四川省成都市金苹果锦城一中2025-2026学年八年级下学期期中学情调查试题卷 数学试题（含解析）

这是一份四川省成都市金苹果锦城一中2025-2026学年八年级下学期期中学情调查试题卷 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 若，则下列结论不成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种株，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 如果分式的值为，那么的值是______．
10. 分解因式：2x2﹣8=_______
11. 如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则___________cm．
12. 已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是______．
13. 如图，在中，分别以B，C为圆心，大于的长为半径，在BC两侧画弧，分别交于E、F两点，连接EF，并延长EF，交AB于点D．若，，且，则AC的长为______
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. 按要求解答下列各题：
（1）解不等式组：
（2）解分式方程：．
15. 先化简：，然后从，0，3中选一个合适的数作为的值代入求值．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是，，．
（1）平移，使得点的对应点的坐标为，画出平移后的；
（2）以原点为对称中心，画出与成中心对称的；
（3）若与关于点成中心对称，则点坐标为___________．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为．
（1）求的值；
（2）当时，请根据图象直接写出的取值范围；
（3）已知点是轴上一点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标．
18. 如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记．
（1）用含的代数式表示．
（2）若是以为腰的等腰三角形，，求的长．
（3）如图2，延长交于点F，若，求的长．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡
19. 已知，则__________．
20. 如图，中，，平分，，，则的面积为 ___________．
21. 若分式方程的解为正数，则a的取值范围是______________．
22. 分式的值为正整数，则正整数x的值为______．
23. 如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的四边形（不重叠、无缝隙），已知，若有，则的长为______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上A型劳动工具的单价比B型劳动工具的单价低5元，用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同．
（1）求A，B两种型号劳动工具的单价各是多少元？
（2）学校计划购买A，B两种型号的劳动工具共100把，且A型劳动工具的购买数量不超过B型劳动工具的购买数量的3倍，则如何购买花费最少？
25. 以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图1，在中，，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，可知，将绕点顺时针旋转得到．
【操作发现】
（1）若交于点，连接，求证：；
【深入探索】
（2）在（1）的条件下，同学们发现将旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度．如图2，若，，三点共线，求的长；
【拓展延伸】
（3）连接，，在旋转的过程中，请求出面积的最大值．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线：（）与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线：相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为，的面积为．
（1）若点的横坐标为1．
①求的值；
②如图1，当点与点重合时，直接写出的值；
（2）在（1）的条件下，如图2，点在线段上运动（不与点，重合）时，试探究：的值是否是定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）求的值（用含的代数式表示）．
数学
满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．
第I卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 下列四幅作品分别代表二十四节气中的四个节气：“芒种”“夏至”“白露”“大雪”，其中属于既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可．
解答过程：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
2. 使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不为零得出不等式是解题关键．
解答过程：解：由分式有意义，得，
解得，
故选：A．
3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：根据分解因式的定义逐个判断即可．
解答过程：解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式的右边不是几个整式的积的形式(含有分式)，不是分解因式，故本选项不符合题意；
C ．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
D．从左到右的变形是整式乘法运算，不是分解因式，故本选项不符合题意；
故选 C．
方法提示：本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
4. 若，则下列结论不成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据不等式的性质即可求解．
解答过程：A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
B. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
C. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
D. ∵，∴，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
方法提示：本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5. 如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质解答即可．
解答过程：解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
故A，B，D正确，不符合题意；
∵与不一定相等，故C错误，符合题意．
故选：C．
6. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查了点在坐标系下的平移，掌握好点平移的计算方式是关键．根据坐标平移的规律，横坐标左减右加，纵坐标上加下减，将点A先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，依次计算即可．
解答过程：向左平移2个单位：横坐标减少2，
原横坐标为3，平移后横坐标为：；
向上平移4个单位：纵坐标增加4，
原纵坐标为，平移后纵坐标为：；
则平移后点B的坐标为，
故选：A．
7. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解即可．
解答过程：解：由旋转可知：．
∵点D在的延长线上，
∴．
∵，
∴，
∴，即旋转角的度数为．
故选：A．
8. 某小区为了改善环境，计划在花坛种植200株花，由于学生志愿者的加入，每小时比原计划多种20株，结果提前1小时完成任务．设原计划每小时种株，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查了分式方程的应用．设原计划每小时种x株，实际每小时比原计划多种20株，根据提前1小时完成任务．列出分式方程，即可求解．
解答过程：解：设原计划每小时种x株，则实际每小时种株，
根据题意得，
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 如果分式的值为，那么的值是______．
答案：
解析：
解答过程：解：∵，
∴，且，
∴．
10. 分解因式：2x2﹣8=_______
答案：2（x+2）（x﹣2）
解析：
思路：先提公因式，再运用平方差公式．
解答过程：2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
方法提示：考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
11. 如图，沿方向平移到的位置，连接，若，，则___________cm．
答案：4
解析：
思路：本题考查了平移的性质．直接利用平移的性质即可求解．
解答过程：解：∵沿方向平移到的位置，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：4．
12. 已知一次函数y=kx+b的图象如图，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是______．
答案：
解析：
思路：根据函数图象可直接得出答案．
解答过程：解：由函数图象得：当时，一次函数的图象在x轴上方，
∴不等式kx+b＞0的解集是：，
故答案为：．
方法提示：此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx＋b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上（或下）方部分所对应点的横坐标的取值范围．
13. 如图，在中，分别以B，C为圆心，大于的长为半径，在BC两侧画弧，分别交于E、F两点，连接EF，并延长EF，交AB于点D．若，，且，则AC的长为______
答案：5
解析：
思路：连接CD，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD=4，根据三角形的外角性质求出∠ADC=90°，再根据勾股定理计算，得到答案．
解答过程：解：连接CD，
由尺规作图可知，EF是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD=4，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠ADC=∠DCB+∠B=90°，
∴AC==5，
故答案为：5．
方法提示：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. 按要求解答下列各题：
（1）解不等式组：
（2）解分式方程：．
答案：（1）
（2）解析：
（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为：；
（2）解：
方程两边同乘以得：，
解得：，
检验：将代入得：，
则原分式方程的解为：．
15. 先化简：，然后从，0，3中选一个合适的数作为的值代入求值．
答案：，
解析：
思路：注意分式有意义的条件是分母不为0，故且，故只能选3代入求值．
解答过程：解：原式


由，知且且，故取，代入得原式的值为 ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是，，．
（1）平移，使得点的对应点的坐标为，画出平移后的；
（2）以原点为对称中心，画出与成中心对称的；
（3）若与关于点成中心对称，则点坐标为___________．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）解析：
思路：（1）根据题意可知，先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，画出即可；
（2）利用关于原点对称的点的坐标特征得到、、的坐标，画出即可；
（3）利用中心对称的性质进行求解即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：连接，交于点P，则点P是对称中心，
由图可知，点、
、
点坐标为．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与正比例函数的图象交于点，点的纵坐标为．
（1）求的值；
（2）当时，请根据图象直接写出的取值范围；
（3）已知点是轴上一点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标．
答案：（1）
（2） （3）或
解析：
思路：（1）先利用正比例函数的解析式求出点，再代入一次函数的解析式求出的值；
（2）结合图象判断的取值范围即可；
（3）分类讨论，当点为直角顶点时，由可直接得出点的坐标；点为直角顶点时，如图，设点的坐标为，则，利用勾股定理求出和，再构造方程求出的值．
（1）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
将点代入，得，，
解得；
（2）解：由图可知，点的右侧部分，一次函数的图象低于正比例函数的图象，
∴当时，的取值范围为；
（3）解：∵与轴不垂直，
∴点不是直角顶点，
①当点为直角顶点时，如图，
∵，
∴点的坐标为；
②当点为直角顶点时，如图，设点的坐标为，则，
由勾股定理可得，，，
在中，，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
18. 如图1，在中，，D为边上一点．连接、E为边上一点，，连接，，记．
（1）用含的代数式表示．
（2）若是以为腰的等腰三角形，，求的长．
（3）如图2，延长交于点F，若，求的长．
答案：（1）
（2）或
（3）解析：
思路：（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余得出；
（2）分两种情况讨论：，，分别求出结果即可；
（3）延长至点G使得，证明，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
（1）解：，
∴，
又，
∴，
，
；
（2）解：若，
，
∴，
，
由勾股定理得：；
若，
，
∴
∴根据解析（1）可得：，
∴，
根据解析（1）可得：，
∴，
∴，
∴ ；
（3）解：如图，延长至点G使得，
，
，
，
，
∴，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
∴．
方法提示：本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡
19. 已知，则__________．
答案：2
解析：
思路：利用完全平方公式化简，然后将代入计算即可得出结果。
解答过程：解：
当时，原式．
故答案为：2．
方法提示：本题主要考查了完全平方公式的应用和化简求值，能熟练运用完全平方公式是解题的关键．
20. 如图，中，，平分，，，则的面积为 ___________．
答案：15
解析：
思路：本题考查角平分线的性质，三角形的面积，先作辅助线，然后根据角平分线的性质即可得到，再根据三角形的面积公式即可计算出的面积．解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出的长．
解答过程：解：作于点E，如图所示，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：15．
21. 若分式方程的解为正数，则a的取值范围是______________．
答案：a＜8，且a≠4
解析：
解答过程：解：分式方程去分母得：x=2x-8+a，
解得：x=8-a，
根据题意得：8-a＞0，8-a≠4，
解得：a＜8，且a≠4．
故答案为：a＜8，且a≠4．
方法提示：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程解为正数求出a的范围即可．此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
22. 分式的值为正整数，则正整数x的值为______．
答案：1或2##2或1
解析：
思路：先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值为正整数，得出的取值，从而得出x的值．
解答过程：解：，
要使的值为正整数，则分母是2的约数，即的值可以为1，，2，，
当时，，此时，不是正整数；
当，，此时，是正整数；
当，，此时，不是正整数；
当，，此时，是正整数，
∵x为正整数，
∴或1．
23. 如图1，在中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的四边形（不重叠、无缝隙），已知，若有，则的长为______．
答案：
解析：
思路：先根据四边形是由分割拼成找出对应的边相等，再利用题目给的条件将这些线段的长度解出来，利用等面积法将平行四边形的高求出来，最后用勾股定理将答案解出来．
解答过程：解：∵四边形是由分割拼成，
∴，，
∵，
∴，四边形为菱形，
∴线段是的中位线，
∴，，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
在中，，
即：，
解得，
∴，
如图所示，连接，过点向线段作垂线，垂足为点，则，
∵，，
即，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
在中，，
∴，
∴．
方法提示：本题主要考查了图形的剪拼问题，解题的关键技巧是抓住不变量，得到更多的信息，再利用勾股定理和等面积法求出答案．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上A型劳动工具的单价比B型劳动工具的单价低5元，用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同．
（1）求A，B两种型号劳动工具的单价各是多少元？
（2）学校计划购买A，B两种型号的劳动工具共100把，且A型劳动工具的购买数量不超过B型劳动工具的购买数量的3倍，则如何购买花费最少？
答案：（1）A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元
（2）购买A型劳动工具75把，B型劳动工具25把时花费最少
解析：
思路：（1）设B型劳动工具单价为元，则A型劳动工具单价为元，根据“用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同”建立方程求解；
（2）设购买A型劳动工具把，则购买B型劳动工具把，总花费为元，先列不等式求出的取值范围，再列出关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解即可．
（1）解：设B型劳动工具单价为元，则A型劳动工具单价为元
根据题意，得
解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元；
（2）解：设购买A型劳动工具把，则购买B型劳动工具把，总花费为元，
根据题意，得 ，
解得，
总花费
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，
取得最小值，
此时 ， （元）
答：购买A型劳动工具75把，B型劳动工具25把时花费最少．
25. 以“图形的旋转”为主题的数学活动课上，同学们尝试使用三角形纸板开展探究活动．如图1，在中，，，，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，可知，将绕点顺时针旋转得到．
【操作发现】
（1）若交于点，连接，求证：；
【深入探索】
（2）在（1）的条件下，同学们发现将旋转到一些特殊位置时，可以进一步探索线段长度．如图2，若，，三点共线，求的长；
【拓展延伸】
（3）连接，，在旋转的过程中，请求出面积的最大值．
答案：（1）见详解 （2）
（3）16
解析：
思路：（1）由中位线定理可得，则，然后即可证明即可；
（2）由（1）可证进而设，在中，由勾股定理得，然后代入求解即可；
（3）为定线段，所以面积问题转化为点到最大距离问题，很明显当三点共线时，此时即为点到的最大距离，即可得解．
（1）证明：∵，为的中点，
∴，
∴，
∵三点共线，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵在中，，，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到，且中点为，
∴，，
∵，
∴，
∵，，三点共线，
∴，
∴，
∴，
设，
在中， 由勾股定理，得，
则，
解得，
由（1）可知，，
∴；
（3）解：如图，过作于点，
∵为定值，
∴当上的高线最大时，则的面积最大，即求出到的最大距离即可，
∵，
当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大，
∵，
∴此时三点共线，
即，
∴，
即面积最大值为16．
方法提示：本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线：（）与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线：相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为，的面积为．
（1）若点的横坐标为1．
①求的值；
②如图1，当点与点重合时，直接写出的值；
（2）在（1）的条件下，如图2，点在线段上运动（不与点，重合）时，试探究：的值是否是定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）求的值（用含的代数式表示）．
答案：（1）①；②
（2）是，
（3）解析：
思路：（1）①点的横坐标为，且点是直线与直线的交点，可知点的纵坐标为：，把点的坐标代入求出的值；
②先求出，再由三角形面积公式分别求解两个三角形的面积，即可求解比值；
（2）由①可知直线的解析式为，根据解析式求出点的坐标，设点的坐标为，可知点的坐标为，把和用含的代数式表示出来，根据两个图形的面积比可以得到；
（3）设点的坐标为，则点的坐标为联立直线表达式求出点的坐标为，再分情况讨论，分别表示出，即可求解比值．
（1）解：①点的横坐标为，且点是直线与直线的交点，
点的纵坐标为：，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：；
②∵直线：（）与轴相交于点，
∴当时，
∴，
∵轴，
∴轴，
当点与点重合时，，
将代入得，，
∴
∴；
（2）解：的值是定值，这个定值为；
理由如下：
由可知直线的解析式为，
当时，可得：，
点的坐标为，
，
设点的坐标为，
∵轴，点在直线：上，
∴点的坐标为，
，
，
，
；
故的值是定值，这个定值为；
（3）解：设点的坐标为，则点的坐标为
联立直线表达式可得，，
解得，
点的坐标为，
当点在线段延长线上时，
，
∴
当点在线段上时，
，
∴同上：；
当点在线段延长线上时，
，
∴．
综上：．