人教版八年级数学下册期末复习 专题03 多边形&平行四边形9考点18题型3易错4方法(期末复习知识清单)

这是一份人教版八年级数学下册期末复习 专题03 多边形&平行四边形9考点18题型3易错4方法(期末复习知识清单)，共10页。学案主要包含了四边形及其内角和与外角和，多边形及相关概念，多边形的内角和，多边形的外角角和， 平行四边形的概念，平行四边形的性质定理，两条平行线间的距离，平行四边形的判定等内容，欢迎下载使用。

一、四边形及其内角和与外角和
1.定义:在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形;
2.相关概念：
（1）边：组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点，如下图，画出四边形 ABCD 的任何一条边(例如 CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.
（2）对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线；
（3）内角：四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角.
（4）外角：四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.
3.四边形的内角和与外角和
四边形的内角和等于360°；
四边形的外角和等于360°.
四边形具有不稳定性.
二、多边形及相关概念
★1、多边形的定义： 在平面内，由n（n≥3）条线段首尾依次相接，组成的图形叫做多边形. 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
★2、相关概念
(1)内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.
(2)外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
(3)对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
▲n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n(n−3)2（n≥3，且n为整数）
三、多边形的内角和
★1、多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）
★2、多边形内角和公式的常见应用
(1)已知多边形的边数，求内角和；
(2)已知多边形的内角和，求边数；
(3)求正n 边形每个内角的度数， 其公式为(n−2)×180°n；
(4)已知n 边形每个内角的度数，且度数都相等，求边数．
★3、多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180° .
四、多边形的外角角和
★1、多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°．
【注意】
（1）多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和.
（2）多边形的外角和恒等于360°，与边数无关.
（3）借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．
★2、常见应用
（1）已知外角度数求正多边形的边数；
（2）已知正多边形的边数求外角度数，所用公式为 360°n .
五、 平行四边形的概念
◆1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
◆2、表示方法：平行四边形用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作：“□ABCD”，
读作:“平行四边形ABCD”.
【注意】表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序．
◆3、几何语言：(双重含义)
∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形（判定）
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（性质）
六、平行四边形的性质定理
●●平行四边形的性质：
◆1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等．
几何语言： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB = CD，AD = BC，
◆2、角：①平行四边形的对角相等．②平行四边形的对角互补.
几何语言：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A =∠C，∠B = ∠D
◆3、对角线：平行四边形的对角线互相平分．
几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD
◆4、对称性
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心．
七、两条平行线间的距离
◆1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
◆2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
◆3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
如图（1），a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，即AB=CD；如图（2）线段AB（或CD）的长即为两条平行线之间的距离.
八、平行四边形的判定
★1、平行四边形的判定方法
★2、平行四边形有5种判定方法，在判定一个四边形是平行四边形时，应选择哪一种方法需要根据具体情况而定，当几种方法都能判定时，应选择较简单的方法.
★3、平行四边形性质与判定的联系与区别
区别 ：由平行四边形这一条件得到边、角、对角线的关系是性质.由边、角、对角线的关系得到平行四边形是判定.
联系：平行四边形的性质题设和结论正好与判定的题设和结论相反，它们构成互逆的关系.
九、三角形的中位线
◆1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
◆2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴ DE∥BC，且DE =12BC．
◆3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段.
◆4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半.
◆5、三角形的中线与中位线
相同点：都是与中点有关的线段.
不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
题型一 多边形相关概念
【例1】（25-26七年级上·全国·期末）下列图形不是凸多边形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了凸多边形的概念，根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形．
【详解】
解：根据凸多边形的概念，可知图形不是凸多边形的是．
故选：D．
【变式1】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）下列说法正确的是（ ）
A．各角都相等的多边形是正多边形B．各边都相等的多边形是正多边形
C．多边形的内角与相邻的外角互为补角D．五边形一共有两条对角线
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的定义和性质，熟练掌握多边形的定义和性质是解题关键．根据各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，可判断A、B选项；根据多边形内角和外角的关系，可判断C选项；根据n边形有nn−32条对角线，可判断D选项．
【详解】解：A、各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，原说法错误，不符合题意；
B、各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，原说法错误，不符合题意；
C、多边形的内角与相邻的外角互为补角，原说法正确，符合题意；
D、五边形一共有5×5−32=5条对角线，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【变式2】（22-23七年级下·四川宜宾·期末）下列说法中，错误的有（ ）
A．三角形是边数最少的多边形
B．等边三角形和长方形都是正多边形
C．n边形有n条边、n个顶点、n个内角、2n个外角
D．六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条
【答案】B
【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键．
【详解】解：A．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确；
B．长方形不是正多边形，该选项说法错误；
C．n边形有n条边、n个顶点、n个内角、2n个外角，该选项说法确；
D．六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条，该选项说法正确；
故选：B．
【变式3】（21-22八年级下·全国·期末）在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______．
【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥①
【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键．
根据多边形的定义进行判断即可．
【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥．
故答案为：①⑤⑥；①⑥．
题型二 多边形的对角线
【例2】（21-22七年级上·陕西西安·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将这个多边形分成4个三角形，那么从这个多边形的一个顶点出发对角线有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．5条
【答案】B
【分析】n边形从一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成(n−2)个三角形，且从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，先根据分成的三角形个数求出多边形边数，再计算对角线条数即可.
【详解】解：设这个多边形有n条边，
∵从n边形的一个顶点出发作对角线，最多将多边形分成(n−2)个三角形，
∴n−2=4，解得n=6，即这个多边形是六边形，
又∵从n边形的一个顶点出发可作(n−3)条对角线，
∴从这个多边形的一个顶点出发对角线有6−3=3条.
【变式1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】本题考查了多边形的对角线，根据从n边形的一个顶点最多能引出n−3条对角线求解即可．
【详解】解：从该九边形的一个顶点最多能引出9−3=6条对角线，
故选：A．
【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，过一个顶点，四边形有1条对角线；五边形有2条对角线：六边形有3条对角线：……按此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（ ）
A．9条B．10条C．11条D．12条
【答案】A
【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数−3，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵四边形从一个顶点出发，可以画4−3=1条对角线，
五边形从一个顶点出发，可以画5−3=2条对角线，
六边形从一个顶点出发，可以画6−3=3条对角线，
…，
∴n边形从一个顶点出发，可以画n−3条对角线，
∴十二边形从一个顶点出发，可以画12−3=9条对角线，
故选：A．
【变式3】（23-24七年级上·陕西西安·期末）从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是___________．
【答案】18
【分析】从n边形的一个顶点出发有n−3条对角线．
【详解】解：设该正多边形的边数是n，
∵从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，
∴n−3=15，
解得n=18，
∴该正多边形的边数是18．
题型三 多边形的内角和
【例3】如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（ ）
A．60°B．55°C．50°D．45°
【答案】A
【分析】多边形内角和=n−2⋅180° (n≥3且n为整数）．先根据五边形内角和求得∠EDC+∠BCD，再根据角平分线求得∠PDC+∠PCD，最后根据三角形内角和求得∠P的度数．
【详解】解：在五边形ABCDE中，内角和为5−2×180°=540°，
∵∠A+∠B+∠E=300°，
∴∠EDC+∠BCD=240°，
∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，
∴∠PDC+∠PCD=120°，
在△CDP中，∠P=180°−∠PDC+∠PCD=180°−120°=60°．
【变式1】如图为《北京2022年冬残奥会会徽》纪念邮票，其规格为边长14.92毫米的正八边形，则正八边形的内角和为（ ）
A．720°B．900°C．1080°D．1440°
【答案】C
【分析】根据多边形的内角和公式n−2×180°计算即可．
【详解】解：正八边形的内角和为8−2×180°=6×180°=1080°．
【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角相等，则这个多边形的一个外角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】B
【分析】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题．
设多边形边数为n，利用多边形内角和公式列出方程，可求出边数，再根据外角和定理即可求外角．
【详解】解：设多边形边数为n，
∵ 四边形内角和为360°，多边形的内角和比四边形的内角和多720°，
∴ 多边形内角和为360°+720°=1080°，
∴n−2×180°=1080°，
解得：n=8
∴外角为360°÷8=45°．
故选：B
【变式3】（25-26八年级上·湖北武汉·月考）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是___________边形．
【答案】九
【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；设这个多边形的边数是n，利用多边形的内角和公式列方程求解即可．
【详解】设这个多边形的边数是n，则有n−2⋅180°=1260°，
化简得n−2=7，
解得n=9，
∴这个多边形是九边形．
故答案为：九．
题型四 正多边形的角的计算问题
【例4】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）如果一个正多边形的边数增加2，那么它的内角和增加（ ）
A． 90°B． 180°C． 270°D． 360°
【答案】D
【分析】本题考查了多边形内角和公式．
根据多边形内角和公式，计算边数增加2后的内角和的差值即可．
【详解】解：设原多边形边数为n，则原内角和为n−2×180°，
∵边数增加2，
∴新边数为n+2，新内角和为n+2−2×180°=n×180°，
∴内角和增加量=n×180°−n−2×180°=2×180°=360°．
故选：D．
【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）若一个正多边形的每个内角都是120°，则这个多边形的边数是（ ）
A．3B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】本题考查正多边形的内角问题．熟练掌握正n边形的每个内角的度数为n−2⋅180°n，是解题的关键．根据正n边形的每个内角的度数为n−2⋅180°n，进行求解即可．
【详解】解：设该正多边形的边数为n，
由题意得n−2×180°=120°×n，
解得n=6，
故选：B．
【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，正五边形ABCDE中，边AE，CD的延长线交于点F，则∠F的度数为（ ）

A．30°B．36°C．37.5°D．40°
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形外角和，三角形内角和等知识．由多边形外角和及正多边形的性质可求得每个外角的度数，再由三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】解：在五边形ABCDE中，∠DEF=∠EDF=360°÷5=72°，
∴∠F=180°−∠DEF−∠EDF=36°；
故选：B．
【变式3】（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图所示为用镜子拼成的正八边形，点B为AF上一点，现从点B射出一束光线，经过两次反射后，到达AG边上的E点，若∠ABC=65°，则∠AED=（ ）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【答案】A
【分析】本题主要考查了多边形的内角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和反射定理．
设CD上方的正八边形的顶点依次为H，I，J，BC与DE的交点为K，先求出正八边形每个内角的度数，再由光的反射定理得∠DCH、∠CDJ、∠BCD和∠CDE的数量关系，再利用多边形CHIJD是五边形，求出∠BCD与∠CDE的度数和，再求出∠CKD的度数，然后求出答案即可．
【详解】解：如图，设CD上方的正八边形的顶点依次为H，I，J，BC与DE的交点为K，
∵八边形是正八边形，
∴∠CHI=∠HIJ=∠IJD=∠BAE=8−2×180°8=135°，
设∠BCD=x，∠CDE=y，
由光的反射定理可知：∠DCH=12180°−∠BCD=90°−12x，
∠CDJ=12180°−∠CDE=90°−12y，
∵多边形CHIJD是五边形，
∴∠CHI+∠HIJ+∠IJD+∠DCH+∠CDJ=540°，
即3×135°+90°−12x+90°−12y=540°，
化简得：x+y=90°，
∴∠CKD=180°−x+y=90°，
∴∠BKE=90°，
∵多边形AEKB是四边形，∠ABC=65°，
∴∠AED=360°−∠BKE+∠BAE+∠ABC=360°−90°+135°+65°=70°，
故选：A．
题型五 多（少）算一个角问题
【例5】（22-23八年级上·广西钦州·期末）小红：我计算出一个多边形的内角和为2020°；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【答案】D
【分析】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，由多边形内角和定理可得等式：180(n−2)=2020+x，由n为整数即可确定x的值．
【详解】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，
由题意得：180(n−2)=2020+x，
∴n=13+40+x180，
由于n为整数，x为正数且小于180，
∴40+x=180，
则x=140，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角．
【变式1】（23-24八年级下·四川达州·期末）已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（ ）
A．十一边形B．十二边形C．十三边形D．十五边形
【答案】B
【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，
则：（n-2）•180+x=1960，
∴x=2320-180n．
∵0°＜x＜180°，
∴0＜2320-180n＜180，
解得1189