甘肃兰州市第七十八中学2025-2026学年八年级下学期期中学情测查 数学试题（含解析）

这是一份甘肃兰州市第七十八中学2025-2026学年八年级下学期期中学情测查 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 把分解因式，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知下列命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
6. 若，且，，则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 1
7. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：
甲：若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；
乙：若它无解，则．
其中下列判断正确的是（ ）
A. 甲、乙都对B. 甲对，乙错C. 甲错，乙对D. 甲、乙都错
9. 代数式中的取值范围在数轴上表示如图所示，则的值为（ ）
A. 4B. 3C. 1D.
10. 如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
11. 如图1，在中，．动点P从的顶点A出发，以的速度沿匀速运动回到点A．图2是点P运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点Q为曲线部分的最低点．下列选项正确的是（ ）
A. 的面积是B. 图2中m的值是
C. 的面积是D. 图2中m的值是
二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）
12. 定义一种新运算：，则关于的不等式组的负整数解共有_____个．
13. 阅读以下作图步骤：①在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线，交于点O；③以O为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，如图所示．根据以上作图，则的度数为______．
14. 如图，在第一象限内有两点，，将线段平移，使点、同时落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______．
15. 如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为______．
三、解答题（本大题共11小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 解不等式：．
17. 解不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上
（1）；
（2）．
18. 因式分解：
（1）；
（2）．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是，，．将平移，使点A与点O重合，得到，点B，C的对应点分别是，．
（1）在平面直角坐标系中画出并写出点的坐标；
（2）在平面直角坐标系中画出关于原点中心对称的；
（3）在x轴上有一点P，使得最小，在图中画出点P，并求出点P的坐标．
20. 如图，在中，，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若点在边上，在的延长线上取一点，使，求证：．
21. 定义：用表示，两个数中较大数，如，．
（1）______，若，则的取值范围是_____；
（2）若且满足成立，求正整数的值；
（3）在（2）的条件下，解关于的方程：．
22. 年山亭区助农电商平台采购方案：为助力乡村振兴，某电商平台购进甲（店子长红枣礼盒）和乙（城头豆制品礼盒）两款助农产品进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价不变）：
（1）求甲、乙两款礼盒的进货单价；
（2）该平台计划第三次购进甲、乙两款礼盒共盒．已知每盒甲款礼盒售价为元，每盒乙款礼盒售价为元．若规定乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的倍，设购进甲款礼盒盒，这批礼盒的总利润为元，求的最大值．
23. 如图，直线：与轴、轴分别交于点、，直线：与轴、轴分别交于点、，两直线相交于点．
（1）直接写出直线的解析表达式为______；
（2）结合图像，当时，的取值范围是______；
（3）如果点在直线上，满足的面积是面积的2倍，请求出点的坐标．
24. 如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点．
（1）求证：垂直平分；
（2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由．
25. 阅读下列材料：
若一个正整数能表示成（是正整数，且）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的一个平方差分解；再例如：（是正整数），所以也是“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解．
（1）判断：9___________“明礼崇德数”；（填“是”或“不是”）
（2）已知与是的一个平方差分解，求；
（3）已知（是正整数，是常数，且），要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个的值，并说明理由．
26. 已知是等边三角形．
（1）如图1，若，点在线段上，且，连接，求的长；
（2）如图2，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求证：；
（3）如图3，若，动点从点出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边三角形，直线与直线相交于点，当是直角三角形时，请直接写出等边三角形的边长．
数学
一、选择题（本大题共11小题，每题3分，共33分）
1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
2. 在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断各选项，即可得到不能判定为直角三角形的结果．
解答过程：解：A．∵
∴，符合勾股定理的逆定理
∴是直角三角形，不符合要求；
B．∵，三角形内角和为，
设，，，
∴，
解得：，
∴最大角，
∴不能判定为直角三角形，符合要求；
C．∵，
设，，，
∴，
，
∴，符合勾股定理的逆定理，能判定是直角三角形，不符合要求；
D．∵，，
∴，得，
∴能判定是直角三角形，不符合要求．
3. 把分解因式，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：先提取公因式，再利用完全平方公式进一步分解．
解答过程：解：∵
，
∴结果为．
4. 如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据等边三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，然后根据平行线的性质得，最后利用角的和差即可求解．
解答过程：解：
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
5. 已知下列命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④直角三角形的两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查命题的真假及其逆命题的真假．需逐一判断每个命题的原命题和逆命题是否均为真命题．
解答过程：解：原命题若，则，当时，命题不成立，原命题是假命题；
逆命题若，则，当时，命题不成立，逆命题是假命题；
故命题①不符合题意；
原命题若，则，，命题成立，原命题是真命题；
逆命题若，则，当时，也可能是，逆命题是假命题；
故命题②不符合题意；
原命题若，，则，根据有理数的加法法则可知原命题是真命题；
逆命题若，则，，当，时，也成立，逆命题是假命题；
故命题③不符合题意；
原命题直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形的性质可知原命题是真命题；
逆命题三角形的两锐角互余，这个三角形是直角三角形，根据三角形内角和定理可知逆命题也是真命题；
故命题④符合题意．
原命题与逆命题均为真命题的个数是．
故选：A．
6. 若，且，，则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 1
答案：D
解析：
思路：两式作差后，利用因式分解进行求解即可.
解答过程：解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
7. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：首先将已知点的坐标代入直线求得的值，直线与x轴交于，根据图象即可求解．
解答过程：解：直线与直线相交于点，
，
解得：，
当时，，解得，即直线与x轴交于，
观察图象可知：关于的不等式的解集为．
8. 已知关于x的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：
甲：若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；
乙：若它无解，则．
其中下列判断正确的是（ ）
A. 甲、乙都对B. 甲对，乙错C. 甲错，乙对D. 甲、乙都错
答案：A
解析：
思路：根据不等式组解的情况，对a进行讨论求解．
解答过程：解：根据题意，得不等式组的解集为，
由它的整数解仅有3个，且为2，3，4，
则，
解得：，
故甲正确；
若它无解，则，
解得：，
故乙正确．
9. 代数式中的取值范围在数轴上表示如图所示，则的值为（ ）
A. 4B. 3C. 1D.
答案：A
解析：
思路：根据有意义得出，，再由数轴可得，即可得，即可求解．
解答过程：解：根据有意义可得，解得，
根据有意义可得，解得，
由数轴可得，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
10. 如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，中心对称图形的性质等知识点．
根据等边三角形三线合一的性质和勾股定理得到线段的长度，根据中心对称图形的性质得到的长度，根据勾股定理得到的长度．
解答过程：解：∵为等边三角形，为的中点，
∴是边上的高，，，，
∴，，
∴在中，，
∵与关于点中心对称，
∴，，，
∴，
∴在中，．
11. 如图1，在中，．动点P从的顶点A出发，以的速度沿匀速运动回到点A．图2是点P运动过程中，线段的长度随时间变化的图象．其中点Q为曲线部分的最低点．下列选项正确的是（ ）
A. 的面积是B. 图2中m的值是
C. 的面积是D. 图2中m的值是
答案：B
解析：
思路：作于点，由等腰三角形的性质可得，由图可得，当时，点在点处，即，由图可得，点为曲线部分的最低点，即的最小值为，结合垂线段最短可得，由勾股定理可得，则，由此逐项分析各项即可得出结果．
解答过程：解：如图，作于点，
，
∵在中，．
∴，
由图可得，当时，点在点处，即，
由图可得，点为曲线部分的最低点，即的最小值为，结合垂线段最短可得，
∴，
∴，
∴的面积是，故AC错误，不符合题意；
，故B正确，符合题意，D错误，不符合题意．
二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）
12. 定义一种新运算：，则关于的不等式组的负整数解共有_____个．
答案：
3
解析：
思路：根据新运算的定义化简不等式组，求出不等式组的解集，找出解集中的负整数，统计得到负整数解的个数．
解答过程：解：，
将不等式组按新定义展开得，
化简得，
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为，
不等式组的负整数解为，共个．
13. 阅读以下作图步骤：①在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②作直线，交于点O；③以O为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，如图所示．根据以上作图，则的度数为______．
答案：##90度
解析：
思路：由作图可知垂直平分线段，，因为，所以，根据等边对等角可知，在中，利用三角形内角和定理可知，则，进而可求的度数．
解答过程：解：如图，连接．
由作图可知垂直平分线段，
，
，
，
∴，
∵，
∴，
，
．
14. 如图，在第一象限内有两点，，将线段平移，使点、同时落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______．
答案：或
解析：
思路：设平移后点的对应点分别是，分两种情况进行讨论：在轴上，在轴上；在轴上，在轴上．
解答过程：解：设平移后点的对应点分别是，
分两种情况：
在轴上，在轴上，则横坐标为，纵坐标为，
∵，
∴，
∴点平移后的对应点的坐标是；
在轴上，在轴上，则纵坐标为，横坐标为，
∵，
∴，
∴点平移后的对应点的坐标是；
综上可知，点平移后的对应点的坐标是或．
15. 如图，已知在等边中，，，若点在线段上运动，当有最小值时，最小值为______．
答案：12
解析：
思路：本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，作于，于，由等边三角形的性质得出，，求出，由含角的直角三角形的性质得出，从而得出，再根据即可得出答案．
解答过程：解：如图，作于，于，
，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共75分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 解不等式：．
答案：
解析：
解答过程：解：，
，
，
，
．
17. 解不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上
（1）；
（2）．
答案：（1）
，解集表示在数轴上见解析
（2）无解，解集表示在数轴上见解析
解析：
（1）解： ，
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集是，
把解集表示在数轴上：
；
（2）解： ，
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组无解，
把解集表示在数轴上：
．
18. 因式分解：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）解析：
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是，，．将平移，使点A与点O重合，得到，点B，C的对应点分别是，．
（1）在平面直角坐标系中画出并写出点的坐标；
（2）在平面直角坐标系中画出关于原点中心对称的；
（3）在x轴上有一点P，使得最小，在图中画出点P，并求出点P的坐标．
答案：（1）作图见解析，点的坐标为；
（2）作图见解析 （3）作图见解析，点P的坐标为．
解析：
思路：（1）根据平移的性质作图，结合平面直角坐标系得到点的坐标；
（2）根据中心对称的性质作图即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点即为所求，求出直线的解析式，即可求出点的坐标．
（1）解：由题意得，向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到，
如图，即为所求．
则点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点即为所求，
则，
由对称的性质得，此时有最小值，
设直线的解析式为，
∵，
则，解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，
∴点P的坐标为．
20. 如图，在中，，于点．
（1）若，求的度数；
（2）若点在边上，在的延长线上取一点，使，求证：．
答案：（1）
（2）见解析
解析：
思路：（1）根据等腰三角形三线合一的性质得到，根据三角形的内角和即可得到；
（2）根据等腰三角形的性质得到，由得，进而得，然后根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论．
（1）解：∵，于点D，
∴，，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21. 定义：用表示，两个数中较大数，如，．
（1）______，若，则的取值范围是_____；
（2）若且满足成立，求正整数的值；
（3）在（2）的条件下，解关于的方程：．
答案：（1）3，
（2）的值为1
（3）解析：
思路：（1）根据表示、中较大数的定义，直接比较和的大小；再由，得出不大于的取值范围。
（2）结合和，转化为不等式组求解，再确定正整数的值。
（3）将(2)中求得的代入方程，通过解一元一次方程得到的值。
（1）解：3，若，则的取值范围是，
故答案为：3，；
（2）解：由题意得，
解得，
因为是正整数，
所以的值为1．
（3）解：当时，原方程为，
解得．
22. 年山亭区助农电商平台采购方案：为助力乡村振兴，某电商平台购进甲（店子长红枣礼盒）和乙（城头豆制品礼盒）两款助农产品进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价不变）：
（1）求甲、乙两款礼盒的进货单价；
（2）该平台计划第三次购进甲、乙两款礼盒共盒．已知每盒甲款礼盒售价为元，每盒乙款礼盒售价为元．若规定乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的倍，设购进甲款礼盒盒，这批礼盒的总利润为元，求的最大值．
答案：（1）甲款礼盒的进货单价为 元，乙款礼盒的进货单价为元
（2） 元
解析：
思路：本题考查了一次函数，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．解题的关键在于理解题意，找出等量关系，列出方程组或不等式，然后求解．
（1）设甲款礼盒的进货单价为元，乙款礼盒的进货单价为元，列出方程组，即可；
（2）设购进甲款礼盒 盒，乙款礼盒为盒，则总利润，根据乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的 倍，求出的取值，根据一次函数的性质，当取最大值时，利润，即可．
（1）解：设甲款礼盒的进货单价为元，乙款礼盒的进货单价为元，
∴方程组得
解得，
∴甲款礼盒的进货单价为 元，乙款礼盒的进货单价为元．
（2）解：设购进甲款礼盒 盒，乙款礼盒为盒，
∴总利润，
整理得：，
∵乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的 倍
∴，
∴，
∵为整数，
∴，
∵中，，随着的增大而增大，
∴当取最大值时，利润，
即（元）．
23. 如图，直线：与轴、轴分别交于点、，直线：与轴、轴分别交于点、，两直线相交于点．
（1）直接写出直线的解析表达式为______；
（2）结合图像，当时，的取值范围是______；
（3）如果点在直线上，满足的面积是面积的2倍，请求出点的坐标．
答案：（1）
（2） （3）或
解析：
思路：（1）求出点坐标，待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）根据图像法进行求解即可；
（3）求出的坐标，根据的面积是面积的2倍，列出方程进行求解即可．
（1）解：把，代入，得，
∴，
把代入，得，解得，
∴；
（2）解：由图像可知的解集为；
（3）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
∴，
∴或，
∴或．
24. 如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点．
（1）求证：垂直平分；
（2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由．
答案：（1）见解析 （2），见解析
解析：
思路：本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是证明和；证明和题目比较典型，综合性强．
（1）由为的角平分线，得到，推出和相等，得到，即可推出结论；
（2）由已知推出，得到，在中，由推出，即可推出结论．
（1）证明：为的角平分线，，，
，，
，
，
，
点、都在的垂直平分线上，
垂直平分；
（2）解：，理由如下：
，平分，
，
，，
，
，
，
，
，
．
25. 阅读下列材料：
若一个正整数能表示成（是正整数，且）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解．例如：因为，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的一个平方差分解；再例如：（是正整数），所以也是“明礼崇德数”，与是的一个平方差分解．
（1）判断：9___________“明礼崇德数”；（填“是”或“不是”）
（2）已知与是的一个平方差分解，求；
（3）已知（是正整数，是常数，且），要使是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个的值，并说明理由．
答案：（1）是 （2）
（3）当时，为“明礼崇德数”，理由见解析
解析：
思路：本题考查了整式的混合运算，以及因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式计算．
（1）根据和“明礼崇德数”的定义进行判断；
（2）根据“明礼崇德数”的定义列式求解即可；
（3）通过因式分解得，根据“明礼崇德数”的定义，列出k的方程求得k便可．
（1）解：，
是“明礼崇德数”．
故答案为∶ 是．
（2）解：与是的一个平方差分解，
．
（3）解：
，
∴当，即时，为“明礼崇德数”．
故当时，为“明礼崇德数”．
26. 已知是等边三角形．
（1）如图1，若，点在线段上，且，连接，求的长；
（2）如图2，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求证：；
（3）如图3，若，动点从点出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边三角形，直线与直线相交于点，当是直角三角形时，请直接写出等边三角形的边长．
答案：（1）
（2）证明见解析 （3）的边长为或
解析：
思路：（1）作于点，由等边三角形的性质可得，则，利用勾股定理计算出后，再计算出的长即可；
（2）延长至点使得，容易证明是等边三角形，则，，由等量代换可得，进而可证明，因此；
（3）分类讨论，当点在线段上时，容易判断，从而可得，即平分，使用勾股定理计算出的值即可；当点在线段的延长线上时，容易判断，此时是含角的直角三角形，利用勾股定理计算出的值即可．
（1）解：如图，作于点，
∵是等边三角形．
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
在中，；
（2）证明：如图，延长至点使得，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵是外角的平分线，即平分，
∴，
∵，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：①当点在线段上时，如图，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
又∵是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，即平分，
∴，，
在中，；
②当点在线段的延长线上时，如图，
同理①可得，
∵，
又∵是直角三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，；
综上所述，的边长为或．进货次数
甲款数量/盒
乙款数量/盒
进货总费用/元
第一次
第二次
进货次数
甲款数量/盒
乙款数量/盒
进货总费用/元
第一次
第二次