广西壮族自治区南宁市南宁三中2025-2026学年度下学期高二年级月考(一)数学试题（含答案）

这是一份广西壮族自治区南宁市南宁三中2025-2026学年度下学期高二年级月考(一)数学试题（含答案），文件包含2026届高二年级第五次月考化学试卷pdf、2026届高二年级第五次月考化学试卷答题卡pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共5页， 欢迎下载使用。

1 ．D【详解】 由题意可知：每位同学均有 3 个运动队选择，所以不同的报名方法种数是3 x 3 x 3 x 3 = 81 .
2 ．D【详解】共有6 个因式，从2 个因式中选择 ，在剩下的4 个因式中选择2x ，则 的展开式中的常数项为C4 = 240 .
3 ．C【详解】从 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 这六个数字中任选 3 个数字，共有AEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 5(3),6)种选法，若首位为0 ，从剩下
的五个数字中任选2 个数字，共有AEQ \* jc3 \* hps10 \\al(\s\up 4(2),5)种选法，所以组成无重复数字的三位数的个数为AEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(3),6) _ AEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),5) = 100 .
4．B【详解】由条件概率公式得P ，因此P = P 将P(AB)
代入P(A + B) = P(A) + P(AB) 得 解得P 5 ．A【详解】 由(1+ ax)(x _ 2)5 = ( x _ 2)5 + ax .( x _ 2) 5 ，而(x _ 2)5 展开式中的通项为
Tk+1 = CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(k),5) . x5_k .( _2)k = CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(k),5) .(_ 2)k . x5_k，k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ，令5 _k = 3 ，得k = 2 ；令5 _ k = 2 ，得k = 3 ，
则(1+ ax )(x _ 2 )5 的展开式中x3 项的系数为CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),5) . (_2)2 + a .CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(3),5) . (_2 )3 = _80 ，解得a .
6 ．C【详解】 A, B 站在一起有AEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),2)种，将A, B 看成一个整体与C, D, E, F 进行全排列，共有AEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 5(2),2)A EQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 5(5),5)种，同
时要求C 在D 的左边，共有种．故选： C .
7 ．B【详解】若丙校派遣 1 人，则甲校可以派遣 1 或 2 或 3 人，派遣方案有CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(1),5)(CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(1),4) + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),4) + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(3),4)) = 70 种；
若丙校派遣 2 人，则甲校必须派遣 2 人，派遣方案有CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),5)CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),3) = 30 种；所以满足条件的不同的派遣方案
有70 + 30 = 100 种
8 ．C【详解】因为2 + 4 + 5 = 11 或1+ 2 + 3 + 5 = 11 ，所以 5 个球放到编号 2 、4 、5 的三个盒子中或者放到编号 1 、2 、3 、5 的四个盒子中，（1）5 个球放到编号 2 、4 、5 的三个盒子中，因为每个盒子中至
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
D
C
B
A
C
B
C
BD
ABC
BCD
少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法：各放 1 个，2 个，2 个的方法有 x 3x 2x 1= 90 种.各放 3 个，1 个，1 个的方法有
x 3x 2x 1= 60 种.（2）5 个球放到编号 1、2 、3 、5 的四个盒子中，则各放 2 个，
1 个，1 个，1 个的方法有x 4x 3x 2x 1= 240 种.综上，总的放球方法数为
90 + 60 + 240 = 390 种.故选：C
9．BD【详解】事件“ ξ = 3 ”表示x - y = 3 ，有“ x = 4 且y = 1 ”或“ x = 1 且y = 4 ”两种情况，故 A 错误；当
ξ = 2 时，〈 四种情况，故 B 正确；从这个盒子中有放回地先后取两
个小球，共4x 4 = 16 种情况，其中ξ = 1 的有〈 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 9(1),2) 或〈 EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 9(2),3)或〈EQ \* jc3 \* hps18 \\al(\s\up 8(3),4)或〈EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 9(2),1)或〈EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 9(3),2)或〈EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 9(4),3)共 6
种情况， : P 故 C 错误； x ≥ y 的情况有 共 10 种，其中ξ < 2 且x ≥ y 的有 共 7 种， : P 故 D 正确．
10 ．ABC.【详解】令x = 1 得a0 + a1 + a2 + +a100 = 1 ，令x = 0 得a0 = 1 ，故a1 + a2 + +a100 = 1 ，A 正确；
所有含x 的偶数次项的二项式系数和与所有含x 的偶数次项的二项式系数和相等，都为299 ，故 B 正确；f (-1) = 3100 = 950 = (7 + 2)50 ，故只需考虑250 被 7 整除得余数，因250 = 4 x 248 = 4 x 816 = 4 x (7 +1)16 ，被 7 整除的余数为 4 ，故 C 正确. 对(2x -1)100 = a0 + a1 x + a2 x2 + + a100 x100两边求导得
100x (2x -1)99 x 2 = a1 + 2a2 x1 + 3a3 x2 + + 100a100 x99 ，再令x = 1 得a1 + 2a2 + 3a3 + +100a100 = 100，故 D 错误.
11．BCD.【详解】对于 A ，P 所以 A 错误；对于 B ，P 所
以P 所以 B 正确；对于 C ，因为P ， P
所以P = P _ P 所以 C 正确，对于 D ，由题意可得P (A1) = ， P (A1 ) = ， P 所以
P 所以数列是以 为公比， P 为首项的等比
则P(An) < P(An) ，所以 D 正确.故选：BCD.
数列，所以P n_1 ，所以P 所以P
12 ． 0.047 【详解】设抽到的产品来自甲生产线为事件 A ，来自乙生产线为事件B ，来自丙生产线为事件C ，抽到的产品为次品时事件D ，则P(A) = 0.5 ， P (B) = 0.3 ， P (C ) = 0.2 ， P (D | A) = 0.04 ， P (D | B ) = 0.05 ， P (D | C ) = 0.06 .所以
P (D) = P (A) . P(D | A)+ P(B) . P(D | B)+ P(C) . P(D | C) = 0.5 x 0.04 + 0.3 x 0.05 + 0.2 x 0.06 = 0.047 .
13．141【详解】解： 的展开式的通项为Tr+1 = Cr = Cr ，其中r = 0, 1, 2, , 6又 r 的通项为C xr _k k = C xr _2k ，其中k = 0, 1, , r ，则取常数项时r = 2k ，则r 的可能取值为0, 2, 4, 6 ，对应的k 的取值为0, 1, 2, 3 ，则 的展开式的常数项为：
CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(0),6) . CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(0),0) + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),6) . CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(1),2) + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(4),6) . CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(2),4) + CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(6),6) . CEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 4(3),6) = 1+ 30 + 90 + 20 = 141 .
7
14 ． 【详解】分两种情况讨论：（1）第一步，从1号或3 号卡片抽取一张，有2 种情况，比如先抽1号30
卡片，第二步，从3 号或5 号卡片抽取一张，有2 种情况，比如先抽3 号卡片，第三步，从2 号或5号卡片抽取一张，有2 种情况，比如先抽2 号卡片，第四步，从4 号或5 号卡片抽取一张，有2 种情况，第五步，抽最后一张卡片，此时，不同的抽法种数为24 = 16 种；（2）第一步，抽5 号卡片，第二步，从1 、3 、 4 号卡片抽取一张，有3 种情况，比如先抽1号卡片，第三步，从3 、 4 号卡片抽取一张，有2 种情况，比如先抽3 号卡片，第四步，从2 、 4 号卡片抽取一张，有2 种情况，第五步，抽最后一张卡片，此时，不同的抽法种数为3x 2 x 2 = 12 种.而从5 张卡片随意抽取，不同的
抽法种数为AEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 5(5),5) = 120 ，因此，取卡顺序是“和谐序” 的概率为
15 ．【详解】（1）设等比数列{an } 的公比为 q（q ≠ 0 ) ，
因为2a2 是a1 与a3 - 2 的等差中项，所以4a2 = a1 + (a3 - 2) ， (2 分)
所以8q = 2q2 ，因为q ≠ 0 ，所以q = 4 ， (4 分)
所以{an } 的通项公式为an = 22n-1 ． (6 分)
（2） 由（1）可得bn = 3n lg2 an = 3n lg2 22n-1 = (2n -1)3n ， (7 分)
则Sn = 1x 31 + 3x 32 + 5 x 33 ++ (2n -1) .3n ，① (8 分)
3Sn = 1x 32 + 3x 33 + 5 x 34 ++ (2n -1) .3n+1 ，② (9 分)
①- ②得-2Sn = 3 + 2x (32 + 33 + + 3n)- (2n -1) . 3n+1
= 3 + 2 x n+1 ．(12 分)
则Sn = (n -1) .3n+1 + 3 (13 分)
16 ．【详解】（1）M 的取值为 3,2,0,对应的概率分别为P (1 分)
N 的取值为 2,0 ，对应的概率分别为P
(2 分)
当M = 3 时，N 取 2 或 0 都满足M ≥ N ，此时概率为P (3 分)
当M = 2 时， N 取 2 或 0 都满足M ≥ N ，
此时概率为P
(4 分)
当M = 0 时，只有N = 0 满足M ≥ N ，
此时概率为P xP (5 分)
1 1 1 5
根据互斥事件概率的加法公式，可得P(M ≥ N) = + + = (7 分)
4 2 12 6
（2） X 的可能取值为 0,2 ，3 ，4 ，5 · (8 分)
P = P × P (9 分)
P = P × P + P × P (10 分)
P = P × P (11 分)
P = P × P (12 分)
P = P × P (13 分)
X 的分布列如下表所示：
(14 分)
可得E (15 分)
17 ．【详解】（1）证明 因为œABC 内接于圆 O ， AB 为圆 O 的直径，所以AC 丄 BC ．
(2 分)
因为CD 丄 平面ABC ， BC C 平面ABC ，所以CD 丄 BC ． (4 分)又 AC ， CD C 平面 ACD ， AC CD = C ，
所以BC 丄 平面 ACD ． (5 分)
因为BC C 平面BCE ，所以平面BCE 丄 平面 ACD ． (6 分)
（2）因为CD 丄 平面 ABC ， AC ， BC C平面ABC ，
所以CD 丄 AC ， CD 丄 BC ．
以C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， (7 分)
因为 AB = ·5 ， BC = 1 ，所以AC = 2 ，
则 A(2, 0, 0) ，B (0, 1, 0) ， D (0, 0, 2 ·、3 ) ， E (1, 0, V3 ) ，(8 分)所以 = (1, 0, 、3 ) ， = (0, 1, 0 )．
共 9页
数学答案
第 5页
高二月考（一）
X
0
2
3
4
5
P
1
12
1
3
1
12
1
3
1
6
设平面BCE 的法向量 = (x1 , y1 , z1) ，由 z1 = 0,
不妨设z1 = 1 ，则x ，所以平面BCE 的一个法向量 = (_ 3, 0, 1) ．(11 分)
又 = (0, _1, 2 ·、3 ) ， 设平面BDE 的法向量 = (x2 , y2 , z2)，
由 不妨设z2 = 1 ，则x ，
所以平面BDE 的一个法向量 = ( ·3, 2 ·3 , 1) ．(14 分)所以cs
1
即平面BCE 与平面BDE 所成角的余弦值为 4 ．(15 分)
(注意：法向量求对一个给 3 分)
18 ．【详解】（1）抛物线C : y2 = 2px(p > 0) 的准线为l : x
由点M(2, _1) 到l 的距离为 3 ，得 (2 分)
解得p = 2 ，所以抛物线C 的方程y2 = 4x (4 分)
（2）依题意，令 t ，由 ，得 t ，设 A(x1 ,y1),B (x2 ,y2)，直线 AB 的方程为x = t (y +1)+ 2 ，直线EF 的方程为x = _t(y +1)+ 2 ，
由 消去x 得y2 _ 4ty _ 4t _8 = 0 ，则y1 + y2 = 4t, y1y2 = _4t _8 ， (6 分)
= (1+ t2) | _4t _8 + 4t +1|= 7t2 + 7 ， (8 分)
同理得|EM ||FM |= 7t2 + 7 ，
所以| AM || BM |=| EM || FM | (9 分)
（3）直线 AB 的斜率kAB (11 分)
方程为y _ y 整理得(y1 + y2)y = 4x + y1y2 ，(12 分)
而直线 AB 过点M(2, _1) ，则__(y1 + y2) = 8 + y1y2 ， (13 分)设F(x3 , y3) ，同理得直线BF 的方程(y2 + y3)y = 4x + y2 y3 ，而直线BF 过点D(_2, 0) ，
因此y2y3 = 8 ， (14 分)
由__(y1 + y2) = 8 + y1y2 ，得__(y1y3 + y2y3) = 8y3 + y1y2y3 ， (15 分)
则y1y3 = _8(y1 + y3)__ 8 ，直线AF 的方程(y1 + y3)y = 4x + y1y3 ，
即(y1 + y3)y = 4x _ 8(y1 + y3)__ 8 ，整理得(y1 + y3)(y + 8) = 4(x _ 2) ，所以直线 AF 经过定点(2, _8) (17 分)
19 ．【详解】（1）当a = 1 时， f = x f, (1 分)
当x ∈ [1, e] 时， f,(x) ≥ 0 ，所以f (x) 在[1, e] 上单调递增， (2 分)
所以f (x)min = f (1) = 1 ， (3 分)
f max = f = e (4 分)
（2）令f(x) = 0 ，得ax 即a 令h 则f(x) 的零点个数等价于直线y = a与函数h (x) 的图象的交点个数， (5 分)
h, 令h,(x) = 0 ，得x = e、 ，
当x ∈(0, 、e ) 时， 1_ 2 ln x > 0 ，则h,(x) > 0 ，所以h(x) 在(0, ·e )上单调递增；
当x ∈( ·e , +∞ ) 时， 1_ 2 ln x < 0 ，则h,(x) < 0 ，所以h(x) 在(se , +∞ ) 上单调递减，所以hmax = h
又当x → 0+ 时， h (x) → _∞ , 当x → +∞ 时， h (x) → 0+ ；
所以h(x)的大致图象如图所示
(7 分)
数形结合得，当a > 时，直线y = a 与h(x) 的图象无交点，故f(x)无零点；
(8 分)
当a 或a ≤ 0 时，直线y = a 与h(x) 的图象有 1 个公共点，故f(x)有 1 个零点；
(9 分)
2e
当0 < a < 1 时，直线y = a 与h(x) 的图象有 2 个交点，故f(x)有 2 个零点.
(10 分)
（3） 由题知g ax2 - x x +ln
则g , x ∈ (0, +∞ )，
当a ≤ 0 时， aex - x < 0 ，方程g, (x) = 0 只有唯一解 1 ，显然不合题意；
(11 分)当a > 0 时， 由g,(x) = 0 ，可得x = 1 ，或a ，
令m x ∈ (0, +∞ ) ，则m,
当x ∈(0, 1)时， m,(x) > 0 ， m (x)在(0, 1) 上单调递增；
当x ∈(1, +∞ ) 时， m,(x) < 0 ， m (x)在(1, +∞ )上单调递减；所以m (x)在x = 1 处取得最大值，此时m
又当x → 0+ 时， m (x) → 0+ ，当x → +∞ 时， m (x) → 0+ ，要使g(x)在定义域内有三个不同的极值点x1 , x2 , x3 ，
需使m (x)的图象与直线y = a 有两个不同的交点，即得0 < a < 1 ， e
(12 分)
不妨设x1 < x2 < x3 ，则0 < x1 < 1 = x2 < x3 ，所以a 即aex1 = x1, ae x3 = x3 ，所以ln x1 = x1 + ln a, ln x3 = x3 + ln a ，
所以g . g . g (xae
= (ae -1)(1- x1 + ln x1)(1- x3 + ln x3) = (ae -1)(1+ ln a )2 ， (14 分)
令 2 , 0 < a = (1+ ln a
易知y = 3e + eln a 在a 上单调递增，
所以3e + eln a e + elne = 0 ，又1+ ln a 0 ，即φ(a)在 上单调递增，
因为 则当a 时，恒有
(16 分)
即当a 时， g . g . g 恒成立，
所以实数a 的取值范围是 ．(17 分)