甘肃省兰州市某校2025-2026学年八年级下学期期中 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省兰州市某校2025-2026学年八年级下学期期中 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 近年来，我国科研工作者攻坚克难、勇攀高峰，在芯片领域不断突破技术封锁，成功研发出多款先进制程的国产自研芯片，有力推动了我国科技自立自强．已知某款国产高端芯片的关键工艺尺寸为7纳米，即0.000000007米，那么7纳米用科学记数法可表示为（ ）米
A. B. C. D.
3. 如图，和是同位角的图形有（ ）
A. ③④B. ①③⑤C. ①②⑤D. ①②③
4. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
6. 某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，部分结果如下表所示：
估计这一类新品种苹果树成活的概率约为（ ）
A. 0.89B. 0.85C. 0.91D. 0.95
7. 一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 若，则a、b的值分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
9. 如图，已知直线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，直线，相交于点，平分．，与相交于点．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
12. 已知代数式是完全平方式，则的值为________．
13. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是_________．
14. 从“shuxue”中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为____________________ ．
15. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是______．
三．解答题（共11小题，满分75分）
16. 计算：
（1）（2）
17. 用简便方法计算：
（1）；
（2）18. 如图，已知于点，点在的延长线上，于，交AC于点，求证：．
证明：于点于点（已知），
（__________），
（等量代换），
（__________），
（__________），
__________（__________），
又（已知），
（等量代换）．
（将证明过程补充完整，含未填理由）
19. 盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为．
（1）摸到黄球是______（从“随机事件”，“必然事件”，或“不可能事件”中选一个填空）；
（2）求盒中黑球的个数；
（3）若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数．
20. 先化简，再求值：，其中，．
21. 在计算时，甲错把看成了6，得到的结果是；乙错把看成了4，得到的结果是．
（1）求的值．
（2）计算的正确结果．
22. 如图，直线，交于点O，平分，，．
（1）求的度数；
（2）是否平分？请说明理由．
23. 如图，是的角平分线，，交于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
24. 如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米）
（1）用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）若，，求出绿化的总面积．
25. 规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”的定义来说明等式成立．证明：设，，则，，故，则，即．
（1）根据上述规定，填空：＝ ；
（2）计算 ；
（3）利用“雅对”定义说明：对于任意正整数都成立．
26. 某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
（1）如图2，若，，，则___________°；
（2）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由；
（3）如图4，，若，的平分线和的平分线交于点Q，求的度数．
数学
一、选择题（共11小题，满分33分，每小题3分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：解：对于选项A，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∵ ，∴ A错误；
对于选项B，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，
∵ ，∴ B错误；
对于选项C，根据合并同类项法则：合并同类项时，系数相加，字母与字母的指数不变，
∵ ，∴ C错误；
对于选项D，根据积的乘方法则和幂的乘方法则：积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变，指数相乘，
∵ ，等式成立，∴ D正确．
2. 近年来，我国科研工作者攻坚克难、勇攀高峰，在芯片领域不断突破技术封锁，成功研发出多款先进制程的国产自研芯片，有力推动了我国科技自立自强．已知某款国产高端芯片的关键工艺尺寸为7纳米，即0.000000007米，那么7纳米用科学记数法可表示为（ ）米
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：绝对值小于1的数用科学记数法表示的形式为，其中，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）．
解答过程：解：．
3. 如图，和是同位角的图形有（ ）
A. ③④B. ①③⑤C. ①②⑤D. ①②③
答案：C
解析：
思路：根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．
解答过程：解：根据同位角定义可得①②⑤是同位角，
故选：C．
方法提示：此题主要考查了同位角，解题的关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
4. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
答案：B
解析：
思路：本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键．
根据三角形的三边关系解答即可．
解答过程：解：A、，不能组成三角形，故A选项不符合题意；
B、，能组成三角形，故B选项符合题意；
C、，不能组成三角形，故C选项不符合题意；
D、，不能组成三角形，故D选项不符合题意；
故选：B．
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
答案：C
解析：
思路：根据对顶角的性质，平行线的性质，平面内两直线的位置关系逐一判断即可．
解答过程：解：A 、对顶角相等，原说法正确，不符合题意；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，不符合题意；
C、只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，原说法缺少“两直线平行”的前提，说法错误，符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原说法正确，不符合题意．
6. 某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，部分结果如下表所示：
估计这一类新品种苹果树成活的概率约为（ ）
A. 0.89B. 0.85C. 0.91D. 0.95
答案：C
解析：
思路：本题考查了利用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，由表格数据可知，随着移植总数增加，成活率稳定在0.91左右，据此求解即可．
解答过程：解：由表格数据可知，随着移植总数增加，成活率稳定在0.91左右．
∴估计这一类新品种苹果树成活的概率约为0.91．
故选：C．
7. 一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据概率计算公式，直接用黄色小球的个数除以总个数计算即可得结果．
解答过程：解：搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为，
故选：D．
方法提示：本题考查了概率的计算，牢记概率的计算公式是解题的关键．
8. 若，则a、b的值分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
答案：B
解析：
思路：本题考查的是整式的乘法运算，熟练的利用多项式乘以多项式的法则进行运算是解本题的关键．先按照多项式乘以多项式的法则进行计算，再利用多项式的恒等进行比较即可．
解答过程：解：∵，
∴，．
故选：B．
9. 如图，已知直线，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据平行线的性质可得的同位角与 的关系，结合邻补角定义即可求解．
解答过程：解：如图，
设 为 的同位角，
，
，
又 ∵与互为邻补角，
∴，
∴．
10. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：．根据平方差公式的结构特征进行判断即可．
解答过程：解：A、，不符合平方差公式，错误，不符合题意；
B、，不符合平方差公式，错误，不符合题意；
C、，符合平方差公式，正确，符合题意；
D、，不符合平方差公式，错误，不符合题意．
故选：C．
11. 如图，直线，相交于点，平分．，与相交于点．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，根据邻补角的定义即可得出答案．
解答过程：解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
12. 已知代数式是完全平方式，则的值为________．
答案：
解析：
思路：利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值．
解答过程：解：∵代数式是一个完全平方式，
∴，
故答案为：．
方法提示：此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是_________．
答案：垂线段最短
解析：
思路：本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可．
解答过程：解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
14. 从“shuxue”中随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为____________________ ．
答案：
解析：
思路：直接利用概率公式求解即可．
解答过程：解：∵“shuxue”中共有6个字母，字母u共2个，
∴随机抽取一个字母，抽中字母u的概率为．
15. 等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是______．
答案：或
解析：
思路：本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
解答过程：解：当的角为顶角时，顶角的度数为；
当的角为底角时，顶角的度数为；
∴顶角的度数是或，
故答案为：或．
三．解答题（共11小题，满分75分）
16. 计算：
（1）（2）
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）先变形，再根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可．
（1）解：；
（2）解：
17. 用简便方法计算：
（1）；
（2）答案：（1）
（2）解析：
思路：本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握这两个公式是解题的关键．
（1）先变形，再根据完全平方公式计算即可；
（2）将写成，然后利用平方差公式计算即可．
（1）解：
；
（2）．
18. 如图，已知于点，点在的延长线上，于，交AC于点，求证：．
证明：于点于点（已知），
（__________），
（等量代换），
（__________），
（__________），
__________（__________），
又（已知），
（等量代换）．
（将证明过程补充完整，含未填理由）
答案：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；3；两直线平行，同位角相等
解析：
思路：本题考查垂线的定义，平行线的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键．
根据垂直的定义，平行线的判定及性质补充完整证明过程即可．
解答过程：证明：于点于点（已知），
（垂直的定义），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代换）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；3；两直线平行，同位角相等．
19. 盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为．
（1）摸到黄球是______（从“随机事件”，“必然事件”，或“不可能事件”中选一个填空）；
（2）求盒中黑球的个数；
（3）若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数．
答案：（1）不可能事件；
（2）盒中黑球个数为7；
（3）往盒中再加入4个红球．
解析：
思路：本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的识别，随机事件的概率等知识点，熟知：概率所求情况数与总情况数之比，是解本题的关键．
（1）根据“一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；一定条件下，可能发生也可能不发生的事件为随机事件”，据此解答即可；
（2）设盒中黑球的个数为，列出方程并求解即可；
（3）设往盒中再加入个红球，列出方程并求解即可．
（1）解：∵盒子中没有黄球，
∴不可能摸到黄球，
∴摸到黄球是不可能事件，
故答案为：不可能事件；
（2）设盒中黑球的个数为，则
解得．
答：盒中黑球个数为7；
（3）设往盒中再加入个红球，则
解得．
答：往盒中再加入4个红球．
20. 先化简，再求值：，其中，．
答案：12
解析：
思路：此题考查了整式的混合运算、化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解答过程：
当，时，
原式．
21. 在计算时，甲错把看成了6，得到的结果是；乙错把看成了4，得到的结果是．
（1）求的值．
（2）计算的正确结果．
答案：（1）；
（2）．
解析：
思路：本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键．
（1）根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出的值；
（2）将（1）的的值代入代数式求解即可．
（1）解：根据题意：
，
∵计算时，甲错把看成了6，得到的结果是
∴，
∴，
，
∵乙错把看成了4，得到的结果是，
∴，
∴．
（2）解：根据，
可知：
22. 如图，直线，交于点O，平分，，．
（1）求的度数；
（2）是否平分？请说明理由．
答案：（1）的度数为；
（2）平分，理由见解析．
解析：
思路：（1）先根据对顶角相等求出，再用角平分线性质求，结合垂直定义，用得到．
（2）先求的度数，再计算，通过比较和的大小判断是否平分．
（1）∵直线交于点O，，
∴，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）由（1）得，，
∵点A、O、B在同一条直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
23. 如图，是的角平分线，，交于点．

（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
答案：（1）见解析 （2）97°
解析：
思路：（1）角平分线得到，平行，得到，即可得到；
（2）三角形内角和求出的度数，角平分线得到的度数，再利用三角形的内角和进行求解即可．
（1）证明：是的角平分线，
，
．
．
．
（2）是的角平分线，
．
方法提示：本题考查含角平分线的三角形的内角和．熟练掌握角平分线平分角，三角形的内角和为，是解题的关键．
24. 如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米）
（1）用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）若，，求出绿化的总面积．
答案：（1）平方米
（2）平方米
解析：
思路：本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键．
（1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积，即可求解；
（2）把，代入（1）所求结果中，即可求解．
（1）解：根据题意，
，
绿化的总面积为平方米．
（2）解：当，时，平方米，
绿化的总面积为平方米．
25. 规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们称为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”的定义来说明等式成立．证明：设，，则，，故，则，即．
（1）根据上述规定，填空：＝ ；
（2）计算 ；
（3）利用“雅对”定义说明：对于任意正整数都成立．
答案：（1）；
（2）； （3）见解析
解析：
思路：（1）利用“雅对”的定义求解即可；
（2）设，，则有，利用“雅对”的定义计算可得，所以可得；
（3）设，则，所以可得，可证对于任意正整数都成立．
（1）解：，
；
（2）解：设，，
则，，
，
，
，
；
（3）解：设，则，
为任意正整数，
，
，
，
对于任意正整数都成立．
26. 某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
（1）如图2，若，，，则___________°；
（2）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由；
（3）如图4，，若，的平分线和的平分线交于点Q，求的度数．
答案：（1）
（2），见解析
（3）解析：
思路：（1）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案；
（2）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系；
（3）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数．
（1）解：过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）解：，，之间的数量关系是：；理由如下：
过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，，之间的数量关系是：；
（3）解：∵的平分线和的平分线交于点Q，
∴设，，
∴，，
∴，，
由（1）的结论得：，
，
∵，
∴，
解得：，
∴．移植总数n
400
750
1500
3500
7000
10000
成活总数m
369
682
1359
3192
6398
9130
成活率
0.923
0.909
0.906
0.912
0.914
0.913
移植总数n
400
750
1500
3500
7000
10000
成活总数m
369
682
1359
3192
6398
9130
成活率
0.923
0.909
0.906
0.912
0.914
0.913