高考数学冲刺押题卷02（原卷版）

这是一份高考数学冲刺押题卷02（原卷版），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．小李同学参加了高三以来进行的6次数学测试，6次成绩依次为： 90分、100分、120分、115分、130分、125分.则这组成绩数据的上四分位数为（ ）
A．120B．122.5C．125D．130
2．已知双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．12B．-12C．6D．-6
4．已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（ ）
A．72B．84C．100D．120
6．如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．P的轨迹为圆B．P到原点最短距离为1
C．P点轨迹是一个菱形D．点P的轨迹所围成的图形面积为4
8．若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（ ）
A．B．C．或D．或
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知函数（，，），若的图象过，，三点，其中点B为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．的图象关于直线对称D．在上单调递减
11．已知定义在上的函数满足，当，时，.下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．集合的真子集的个数是 .
13．某兴趣小组准备将一棱长为a的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为 ．
14．若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：．
16．（15分）
某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立.
（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；
（2）求甲获胜的概率.
17．（15分）
已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为，，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内．
（1）求证：；
（2）为棱上一点，且二面角为，求的值．
18．（17分）
已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．（17分）
约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
（2）当时，若构成等比数列，求正整数；
（3）记，求证：.
高考数学模拟卷02（新题型）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．小李同学参加了高三以来进行的6次数学测试，6次成绩依次为： 90分、100分、120分、115分、130分、125分.则这组成绩数据的上四分位数为（ ）
A．120B．122.5C．125D．130
【答案】C
【解析】将6次成绩分数从小到大排列依次为：，
由于，故这组成绩数据的上四分位数为第5个数125，故选：C
2．已知双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知可得双曲线的焦点在轴上时，，，
所以，由，解得.故选：A.
3．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．12B．-12C．6D．-6
【答案】A
【解析】由题意得，，解得，
∴数列的公差为.故选：A
4．已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【解析】对于A选项，若，，，则与不一定垂直，A错；
对于B选项，若，，则与的位置关系不确定，B错；
对于C选项，若，，，则，由线面平行的判定定理可得，C对；
对于D选项，若，，，则、平行或异面，D错.故选：C.
5．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（ ）
A．72B．84C．100D．120
【答案】C
【解析】若甲去点，则剩余4人，可只去、两个点，也可分为3组去，，3个点.
当剩余4人只去、两个点时，人员分配为或，
此时的分配方法有；
当剩余4人分为3组去，，3个点时，
先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有，
综上可得，甲去点，不同的安排方法数是.
同理，甲去点，不同的安排方法数也是，
所以，不同的安排方法数是.故选：C.
6．如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以
所以，
因为，所以，即，
因为三点共线，所以，解得，所以，
而,
所以,
即.故选：D.
7．在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．P的轨迹为圆B．P到原点最短距离为1
C．P点轨迹是一个菱形D．点P的轨迹所围成的图形面积为4
【答案】C
【解析】设P点坐标为，
则由已知条件可得，整理得．
又因为，所以P点坐标对应轨迹方程为．
，且时，方程为；，且时，方程为；
，且时，方程为；，且时，方程为．
P点对应的轨迹如图所示：
，且，
所以P点的轨迹为菱形．A错误，C正确；
原点到：的距离为B错误；
轨迹图形是平行四边形，面积为，D错误．故选：C．
8．若点既在直线上，又在椭圆上，的左、右焦点分别为，，且的平分线与垂直，则的长轴长为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【解析】过点、分别作、垂直直线于点、，
作的平分线与轴交于，
由，故、，
则，，
由且为的平分线，故，故，
又、，故与相似，
故，
由，令，则，
故直线与轴交于点，故，
，故，
由，故，，
故，，
由椭圆定义可知，，
故，即的长轴长为.故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AC
【解析】若，则互为共轭复数，故，故A正确；
若，则，而，故B错误；
设，
若，则，
又，
故，故C正确；
若，则，而，故D错误．故选：AC
10．已知函数（，，），若的图象过，，三点，其中点B为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．的图象关于直线对称D．在上单调递减
【答案】BC
【解析】由题意得，，，所以，.
由，得，由图知在上单调递增，
所以，，所以，.
又，只可能，所以，
所以，，故A错误，B正确；
因为，所以的图象关于直线对称，故C正确；
令（），解得（），
令，得，
又包含但不是其子集，故D错误.故选：BC.
11．已知定义在上的函数满足，当，时，.下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．在上单调递增
【答案】ACD
【解析】令，可得.
令，可得.因为当时，，所以.
令，可得.
因为，所以当时，.
又因为当时，，所以当时，.
令，可得，①
所以，两式相加可得.
令，可得.②
①-②可得，
化简可得，所以是奇函数，C正确.
由，可得：
，B错误.
由可得解得，A正确.
令，可得.
令，则.
因为当时，，所以，
所以，即，所以在上单调递增.
因为为奇函数，所以在上单调递增，D正确.故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．集合的真子集的个数是 .
【答案】31
【解析】共5个元素，
则真子集的个数是.
13．某兴趣小组准备将一棱长为a的正方体木块打磨成圆锥，则圆锥的最大体积为 ．
【答案】
【解析】如图，在正方体中取各边棱长中点得正六边形，
则正六边形的边长为，
其最大内切圆的半径为，
正方体的体对角线的一半为圆锥的高，
所以圆锥的最大体积为.
14．若实数a，b，c满足条件：，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】利用均值不等式得，
即，当且仅当，即时等号成立，
又，所以．
所以，，即，．
所以，
当且仅当时，取得等号．
故的最大值是．
证明：，
令，则，
当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，即.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1），所以切点为.
，，所以切线为.
（2）要证，只需证：，即证：.
令，.
令，解得.
所以，，为增函数，
，，为减函数.
所以，
所以恒成立，即证.
16．（15分）
某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲乙正确回答每道题的概率分别为，，且两人各道题是否回答正确均相互独立.
（1）比赛开始，求甲先得一分的概率；
（2）求甲获胜的概率.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）每道题的抢答中，记甲得一分为事件，
由题意，发生有两种可能：甲抢到题且答对，乙抢到题且答错，
∴，故比赛开始，甲先得一分的概率为.
（2）由（1）知：在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别为，，
设两人共抢答了道题比赛结束且甲获胜，
根据比赛规则，的可能取值为3，4，5，
∴，，，
∴甲获胜的概率.
17．（15分）
已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为，，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内．
（1）求证：；
（2）为棱上一点，且二面角为，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：取线段的中点，连接、，
在斜三棱柱中，且，则四边形为平行四边形，
所以，且，
因为、分别为、的中点，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
又因为，则，因为，则，
因为，为的中点，则，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，.
（2）由（1）可知，平面，
过点在平面内作，垂足为点，
因为平面，平面，则，
又因为，，、平面，则平面，
所以，直线与平面所成的角为，
所以，，则，
因为，可得，，
因为，则，，
所以，，则，
因为为的中点，所以，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，则，
即点，同理可得点、，
设，其中，
则，且，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
所以，平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
因为二面角为，
则，整理可得，
因为，解得，即.
18．（17分）
已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2），为定值．
【解析】（1）设双曲线的焦距为，
由题意得，，解得，故双曲线的方程为．
（2）由题意得，，
当直线的斜率为零时，
则．
当直线的斜率不为零时，
设直线的方程为，点，
联立，整理得，
则，解得且，
所以，
所以
．
综上，，为定值．
19．（17分）
约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
（2）当时，若构成等比数列，求正整数；
（3）记，求证：.
【答案】（1）8；（2）；（3）证明见解析.
【解析】（1）当时正整数的4个正约数构成等比数列，
比如为8的所有正约数,即.
（2）由题意可知，，，，
因为，依题意可知，所以，
化简可得，所以，
因为，所以，
因此可知是完全平方数.
由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以为，
所以,.
（3）证明：由题意知，，
所以，
因为，
所以
，
因为，，所以，
所以，即.