2025~2026学年广西南宁市第三十六中学(江南校区)高一下册5月月考数学试题 [含答案]

这是一份2025~2026学年广西南宁市第三十六中学(江南校区)高一下册5月月考数学试题 [含答案]试卷主要包含了考试结束后，请将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
（考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上，贴好条形码．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡交回．
（第Ⅰ卷）
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据相等向量的定义，结合充要条件的定义判断即可.
【详解】若四边形是平行四边形，
则，所以；
若，则，则四边形是平行四边形.
所以“四边形是平行四边形”是“”的充要条件.
故选：A.
2. 若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【正确答案】D
【分析】设，根据复数代数形式的加减运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，即可求出、，最后根据复数的几何意义判断即可.
【详解】设，则，
所以，又，
所以，解得，
所以，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限.
故选：D
3. 如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（ ）
A. 直线与平行B. 直线与相交
C. ，，，四点中可以有三点共线D. ，，，四点中不存在三点共线
【正确答案】D
【分析】根据平面的基本性质逐项分析判断即可.
【详解】若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故A不正确；
若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确；
若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故C错误，D正确.
4. 如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ）
A. B. 轴
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据斜二测画法的规则，结合选项逐一分析判断.
【详解】对于A，在斜二测画法中，与轴重合或平行的线段长度不变，则，A正确；
对于BC，与轴平行的线段依然与轴平行，长度为原来的，BC正确；
对于D，在等腰梯形中，，又轴，则位于右上方，
又，因此，D错误．
故选：D
5. 在三棱锥中，，，，，平面，则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】依题意先求出，接着证明所以平面从而得到，从而得点到的距离即为，求出即可得解.
，故点到的距离
【详解】由题意结合余弦定理得，
所以，所以，即，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，

所以平面，又平面，
所以，又，且由线面垂直性质有，
所以点到的距离即为.
故选：D.
6. 在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，结合平面基本事实作出截面，再利用截面的几何特征求其面积.
【详解】在正方体中，延长交于点，
连接交于点，如图，
由平面平面，平面平面，
平面平面，
得，又，且，
因此四边形是等腰梯形，且为平面截正方体的截面.
在等腰梯形中，过作，，
所以截面面积.
故选：C
7. 已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】因为，
，
所以，
，当且仅当，即时取等号，最小值为．
8. 如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（ ）

A. 1B. 2C. D.
【正确答案】A
【详解】如图所示，取的中点，连接，．

，，
为二面角的平面角，
根据已知条件可得，，．
在中，由余弦定理，
，
．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是（ ）
A.
B. 复数的共轭复数为
C. 复平面内表示复数的点位于第四象限
D. 复数是方程的一个根
【正确答案】AD
【分析】根据复数的定义和有关概念逐项分析即可.
【详解】因为，所以，
所以，故A正确；
的共轭复数，故B错误；
复平面内表示复数的点的坐标为，位于第二象限，故C错误；
，
复数是方程的一个根，故D正确.；
故选：AD．
10. 已知的外接圆圆心为，且，，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 向量在向量上的投影向量为
【正确答案】ABD
【分析】根据向量的线性运算判断A，利用直角三角形判断B，根据数量积的定义判断C，根据投影向量判断D.
【详解】由 可得，
整理得，A正确．
为的直径，，设，则，
所以为等边三角形，，B正确．
，C错误.
向量在向量上的投影向量为，D正确．
11. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，则（ ）

A. 平面平面
B.
C. 三棱锥的体积为
D. 四棱锥的外接球的表面积为
【正确答案】ABD
【分析】A选项利用面面平行的判定定理即可证明；B选项先证明线面垂直，即可判断；C选项利用等体积法即可求解；D选项先找到外接球的球心及半径，再利用球的表面积公式即可求解.
【详解】分别是的中点，，
平面，平面，平面，
同理可证平面，
，平面，平面，
平面平面，故A选项正确；
在正四棱锥中，易知平面，
，平面，又平面，，故B选项正确；

记，连接，，，
，
是的中点，
，故C选项错误；
，为四棱锥的外接球的球心，
四棱锥的外接球的表面积为，故D选项正确.
故选：ABD.
（第Ⅱ卷）
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上．
12. 如图，A，B两点分别在河的两侧，为了测量A，B两点之间的距离，在点A的同侧选取点C，测得∠ACB=45°，∠BAC=105°，AC=100米，则A，B两点之间的距离为______米．
【正确答案】
【分析】通过三角形内角和计算出，再利用正弦定理即可求出答案.
【详解】根据已知条件，，米，
所以，利用正弦定理，则（米）．
故答案为.
13. 如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________．
【正确答案】
【分析】运用等体积法变换三棱锥的顶点和底面解决问题。
【详解】因为四边形是边长为2的正方形，且，
所以，，
设点A到平面的距离为，
因为，所以，
所以，所以点A到平面的距离为。
故答案为.
14. 当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围___________
【正确答案】
【分析】由正方体的性质易知，故∠即为所求，在中可求，再利用余弦函数的性质即求.
【详解】设正方体棱长为1，，则，连接，，
由正方体的性质可知，
∴∠即为异面直线与所成角，
在中，，，
故，
又，
，
又在为单调减函数，
.
故
四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知、是平面直角坐标系中的两个向量，其中
（1）若点的坐标是，，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据向量的坐标表示求解即可.
（2）根据与垂直，得到，结合向量数量积的定义求解即可.
【小问1详解】
.
设点的坐标为，则，
所以，解得，，
故点的坐标为.
【小问2详解】
因为与垂直，所以，即，
又，，所以，解得.
所以.
又，所以.
16. 在长方体中，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）连接交于点，连接，可知，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）分析可知是与平面所成角的平面角，结合题中数据运算求解.
【小问1详解】
连接交于点，则点为的中点，
连接，则，
且平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
因为平面，可知是与平面所成角的平面角，
在三角形中，，
可得，所以直线与平面所成角的正弦值为．
17. 如图，在中，，.
（1）若，求；
（2）若，且，求AB.
【正确答案】（1）
（2）2
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式求解.
（2）根据给定条件，利用余弦定理列出方程求解即得.
【小问1详解】
在中，，由，得，又，
在中，由余弦定理得，
因此，所以.
【小问2详解】
令，则，因此，，
在中，由余弦定理得，
则，解得，
所以.
18. 在中，内角的对边分别为，且，.
（1）求的大小；
（2）若，求的面积；
（3）求的最大值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式化简整理可得，由此可得；
（2）利用余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果；
（3）利用余弦定理和基本不等式可求得的取值范围，令，将所求式子化为，由单调性可求得最大值.
【小问1详解】
由正弦定理得：，又，
，
即，又，，，
又，.
【小问2详解】
由余弦定理得：，解得：，
.
【小问3详解】
由余弦定理得：，
（当且仅当时取等号），，
又，；
，
令，，则在上单调递增，
，即，的最大值为.
19. 如图，中，，，E、F分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥．

（1）求证：；
（2）若F为中点，且，求二面角的余弦值；
（3）若D为中点，当点E在线段上（不含端点）运动时，求三棱锥的体积的最大值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）先由线面垂直的判定定理得到平面，再由线面垂直的性质定理可证；
（2）先由二面角的定义得到是二面角的平面角，然后利用余弦定理解三角形可得结果；
（3）设，则，以为底，三棱锥的高的最大值为，然后利用三棱锥体积公式表示三棱锥的体积，利用二次函数的最值可得结果.
【小问1详解】
，，，
将沿折起，可得，
又，平面，平面，平面，
平面，.
【小问2详解】
由（1）可知，，，二面角的平面角为，
由F为中点，，
在中，由余弦定理得，，
所以二面角的余弦值为.
【小问3详解】
由D为中点，得，设，则，
以为底的三棱锥的高为点到底面的距离，则距离的最大值为，
所以三棱锥的体积，
当且仅当时取等号，所以三棱锥的体积的最大值为.