甘肃省兰州市第五十五中学等校2025-2026学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省兰州市第五十五中学等校2025-2026学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如果一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ）
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 八边形
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在中，，平分，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
5. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知不等式的正整数解有3个，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
10. 将一副三角板按如图所示叠放在一起，直角顶点为O，，与交于点E，若，则图中的度数为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，点第一次向上平移1个单位长度至点，第二次向右平移1个单位长度至点，第三次向上平移1个单位长度至点，第四次向右平移1个单位长度至点，……照此规律平移下去，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共12分）
12. 如图，在中，若，则____．
13. 不等式的正整数解的个数是________．
14. 关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范围__________．
15. 我们定义：，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是________．
三、解答题（满分75分）
16. 如图，在中，，．若的周长为17，求的长．
17. 如图，在中，，，是的高，求的长及的面积．
18. 按要求解下列不等式（组）．
（1）（解不等式并在数轴上表示其解集）
（2）19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）在图中作出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）在图中作出关于轴对称的，并写出，，的坐标．
20. 某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案：
方案A：按固定价格进货，每本进价8元；
方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元．
文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本．
设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）分别写出与，与的函数关系式；
（2）文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由．
21. 已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求点、的坐标；
（2）当取何值时，函数值满足？
（3）结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集．
22. 阅读材料：解不等式，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可以转化为不等式组求解．
解：，转化为① 或② ，解不等式组①，得，解不等式组②，得．
∴原不等式的解集是或．
请你仿照上面的方法，解下列不等式
23. 如图，已知函数和的图象交于点．
（1）的值为 ；
（2）利用图象直接写出不等式的解集；
（3）求的面积．
24. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
25. 如图，在中，点为边上一点，连接，延长至点，使得，连接．
（1）如图1，若，，，求的度数；
（2）如图2，的角平分线交于点，若，，求证：．
26. 结合图形，解决问题：
（1）如图1，在和中，，，且，试证明：．
【初步探究】
（2）如图2，为等边三角形，过A点作的垂线，点P为上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连接．请写出与的数量关系并说明理由；
【深入探究】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交直线于点．当点运动到时，若，求的长；
数学
一、单选题（每小题3分，共33分）
1. 如果一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ）
A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 八边形
答案：B
解析：
思路：利用n边形内角和公式列方程求解边数即可，n边形内角和公式为．
解答过程：解：设这个多边形的边数为，
根据题意可得方程，，
解得，
∴这个多边形是五边形．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各选项分析判断即可．
解答过程：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意. ．
3. 如图，在中，，平分，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据，平分，得出 ，根据，得出，再根据三角形外角的性质求解即可．
解答过程：解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
4. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
答案：B
解析：
思路：根据旋转可得，旋转角度，可得为等边三角形，再由求解即可．
解答过程：解：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，且，
∴为等边三角形，
∴，
则的长为5 ．
5. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意，
由得，则B成立，不符合题意，
若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意，
若，当时，，则D不一定成立，符合题意．
6. 已知不等式的正整数解有3个，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先求解一元一次不等式的解集，再根据正整数解的个数确定的取值范围．
解答过程：解：
解得，
∵不等式的正整数解共有3个，
∴这3个正整数解为1、2、3，
∴，
∴．
7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可．
解答过程：解：不等式的解集在数轴上表示为：
8. 在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查了平面直角坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题的关键．
根据点的平移规律：向下平移时，纵坐标减少，横坐标不变计算新坐标．
解答过程：解：∵点向下平移3个单位，
∴横坐标不变，纵坐标减少3，
∴新点坐标为：
故选：D．
9. 如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：过点D作于E，根据角平分线的性质可得，再根据及求出的长即可求解．
解答过程：解：过点D作于E，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，平分，，
∴， 即点D到的距离为．
10. 将一副三角板按如图所示叠放在一起，直角顶点为O，，与交于点E，若，则图中的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用平行线的内错角相等求出的度数，结合三角板的固定角度，根据三角形内角和定理计算的度数．
解答过程：解：∵，
∴，
∵，
∴，
由一副三角板的性质可知，
在中，三角形内角和为，
∴．
11. 如图，点第一次向上平移1个单位长度至点，第二次向右平移1个单位长度至点，第三次向上平移1个单位长度至点，第四次向右平移1个单位长度至点，……照此规律平移下去，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，数字规律探究．通过分析平移次数与坐标的关系总结规律是解题的关键．
先梳理每次平移后的坐标，发现平移规律为奇数次平移是向上平移1个单位长度，偶数次平移是向右平移1个单位长度，而进行了1013次向上平移，1013次向右平移，则的横坐标和纵坐标都加上1013即可求解．
解答过程：解：观察平移规律，第一次向上平移1个单位长度至点，
第二次向右平移1个单位长度至点，
第三次向上平移1个单位长度至点，
第四次向右平移1个单位长度至点，
可以发现平移规律：奇数次平移是向上平移1个单位长度，偶数次平移是向右平移1个单位长度．
是偶数，所以是经过次平移得到的，
由于偶数次平移是向右平移，从点开始，经过次平移，横坐标的变化是向右平移了个单位长度，所以的横坐标为；
又因为奇数次平移是向上平移，从点开始，经过次平移，纵坐标的变化是向上平移了个单位长度，所以的纵坐标为；
．
故选D．
二、填空题（每小题3分，共12分）
12. 如图，在中，若，则____．
答案：
解析：
思路：题目主要考查了等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．先根据，得，则，结合三角形内角和性质以及，进行列式计算，即可作答．
解答过程：解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 不等式的正整数解的个数是________．
答案：2
解析：
思路：先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再找出解集中的正整数，统计正整数的个数即可．
解答过程：解：解不等式
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为，得．
不等式的正整数解为，，共个．
14. 关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范围__________．
答案：
解析：
思路：本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于对知识熟练掌握与灵活运用．
解不等式组得，由数轴可知，得出原不等式组的解集为，则，计算求解即可．
解答过程：解：解不等式组，
得，
由数轴可知，原不等式组的解集为，
∴，
解得．
∴a的取值范围为，
故答案为：
15. 我们定义：，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是________．
答案：
解析：
思路：根据新定义，推出，得到或，分类讨论求出的值，再进行求解即可．
解答过程：解：由题意得，，即，
∴，
∵x，y为不同的整数，
∴或，
当时，或，不符合题意，舍去；
当时，或或或，
∴或．
三、解答题（满分75分）
16. 如图，在中，，．若的周长为17，求的长．
答案：6
解析：
思路：本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到，进而根据已知的三角形的周长求解即可．
解答过程：解：∵在中，，
∴，
∵，的周长为17，
∴，
解得．
17. 如图，在中，，，是的高，求的长及的面积．
答案：，的面积为48
解析：
思路：根据等腰三角形的“三线合一”求出，进而根据勾股定理即可求出，再根据三角形的面积公式即可求解．
解答过程：解：∵，，是的高，
∴，，
∴在中，，
∴．
18. 按要求解下列不等式（组）．
（1）（解不等式并在数轴上表示其解集）
（2）答案：（1），数轴表示见解析
（2）解析：
（1）解：
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为，得
解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式①，得
解不等式②，得
∴原不等式组的解集为．
19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）在图中作出向左平移5个单位长度后得到的；
（2）在图中作出关于轴对称的，并写出，，的坐标．
答案：（1）见解析 （2）见解析，，，
解析：
思路：（1）将三个顶点向左平移5个单位长度得到其对应点，再顺次连接即可；
（2）作出A、B、C关于x轴对称的对应点，然后顺次连接，然后写出坐标即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
∴，，．
20. 某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案：
方案A：按固定价格进货，每本进价8元；
方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元．
文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本．
设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）分别写出与，与的函数关系式；
（2）文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由．
答案：（1），
、．
（2）当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可．
解析：
（1）利润等于总售价减去总进价，总售价等于．
方案A：每本进价元，总进价等于，
．
方案B：分两种情况讨论：
1、当时，总进价为，
．
2、当，前100本进价10元，超过部分进价6元，
总进价，
．
综上，方案B的函数关系式：
、．
（2）已知，分两段分析：
当时：
，显然，此时方案A利润更大．
当时：
比较和：
令，解得；
令，解得；
即时，；
时，．
综上所述，当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可．
21. 已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求点、的坐标；
（2）当取何值时，函数值满足？
（3）结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集．
答案：（1）点；
（2）当时，
（3）；
解析：
（1）解：令，则，解得，
∴ 点；
令，则，
∴ 点；
（2）解：解不等式：
由，
即
解(1)得：；
解(2)得：．
∴ 当时，；
（3）解：如图，
由图可知：
方程的解为；
不等式的解集为．
22. 阅读材料：解不等式，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可以转化为不等式组求解．
解：，转化为① 或② ，解不等式组①，得，解不等式组②，得．
∴原不等式的解集是或．
请你仿照上面的方法，解下列不等式
答案：或
解析：
思路：根据有理数的乘法法则得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集，即可求出答案．
解答过程：解：将不等式，转化为①或②，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
原不等式的解集为或．
23. 如图，已知函数和的图象交于点．
（1）的值为 ；
（2）利用图象直接写出不等式的解集；
（3）求的面积．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）把代入，即可求出的值；
（2）根据（1）得出，结合函数图象，即可求解；
（3）将点的坐标代入即可求出的值，进而求得，再根据三角形的面积公式，即可求解．
（1）解：把代入得，，
解得，
故答案为：；
（2），
点的坐标为，
由图象得，不等式的解集为．
（3）函数的图象经过点，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
．
24. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
思路：本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与证明，旋转的性质及勾股定理，证明三角形全等是解题的关键；
（1）由等边三角形的性质与旋转的性质证明即可；
（2）由旋转知是等边三角形，则，可得，在直角三角形中利用勾股定理即可求得结果．
（1）证明：∵是等边三角形，
∴；
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
（2）解：旋转知，
∴是等边三角形，
∴；
∴；
∵，
∴由勾股定理得：．
25. 如图，在中，点为边上一点，连接，延长至点，使得，连接．
（1）如图1，若，，，求的度数；
（2）如图2，的角平分线交于点，若，，求证：．
答案：（1）
（2）见解析
解析：
思路：（1）根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得，根据等边对等角可得，根据三角形内角和定理可得，即可求解；
（2）在上截取，使得，连接，根据各边的关系得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，，确定，得出，利用等角对等边得，即可证明．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
（2）解：在上截取，使得，连接．
∵
，即
在和中，
，
∴
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
，
，
又∵，
，
，
∴．
26. 结合图形，解决问题：
（1）如图1，在和中，，，且，试证明：．
【初步探究】
（2）如图2，为等边三角形，过A点作的垂线，点P为上一动点（不与点A重合），连接，把线段绕点C逆时针方向旋转得到，连接．请写出与的数量关系并说明理由；
【深入探究】
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交直线于点．当点运动到时，若，求的长；
答案：（1）见解析 （2），理由见解析
（3）解析：
思路：（1）利用全等三角形的判定证明即可；
（2）证明即可；
（3）连接，，结合（2）结论，先证明是等边三角形，再证明垂直平分，，即可得，在中，根据等腰三角形的性质可得，即有，在中，根据，，可得，在中，利用勾股定理可得，即有．
（1）证明：∵，
∴即，
∵，，
∴
（2），理由如下：
证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵线段绕点逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（3）如图，连接，，
由（2）得，，
∵，，
∴是等边三角形，
又∵，
∴垂直平分，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴PC=PA2+CA2=22+22=2 ，
在中，
∵，，，
∴，
∴，
在中，
∵，，，
∴BD=BC2−CD2=22−12=1 ，
∴．