2025~2026学年广西南宁市第三十三中学高二下册6月月考数学试题 [含答案]

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1．答卷前，考生务必将自己的班别、姓名填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，在对于的答案区域内用2B铅笔进行填涂．如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据交集的定义求解.
【详解】根据交集的定义可知，.
2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【正确答案】A
【分析】由复数的运算可得，即可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以在复平面内对应的点位于第一象限.
3. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】使用余弦定理结合条件与三角函数值即可求解.
【详解】由余弦定理得.
因为，所以.
4. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）
A. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
C. 先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D. 先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
【正确答案】A
【详解】A选项，先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，
再向右平移个单位长度，得到，A正确；
B选项，先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到，
再向左平移个单位长度，得到，B错误；
C选项，先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，
再向左平移个单位长度，得到，C错误；
D选项，先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，
再向右平移个单位长度，得到，D错误；
5. 若的展开式中各项的二项式系数和为64，则展开式中含项的系数为（ ）
A. 1B. 6C. 15D. 20
【正确答案】B
【分析】根据求出值，再利用二项式展开式的通项公式即可得到答案.
【详解】因为二项式系数之和为64，则，则.
则二项展开式通项为，
令，解得，则含的项的系数为.
6. 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列中，，公和为5，则（ ）
A. 0B. C. D. 4
【正确答案】C
【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解.
【详解】因为（公和），
所以，
两式相减可得，，
可知数列是以为周期的周期数列，
因为，所以，
又公和为5，所以，
所以，.
7. 在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（ ）
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【正确答案】C
【分析】应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理分别得出面面垂直即可求解.
【详解】因为平面，平面，平面平面；
因为平面，平面，平面平面；
因为平面，平面，所以，又，平面，
所以平面， 平面，平面平面；
所以平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有3对.
8. 已知过点的直线与抛物线交于，两点．若为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 4
【正确答案】B
【分析】设直线 联立抛物线,由韦达定理得坐标关系,表示向量并展开数量积,整理为关于 的二次函数,求其最小值再对 取最小,最终得结果.
【详解】由题可知直线的斜率不为.
设直线的方程为,设,,，.
联立,消去得.
由韦达定理得,.
,
.
,.
.
所以.
因平方项 ,当且仅当时，取最小值.
综上,的最小值为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在下列四个命题中，正确的是（ ）
A. 命题“，使得”的否定是“，都有”
B. 当时，的最小值是5
C. 已知集合，若，则m的值为
D. “”是“”的必要不充分条件
【正确答案】ABC
【分析】根据命题的否定即可求解A，根据基本不等式即可求解B，根据元素与集合的关系即可求解C，根据充分必要条件的定义即可求解D.
【详解】对于A, “，使得”的否定是“，都有”,A正确，
对于B,当时，，则，当且仅当，即时取到等号，故B正确，
对于C,若，解得，则集合，符合题意，若，此时无解，因此若，则m的值为，故C正确，
对于D, 由可得到，当时，或，故“”是“”的充分不必要条件，D错误，
故选：ABC
10. 已知圆的方程为，点是圆上任意一点，为坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 圆的半径为4
B. 满足的点有两个
C. 的最大值为
D. 若点在轴上，则满足的点有两个
【正确答案】BC
【分析】将圆的方程化为标准方程确定圆心坐标与半径，可判断选项A；由圆上任意点到原点距离的最值可判断选项B；令，然后根据点在圆上，借助一元二次方程有解求解的最值，即可判断选项C；设出点的坐标，利用待定系数法可判断选项D．
【详解】选项A：圆的方程可化为，所以圆心，半径等于2，故A错误；
选项B：由于，所以圆上任意一点到原点的最大距离是，
最小距离是，因此满足的点有两个，故B正确；
选项C：令，则，所以，
将点的坐标代入圆的方程并整理，得，
依题意有，即，
解得，因此的最大值为，故C正确．
选项D：不妨设，由于，所以，
整理得．因为点在圆上，
所以，则，
因此，得，
所以符合要求的点是唯一的，故D错误．
故选：BC
11. 设函数的定义域为，且满足是偶函数，，当时，，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. 当时，的取值范围为
C. 为奇函数D. 方程有6个不同的实数解
【正确答案】BCD
【分析】根据题意，由函数的周期性，奇偶性公式，可得函数的周期，结合时，，可求，故A错误，进而可作出的大致图象，以此判断BD选项，对于C，由题意可得，所以是奇函数，故C正确.
【详解】依题意，是偶函数，则有，
则的图象关于直线对称，故，
又，即，因此有，
即，于是有，
所以函数的周期，
对于A，，故A错误；
对于B，由的图象关于直线对称，且当时，，
作图如下，故B正确；
对于C，，
所以为奇函数，故C正确；
对于D，在同一平面作出函数的图象与的图象，如图，
可得方程有6个不同的实数解，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元) 服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人．
【正确答案】8
【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，进而求出目标人数.
【详解】由，，
得，
所以这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有.
故8
13. 北京时间3月1日，2026年女足亚洲杯在澳大利亚正式拉开战幕.本届赛事持续至3月21日，共有12支球队分成、、三组比赛.现有甲、乙、丙、丁4名志愿者到、、三组进行服务活动，要求每名志愿者只能去一个组，每组都要有志愿者，其中甲志愿者不去组，则组委会一共有______种安排方法.
【正确答案】24
【分析】根据分类加法计数原理，分类计算求解.
【详解】因为4名志愿者去三个组，每名志愿者只能去一个组，每组都要有志愿者，
则出现1、1、2分组情形，因为甲不去组，则有两种情形，
情形1：甲单独一组，则有种安排方法，
情形2：甲与乙、丙、丁中的一人组成一组，则有种安排方法，
所以组委会一共有24种安排方法.
14. 已知双曲线，离心率为2，左、右焦点分别为，，若点为双曲线上一点，满足，过点作的垂线，垂足为，则________________.
【正确答案】
【详解】如图：
由，所以.
因为点为双曲线上一点，满足，所以.
所以.
由.
所以，
.
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，，求的通项公式．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，列出关于和的方程组，解方程组得到和，再代入等差数列通项公式得到的通项；
（2）由，利用累加法，将时的，代入得，再验证时是否满足所得表达式，最终得到的通项.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，
由题意可得：
解得，，
所以数列的通项公式．
【小问2详解】
由可得：
，
，
…
，
通过累加可得，
又，所以，
当时，符合，故．
16. 某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表：
同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表：
（1）根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关；
（2）从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望．
附：．
【正确答案】（1）
学生的写作水平与每周课外阅读时长有关
（2）
【小问1详解】
每周课外阅读时长不低于6小时的学生人数为（人），
每周课外阅读时长低于6小时的学生人数为（人），所以列联表
为：
所以，
依据小概率值的独立性检验，我们推断学生的写作水平与每周课外阅读时长有关．
【小问2详解】
根据分层抽样原理， 组抽取人数为（人），
组人数为（人），则X的取值可能为，
所以，
则分布列如下所示：
所以．
17. 如图1，在边长为的正方形中，、分别为线段、的中点，现将四边形折起至，得到三棱柱，如图2所示，记二面角的平面角为．
（1）若时，求三棱柱的体积；
（2）若为线段上一点，满足，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）证明出，，可知，证明出平面，当时，求出的面积，结合柱体的体积可求出三棱柱的体积；
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，分析可知，根据可求出点的坐标，再利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
【小问1详解】
翻折前，在图1中，因为四边形为正方形，所以，，，
因为、分别为、的中点，所以，，
所以四边形为平行四边形，且，
因为，所以，
翻折后，在图2中，，，
所以二面角的平面角为，
因为，、平面，所以平面，
当时，即，且，则，
所以三棱柱的体积为.
【小问2详解】
因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设点，其中，由题意可知，则，故，
，，
因为，则，解得，
则点，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
设直线与平面所成角为，
则，
因此直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
18. “猜灯谜”是我国独有的民间文娱活动，某地在元宵节举办形式多样的猜灯谜比赛活动，比赛按照双人挑战赛和单人挑战赛两种模式进行．
（1）双人挑战赛规则如下：两位选手为一组，每次一位选手答题，若答对，则获得奖品并继续答题，若答错，则换另一位选手答题．甲、乙一组，甲、乙两人第1次答题的概率均为，已知甲每题答对的概率为，乙每题答对的概率为．
（i）已知第2次答题的是选手乙，求第1次答题的是选手甲的概率；
（ii）求第次答题的是选手甲的概率．
（2）单人挑战赛的规则为：选手每次答题，若答对，则答题立即结束并获得奖品，若答错，则可继续答题；每位选手最多有次答题机会，第次无论对错都要结束答题．丙选手每题答对的概率均为，设为丙选手答题结束时进行答题的次数，的数学期望为，证明：．
【正确答案】（1）（i）；（ii）
（2）证明见解析
【分析】（1）（i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件，根据全概率公式求出，再根据条件概率公式求；（ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件，记，由全概率公式求出与的递推关系，构造数列求其通项公式可得.
（2）首先求出的分布列，得出的表达式，错位相减法求出.
【小问1详解】
（i）设“第1次答题的是选手甲”为事件，“第2次答题的是选手乙”为事件，则“第1次答题的是选手乙”为事件，
由题知，，
由全概率公式知，，
，
已知第2次答题的是选手乙，则第1次答题的是选手甲的概率为．
（ii）设“第次答题的是选手甲”为事件，“第次答题的是选手乙”为事件，
记，
由题知，当时，
，
由全概率公式知，
，
，
，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
，
则，即第次答题是选手甲的概率为．
【小问2详解】
的所有可能取值为，
所以的分布列为
故①，
②，
①-②，得
所以．
19. 已知函数（），．
（1）若，求的单调区间；
（2）若恒成立，求的值；
（3）已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值．
【正确答案】（1）在上单调递增，上单调递减
（2）
（3）3
【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负求得函数的单调区间.
（2）构造新函数，对分类讨论，结合即可得解
（3）利用（2）的结论，通过放缩法得到的上界，再结合时的值，确定的最小值.
【小问1详解】
由题意函数，，求导可得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，上单调递减，
【小问2详解】
因为，所以，其中，
令 ，则恒成立，，且，
当时，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
若，则在上单调递增，所以时，，与题设矛盾；
若，则在上单调递减，所以时，，与题设矛盾；
若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意；
综上所述．
【小问3详解】
因为，所以，
由（2）可知当时 ，即，
所以当且仅当时取等号，所以，．
，
所以 ，即：对于任意正整数，恒成立，
且因为为整数，且对于任意正整数， 成立，
当时， ，所以不能恒成立，
所以m的最小值为3．每周课外阅读时长
频率
0.1
0.2
0.3
0.25
0.15
写作水平良好
写作水平一般
合计
每周课外阅读时长不低于6小时
50
每周课外阅读时长低于6小时
80
合计
200
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
写作水平良好
写作水平一般
合计
每周课外阅读时长不低于6小时
50
30
80
每周课外阅读时长低于6小时
40
80
120
合计
90
110
200
X
0
1
2
P
写作水平良好
写作水平一般
合计
每周课外阅读时长不低于6小时
50
30
80
每周课外阅读时长低于6小时
40
80
120
合计
90
110
200
X
0
1
2
P
1
2
3
．．．
．．．