人教版2025年八年级数学下学期期末总复习(知识梳理)专题03平行四边形(考点清单，2考点梳理+11题型解读)(学生版+解析)

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清单01 平行四边形
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.性质：（1）．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
（2）．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
（3）．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
（4）．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
3.判定：（1）.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.平行线的性质
（1）平行线间的距离都相等
（2）等底等高的平行四边形面积相等
5.三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．
清单02 特殊的平行四边形
1.矩形、菱形、正方形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形.
2.矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
3.矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.
2. 对角线相等的平行四边形是矩形.
3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
4.直角三角形性质：由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5.菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.
6.菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
7.菱形的面积计算：①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
8.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.
2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
9.正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.有一个内角是直角的菱形是正方形.
【考点题型一】利用平行四边形的性质（）
【例1-1】（23-24八年级下·广西河池·期末）已知在中，对角线、相交于点O， ，则等于（ ）
A．3B．6C．4D．12
【例1-2】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在中，已知．
(1)实践与操作：作的平分线交于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)猜想并证明：猜想 与 AB是否相等，并给予证明．
【变式1-1】（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，在平行四边形中，，，平分交于点，求的长．
【变式1-2】（22-23八年级下·云南·期末）如图，在中，点E，F分别在边和上，且，求证：．
【考点题型二】利用平行四边形的判定（）
【例2-1】（23-24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ．
【例2-1】（23-24八年级下·广东茂名·期末）如图，线段与相交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，且，，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形为平行四边形．
【例2-3】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时会保证四边形停车位的边，边，且．求这个四边形停车位的面积．
【例2-4】（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．

(1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形．
(2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）．
(3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）．
【变式2-1】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A．B．AB＝ADC．D．
【变式2-2】（23-24八年级下·全国·期末）如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【变式2-3】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为 ．
【变式2-4】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，，，点、在上，且．
(1)求证：；
(2)试证明：以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【变式2-5】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，中，点E、F在对角线上，且．求证：四边形是平行四边形．
【变式2-6】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）实践操作：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，线段的端点都在格点上，点不在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图．
(1)请将图中线段向右平移个单位，再向上平移个单位，画出平移后的线段（点、分别对应点、）；
(2)在（1）的条件下，连接、，过点作一条直线平分四边形的面积，并保留作图痕迹．
【考点题型三】三角形中位线（）
【例3】（22-23八年级下·浙江·期末）如图，在中，点是边的中点，点，G在边上，，交于E， ．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
【变式3-1】（24-25八年级下·全国·期末）如图，直线，点A，B固定在直线上，C是直线上一动点．若E，F分别为的中点，下列各值中，不随点C的移动而改变的是（ ）
①线段的长；②的周长；③的面积；④的度数．
A．①②B．①③C．②④D．③④
【变式3-2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图所示，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，设的中点分别为点M，N，测得米，可求出A，B两点之间的距为（ ）
A．32米B．24米C．20米D．18米
【变式3-3】（22-23八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，，D，E分别为上的点，，F，G分别为，的中点，连，则的长度是 ．

【考点题型四】矩形的性质与判定（）
【例4-1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，和相交于点，于点，若，则的度数为 （用含的式子表示）．
【例4-2】（24-25八年级下·全国·期末）图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形的对角线上，若测量得时钟的长为，则时钟的另一边的长为 cm．（结果保留根号）
【例4-3】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）矩形的两条对角线的夹角为，对角线的长为，则矩形的面积为 ．
【例4-4】（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接，交于点E，连接交于点F．
(1)求证：．
(2)若点G是线段的中点，补全图形并求证：为等腰直角三角形．
(3)求证：．
【例4-5】（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在中，点E在边上，点F在边上，，连接．
(1)求证：
(2)若，求证：四边形是矩形．
【变式4-1】（23-24八年级下·吉林四平·期末）长为，宽为的矩形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在矩形中，，点F是边上的一点，且，连接，的垂直平分线交的延长线于点E，交于点P，连接交于点H，点H为边的中点，则的长为（ ）
A．8B．7C．4D．3
【变式4-4】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，是矩形的一条对角线，，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 （用α的代数式表示）．
【变式4-5】（22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是 ．

【变式4-6】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是 ．(只要写出一个条件即可)
【变式4-7】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平行四边形中，，经过中点O，分别交于点M，N，连接，且．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，求的长．
【考点题型五】直角三角形斜边上的中线（）
【例5】（22-23八年级下·北京朝阳·期末）如图，四边形是矩形（），的平分线交于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)是的中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【变式5-1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，C为平面内一点且，连接，点P为的中点，则的最大值为 ．
【变式5-2】（22-23八年级上·江苏宿迁·期末）中，， 点D为的中点，若，则
【变式5-3】（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为，点从点开始沿方向运动，且速度为，它们同时出发，设运动的时间为．
(1)出发后，求的长；
(2)当点在边上运动时，出发几秒钟，是直角三角形？
(3)当点在边上运动时，直接写出能使成为等腰三角形的的值______．
【考点题型六】菱形的性质与判定（）
【例6-1】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，在菱形中，．已知的周长是12，则菱形的周长是（ ）
A．20B．16C．15D．12
【例6-2】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在的两边上分别截取，使：再分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；再连接．若，，则四边形的面积是（ ）
A．B．6C．4D．8
【例6-3】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加）
【例6-4】（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，求的长．
【例6-5】（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，若四边形是矩形，交于点F．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求菱形的面积．
【变式6-1】（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得，之间的距离为，，之间的距离为，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（24-25八年级下·全国·期末）已知一菱形的边长为4，则其周长为 ．
【变式6-3】（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，平分，过点B作交于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式6-4】（22-23八年级下·广东惠州·期末）如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求菱形的面积．
【考点题型七】正方形形的性质与判定（）
【例7-1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】（23-24八年级下·广东广州·期末）2002年在北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形（、、、）拼成大正方形，中空的部分是四边形，连接，相交于点，与相交于点，若，且大正方形边长为，则四边形的面积为（ ）

A．B．C．D．
【例7-3】（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长．
【变式7-1】（23-24八年级下·云南昭通·期末）在正方形外侧作等边，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（23-24八年级下·山东济宁·期末）七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰直角三角形、正方形和平行四边形组成．如图，这是一个由边长为的正方形纸板制作的七巧板，则平行四边形（图中⑥）的面积是 ．
【变式7-3】（22-23八年级下·重庆·期末）如图，在正方形中，G为对角线上一点，连接、，E是边上一点，连接交的延长线上于点F，且，若，则的度数是 ．
【变式7-4】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P是边长为4的正方形的边上任意一点，过B点作于点G，过C点作于点E，连接．
(1)如图1，若点P是的中点，求的长；
(2)如图2，当点P在边上运动时（不与B、C重合），求证：；
(3)当__________时，是等腰三角形．
【考点题型八】中点四边形（）
【例8】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（ ）．
A．30B．35C．40D．60
【变式8-1】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，依次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，添加的条件正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（23-24八年级下·北京顺义·期末）如图，在矩形中，点，，，分别为，，，的中点．若，，则四边形的周长为 ．
【变式8-3】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知四边形，
(1)如图（1），若，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并说明理由．
(2)如图（2），若于，，，求的值．
【考点题型九】四边形中的线段最值问题（）
【例9】（22-23八年级下·江苏淮安·期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：
如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？
（1）直接判断： （填“”或“” ；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：
（2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论；
问题拓展：
（3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．
①四边形是正方形吗？请说明理由；
②若，点在上，，直接写出的最小值为 ．
【变式9-1】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【变式9-2】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在菱形中，点P是对角线上一动点，于点E，于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为中点时，则；②；③；④若，连接，则有最小值为2；⑤若，连接，则的最大值为．其中错误的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式9-3】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正方形中，，点，分别是，的中点，，相交于点，为上一动点，为的中点，下列结论：①；②；③线段MN的最大值是；④线段MN的最小值是．其中正确的是 ．（只填写序号）
【变式9-4】（22-23八年级下·湖北十堰·期末）如图，已知，，，，D是平面内的一个动点，且，连接，点E是的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．

【变式9-5】（22-23八年级下·重庆涪陵·期末）如图，在平行四边形中，，点E为边上一点，连结交对角线于点F．
(1)如图，若，，求的长度；

(2)如图，若，点G，H为边的两点，连接，，，且满足．求证：．

(3)如图，若，，将沿射线方向平移，得到，连接，，当的值最小时，请直接写出的最小值．

【考点题型十】特殊平行四边形折叠问题（）
【例10】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图所示的长方形纸条，其中，．然后在纸条上任意画一条线段，将纸片沿折叠，直线与直线交于点，得到．如图所示：

【基础回顾】
(1)在图中，若，；（直接写出答案）
【操作探究】
(2)改变折痕位置，始终是______三角形，请说明理由；
(3)爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，此时的大小可以为______；
【拓展延伸】
(4)小明继续动手操作进行折纸，发现了面积存在最大值，请你求出这个最大值．
【变式10-1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在矩形中，点M在边上，先将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．之后再将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式10-2】（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图所示，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为，再过点折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为．若的长为2，则的长为（ ）
A．B．C．D．1
【变式10-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接、．有以下结论：①；②；③；④；⑤图中与相等的角有个．其中，正确结论的序号是 （把正确结论的序号都填上）．
【变式10-4】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）在数学综合与实践活动中，小明发现折叠矩形纸片可以得到一些特殊角，我们将折痕与矩形原有边形成的夹角称为“折叠角”．
【尝试与感悟】
（1）如图，点在边上，将矩形沿折叠，点落在边上的点处，此时折痕与边形成的夹角就是“折叠角”，且 ______ ；
（2）如图，先将矩形对折，使得与重合，折痕为，点在边上，再将纸片沿着折叠，点落在上的点处求“折叠角”的度数；
【探索与发现】
（3）在图中与垂直的射线、上分别取点、，使得四边形是矩形，将其沿着经过点的直线折叠后，点落在边上并且得到的“折叠角”请你用无刻度的直尺与圆规分别确定点、不写作法，保留作图痕迹
【变式10-5】（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，是正方形内一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，与的平分线相交于．
(1)当四边形为菱形时，填空：______；
(2)试求的度数；
(3)如图，连接，交于，连接，当三点共线时，求证：四边形是菱形．
【变式10-6】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在正方形中，点为边的中点，连接，将沿着翻折，点的对称点为点，记与的交点为．

(1)如图1所示，连接并延长交边于点，求证：点是的中点；
(2)如图2所示，延长交边于点，求证：点是的中点；
(3)如图3所示，若，过点作，分别交，于点，，求的值．
【考点题型十一】特殊平行四边形的动态问题（）
【例11】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，正方形的边长为，点是 边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接；
(1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明；
(2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值．
【变式11-1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【变式11-2】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形中，，，，动点P从A点开始沿边以的速度向点D运动，动点Q从C点开始沿边以的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
(1)当t为何值时，四边形是矩形；
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形；
(3)问：四边形是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由．
【变式11-3】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数；
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积；
(3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．