山西省临汾市曲沃县2025-2026学年八年级下学期5月期中 数学试题（含解析）

这是一份山西省临汾市曲沃县2025-2026学年八年级下学期5月期中 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1. 下列式子中，属于分式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 我国科学家基于嫦娥六号采回的月球背面月壤样品，首次研究获得月球背面月幔的水含量小于，为认识月幔水的时空演化提供了关键约束．数据0.000002用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 黎侯虎是发祥于山西省黎城县的传统手工艺品，因黎城古称黎侯古国而得名，是国家级非物质文化遗产代表性项目．现在有一款“枕头虎”，每个“枕头虎”的成本是元，每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元，设一个“枕头虎”的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
5. 将分式约分，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 小明从家步行去书店买书，匀速走了一段时间后看到路旁有一辆共享单车，小明开锁后骑行到达书店（小明家和书店在同一条笔直的公路旁，距离为），如图所示的是小明离家的距离y与时间x的关系，则小明骑行的时间为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A. y3＞y2＞y1B. y2＞y3＞y1C. y1＞y2＞y3D. y1＞y3＞y2
8. 已知一次函数（，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表：
则下列结论正确的是（ ）
A. y的值随x值的增大而增大B. 图像不经过第一象限
C. 当时，D. 不等式的解集是
9. 如图，若x为正整数，则表示的值的点落在区间（ ）
A. B.
C. D.
10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 若是正比例函数，则b的值是_____________．
12. 若关于x的分式方程无解，则k的值为______．
13. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________．
14. 对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______．
15. 已知的位置如图所示，其中点B，C分别在x轴、y轴上，轴．反比例函数的图象经过点A，且，则该反比例函数的表达式为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算、解方程：
（1）．
（2）．
17. 将直线向上平移m个单位长度，得到的直线经过点，求m的值．
18. 司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游．
信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米．
信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时．
信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍．
问题解决：求型车的平均速度．
19. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务：
化简：．
解：原式…第一步
…第二步
…第三步
．…第四步
任务一：
（1）以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______．
（2）第______步开始出现错误，出现错误的原因是______．
任务二：
（3）请直接写出该分式化简后的正确结果：______．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式．
（2）连接，求的面积．
21. 阅读与思考
下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）判断下列数对是不是关于的分式方程的“关联数对”．
①_________；②_________．（填“是”或“不是”）
（2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．
22. 某地按照城市功能特点，建设城区特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造“夜商都”等地方夜消费品牌升级版，允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”、“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售A，B两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示：
小王计划购进A，B两种商品共100件进行销售，设小王购进A商品x件，A，B商品全部销售完后获得的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若B商品的进货件数不少于A商品件数的3倍，当购进A，B两种商品各多少件时，可使得A，B商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润．
23. 如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点．
（1）求一次函数的表达式．
（2）如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长．
（3）若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
数学
满分120分，作答时间120分钟．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1. 下列式子中，属于分式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查分式的定义；根据分式定义判断选项即可．
解答过程：解： ∵符合分式定义，是分式，
∴A符合题意，
∵属于整式，不符合分式定义，
∴B不符合题意，
∵是常数，分母不含有字母，不符合分式定义
∴C不符合题意，
∵属于整式，不符合分式定义，
∴D不符合题意．
故选：A．
2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：D
解析：
思路：根据第四象限内的点的坐标特征解答.
解答过程：解：∵，，
又∵第四象限的点的横坐标大于零，纵坐标小于零，
∴在第四象限，
故选：D.
方法提示：本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特征，熟练掌握四个象限的符号特征是解题的关键.
3. 我国科学家基于嫦娥六号采回的月球背面月壤样品，首次研究获得月球背面月幔的水含量小于，为认识月幔水的时空演化提供了关键约束．数据0.000002用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：解：．
4. 黎侯虎是发祥于山西省黎城县的传统手工艺品，因黎城古称黎侯古国而得名，是国家级非物质文化遗产代表性项目．现在有一款“枕头虎”，每个“枕头虎”的成本是元，每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元，设一个“枕头虎”的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元列关系式即可.
解答过程：解：∵每个“枕头虎”的利润是成本的倍少元，
∴．
5. 将分式约分，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用分式的基本性质，找出分子分母的公因式，约去公因式即可得到结果．
解答过程：解：．
6. 小明从家步行去书店买书，匀速走了一段时间后看到路旁有一辆共享单车，小明开锁后骑行到达书店（小明家和书店在同一条笔直的公路旁，距离为），如图所示的是小明离家的距离y与时间x的关系，则小明骑行的时间为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据函数图象分析小明的运动过程，确定骑行阶段的起始时间和结束时间，两者之差即为骑行时间．
解答过程：解：由图象可知，小明在步行，
在停留开锁，
在骑行．
骑行的起始时刻为第，结束时刻为第．
骑行的时间为．
7. 已知点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A. y3＞y2＞y1B. y2＞y3＞y1C. y1＞y2＞y3D. y1＞y3＞y2
答案：D
解析：
思路：把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，求得y1、y2、y3的值，然后比较它们的大小．
解答过程：解：∵反比例函数y=-图象上三个点的坐标分别是A（-1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3），
∴y1=-=2，y2=-=-1，y3=-．
∵-1＜-＜2，
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
方法提示：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象上点坐标都满足该函数解析式．
8. 已知一次函数（，k、b是常数）的自变量x与函数y的几组对应值如表：
则下列结论正确的是（ ）
A. y的值随x值的增大而增大B. 图像不经过第一象限
C. 当时，D. 不等式的解集是
答案：D
解析：
思路：本题主要考查运用待定系数法示一次函数解析式，一次函数的图象与性质，先求出一次函数的解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．
解答过程：解：把，代入得，，
解得，，
所以，一次函数解析式为，
∵
∴y的值随x值的增大而减小，故选项A不正确；
∵，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项B不正确；
由表格中数据可知，当时，，故选项C不正确；
不等式的解集是，故选项D正确，
故选：D．
9. 如图，若x为正整数，则表示的值的点落在区间（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：先对分式进行变形，分离常数，再根据 为正整数确定的取值范围，进而求出代数式的取值范围，最后对照数轴选项即可得出答案．
解答过程：解：
为正整数
即
观察选项可知，C选项表示的区间符合题意．
10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
解答过程：解：由题意可分：
当时，则，所以一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，故B选项符合题意；A、D选项不符合题意；
当时，则，所以一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，故C选项不符合题意．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 若是正比例函数，则b的值是_____________．
答案：2
解析：
思路：本题考查正比例函数的定义，形如的函数为正比例函数．根据正比例函数的定义可得关于b的方程，解出即可．
解答过程：解：∵是正比例函数，
∴，解得：，
故答案为：2．
12. 若关于x的分式方程无解，则k的值为______．
答案：
1
解析：
思路：先将原分式方程去分母化为整式方程，分式方程无解说明原方程存在增根，增根使原方程分母为零，求出增根后代入整式方程即可求解．
解答过程：解：，
两边同乘最简公分母得：，
关于的分式方程无解，
原分式方程有增根，增根使分母，即，
将代入得：．
13. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________．
答案：
解析：
思路：本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)，熟知一次函数与二元一次方程组之间的关系是解题的关键．先求出点P的坐标，再根据二元一次方程组与一次函数之间的关系即可解决问题．
解答过程：解∶将代入得，．
解得．
点P的坐标为．
方程组的解可看成函数与函数图象的交点坐标，
此方程组的解为
14. 对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______．
答案：
解析：
思路：根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可．
解答过程：解：根据新运算定义可得：，
15. 已知的位置如图所示，其中点B，C分别在x轴、y轴上，轴．反比例函数的图象经过点A，且，则该反比例函数的表达式为______．
答案：
解析：
思路：连接，设反比例函数的解析式为 ，先得到，再根据，求出的值即可．
解答过程：解：连接，设反比例函数的解析式为，
∵轴，
∴轴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算、解方程：
（1）．
（2）．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先算零指数幂、负整数指数幂、绝对值化简，最后算加减即可；
（2）根据分式方程的解法求解即可.
解答过程：（1）解：原式
；
（2）解：方程两边都乘以，得
解得，
检验：把代入，得，
是原方程的解．
17. 将直线向上平移m个单位长度，得到的直线经过点，求m的值．
答案：5
解析：
思路：先根据平移规则得到平移后直线的解析式，再将已知点的坐标代入解析式即可计算出的值．
解答过程：解：由题意可得，平移后得到的直线解析式为，
将点代入得，
解得．
18. 司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游．
信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米．
信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时．
信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍．
问题解决：求型车的平均速度．
答案：型车的平均速度是
解析：
思路：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据乘坐型车比乘坐型车少用小时列分式方程求解即可．
解答过程：解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，
根据题意，得，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：型车的平均速度是.
19. 下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务：
化简：．
解：原式…第一步
…第二步
…第三步
．…第四步
任务一：
（1）以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______．
（2）第______步开始出现错误，出现错误的原因是______．
任务二：
（3）请直接写出该分式化简后的正确结果：______．
答案：（1）
一，分式的基本性质 （2）
二，去括号时，括号前为负号，括号内各项未全部变号
（3）解析：
思路：（1）化简时把化为是通分把异分母分式化为同分母分式，通分时利用的是分式的基本性质；
（2）第二步出现错误，分子中去第二个括号时，括号前是负号，只把第一项的符号改变了，后两项符号没有改变；
（3）根据分式的性质进行计算得到正确结果．
（1）解：化简步骤中，第一步是通分，依据是分式的基本性质；
（2）解：第二步中，分子去括号出现错误，
错误原因是括号前面是负号，去括号时括号中各项符号没有全部变号；
（3）解：
．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式．
（2）连接，求的面积．
答案：（1），
（2）18
解析：
思路：（1）根据待定系数法求得反比例函数，再求得点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数；
（2）根据题意求出点的坐标为，得到，再由三角形面积公式求解．
（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
，
．
反比例函数的表达式为；
，
将点，代入，得，
解得
一次函数的表达式为．
（2）解：一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，
解得
点的坐标为，
∵
．
21. 阅读与思考
下面是小宜同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）判断下列数对是不是关于的分式方程的“关联数对”．
①_________；②_________．（填“是”或“不是”）
（2）若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值．
答案：（1）①不是；②是
（2）解析：
思路：（1）根据“关联数对”定义逐个求解并与对比即可得到答案；
（2）根据“关联数对”定义，把数对及解代入方程即可求解.
（1）解：①当时， ，解得：，
∵ ，
∴不是关于的分式方程的“关联数对”；
②当时， ，解得：，
∵，
∴是关于的分式方程的“关联数对”；
故答案为：①不是；②是；
（2）解：由条件可知：，
，
整理得：，
解得.
22. 某地按照城市功能特点，建设城区特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造“夜商都”等地方夜消费品牌升级版，允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”、“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售A，B两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示：
小王计划购进A，B两种商品共100件进行销售，设小王购进A商品x件，A，B商品全部销售完后获得的总利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若B商品的进货件数不少于A商品件数的3倍，当购进A，B两种商品各多少件时，可使得A，B商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润．
答案：（1）
（2）当购进A商品25件，B商品75件时，可使得A、B商品全部销售完后获得的利润最大，最大的总利润为475元
解析：
思路：（1）由商品利润商品利润，可得解析式；
（2）根据购进B商品的件数不少于A商品件数的3倍列出不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题．
（1）解：由题意可得：
，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：由题意，可得：，
解得：，
∵，
∴，
∴随增大而增大，
∴当时，y有最大值，最大的总利润
此时购进B商品的件数为，
答：当购进A商品25件，B商品75件时，可使得A、B商品全部销售完后获得的利润最大，最大的总利润为475元．
23. 如图1，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点．
（1）求一次函数的表达式．
（2）如图2，点C在线段上．将沿折叠，点O恰好落在直线上的点D处．求线段的长．
（3）若点P在y轴上，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
答案：（1）
（2） （3）或或
解析：
思路：（1）由待定系数法求解即可；
（2）先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质以及等面积法求解即可；
（3）分两种情况讨论，画出图形，根据等腰三角形的性质求解即可．
（1）解：∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点和点．
∴
解得
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵和
∴
∵
∴，
∵翻折，
∴，
设，则，
∵
∴
解得
∴线段的长为；
（3）解：如图：
当时，∵
∴点的纵坐标为或
∴或
当时，由于，
则，
∴此时，
综上：当是以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或．x
…
0
1
2
…
y
…
8
6
4
2
0
…
关联数对
【概念理解】
如果两个实数，使得关于的分式方程的解是，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的“关联数对”．
例如：，使得关于的分式方程的解是，所以数对是关于的分式方程的“关联数对”．
类型
A型
B型
进价/（元/件）
35
5
售价/（元/件）
45
8
x
…
0
1
2
…
y
…
8
6
4
2
0
…
关联数对
【概念理解】
如果两个实数，使得关于的分式方程的解是，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的“关联数对”．
例如：，使得关于的分式方程的解是，所以数对是关于的分式方程的“关联数对”．
类型
A型
B型
进价/（元/件）
35
5
售价/（元/件）
45
8