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新高考数学二轮复习专题培优练习专题20 立体几何解答题分类练（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考数学二轮复习专题培优练习专题20 立体几何解答题分类练（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学二轮复习专题培优练习专题20立体几何解答题分类练原卷版doc、新高考数学二轮复习专题培优练习专题20立体几何解答题分类练解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
1. （2023届安徽省安庆市高三第三次模拟）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上（异于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点）．
(1)若点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，证明： SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
【解析】（1）证明：取线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
2.（2024届江苏省南通市如东高三上学期学情检测）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战略意义.为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为20cm，高为40cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.
(1)求该圆柱的侧面积的最大值；
(2)求该圆柱的体积的最大值.
【解析】（1）设该圆柱的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，高 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 .由平面几何知识知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以该圆柱的侧面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设圆柱的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
3.（2024届云南省昆明市第一中学高三第二次双基检测）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
故以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 .
二、平行关系的证明
4. （2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）如图，在五面体 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 为正三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【解析】（1）因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点分别为E，F，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
以P为坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在的直线为x，z轴，过P与 SKIPIF 1 < 0 平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
5.（2024届山西省忻州市名校高三上学期开学联考）如图，在多面体ABCDE中， SKIPIF 1 < 0 平面BCD，平面 SKIPIF 1 < 0 平面BCD，其中 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正三角形， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为直角的等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面BCD.
(2)求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值.
【解析】（1）取CD的中点F，连接EF，BF.
因为 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面BCD，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ECD，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面BCD.
因为 SKIPIF 1 < 0 平面BCD，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形ABFE为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面BCD， SKIPIF 1 < 0 平面BCD，所以 SKIPIF 1 < 0 平面BCD.
（2）过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，以B为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设平面ACE的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
设平面BDE的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
设平面ACE与平面BDE的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
6.（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真）如图，在多面体ABCDEF中，四边形 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)已知点G为AF上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．
【解析】（1）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 平面ABEF，AB， SKIPIF 1 < 0 平面ABEF，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面DCE的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且不存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，
所以BG与平面DCE不平行；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）；故 SKIPIF 1 < 0 ．
此时梯形ABEF的面积 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
三、垂直关系的证明
7.（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟） 如图，在四棱台 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：BD SKIPIF 1 < 0 CC1；
(2)棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 若存在，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明:如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 为棱台，所以 SKIPIF 1 < 0 四点共面，
又因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0
假设点 SKIPIF 1 < 0 存在，设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又由平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
由于二面角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，则点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
8.（2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点G是EF的中点．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面ABCD；
(2)线段AC上是否存在一点M，使 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABF？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，点G是EF的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ADEF，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD．
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
四边形ABCD是边长为4的正方形，所以AG、AD、AB两两垂直，
以A为原点，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
假设线段AC上存在一点M，使 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABF，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
设平面ABF的法向量为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABF，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABF．
9.（2024届广东仲元中学高三上学期9月月考）如图，在以 SKIPIF 1 < 0 为顶点的五面体中，面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，且二面角 SKIPIF 1 < 0 与二面角 SKIPIF 1 < 0 都是 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值.
【解析】（1）由正方形 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向， SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向，
SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向， SKIPIF 1 < 0 为单位长，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，从而得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，设二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
10.（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的大小．
【解析】（1）四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ．以 SKIPIF 1 < 0 为原点，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ．
四、线面角的计算
11. （2023届河南省部分名校高三仿真模拟）如图所示，正六棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面边长为1，高为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
在正六棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，
因为底面为正六边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）取 SKIPIF 1 < 0 的中点为Q，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为底面边长为1，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量.
连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，平面 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 与棱 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)试用所学知识确定 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上的位置；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【解析】（1）过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，延长 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点即为点 SKIPIF 1 < 0 ．
因为底面 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 的靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点处．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 两两相互垂直，
如图，分别以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2024届湖南省三湘创新发展联合体高三上学期9月月考）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E为BC的中点．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)若二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．
【解析】（1）如图，取AD的中点F，连接PF，EF．
∵底面ABCD是正方形， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面PEF，∴ SKIPIF 1 < 0 平面PEF．
又∵ SKIPIF 1 < 0 平面PEF，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，且为 SKIPIF 1 < 0 ，
过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面PEF， SKIPIF 1 < 0 平面PEF，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面PAB的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线DG与平面PAB所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，且最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
五、二面角的计算
14. （2024届新疆巴音郭楞蒙古自治州高三上学期开学考试）在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值.
【解析】（1）证明：在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
15．（2024届江西省吉安市第三中学高三上学期开学考试）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明: SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值是 SKIPIF 1 < 0 ?若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
取棱 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，易证 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
故以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,设面 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 (舍去)．
故存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得面 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值是 SKIPIF 1 < 0 ．
16．（2024届江苏省南京市第九中学2高三上学期学情检测）如图，在四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值.
【解析】（1）证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以以 SKIPIF 1 < 0 为正交基底，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角.即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设二面角 SKIPIF 1 < 0 大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
17．（2024届湖北省宜荆荆恩高三9月起点联考）如图，在三棱台 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .设P，Q，R分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值.
【解析】（1）证明：连接DP，则四边形DPCF是矩形．
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为三角形 SKIPIF 1 < 0 的中位线，得 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，AC， SKIPIF 1 < 0 平面ADFC，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
（2）解：以P为原点，PA、PR、PD为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，则 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，则 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交所成角的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
故平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
六、距离问题
18. （2023届海南省高三全真模拟）如图，在平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 向上折起，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角的平面角最大．
(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点，证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）如图，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴，平面 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 平面，
建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，显然，当 SKIPIF 1 < 0 时，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 共面，此时的锐二面角一定不是最大
的，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
又平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，由 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 面上．
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该几何体中任意两点间的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
19.（2023届陕西省宝鸡市高三下学期模考）如图，在长方体中，，和交于点为AB的中点.
(1)求证：平面；
(2)已知与平面所成角为，求
（ⅰ）平面与平面的夹角的余弦值；
（ⅱ）点到平面的距离.
【解析】（1）连接，，.
因为长方体中，且，
所以四边形为平行四边形.
所以E为的中点，
在中，因为E，F分别为和AB的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）与平面所成角为.连接.
因为长方体中，平面，平面，
所以.所以为直线与平面所成角，即.
所以为等腰直角三角形.
因为长方体中，所以.所以.
如图建立空间直角坐标系，因为长方体中，，
则，，，，
，，.
所以，，.
设平面的法向量为，则，即.
令，则，，可得.
设平面BCE的法向量为，则，即.
令，则，，所以.
设平面与平面的夹角为，则.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
（ⅱ）因为，
所以点A到平面的距离为.
七、立体几何探索性问题与开放问题
20. （2024届北京市清华大学附属中学高三上学期开学考试）如图，在三棱柱中，平面，点，分别在梭和棱上，且为棱中点．
(1)求证：平面；
(2)从下面两个选项中选择一个作为条作，求二面角的余弦值．
①；②．
【解析】（1）取的中点，连接，
因为，，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为为棱中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面；
（2）选①，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
，
设平面为法向量为，
则有，令，则，
所以，
则，
由图可知，二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为．
选②，，
由题意，，
因为为棱中点，所以，
所以，
则，
所以，故，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
以下步骤同选①.
21.（2023届福建省宁德第一中学高三一模）如图①在平行四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，得到图②所示几何体．
(1)若为的中点，求四棱锥的体积；
(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．
【解析】（1）由图①知，，所以，在中，因为，，
可得，，所以．
由图②知，平面平面，平面，
平面平面，因为，所以平面，
因为为的中点，
所以．
（2）由（1）知，，三者两两垂直，以点为原点，
，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图）．
则，，，，，，，
设，，
，
即，
所以，
设平面的法向量为，
所以，则，
令，得，
设平面的法向量为，
所以， 解得或（舍去），
所以此时的值为.
22.（2024届北京市第一六六中学高三上学期阶段性诊断）如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判断直线与平面是否相交，并说明理由，若相交，求出点与交点之间的距离．
【解析】（1）因为，所以，
又平面⊥平面，平面平面，平面，
所以平面．
（2）又，所以、、两两互相垂直．
如图以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
由，，
可知，，，，，
则，，，
设为平面的一个法向量，
则，解得，
令，则，所以，
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，，所以，
则，
由图形可知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
（3）由，得，
因为，
所以与平面不平行，所以直线与平面相交，
在四边形中延长交，延长线于点．
点就是直线与平面的交点，
因为为棱的中点，可知，则，
易知，所以．
1. （2023届安徽省安庆市高三第三次模拟）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上（异于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点）．
(1)若点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，证明： SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
【解析】（1）证明：取线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，所以， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
2.（2024届江苏省南通市如东高三上学期学情检测）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战略意义.为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为20cm，高为40cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.
(1)求该圆柱的侧面积的最大值；
(2)求该圆柱的体积的最大值.
【解析】（1）设该圆柱的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，高 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 .由平面几何知识知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以该圆柱的侧面积的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设圆柱的体积为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
3.（2024届云南省昆明市第一中学高三第二次双基检测）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
故以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 .
二、平行关系的证明
4. （2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）如图，在五面体 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 为正三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
【解析】（1）因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点分别为E，F，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
以P为坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在的直线为x，z轴，过P与 SKIPIF 1 < 0 平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
5.（2024届山西省忻州市名校高三上学期开学联考）如图，在多面体ABCDE中， SKIPIF 1 < 0 平面BCD，平面 SKIPIF 1 < 0 平面BCD，其中 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正三角形， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为直角的等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面BCD.
(2)求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值.
【解析】（1）取CD的中点F，连接EF，BF.
因为 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面BCD，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ECD，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面BCD.
因为 SKIPIF 1 < 0 平面BCD，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形ABFE为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面BCD， SKIPIF 1 < 0 平面BCD，所以 SKIPIF 1 < 0 平面BCD.
（2）过点B作 SKIPIF 1 < 0 ，以B为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设平面ACE的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
设平面BDE的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
设平面ACE与平面BDE的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
6.（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真）如图，在多面体ABCDEF中，四边形 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 均为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)已知点G为AF上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．
【解析】（1）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 平面ABEF，AB， SKIPIF 1 < 0 平面ABEF，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面DCE的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且不存在 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，
所以BG与平面DCE不平行；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）；故 SKIPIF 1 < 0 ．
此时梯形ABEF的面积 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
三、垂直关系的证明
7.（2023届四川省南充高级中学高三下学期第三次模拟） 如图，在四棱台 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：BD SKIPIF 1 < 0 CC1；
(2)棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 若存在，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明:如图所示，连接 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 为棱台，所以 SKIPIF 1 < 0 四点共面，
又因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
因为底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴和 SKIPIF 1 < 0 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0
假设点 SKIPIF 1 < 0 存在，设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
取 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又由平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
由于二面角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，则点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
8.（2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点G是EF的中点．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面ABCD；
(2)线段AC上是否存在一点M，使 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABF？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，点G是EF的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由平面 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面ADEF，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD．
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD， SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
四边形ABCD是边长为4的正方形，所以AG、AD、AB两两垂直，
以A为原点，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
假设线段AC上存在一点M，使 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABF，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
设平面ABF的法向量为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABF，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
即当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面ABF．
9.（2024届广东仲元中学高三上学期9月月考）如图，在以 SKIPIF 1 < 0 为顶点的五面体中，面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ，且二面角 SKIPIF 1 < 0 与二面角 SKIPIF 1 < 0 都是 SKIPIF 1 < 0 .
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值.
【解析】（1）由正方形 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向， SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向，
SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向， SKIPIF 1 < 0 为单位长，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如图：
因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，从而得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，设二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
10.（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的大小．
【解析】（1）四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ．以 SKIPIF 1 < 0 为原点，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ．
四、线面角的计算
11. （2023届河南省部分名校高三仿真模拟）如图所示，正六棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面边长为1，高为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【解析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
在正六棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，
因为底面为正六边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）取 SKIPIF 1 < 0 的中点为Q，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为底面边长为1，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量.
连接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，平面 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 与棱 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)试用所学知识确定 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上的位置；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．
【解析】（1）过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，延长 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
连接 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点即为点 SKIPIF 1 < 0 ．
因为底面 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 的靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点处．
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 两两相互垂直，
如图，分别以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．
13．（2024届湖南省三湘创新发展联合体高三上学期9月月考）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD是正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E为BC的中点．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)若二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．
【解析】（1）如图，取AD的中点F，连接PF，EF．
∵底面ABCD是正方形， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面PEF，∴ SKIPIF 1 < 0 平面PEF．
又∵ SKIPIF 1 < 0 平面PEF，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）可知，二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，且为 SKIPIF 1 < 0 ，
过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面PEF， SKIPIF 1 < 0 平面PEF，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面PAB的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线DG与平面PAB所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，且最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
五、二面角的计算
14. （2024届新疆巴音郭楞蒙古自治州高三上学期开学考试）在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值.
【解析】（1）证明：在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
（2）以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
15．（2024届江西省吉安市第三中学高三上学期开学考试）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)证明: SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值是 SKIPIF 1 < 0 ?若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）
因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）
取棱 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，易证 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
故以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,设面 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 (舍去)．
故存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得面 SKIPIF 1 < 0 与面 SKIPIF 1 < 0 所成锐二面角的余弦值是 SKIPIF 1 < 0 ．
16．（2024届江苏省南京市第九中学2高三上学期学情检测）如图，在四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值.
【解析】（1）证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以以 SKIPIF 1 < 0 为正交基底，建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角.即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设二面角 SKIPIF 1 < 0 大小为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
17．（2024届湖北省宜荆荆恩高三9月起点联考）如图，在三棱台 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .设P，Q，R分别为棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点.
(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值.
【解析】（1）证明：连接DP，则四边形DPCF是矩形．
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为三角形 SKIPIF 1 < 0 的中位线，得 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，AC， SKIPIF 1 < 0 平面ADFC，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0
（2）解：以P为原点，PA、PR、PD为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，则 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，则 SKIPIF 1 < 0
取 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 相交所成角的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
故平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
六、距离问题
18. （2023届海南省高三全真模拟）如图，在平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 向上折起，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角的平面角最大．
(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点，证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】（1）如图，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴，平面 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 平面，
建立空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，显然，当 SKIPIF 1 < 0 时，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 共面，此时的锐二面角一定不是最大
的，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
又平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，由 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 面上．
所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该几何体中任意两点间的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
19.（2023届陕西省宝鸡市高三下学期模考）如图，在长方体中，，和交于点为AB的中点.
(1)求证：平面；
(2)已知与平面所成角为，求
（ⅰ）平面与平面的夹角的余弦值；
（ⅱ）点到平面的距离.
【解析】（1）连接，，.
因为长方体中，且，
所以四边形为平行四边形.
所以E为的中点，
在中，因为E，F分别为和AB的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）与平面所成角为.连接.
因为长方体中，平面，平面，
所以.所以为直线与平面所成角，即.
所以为等腰直角三角形.
因为长方体中，所以.所以.
如图建立空间直角坐标系，因为长方体中，，
则，，，，
，，.
所以，，.
设平面的法向量为，则，即.
令，则，，可得.
设平面BCE的法向量为，则，即.
令，则，，所以.
设平面与平面的夹角为，则.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
（ⅱ）因为，
所以点A到平面的距离为.
七、立体几何探索性问题与开放问题
20. （2024届北京市清华大学附属中学高三上学期开学考试）如图，在三棱柱中，平面，点，分别在梭和棱上，且为棱中点．
(1)求证：平面；
(2)从下面两个选项中选择一个作为条作，求二面角的余弦值．
①；②．
【解析】（1）取的中点，连接，
因为，，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为为棱中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面；
（2）选①，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
，
设平面为法向量为，
则有，令，则，
所以，
则，
由图可知，二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为．
选②，，
由题意，，
因为为棱中点，所以，
所以，
则，
所以，故，
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
以下步骤同选①.
21.（2023届福建省宁德第一中学高三一模）如图①在平行四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，得到图②所示几何体．
(1)若为的中点，求四棱锥的体积；
(2)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由．
【解析】（1）由图①知，，所以，在中，因为，，
可得，，所以．
由图②知，平面平面，平面，
平面平面，因为，所以平面，
因为为的中点，
所以．
（2）由（1）知，，三者两两垂直，以点为原点，
，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图）．
则，，，，，，，
设，，
，
即，
所以，
设平面的法向量为，
所以，则，
令，得，
设平面的法向量为，
所以， 解得或（舍去），
所以此时的值为.
22.（2024届北京市第一六六中学高三上学期阶段性诊断）如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判断直线与平面是否相交，并说明理由，若相交，求出点与交点之间的距离．
【解析】（1）因为，所以，
又平面⊥平面，平面平面，平面，
所以平面．
（2）又，所以、、两两互相垂直．
如图以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
由，，
可知，，，，，
则，，，
设为平面的一个法向量，
则，解得，
令，则，所以，
设为平面的一个法向量，
则，
令，则，，所以，
则，
由图形可知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
（3）由，得，
因为，
所以与平面不平行，所以直线与平面相交，
在四边形中延长交，延长线于点．
点就是直线与平面的交点，
因为为棱的中点，可知，则，
易知，所以．
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