新高考数学一轮复习高频考点精讲+分层练第54讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习高频考点精讲+分层练第54讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差（精讲）（2份，原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了知识点梳理，离散型随机变量的均值与方差，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、离散型随机变量的分布列
1.随机变量的定义
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母，，，，…表示．
注：①有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币，表示反面向上，表示正面向上．
②随机变量的线性关系：若是随机变量，，是常数，则也是随机变量．
2.离散型随机变量的定义
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注：离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
3.离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
4.离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1），；（2）．
注：①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
二、离散型随机变量的均值与方差
1.均值
若离散型随机变量的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2.均值的性质
（1）（为常数）．
（2）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（3）．
（4）如果相互独立，则．
3.方差
若离散型随机变量的分布列为
则称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差．
4.方差的性质
（1）若，其中为常数，则也是随机变量，且．
（2）方差公式的变形：．
二、题型分类精讲
题型一 离散型随机变量的概念
策略方法 离散型随机变量分布列的求解步骤
离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系
①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；
②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
【典例1】（单选题）下列叙述中，是离散型随机变量的为（ ）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误；
对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；
对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；
对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．在下列表述中不是离散型随机变量的是（ ）
①某机场候机室中一天的旅客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某篮球下降过程中离地面的距离；
④某立交桥一天经过的车辆数X．
A．①中的 B．②中的C．③中的 D．④中的
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量的概念即可一一判断，得出答案.
【详解】①②④中的随机变量可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量.
故选：C
2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】列举出的所有可能的情况，即得.
【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
3．①某座大桥一天经过的车辆数为X；
②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X；
③一天之内的温度为X；
④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分.
上述问题中的X是离散型随机变量的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的定义：可列举性判断各项描述是否为离散随机变量即可.
【详解】①大桥一天经过的车辆数是可一一列举，
②客服一天内接听电话的总次数是可一一列举，
③一天之内的温度是连续型变量，
④一次射击中的得分是可一一列举，
由离散随机变量的定义知：①②④.
故选：B
4．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】列举出ξ=3的所有可能的情况，由此可得出合适的选项.
【详解】解：甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
所以有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
5．下面是离散型随机变量的是（ ）
A．电灯泡的使用寿命
B．小明射击1次，击中目标的环数
C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值
D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置
【答案】B
【分析】变量的取值是随机出现且可一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量，据此逐项判断即可.
【详解】对于A，电灯泡的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意；
对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意；
对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意；
对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意.
故选：B.
题型二 离散型随机变量的分布列
策略方法 离散型随机变量分布列的求解步骤
【典例1】（单选题）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意，令表示前k个球为白球，第个球为红球，此时，再进行计算即可求解．
【详解】令表示前k个球为白球，第个球为红球，
此时，
则．
故选：A．
【题型训练】
一、单选题
1．投掷两枚质地均匀的骰子，记偶数点朝上的骰子的个数为，则的分布列为（ ）
A．

B．

C．

D．

【答案】C
【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可写出答案.
【详解】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为，且相互独立，的取值可能为0，1，2.
，，，
所以的分布列为：
故选：C.
2．一袋中装5个球，编号为1，2，3，4，5，从袋中同时取出3个，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别计算ξ为1，2，3时的概率即可得到答案.
【详解】随机变量ξ的可能值为1，2，3，
，，.
故选：C
3．甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】列出X的可能取值，求出每个X对应的概率，即可求出分布列.
【详解】易知X的可能取值为0，1，2，，，，
故X的分布列为
故选：D.
二、多选题
4．已知随机变量的分布列为：
若，则实数的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】求出的分布列，对各选项依次判断即可.
【详解】由随机变量的分布列可知，随机变量的可能取值为，，，，
的分布列为：
，
，
，
，
用表格表示为
∴对于A，时，，故选项A错误；
对于B，时，，故选项B正确；
对于C，时，，故选项C正确；
对于D，时，，故选项D正确.
故选：BCD.
5．已知随机变量ξ的分布列为：
若，则实数的值可以是（ ）
A．5B．7
C．9D．10
【答案】ABC
【分析】根据随机变量ξ的分布列，求出随机变量的分布列，再找出满足的即可.
【详解】由随机变量的分布列，知：
的可能取值为，
且，
，
，
，
则，.
若，则实数的取值范围是.
故选：ABC.
6．围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（ ）
A．乙连胜三场的概率是
B．
C．
D．的最大值是
【答案】BD
【分析】根据题意列出决赛中的比赛局数为X的概率分布列，然后对照选项逐项分析即可判断.
【详解】乙连胜三场时比赛局数可能是3,4,5，若比赛局数为3时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为4时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为5时，乙连胜三场的概率是；故选项A错误；
由题意可知，决赛中的比赛局数的可能取值为，
则； ；故选项B正确；
;故选项C错误；
令，则，
因为，所以当时，，当时，；
当函数在上单调递增，在上单调递减，
则当时，函数取最大值，所以的最大值是 ，故选项D正确；
故选：BD.
三、填空题
7．数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个“巧合”，求“巧合”个数的分布列 ．
【答案】
【分析】的可能取值是0、1、2、4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
【详解】的可能取值是0、1、2、4，
，，
，.
的分布列为：
故答案为：
8．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，随机变量的概率分布列如下:
则的值分别为 、 、 .
【答案】
【分析】利用古典概型的概率公式与组合的定义即可得解.
【详解】依题意，得
，，，
所以，，.
故答案为：；；.
9．设随机变量的分布为，则 ．
【答案】
【分析】利用题意得到的分布，然后利用概率之和为1得到，即可求出答案
【详解】解：由题意知，的分布为，
所以，解得，
所以，
故答案为：．
10．某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子、广场舞、投篮、射门等体育活动．在一次“定点投球”的游戏中，游戏共进行两轮，每小组两位选手，在每轮活动中，两人各投一次，如果两人都投中，则小组得3分；如果只有一个人投中，则小组得1分；如果两人都没投中，则小组得0分．甲、乙两人组成一组，甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且甲、乙两人每轮是否投中互不影响，各轮结果亦互不影响，则该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为 ．
【答案】
【分析】首先写出可能取值，再写出分布列，最后得到不低于3分的概率.
【详解】根据题意,设该小组在本次活动中得分之和为,则可取的值为0、1、2、3、4、6,
在一轮活动中,该小组得3分的概率
该小组得1分的概率，
该小组得0分的概率，
则有,
，
，
则，
即该小组在本次活动中得分之和不低于3分的概率为，
故答案为：.
四、解答题
11．将个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号.现从中任取个球，以表示取出球的最大号码.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【分析】（1）由已知判断随机变量的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列；
（2）由（1）的分布列可得概率.
【详解】（1）由已知可得随机变量的可能取值有：，，，，
所以，，，，
所以分布列为
（2）由（1）得.
12．2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFAWrldCupQatar2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的界杯足球赛，体育生更是热爱观看世界杯，某体育学院统计了该校足球系10个班级的学生喜欢观看世界杯的人数，统计人数如下表所示：
(1)该校计划从这10个班级中随机抽取3个班级的学生，就世界杯各国水平发挥进行交谈，求这3个班级喜欢观看世界杯的人数不全相同的概率；
(2)从10个班级中随机选取一个班级，记这个班级喜欢观看世界杯的人数为X，用上表中的频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】(1)“不全相同”是指可以部分相同，三个班完全相同只有一种情况，就是抽取的三个班恰好是3,4,10班；
(2)根据表格计算出人数为35,36,37,38,39,40人的频率，再按照数学期望计算公式计算.
【详解】（1）从10个班任取3个班有 种选法，人数完全相同只有1种选法，就是恰好抽取3,4,10班，
3个班级喜欢看世界杯的人数不全相同的概率 ；
（2）根据表格知：任取1个班人数为35,36,37,38,39,40的概率为0.1，0.1，0.1，0.3，0.2，0.2，
分布列如下表：
数学期望 (人)；
综上，（1）3个班级喜欢看世界杯的人数不全相同的概率；（2）数学期望为38.
13．作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目．2017年12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（2017）》显示：2016年通州区全区完成全社会固定资产投资939.9亿元，比上年增长，下面给出的是通州区2011~2016年全社会固定资产投资及增长率，如图一．又根据通州区统计局2018年1月25日发布：2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长．
(1)在图二中画出2017年通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；
(2)通过计算2011~2017这7年的平均增长率约为，现从2011~2017这7年中随机选取2个年份，记X为“选取的2个年份中，增长率高于的年份的个数”，求X的分布列及数学期望；
(3)设2011~2017这7年全社会固定资产投资总额的中位数为，平均数为，比较和与的大小（只需写出结论）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据“2017年通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长”补全折线图
（2）根据题意写出的取值并计算对应的概率，写出分布列即可
（3）根据题意分别计算，直接写出答案即可
【详解】（1）
（2）依题意，的可能取值为
； ；
的分布列为：
的数学期望
（3）
14．（1）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中随机的抽取出两个数字，记两个数字的和为X．
（i）求X的分布列；
（ii）求X的数学期望．
（2）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中随机的抽取出三个数字，记三个数字的和为Y．写出Y的数学期望（只需写出结果即可，不需写出推证过程）．
【答案】（1）（i）分布列见解析；（ii）；（2）
【分析】（1）（i）直接利用古典概型求概率，列出分布列即可.（ii）利用分布列直接求解期望即可.
（2）列出分布列，直接求解期望即可.
【详解】（1）（i）X是一个离散型随机变量，，
其可能的取值为1，2，3，4，5，…，13，14，15，16，17．
用表格表示X的分布列，如下图所示：
（ii）．
（2）的可能取值为，，
则，
，
，
，
，
，
，
，
.
．
题型三 离散型随机变量的分布列的性质
策略方法 分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
【典例1】（单选题）若随机变量的分布列为
且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由随机变量的分布列的性质和数学期望公式得出答案.
【详解】根据所给的分布列，可得，
由，可得，解得.
故选: A.
【题型训练】
一、单选题
1．下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分布列的性质运算求解.
【详解】由题意可得：，解得.
故选：C.
2．若随机变量的分布列为
则当时，实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】可由分布列的性质直接求解.
【详解】由随机变量的分布列知:
，
则当时，实数的取值范围是.
故选：C.
3．随机变量ξ的分布列如下：
其中，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为可求.
【详解】，且，
解得，
.
故选：D.
4．若随机变量的分布列为
且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由随机变量的分布列的性质和数学期望公式得出答案.
【详解】根据所给的分布列，可得，
由，可得，解得.
故选: A.
5．设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由分布列中所有概率和为1求解．
【详解】由题意，．
故选：A．
6．某银行有一自动取款机，在某时刻恰有个人正在使用或等待使用该取款机的概率为，根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由概率和为可求解，即为所求.
【详解】由题意知，，
则，解得，
即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为.
故选：B.
二、多选题
7．已知随机变量X的概率分布如下表（其中a为常数）：
则下列计算结果正确的是（ ）
A．a＝0.1B．P（X≤2）＝0.7
C．P（X≥3）＝0.4D．P（X≤1）＝0.3
【答案】ABD
【分析】由概率之和为1可判断A，根据分布列计算概率，可判断BCD.
【详解】因为，解得，故A正确；
由分布列知，故B正确
，C错误.
，故D正确，
故选：ABD
8．已知离散型随机变量的分布列为
则下列选项正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．
【答案】ABD
【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确；
对于B中，若，可得，则，故B正确；
对于C中，由概率的定义知，所以C不正确；
对于D中，由，，则，所以D正确．
故选：ABD.
9．一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】A选项，分析出所包含的情况，从而得到，BC选项，分析出所包含的情况，求出，D选项，利用的所有可能有，利用对立事件的概率公式求出.
【详解】A选项，，分为第一次即取到黑球，
或第一次摸到红球，第二次摸到黑球，
或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球，
故，A错误；
BC选项，，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球，
或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球，
或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球，
故，B错误，C正确；
D选项，的所有可能有，
故，D正确.
故选：CD
三、填空题
10．已知随机变量X的分布列为
且，则 ．
【答案】
【分析】先由条件分别计算出，从而可的结果．
【详解】由题可得 ，解得
所以.
故答案为：.
11．离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下：
则等于 .
【答案】
【分析】由随机变量的所有取值的概率和为1利用对立事件来求的概率.
【详解】由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1，
则.
故答案为: .
12．随机变量X的分布列如下，其中a，b，c成等差数列，则公差d的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据等差中项可得，可知，结合分布列的性质运算求解.
【详解】因为a，b，c成等差数列，则，
又因为，解得，则，
由题意可得，解得，
所以公差d的取值范围是.
故答案为：.
13．离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则 .
【答案】
【分析】利用概率和为可构造方程求得的值，由可求得结果.
【详解】，，解得：，
.
故答案为：.
题型四 离散型随机变量的分布列的均值
策略方法 求离散型随机变量X的均值的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．
(2)求X取每个值时的概率．
(3)写出X的分布列．
(4)由均值的定义求E(X)．
【典例1】（单选题）一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【分析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4，然后求出各自对应的概率，即可求出X的分布列，再计算期望即可.
【详解】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4.
且，，.
因此X的分布列为：
则，
故选：C.
【典例2】（单选题）已知随机变量X的分布列为
且，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合题意，先计算出，再表示，建立等式，解出即可.
【详解】结合题意：，
因为，所以，解得：，
故选：A.
【题型训练】
一、单选题
1．已知随机变量的分布列为：
则的均值是（ ）
A．2B．2.1
C．2.3D．随的变化而变化
【答案】B
【分析】先求得，然后根据均值的求法求得正确答案.
【详解】由得，
∴.
故选：B
2．随机变量的概率分布为
则等于（ ）
A．11B．15C．35D．39
【答案】B
【分析】先根据分布列求出，再根据期望的性质可求得答案
【详解】由题意得，
所以,
故选：B
3．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的均值是（ ）
A．6B．7.8
C．9D．12
【答案】B
【分析】按步骤求出分布列，再利用均值公式即可得到答案.
【详解】设此人的得奖金额为，则的所有可能取值为12，9，6．
，，.
故分布列为
故．
故选：B．
4．为了备战2023斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，热身进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意得到的可能取值，再求出对应的概率，从而求解期望即可.
【详解】由题意得，随机变量的可能取值是2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为，
若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响，
所以，，，
所以期望为．
故选：B．
5．某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出X的可能值及对应的概率，再利用期望的定义及性质计算作答.
【详解】依题意，X的可能值为，则，
因此，
所以.
故选：B
6．元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球．若摸出的红球个数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可知的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出，再利用期望的性质可求得结果.
【详解】的可能取值为0，1，2，则
，，，
所以，
故．
故选：A．
7．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（ ）
A．0.9B．0.8
C．1.2D．1.1
【答案】A
【分析】按步骤写出分布列，再利用均值公式即可.
【详解】依题意得，的可能取值为0，1，2，
，
，
．
可得X的分布列如表所示：
.
故选：A．
二、多选题
8．已知X的分布列为
则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由分布列的性质，可相应的概率和均值.
【详解】由随机变量分布列的性质可知，即，∴，故A正确；
，故B正确；
，故C不正确；
，故D正确.
故选：ABD
9．随机变量和，其中，且，若的分布列如表：
则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】先利用均值的性质根据求出，再根据分布列求出随机变量的均值和的值，联立即可求解.
【详解】根据分布列可知①，
因为，所以，解得，
又由分布列可得，整理得②，
①②联立解得，，
故选：BCD
10．一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，可判断B选项；的取值为，计算的概率和期望值，又，可计算，可判断AC选项；的取值为，且，计算可判断D选项.
【详解】由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，故B正确；
又的可能取值为，
所以，，
，，，可知A错；
的取值为，且，，
，，，
则，，
所以，故C错；
的取值为，且，，
，，，
所以，故D正确；
故选：AC.
三、填空题
11．已知离散型随机变量的概率分布如下表，则其数学期望 ；
【答案】
【分析】利用分布列的性质求出的值，再利用期望公式可求得的值.
【详解】由分布列的性质可得，解得，
因此，.
故答案为：.
12．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的概率分布为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元．若表示经销一件该商品的利润，则 元．
【答案】130
【分析】由题意可知可以取100,150,200，然后根据的概率分布列可列出的概率分布列，从而可求出
【详解】由题意可知可以取100,150,200，利润的概率分布为
所以（元），
故答案为：130
13．小青准备用万元投资A，B两种股票，已知两种股票收益相互独立，且这两种股票的买入都是每股1万元，每股收益的分布列如下表所示，若投资A种股票万元，则小青两种股票的收益期望和为 万元.
股票A的每股收益分布列
股票B的每股收益分布列
【答案】
【分析】先计算两种股票每股收益的期望，再计算投资后的两种股票收益期望综合即可.
【详解】由题中两种股票每股收益的分布列可知：
，
，
所以两种股票的收益期望和为
.
故答案为：10.8
四、解答题
14．某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设选手甲答对第1题的概率为，甲答对题序为的题目的概率，，各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率；
(2)求甲停止答题时答对题目数量的分布列与数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据题意，得到，进而求得甲答对第4题的概率；
（2）根据题意，得到可取，取得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为选手甲答对第1题的概率为，所以，即，
所以若甲已经答对了前3题，则甲答对第4题的概率为．
（2）解：由题意得，，，．
随机变量可取，
则，，，
，．
所以随机变量分布列如下：
所以．
15．2022年北京承办了第二十四届冬季奥运会，本届冬奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项），15个分项（高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项），共计109个小项．某校为了调查学生喜欢冰雪运动与性别的关系，在高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表（单位：人）．
已知从这200名学生中随机抽取1人，此人不喜欢冰雪运动的概率为0.2，表格中，．
(1)完成列联表，并判断是否有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关；
(2)从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8人，再从中抽取3人调查其喜欢的项目，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
【答案】(1)表格见解析，没有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）从这个人不喜欢冰雪运动的概率为0.2，求出200人中不喜欢冰雪运动的总人数，完善表格，再求出的观测值并作出判断.
（2）按照分层抽样的原理算出8人中男生和女生的人数，确定X的可能取值，计算概率得分布列，再计算期望即可.
【详解】（1）依题意，从200名学生中随机抽取1人，此人不喜欢冰雪运动的概率为0.2，
因此不喜欢冰雪运动的有人，喜欢冰雪运动的有人人，
即，，，．
补全列联表如下．
提出零假：是否喜欢冰雪运动与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以没有90%的把握认为是否喜欢冰雪运动与性别有关．
（2）按分层抽样，设抽取女生x名，男生y名，由，解得，，
即抽取的8人中女生有3人，男生有5人，
显然的可能值为0，1，2，3，
，，，
，
所以X的分布列如下：
．
16．某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为，上两级的概率为，设他上到第n级的概率为．
(1)求他上到第10级的概率（结果用指数形式表示）；
(2)若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）求出，且（），从而变形后得到通项公式，求出答案；
（2）先在（1）的基础上求出此人上到第5级的概率，再求出X的可能取值及相应的概率，得到分布列，求出数学期望.
【详解】（1）由条件知，，
且（）．
所以，
设，故，
令，解得，
所以，
又，
∴，
∴．
∴．
（2）由（1）知此人上到第5级的概率为，
X的可能取值为3，4，5，
其中时，此人1次选择跨一级，2次选择跨两级，由条件概率可得，
，
时，此人1次选择跨两级，3次选择跨一级，由条件概率可得，
，
时，此人5次选择跨一级，由条件概率可得，
，
所以X的分布列为
所以．
17．科普知识是一种用通俗易懂的语言，来解释种种科学现象和理论的知识文字，以普及科学知识为目的.科普知识涵盖了科学领域的各个方面，无论是物理､化学､生物各个学科，还是日常生活无不涉及到科普知识.由于其范围的广泛性，奠定了科普知识的重要意义和影响.某校为了普及科普知识，在全校组织了一次科普知识竞赛.经过初赛､复赛，甲､乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规则为每人回答一个问题，答对者为本队赢得5分，答错或不答者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响.
(1)设随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望；
(2)求甲､乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知描述的所有可能取值为，求出各情况概率，即可得到其分布列，再根据分布列计算得出其数学期望；
（2）甲､乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的情况为甲队得0分，乙队得15分或甲队得5分，乙队得10分，计算得出两种情况概率，由互斥事件概率的计算得出两概率之和即是答案.
【详解】（1）的所有可能取值为，
所以，
，
，
，
的分布列为：
所以.
（2）甲､乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的情况为甲队得0分，乙队得15分或甲队得5分，乙队得10分，
记“甲队得0分，乙队得15分”为事件，“甲队得5分，乙队得10分”为事件，
，
，
所以，
即甲､乙两队总得分之和等于15分且乙队得分高的概率为.
18．设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.
(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；
(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）求出甲箱中摸出2个球颜色相同的概率，继而求得最后摸出的2个球颜色不同的概率，再求出最后摸出的2个球是从丙箱中摸出的概率，根据条件概率的计算公式即可得答案.
（2）确定X的所有可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，根据期望公式即可求得数学期望.
【详解】（1）从甲箱中摸出2个球颜色相同的概率为，
记事件A为最后摸出的2个球颜色不同，事件B为这2个球是从丙箱中摸出的，
则，
，
，
所以；
（2）X的所有可能取值为2，3，4，
则，
，
，
故X的分布列如表：
故.
【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于求分布列时，计算每个值相应的概率，要弄清楚每个值对应的情况，分类求解，注意计算量较大，要十分细心.
题型五 离散型随机变量的分布列的方差
策略方法 求离散型随机变量X的方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．
(2)求X取每个值时的概率．
(3)写出X的分布列．
(4)由方差的定义求D(X)．
【典例1】（单选题）已知随机变量X的分布列如下表，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】由离散型随机变量取值的概率和为，解出值，再由方差公式可得.
【详解】由解得，
则，
.
故选：A.
【典例2】（单选题）已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算出的值，结合方差的性质可求得的值.
【详解】由分布列可得，
所以，，
又因为，则.
故选：A.
【题型训练】
一、单选题
1．已知离散型随机变量的分布列如下表所示.
则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据随机变量的方差公式可得.
【详解】由分布列可得
，
，
故选：D
2．已知随机变量X的分布列如下表所示，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用期望公式与分布列的性质得到的方程组，从而求得，再利用方差公式即可得解.
【详解】因为，且各概率之和为，
所以，解得，
所以.
故选：B.
3．随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据分布列的性质求得，利用公式求得，，结合期望和方差的性质，即可求解.
【详解】由随机变量服从两点分布，若，
根据分布列的性质，可得，所以A正确；
又由，，所以B错误；
由，所以C错误；
由，所以D错误.
故选：A.
4．已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】计算出的值，结合方差的性质可求得的值.
【详解】由分布列可得，
所以，，
又因为，则.
故选：A.
5．某离散型随机变量的分布列如下，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】可由斜率之和为1，，，构建的等式求出，再用方差公式求方差即可.
【详解】分布列的概率之和为1，
，即①．
，
②．
，
，
依次代入②､①，解得，
则．
故选：D．
6．已知样本数据，，，，，的平均数为16，方差为9，则另一组数据，，，，，，12的方差为（ ）．
A．B．C．D．7
【答案】C
【分析】由均值、方差性质求数据，，，，，的平均数、方差，应用平均数、方差公式求新数据方差.
【详解】设数据，，，，，的平均数为，方差为，
由，，得，，
则，，，，，，12的平均数为，
方差为
．
故选：C
7．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出随机变量的所有取值，求出对应概率，再根据期望与方差公式计算即可.
【详解】由题意，可取，
，
，
则，
.
故选：D.
8．设，随机变量的分布列为
则当在内增大时（ ）
A．增大
B．减小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
【答案】A
【分析】根据随机变量分布列的性质，结合方差的公式、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】根据随机变量分布列的性质可知，所以，
所以，
所以
，
因为，所以单调递增，
故选：A
二、多选题
9．若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据两点分布可得期望与方差，再结合期望、方差的性质运维求解.
【详解】由题意可知：，
随机变量X的分布列为
由两点分布可知：，故A正确，D错误；
所以，，故B正确，C错误；
故选：AB.
10．设离散型随机变量的分布列如下表：
若离散型随机变量，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】AB选，根据概率之和为1及求出；CD选项，根据，计算出，进而根据公式计算出，.
【详解】AB选项，有题意得，且，
解得，A错误，B正确；
C选项，因为，所以，C正确；
D选项，，
因为，所以，D错误.
故选：BC
11．设某项试验成功率是失败率的2倍，若用随变量描述一次试验的成功次数，，分别为随机变量的均值和方差，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】求出试验成功的概率，然后一次试验中成功的次数为X概率，最后求出随机变量X的数学期望、方差，逐个选项分析即可；
【详解】设试验成功的概率为，解得：；
记一次试验中成功的次数为X，则的取值有0,1，
,选项A正确；
则随机变量X的数学期望,
选项B正确；
选项C正确；
选项D错误；
故选：ABC.
12．已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】依题意根据分布列的性质及期望公式求出，即可求出，再根据方差的性质得到，再求出分布列，即可求出与.
【详解】依题意，解得，
所以的分布列为：
则，故A正确；
则，故C正确；
所以的分布列为：
则，
，故B错误；
所以，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．设离散型随机变量X的分布列为：
则离散型随机变量X的方差 .
【答案】
【分析】先求期望，再利用方差公式求解方差.
【详解】由分布列可得，
所以.
故答案为：.
14．随机变量的分布列如下，则 ．
【答案】2.4
【分析】利用分布列的性质，求出p值，再利用期望、方差的定义计算作答.
【详解】依题意，，于是，
，
所以.
故答案为：2.4
15．已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：
则随机变量Y的方差等于 ；
【答案】
【分析】根据分布列中概率和为1可得，再由期望、方差公式计算出,最后利用计算可得答案.
【详解】因为，所以，
，，
所以.
故答案为：.
16．随机变量的取值为，若，，则 ．
【答案】10
【分析】设，然后根据已知条件列方程组求出，从而可求出，进而可求出
【详解】设，
因为随机变量的取值为， ，，
所以，解得，
所以，
所以，
故答案为：10
四、解答题
17．袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球
(1)写出的分布列；
(2)求的均值与方差.
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）由题意得出的可能取值，再由概率公式计算得到相应的概率值，写出分布列即可；
（2）结合（1）由期望与方差公式求解即可.
【详解】（1）题意知的可能取值为1，2，3，
当时，有一种情况；
当时，有，，三种情况；
当时，有，，，，五种情况；
则，，，
所以的分布列：
（2）的均值为：，
方差为.
18．每年月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接年全国科普日,组织了科普知识竞答活动,要求每位参赛选手从道“生态环保题”和道“智慧生活题”中任选道作答每道题被选中的概率相等,设随机变量表示某选手所选道题中“智慧生活题”的个数．
(1)求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率；
(2)求随机变量的分布列及方差．
【答案】(1)；
(2)随机变量的分布列见解析，.
【分析】（1）设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件，利用古典概型求解即可．
（2）由题意可知；求出概率可得到的分布列，再由方差公式即可求得方差．
【详解】（1）设该选手恰好选中一道“智慧生活题”为事件，则选中2道“生态环保题”，
则；
（2）由题意可知；
则，
，
，
所以的分布列为：
的期望，
.
19．杂交水稻的育种理论由袁隆平院士在1966年率先提出，1972年全国各地农业专家齐聚海南攻关杂交水稻育种，从此杂交水稻育种在袁隆平院士的理论基础上快速发展.截至2021年5月22日，中国国家水稻数据中心收录杂交水稻品种超1000种.如图为部分水稻稻种的生育期天数的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估算水稻稻种生育期天数的平均值和第80百分位数；
(2)以频率视作概率，对中国国家水稻中心收录的所有稻种进行检验，
检验规定如下：①检验次数不超过5次；
②若检验出3个生育期超过中位数的稻种则检验结束.
设检验结束时，检验的次数为X，求随机变量X的分布列、期望和方差.
【答案】(1)145，150
(2)分布列见解析，，
【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据计算即可；
（2）的可能取值为3，4，5，然后依次求出对应的概率，进而得分布列，期望，方差即可.
【详解】（1）平均值为，
∵，∴第80百分位数为150.
（2）设从国家水稻中心收录的所有稻种中抽取1个品种，该品种生育期超过中位数为事件，
则，
依据题意得，的可能取值为3，4，5，
，
，
.
随机变量的分布列为：
.
.
20．甲乙两人进行一场乒乓球比赛.已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，甲乙约定比赛采取“3局2胜制”.
(1)求这场比赛甲获胜的概率；
(2)这场比赛甲所胜局数的数学期望（保留两位有效数字）；
(3)根据（2）的结论，计算这场比赛甲所胜局数的方差.
【答案】(1)0.648
(2)1.5
(3)0.57
【分析】（1）写出甲胜利的情况，结合组合公式和独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）设甲所胜的局数为，计算分布列，再利用期望公式即可得到答案；
（3）利用方差公式即可得到答案.
【详解】（1）甲胜利的情况有：胜胜；败胜胜；胜败胜.
甲胜概率为：.
则甲胜利的概率为.
（2）设甲所胜的局数为，.
，，
，
则分布列为：
所以.
（3）.
21．为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师､化学老师､数学老师各2名．
(1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率；
(2)设表示选出的3人中数学老师的人数，求的均值与方差．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根据组合数的计算，结合古典概型和互斥事件的概率计算公式，可得答案；
（2）根据超几何分布的概率计算公式，以及均值和方差的计算公式，可得答案.
【详解】（1）推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本事件总数，
这6名老师中，数学老师2名，英语老师2名，化学老师2名，
设事件表示“选出的数学老师人数多于英语老师人数”，
表示“恰好选出1名数学老师和2名化学老师”，表示“恰好选出2名数学老师”，
互斥，且，，，
选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为；
（2）由于从6名老师中任选3名的结果为
从6名老师中任选3名，其中恰有名数学老师的结果为，那么6名中任选3人，
恰有名数学老师的概率为，
所以，
，
．
①离散型随机变量
②离散型随机变量的分布列
③离散型随机变量的分布列的性质
④离散型随机变量的分布列的均值
⑤离散型随机变量的分布列的方差
X
1
2
P
X
0
1
P
X
0
1
2
P
X
0
1
2
P
X
P
X
0
1
2
P
0.08
0.14
0.78
X
0
1
2
P
0.06
0.24
0.70
X
0
1
2
P
0.06
0.56
0.38
X
0
1
2
P
0.06
0.38
0.56
X
0
1
2
P
0.06
0.38
0.56
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
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