564B．484C．386 D．640
6．在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
7．若为锐角，且，则（ ）
A．10°B．20°C．70°D．80°
8．已知双曲线的左，右焦点分别为，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于，且，当时，双曲线离心率的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．
C．函数的图象关于点中心对称
D．函数在区间单调递减
10．已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若， 则
C．若复数，满足，则
D．若，则的最大值为3
11．已知函数满足，，则（ ）
A． B． C．的定义域为R D．的周期为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，，则的元素个数是 .
13．如图，表面积为的球面上有四点，，，，是等边三角形，球心到平面的距离为3，若平面平面，则三棱锥体积的最大值为 ．
14．定义表示、、、中的最小值，表示、、、中的最大值，设，已知或，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
设函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
16．（15分）
袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各 2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等.
（1）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；
（2）用X 表示取出的 2个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望.
17．（15分）
如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，．
（1）证明：；
（2）若且的面积为，求与平面所成角的正弦值．
18．（17分）
已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点A，B和M，N.设线段，的中点分别为P，Q，求证：直线恒过一个定点.
19．（17分）
已知数列与数列满足下列条件：①，；②，；③，，记数列的前项积为.
（1）若，，，，求；
（2）是否存在，，，，使得，，，成等比数列？若存在，请写出一组，，，；若不存在，请说明理由；
（3）若，求的最大值.
高考数学模拟卷03（新题型）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．样本数据的中位数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】样本数据从小到大排列为、、、、、、、、、，
所以样本数据的中位数为.故选：B
2．椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
【答案】D
【解析】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，
椭圆的长轴长为，短轴长为，
焦距为，离心率为，
所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.故选：D.
3．在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（ ）
A．50B．70C．90D．110
【答案】B
【解析】由等比数列的片段和性质得，，成等比数列
所以，所以，解得.故选：B.
4．已知直线为异面直线，为不重合的两个平面，则（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【解析】若，，则可能，故A错误；
若，，则可能，故B错误；
若，，则，故C正确；
若，，则，故D错误.故选：C .
5．某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（ ）
A．564B．484C．386 D．640
【答案】A
【解析】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.
第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时，
其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法；
当在4人组时，有种方法.
第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法；
当在3人组时，有种方法.
故这8名同学游玩行程的方法数为.故选：A.
6．在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设点，因为，关于直线对称，
所以，可得：.
所以，，所以.
当时，；
当时，，此时，所以.
当时，，此时，
所以，故.
综上所述：，故的最大值为.故选：D.
7．若为锐角，且，则（ ）
A．10°B．20°C．70°D．80°
【答案】C
【解析】由
，
又为锐角，∴．故选：C．
8．已知双曲线的左，右焦点分别为，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交于，且，当时，双曲线离心率的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】如下图所示：不妨取渐近线方程为，又易知，
则直线的方程为，
联立直线与双曲线，可得，
所以；
且，由双曲线定义可得，
当时，可得，
所以，解得；
因此双曲线离心率的最大值为.故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．
C．函数的图象关于点中心对称
D．函数在区间单调递减
【答案】ABD
【解析】对选项A，依题意函数的周期为，所以选项A正确；
对选项B，因为，即，又，所以，所以选项B正确；
对选项C，因为，又，
所以点不是的中心对称，所以选项C错误；
对选项D，因为，所以，因为在单调递减，
所以函数在区间单调递减，所以选项D正确.故选:ABD.
10．已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若， 则
C．若复数，满足，则
D．若，则的最大值为3
【答案】AD
【解析】设、；
对A：若，则有，
即，
，即有，故A正确；
对B：若，则有，即，不能得到，故B错误；
对C：若复数，满足，则有，
即，化简得，
，故C错误；
对D：若，则有，即，
其中，即有，
则，
故当时，有最大值且最大值为，即D正确.故选：AD.
11．已知函数满足，，则（ ）
A． B． C．的定义域为R D．的周期为4
【答案】ABD
【解析】令，则，即，A正确，
令，则无意义，即的定义域不为R，C错误；
由可知，
令，则，即，故，B正确；
，
故，即的周期为4，D正确，故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，，则的元素个数是 .
【答案】
【解析】联立可得，则，
得原方程组有两组解，即中有个元素.
13．如图，表面积为的球面上有四点，，，，是等边三角形，球心到平面的距离为3，若平面平面，则三棱锥体积的最大值为 ．
【答案】
【解析】球的表面积为，球的半径为，
设的中心为， 则，且平面，
的外接圆半径，
连接并延长交于，则为的中点，且，
显然，而平面平面，平面平面，
平面，则平面，
令的外接圆圆心为，则平面，有，
又平面，平面，，
，平面，则平面，
平面，，
而平面平面，平面平面，
平面，则平面，
有，因此四边形为平行四边形，
则，，
的外接圆半径，
的外接圆上点到直线距离的最大值为，
而点在平面上的射影落在直线上，
于是到平面的距离最大值，
是等边三角形，外接圆半径为4，由正弦定理的边长为，的面积为，
棱锥体积的最大值为.
14．定义表示、、、中的最小值，表示、、、中的最大值，设，已知或，则的值为 ．
【答案】
【解析】设，，，且，则，，，
所以，，
若，则，故，
设，因此，，故，即，
若，则，即，
则，故，当且仅当时，等号成立，
综上所述，的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
设函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2），
【解析】（1）因为，所以，
又，所以，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2），函数的定义域为，
，令，解得或，
令，解得，
对列表如下：



又，且，
所以，即，所以，
故函数在区间上的，.
16．（15分）
袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各 2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等.
（1）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；
（2）用X 表示取出的 2个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】（1）设一次取出的2个小球上的数字互不相同的事件记为，
则为一次取出的2个小球数字相同，
所以，所以.
（2）由题意所有可能的取值为：2，，，.
；；
；．
所以随机变量的分布列为
随机变量的均值为
．
17．（15分）

0


单调递减
极小值
单调递增
2
3
4
5
如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，．
（1）证明：；
（2）若且的面积为，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）在中，，，，
由余弦定理得，解得，
又，即，得，
又因为平面平面，平面平面 ，平面ACFD，
所以平面ABC，而平面ABC，则，
又，，平面BDH，平面BDH，
所以平面BDH，而平面，则，
因为，所以；
（2）在中，，，，
所以，，所以，
又，所以，
则，
由（1）知，平面ABC，
所以可以H为原点，为y轴，为z轴，建系如图所示
，
设平面ABD法向量为，则，即，
取，则，得平面的一个法向量为，
设CF与平面ABD所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值
18．（17分）
已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点A，B和M，N.设线段，的中点分别为P，Q，求证：直线恒过一个定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）因为抛物线的焦点F为，
双曲线的渐近线方程为：，即，
则，解得，故抛物线的方程为：.
（2）设A，B两点坐标分别为，，则点P的坐标为.
由题意可设直线的方程为，
由得，，
因为直线与曲线C交于A，B两点，所以，，
所以点P的坐标为.
由题知，直线的斜率为，同理可得点Q的坐标为.
当时，有，此时直线PQ的斜率，
所以直线PQ的方程为，整理得，
于是直线PQ恒过定点.
当时，直线PQ的方程为，也过定点.
综上，直线PQ恒过定点.
19．（17分）
已知数列与数列满足下列条件：①，；②，；③，，记数列的前项积为.
（1）若，，，，求；
（2）是否存在，，，，使得，，，成等比数列？若存在，请写出一组，，，；若不存在，请说明理由；
（3）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）.
【解析】（1）由，得，由，得，
由，得，
所以.
（2）不存在.
假设存在，设公比为，
若，则，公比，矛盾，
若，则，公比，矛盾，
因此假设不成立，所以不存在.
（3）依题意，，且，，
设，则，得，
于是，显然的值从大到小依次为，
若，则且，当数列为或，可以取得，
显然当时，最大，此时，则，
，
从而
，又，
所以.