北师版八年级数学下册期末复习 专题06 平行四边形(期末复习知识清单)

这是一份北师版八年级数学下册期末复习 专题06 平行四边形(期末复习知识清单)，共10页。学案主要包含了核心概念与表示方法，平行四边形的性质，平行四边形的判定，三角形中位线定理，多边形的内角和与外角和，重要辅助线与解题方法，易错点与注意事项等内容，欢迎下载使用。
一、核心概念与表示方法
1、平行四边形定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示方法：用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
几何语言：
∵ AB∥CD，AD∥BC（已知）
∴ 四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义）
2、相关概念：
对边：不相邻的两边（如AB与CD，AD与BC）
对角：不相邻的两个角（如∠A与∠C，∠B与∠D）
邻边：相邻的两边（如AB与AD，BC与CD）
邻角：相邻的两个角（如∠A与∠B，∠C与∠D）
对角线：连接平行四边形不相邻两个顶点的线段（如AC、BD）
二、平行四边形的性质（边、角、对角线、对称性）
1、边的性质：
平行四边形的对边平行且相等
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD，AD∥BC（对边平行）
AB=CD，AD=BC（对边相等）
2、角的性质：
平行四边形的对角相等，邻角互补
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（对角相等）
∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°（邻角互补）：
3、对角线的性质：
平行四边形的对角线互相平分
几何语言：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O
∴ OA=OC，OB=OD（对角线互相平分）
4、对称性：
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；不是轴对称图形
性质：平行四边形绕对角线交点旋转180°后与自身重合
5. 面积公式：
平行四边形的面积=底×高（S=ah），其中a为底边长，h为这条底边对应的高
重要推论：同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等
三、平行四边形的判定（5种方法）
定义法
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵ AB∥CD，AD∥BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形
边判定1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
∵ AB=CD，AD=BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形
边判定2
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵ AB∥CD且AB=CD（或AD∥BC且AD=BC） ∴ 四边形ABCD是平行四边形
角判定
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵ ∠A=∠C，∠B=∠D ∴ 四边形ABCD是平行四边形
对角线判定
对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵ 对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD ∴ 四边形ABCD是平行四边形
注：判定定理与性质定理是互逆关系，可相互推导
四、三角形中位线定理
中位线定义： 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触的边），并且等于第三边的一半
几何语言：
∵ D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点
∴ DE∥BC，且DE=：½BC
3、重要推论
三角形的三条中位线将原三角形分成四个全等的小三角形
三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似，相似比为1:2，面积比为1:4
三角形中位线定理可用于证明线段平行、线段倍分关系，解决实际测量问题（如测量池塘宽度）
五、多边形的内角和与外角和
1、多边形相关概念：
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形
n边形：有n条边的多边形（n≥3且n为整数）
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形
内角：多边形相邻两边组成的角
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角
对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段
2、多边形对角线公式：n边形从一个顶点出发可引(n-3)条对角线，n边形共有n(n-3)/2条对角线（n≥3且n为整数）
3、多边形内角和公式：
n边形的内角和等于(n-2)×180°（n≥3且n为整数）
推导方法：将n边形分割成(n-2)个三角形，利用三角形内角和180°推导
正n边形的每个内角为：(n-2)×180°/n
4、多边形外角和定理：
多边形的外角和等于360°（无论n取何值，外角和恒为360°）
推导方法：多边形的每个内角与它相邻的外角互为邻补角，n边形内角和加外角和等于n×180°，故外角和= n×180°-(n-2)×180°=360°
正n边形的每个外角为：360°/n
六、重要辅助线与解题方法
1、常用辅助线作法：
连接对角线：将平行四边形转化为两个全等三角形，利用三角形性质解决问题
作高：构造直角三角形，解决平行四边形的高、面积等计算问题
延长中线：倍长中线，构造平行四边形，证明线段相等或平行
构造中位线：连接中点，利用中位线定理证明线段平行或倍分关系
2、平行四边形与三角形的关系：
平行四边形的一条对角线将其分成两个全等的三角形
平行四边形的两条对角线将其分成四个面积相等的三角形
三角形的中位线定理是连接三角形与平行四边形的桥梁
七、易错点与注意事项
1.概念辨析
❌ 错误：一组对边平行的四边形是平行四边形
✅ 正确：一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形（一组对边平行可能是梯形）
❌ 错误：平行四边形是轴对称图形
✅ 正确：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形（特殊平行四边形如矩形、菱形、正方形除外）
❌ 错误：平行四边形的对角线相等
✅ 正确：平行四边形的对角线互相平分，不一定相等（矩形对角线相等）
2.判定方法选择
已知边的关系：优先选择边的判定方法（定义法、两组对边相等、一组对边平行且相等）
已知角的关系：选择角的判定方法（两组对角相等）
已知对角线关系：选择对角线的判定方法（对角线互相平分）
3.中位线应用
注意区分三角形中位线与三角形中线：中位线连接两边中点，中线连接顶点与对边中点
中位线定理中“平行于第三边”和“等于第三边的一半”两个结论缺一不可，需完整应用
4.多边形内角和与外角和
多边形内角和随边数增加而增大，外角和恒为360°，与边数无关
正多边形的内角和外角互为邻补角，可相互计算
题型一 利用平行四边形的性质求解
1．在平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴.
2．如图，在平行四边形中，已知相交于点，两条对角线长的和为，的长为．求的周长．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，继而得到的周长．
【详解】解：在平行四边形中，
，
又，
，
，
的周长为：．
3．在平行四边形中，边上的高为4，．求平行四边形的周长．
【答案】或
【分析】根据题意分别画出图形，边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图所示，

∵在中，边上的高，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长等于，
如图所示，
∵在中，边上的高为，， ，
∴ ，，
∴，
∴，
∴的周长等于：，
则的周长等于或，
故答案为：或．
4．如图，在平行四边形中，．求的大小．
【答案】，，，
【分析】根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
题型二 利用平行四边形的性质证明
5．如图，在平行四边形中，对角线交于点，，，垂足分别为．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】利用平行四边形的性质证明即可求证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
6．如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，过作线段交于点，交于点，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，证明，即可得到．
【详解】证明：在平行四边形中，点是对角线的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
．
在和中，，
，
．
7．在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分
【答案】见解析
【分析】根据定理证得即可得到结论．
【详解】证明：如图，设与交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴和互相平分．
8．如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O且与分别交于点E、F．求证：．
【答案】见解析
【分析】先结合平行四边形的性质得，再证明，故，即可作答．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中

∴，
∴．
题型三 等腰梯形的性质定理
9．如图，在等腰梯形中，，，，，现有、两个动点分别从点、同时沿梯形的边开始移动，点依逆时针，方向环行，点依顺时针方向环行，若点的速度与点的速度之比为，则点、点第2026次相遇在（ ）点．
A．点B．点C．点D．点
【答案】B
【分析】设梯形腰长为，根据等腰梯形性质及求出各边长及周长；根据的运动方向确定第一次相遇时的路程和，结合速度比求出第一次相遇位置；利用周期性规律计算第次相遇位置．
【详解】设
∵ 四边形是等腰梯形，
∴
∴ 梯形周长
∵，
，
∵ 点依逆时针方向环行，点依顺时针方向环行
∴ 点从向运动，点从向运动 第一次相遇时，两点路程之和为，
∵ 点与点的速度之比为2:3
∴ 第一次相遇时，点的路程为
∵
∴ 第一次相遇在点 此后每次相遇，两点路程之和增加一个周长点每次相遇增加的路程为，第2026次相遇时，点的总路程
∵，
∴ 点的位置与第一次相遇位置相同，即在点．
10．如图，若一个图案是由6个全等的等腰梯形拼成的，则图中的______________°．
【答案】
120
【分析】观察图形可知，图案的外轮廓是正六边形，根据正多边形内角和公式求出正六边形的内角度数，再根据图形拼接特点，可知正六边形的一个内角由两个全等的等腰梯形的底角组成，从而求出梯形的锐角底角度数，利用等腰梯形同一腰上的两个角互补求出钝角底角度数，结合图形判断的度数
【详解】解：正六边形的内角和为
每个内角为
因为图案由 个全等的等腰梯形拼成
所以正六边形的每个内角由两个等腰梯形的底角拼接而成
所以等腰梯形的锐角底角为
因为等腰梯形同一腰上的两个角互补
所以等腰梯形的钝角底角为
观察图形可知， 是等腰梯形的钝角
所以．
11．如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中的度数是______．
【答案】60°/60度
【分析】根据四边形内角和，等腰梯形的两个底角相等，得到，求解即可；
【详解】解：根据题意，得四边形内角和，
由等腰梯形的两个底角相等，得到，
解得；
12．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动：点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，若运动时，求运动时间的值？
【答案】的值为或
【分析】本题考查平行四边形和等腰梯形的性质，当，存在两种情况：（1）四边形是平行四边形；（2）四边形是等腰梯形．
【详解】解：由题意可知：，，，
若，分两种情况：
①当四边形是平行四边形时，
，
，
解得：，
②当四边形是等腰梯形时，
过点作于，
,
,
解得：,
综上所述，当的值为或时，．
题型四 数图形中平行四边形的个数
13．在中，，则图中平行四边形的个数是（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
,
，
根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
可得图中平行四边形有：, 共6个．
14．在中，，，则图中平行四边形的个数是（）
A．13B．14C．15D．18
【答案】D
【分析】这些线将大平行四边形分割成一个网格，任意两条横线与两条竖线相交，围成一个平行四边形
【详解】解：依题意，，，
∴最小平行四边形（）有：行列，共个
横向拼接（）有：每行个，共行，共个
纵向拼接（）有：每列个（连续两行），共列，共个
大小有：高度方向有种（行、行），宽度种，共个
整列高（）有：左列和右列各个，共个
整个图形（）有：，共个
综上所述，总数为：个
15．如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形．
【答案】3
【详解】解：∵和都可以由平移得到，
∴，，，
∴图中的平行四边形有，共三个，
故答案为：．
16．如图，在平行四边形中，已知两条对角线相交于点O，E，F，G，H分别为的中点，以图中的点（包括平行四边形的四个顶点）为顶点，最多可以画出___________个平行四边形（平行四边形除外），它们分别是___________．
【答案】 3 平行四边形，平行四边形，平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定画出图形即可解答．
【详解】解：如图：
即平行四边形，平行四边形，平行四边形；
故答案为：3；平行四边形，平行四边形，平行四边形．
题型五 判断能否构成平行四边形
17．如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【详解】解：A、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
B、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意；
D、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意．
18．已知四边形中，交于点O，下列条件不能推导出四边形是平行四边形的是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项即可．
【详解】解：A、∵，，即四边形两组对边分别平行，
∴四边形是平行四边形，A不符合题意．
B、当，时，四边形可以是等腰梯形，无法判定是平行四边形，B符合题意．
C、∵四边形内角和为，，，
∴，
∴，同理可得，
∴四边形是平行四边形，C不符合题意．
D、∵，
∴，，
又，
∴，
∴，即四边形对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形，D不符合题意．
19．在四边形中，对角线、交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】解：A选项，，，该四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故A不符合题意；
B选项，，，不能推出对角线互相平分，四边形不是平行四边形，故B不符合题意；
C选项，，，该四边形可以是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故C不符合题意；
D选项，，
，
，
，
，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
因此四边形是平行四边形，故D符合题意．
20．下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可．
【详解】解：如图：
① ∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴四边形是平行四边形，故①符合要求，
② 四边形内角和为，∵，，
∴ ，
∴，
∴ ，
同理可得，
∴四边形是平行四边形，故②符合要求，
③ ，仅说明邻边相等，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合要求．
④ ∵，
∴四边形是平行四边形，故④符合要求，
综上，符合条件的有个．
题型六 求与已知三点组成平行四边形的点的个数
21．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解．
【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线，
，
的长等于三个单位长度，
的对边长也应为三个单位长度，
由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度，
能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N．
22．工艺美术中常需要设计几何图案．如图，正方形网格中，已确定三个格点、、的位置，需要在图中确定点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若点的坐标是，请你在图中建立平面直角坐标系，且平面直角坐标系的横轴与网格线的水平线平行．在图中描出点的位置，并写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】描点见解析，、、
【分析】分三种情况考虑：，，，在图上描出点、、的位置，写出点、、的坐标．
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，的坐标是，则、、．
23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．
(1)与关于点成中心对称，请在图中画出；
(2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________．
【答案】(1)见解析
(2)，，
【分析】（1）根据两个三角形关于点成中心对称作图即可；
（2）根据平行四边形的性质找点即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图，点都满足题意，
∴以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是，，．
24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．按下列要求作图：
(1)在图中，将绕点按逆时针方向旋转，得到．
(2)在图中，找出所有符合条件的点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据图形旋转的性质确定点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平行四边形的判定方法结合网格特点画图即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形；
（2）解：如图所示，
题型七 证明四边形是平行四边形
25．如图，和都是等边三角形，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：连接，如图，
∵和都是等边三角形，
∴，，∠EAD=∠BAC=∠BCA=∠ABC=60°，
∴，即，
∴，
∴，∠EBA=∠DCA=60°，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，EF=BF=CD，
∵，
∴∠ABC=∠EFB=60°，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【分析】连接，根据等边三角形性质可得，，∠EAD=∠BAC=∠ABC=60°，再证明，所以，，证明为等边三角形，则有，，从而可得 ，因此得，即，又，最后通过平行四边形的判定方法即可求证．
【详解】略．
26．如图，以平行四边形的边为边分别向外作等边三角形和．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析．
【分析】由四边形是平行四边形可得，，又和是等边三角形，则，，，然后证明，所以，再通过平行四边形的判定方法即可求证．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
27．如图，在中，，，是边上两点，且，．点与点关于直线对称，点与点关于直线对称，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)7
【分析】（1）先根据对称性可得，，进而得，再说明，可得，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案；
（2）先根据对称性可得，，然后说明，接下来作，再根据直角三角形的性质得，
并根据勾股定理求出，即可得，接下来求出，最后根据平行四边形的对边相等得出答案．
【详解】（1）证明：∵点D与点F关于直线对称，
∴．
∵点E与点G关于直线对称，
∴．
∵
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵点D与点F关于直线对称，
∴．
∵点E与点G关于直线对称，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
过点F作，交延长线于点H，
在中，则，
∴．
根据勾股定理，得．
∵，
∴，
在中，．
∵四边形是平行四边形，
∴．
28．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】证明，推出，，再证明，根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形．
题型八 与三角形中位线有关的求解问题
29．如图，在中，，点D，E分别在边和上，，连接，M，N分别是的中点，连接，且，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．
【答案】C
【分析】如图所示，连接，取中点K，连接，根据中位线的判定和性质得到，，结合题意得到，根据勾股定理列式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，取中点K，连接，
∵点M，N分别是的中点，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得．
30．如图，在中，，点P在的平分线上，且，点M为边的中点．求的长．
【答案】
【分析】延长交于点，先证明，得，再由中位线可得．
【详解】解：如图，延长交于点，
是的平分线，
，
，
，
在和中，，
，
，点是的中点，
，
，
点M为边的中点，
是的中位线，
．
31．如图，在中，点是线段的中点．求作：线段，使得点在线段上，且．
作法：①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；③连接，交于点，所以线段即为所求的线段．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接，，
∵ ， ，
∴四边形是平行四边形．
（ ）（填推理的依据），
∵AC，DM交于点，
∴，即点是的中点．
（ ）（填推理的依据），
∵点是的中点，
∴（ ）（填推理的依据）．
【答案】(1)
(2)；；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对角线互相平分；三角形的中位线平行于三角形的第三条边且等于第三边的一半
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；
（2）先证明四边形是平行四边形，得出点是的中点，再结合点是的中点，即三角形中位线性质得到．
【详解】（1）解：如图所示：
①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；③连接，交于点，所以线段即为所求的线段；
（2）证明：连接，，
∵，，
∴四边形是平行四边形．（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
∵AC，DM交于点，
∴，即点是的中点．（平行四边形对角线互相平分），
∵点是的中点，
∴（三角形的中位线平行于三角形的第三条边且等于第三边的一半）．
32．学习了三角形的中位线定理后，小万和小二对该知识进行了拓展性研究．他们发现，连接梯形两腰中点的线段平行且等于上底与下底之和的一半．探究过程如下：
(1)用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹）
(2)已知：在（1）的情况下，若，，，，求线段的长度．
证明：∵是中点，
∴① ，
，，
在和中，
∵∠DAF=∠FMC② DF=CF，
，
，，
在中，，，
∴③ ．
，
④ ．
【答案】(1)见解析
(2)；∠AFD=∠CFM；；10
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据已给推理过程结合全等三角形的性质与判定定理和三角形中位线定理证明即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵是中点，
∴，
，
，
在和中，
∵∠DAF=∠FMC∠AFD=∠CFMDF=CF，
，
，，
，
在中，，，
∴．
，
．
题型一 利用平行四边形的判定与性质求解
易错：判定定理混用，错用边角条件；原因：混淆平行四边形性质与判定，分不清已知和求证。
1．如图，已知点是内的一点，，，若四边形的面积为，，，则的面积是________．
【答案】
【分析】连接、，容易证明四边形是平行四边形，则S△BDE=12S四边形BDFE=12，利用同高的三角形之间的关系，依次求出，．
【详解】解：如图，连接、，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴S△BDE=12S四边形BDFE=12，
∵，
∴，
∵，
∴．
2．如图，在中，，点分别在边上运动，若满足，连接，则的最小值___________．
【答案】
【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，则，，结合垂直平分线的性质，得到，，过点作，且，则四边形是平行四边形，进而得出，再根据两点间线段最短求解即可．
【详解】解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，
，
，，
，
，
，，
垂直平分，垂直平分，
，，
过点作，且，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
当、、三点共线时，有最小值．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．
(1)直接写出点C，D的坐标．
(2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）利用平移变换的性质求解；
（2）先求出的值，进而分情况讨论即可．
【详解】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，
∴，，
∴，；
（2）解：∵将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵点A，B，的坐标分别为，，，
∴，点到的距离为，
∴，
∴，
设，
∵，
如图，当M在B左侧时，
∴，
解得：，即；
如图，当M在B右侧时，
∴，
解得：，即．
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形．
(1)请求出直线的解析式；
(2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________；
(3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)平行四边形，
(3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可；
（2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为；
（3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形，
∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N，
∵，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为．
（2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由平移的性质可得，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；
在中，当，，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为．
（3）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
同理可得直线的解析式为，
设，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
，
解得，
∴；
当为边时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或；
综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形．
题型二 利用平行四边形性质和判定证明
易错：性质、判定定理混用，错凑边角条件；原因：分不清由边/角证平行和由平行推边角的逻辑。
5．图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长，其中正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①②④D．①③④
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，通过相关性质逐一判断即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，,,
∴，
∵，，
∴，
∴（）①正确；
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；②正确；
∵，
∴不一定相等；③错误；
∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴,,，
∴，
∴;④正确．
66．如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和，为的中点，，相交于点，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（ ）
A．②④B．①③C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】通过证明得到，利用等腰三角形的性质可以判断①；先证明四边形是平行四边形，得出，再根据，可以判断②；根据，可判断③；通过“”可以判定，可判断④．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴ 同理可证，
∴是平行四边形，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∵，，
∴，故②错误；
∵为的中点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴．故④正确；
综上，正确的是①③④．
7．如图，的对角线，相交于点，点，是边上的点，满足，且，，，，则四边形的面积为_____．
【答案】/
【分析】先利用平行四边形对角线互相平分的性质，证得；通过等腰三角形的性质和角度关系，推出；接着在直角三角形中求出高，结合等腰三角形的性质，得到的长度；最后判定四边形为平行四边形，进而计算其面积．
【详解】解：如图，在上取点，使，连接，过点作于，取的中点，连接，过点作于，
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，为中点，
∴．
∵，，
∴．
在中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴．
8．如图，在平行四边形中，过对角线的中点作直线分别与交于点，连接相交于点，连接相交于点，图中有几个平行四边形，为什么？
【答案】解：图中共有个平行四边形，分别是四边形，四边形，四边形，四边形，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【分析】由平行四边形的性质得出，，得出，由“”证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，，然后证明，得出四边形是平行四边形，得出，证明四边形是平行四边形．
【详解】略．
题型三 平行四边形性质和判定的应用
易错：判定条件混用，漏证边平行或相等；原因：性质、判定概念混淆，不会结合已知挑选定理。
9．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花，如果有，，那么下列说法中错误的是（ ）

A．红花、绿花种植面积一定相等B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等D．蓝花、黄花种植面积一定相等
【答案】C
【分析】由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，得出的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，得出四边形的面积四边形的面积，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
，，
四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，
的面积的面积，的面积的面积，的面积的面积，故A，D选项正确
四边形的面积四边形的面积，故B选项正确
∴A、B、D正确，C不正确；
故选：C．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便．
10．在中，，满足下列条件，不一定能构成平行四边形的是（ ）
A．四个内角平分线围成的四边形
B．过四个顶点作对边的高线围成的四边形
C．以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形
D．以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形．
【答案】D
【详解】解：A、的四个内角平分线围成的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误；
B、过四个顶点作对边的高线围成的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误；
C、以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误；
D、以一条对角线上的两点与另两个顶点为顶点的四边形不一定是平行四边形，符合题意，选项正确．
11．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可．
【详解】由题意得，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图，在梯形中，，点E，F在对角线上，．用尺规作，使得点H，G分别落在边，上．

(1)经过思考，甲、乙两位同学分别提出以下作法．
请你分别判断甲、乙两位同学的作法是否有问题，若存在问题请说明原因；
(2)丙同学完成上述问题后，提出一个新的问题：求作平行四边形EHFG，使得点H，G分别落在边，上，且．请你按下述要求，完成作图．
①尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
②只需作出一种情况即可．
【答案】(1)甲同学正确、乙两位同学有问题，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定方法进行判断即可；
（2）取平行四边形对角线也就是的中点，过作直线交于点，交于点，使，连接，即可得到答案．
【详解】（1）解：甲同学：以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H；
由题意可得，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
乙同学：以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H；
与可能有两个交点，故无法进行判断；
（2）解：取平行四边形对角线也就是的中点，
在上任取一点G，连接，；以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H，保证，使得，
由题意可得，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
，
，
，
则四边形是平行四边形且．
题型四 与三角形中位线有关的证明
易错：误用中位线条件，记错长度倍数；原因：分不清中点位置，混淆中位线与中线定理。
13．如图， 的两个外角的平分线、相交于点，过点作，分别交、于点、，连接，则下列结论：①是等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由平行线的性质得出，由角平分线定义得出，推出，得出，①正确；
只有为中位线时，才能，②不一定正确；
由角平分线的性质得出点到边，，的距离相等，即点到两边的距离相等，得出点在的平分线上，即是角平分线，④正确；
由角平分线的定义得出，由平行线性质得出，推出，由等腰三角形的性质得出，证出，即，③正确．
【详解】，
，
，
，
，
是等腰三角形，①正确；
，
只有为中点时，即为中位线时，才能，所以结论②不一定正确；
的两个外角平分线相交于点，
点到边，，的距离相等，即点到两边距离相等，
平分，④正确；
是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
即，③正确；
综上，正确为①③④共3个．
14．按图①的方式将一张三角形包装纸折叠，形成如图②的矩形信封．下列关于该操作可以验证的结论：①三角形中位线定理；②三角形内角和定理；③勾股定理．其中所有正确结论的序号是______________．
【答案】①②/②①
【分析】根据折叠的性质可得，，从而得到对应边相等、对应角相等. 结合线段中点的定义判断中位线定理，结合平角的定义判断内角和定理．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，
，
， ，
，分别为，的中点 ，
为的中位线 ，
结论①正确；
点，，在同一直线上，
，
，
结论②正确；
该操作过程主要涉及线段的等分关系和角度的和差关系，无法验证勾股定理 ，
结论③错误；
综上所述，所有正确结论的序号是①② ．
15．如图所示，已知E为中边延长线上一点，且，连接，分别交，于点F，G，连接交于O，连接．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，所以，即可根据“”证明；
（2）由，，根据三角形的中位线定理得，且，所以．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）证明：的对角线与交于点，
，
由（1），
∴，
是的中位线，
，且，
．
16．如图，在中，，，连接，，点，，在同一条直线上，，点为的中点，连接．
(1)如图，当时，求证：；
(2)当时，如图；当时，如图，分别写出线段，，之间的数量关系，并选择图或图进行证明．
【答案】(1)
证明过程见解析；
(2)
当时，，证明过程见解析；
当时，，证明过程见解析．
【分析】（1）延长到点，使，连接，，由线段垂直平分线的性质，可得，由三角形的内角和定理，结合等边对等角，可得，是等边三角形，证明，可得，是的中位线，可得，即可证得结论；
（2）当时，延长到点，使，连接，，由线段垂直平分线的性质，可得，由三角形的内角和定理，结合等边对等角，可得，可得，证明，可得，是的中位线，，由勾股定理可得，即可得线段，，之间的数量关系；当时，延长到点，使，连接，，作于点，由线段垂直平分线的性质，可得，由三角形的内角和定理，结合等边对等角，可得，可得，证明，可得，是的中位线，，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理可得，即可得线段，，之间的数量关系．
【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴点为的中点，
又∵点为的中点，
∴，
∵，点为的中点，
∴垂直平分，
∴,
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴．
（2）解：图结论：，
证明：延长到点，使，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点，分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
图③结论：，
证明：延长到点，使，连接，，作于点，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点，分别是和的中点，
∴是的中位线．
∴，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
题型一 巧用平行四边形判定
1.边：两组对边分别平行或分别相等，即可判定平行四边形。
2.一组对边平行且相等，直接判定，注意需是同一组对边。
3.对角线互相平分的四边形，为平行四边形。
4.两组对角分别相等，可证平行四边形，多用于角度条件题型。
1．数学课上，老师让同学们证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的正确性，小琪同学先任意画出，再取边的中点，连接并延长至点，使，连接、，并写出了如下尚不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形中，_____，
求证：四边形是_____．
(1)补全已知和求证；
(2)小琪同学的思路是利用三角形全等进行解题，请你帮他完成证明过程．
【答案】(1)，平行四边形
(2)见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）证明即可．
【详解】（1）解：如图，在四边形中，
求证：四边形是平行四边形．
证明：，
四边形是平行四边形；
故答案为：，平行四边形；
（2）证明：在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
2．【教材呈现】我们在教材中已经学习过对角线互相平分的四边形是平行四边形．我们可以用演绎推理证明这一结论．
已知：如图①，四边形的两条对角线与相交于点，并且，．求证：四边形是平行四边形．
（1）请写出证明过程．
【知识应用】（2）如图②，在中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形．
【拓展提升】（3）在（2）的条件下，若的面积为26，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）利用对角线互相平分的条件，证明三角形全等，得到两组对边平行，从而判定平行四边形；
（2）利用平行四边形性质和中点条件，证明三角形全等，得到对角线互相平分，从而判定平行四边形；
（3）利用平行四边形面积关系，结合等底等高的三角形面积相等，求出的面积．
【详解】解：（1）证明：在和中，
，
，
．
同理可得，
四边形是平行四边形．
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
．
是的中点，
．
在和中，
，
，
与互相平分，
四边形是平行四边形．
（3）由（2）知，四边形是平行四边形，
．
四边形是平行四边形，
，
，
和等底同高，
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，掌握平行四边形的判定定理和全等三角形的性质是解题的关键．
3．我们曾借助学习“图形的全等判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究．
【知识回顾】
如图1，四边形中，我们用符号语言表示出所有的8个边，角、对角线的数量关系：
我们曾任意选择2个作为条件来探索四边形是否为平行四边形．
（1）请选择上面8个条件中的2个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及3条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法： （请用文字语言表述）；
【数学思考】
若将①②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？
（2）若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形．如图2，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形．小明的同学思路如下：
证明：延长并截取．
∵
∴，即
∵
∴四边形是平行四边形．
…
请同学们按照小明的思路完成证明过程．
（3）在①或者③中选择一个条件和⑩组成条件也可以判定四边形是平行四边形，并证明．如图3，在四边形中，相交于点O， ，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】本题是四边形综合题，考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定．
（1）由平行四边形的判定方法可得出答案；
（2）证出，由平行四边形的判定方法可得出答案；
（3）选择①，选择③，由平行四边形的判定方法可得出答案．
【详解】解：（1）一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．或两组对角相等的四边形是平行四边形．（答案不唯一）；
故答案为：一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形；
（2）证明：延长，并截取，
∵，
∴，即．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）选择①，
分别在上截取．延长，过点B、D作、，垂足为点G、H，
∵．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
即．
∴，
即．
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
即．
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
选择③，分别在上截取，
．
∵．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
即．
∴，
即．
∴．
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
4．阅读下面材料，并回答问题．
在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题．以下给出的“三角形中位线定理”的两种不同证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化．
方法一
已知：如图①，在中，D，E分别是边的中点，连接．
求证：，且．
证明：延长到点F，使，连接．
，四边形ADCF是平行四边形（依据a）
∴．∴．
∴四边形是平行四边形（依据b）．∴．
又，，且．
方法二
已知：如图②，在中，D，E分别是边的中点，连接．
求证：，且．
证明：过点作，与DE的延长线交于点．．
，（依据c）．（依据d）．
又，．四边形是平行四边形．
．（依据e）．
又，，且．
写出上述证明过程中所标注的推理依据的具体内容：
依据a：______；依据b：______；依据c：______；依据d：______；依据e：______．
【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；；全等三角形的对应边相等；平行四边形的对边平行且相等
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质进行作答即可．
【详解】方法一：证明：延长到点F，使，连接．
，
四边形ADCF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∴．
又，
，且．
方法二：证明：过点作，与DE的延长线交于点．
．
，
（）．
（全等三角形的对应边相等）．
又，
．
四边形是平行四边形．
．（平行四边形的对边平行且相等）．
又，
，且．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；；全等三角形的对应边相等；平行四边形的对边平行且相等．
题型二 平行四边形性质巧用
1.对边平行且相等，可转移线段、证线段等量与平行线。
2.对角相等、邻角互补，快速换算角度大小。
3.对角线互相平分，出现中点可用倍长中线结合解题。
4.遇面积问题，同底等高，对角线平分四边形面积。
5．点是的边的中点，请你利用无刻度的直尺，完成以下探究与操作：
操作与证明
(1)如图1，连接对角线，，交于点，连接并延长，交边于点，求证：点是的中点．
拓展与探究
(2)请尝试用无刻度的直尺，在图2的中作出边的中点．（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）根据平行四边形的性质，及三角形全等，即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质以及三角形三条中线交于一点（重心），即可证明结论．
【详解】（1）四边形是，
，，，
点是边的中点，
，
，
，
在和中，，，
，
，，
．
∴点是的中点．
（2）连接对角线，，交于点，连接，交于点H，连接并延长交于点G．
四边形是，
，即是的中线，
点是边的中点，
∴也是的中线，
、的交点H是的重心，
∴也是的中线，
即点是边的中点．
6．【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验．
【操作探究】
（1）如图，把重合中的向左平移成，顶点恰好是边的中点，连接，，求三角形的面积；
【深入探究】
（2）如图，把继续向左平移，当点与点重合时，连接交于点，求证：；
【拓展提升】
（3）如图，在（2）的条件下，过点作于点，连，，直接写出的长度．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，勾股定理，三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到三角形的面积；
（2）连接，根据平移的性质得到，，根据平行四边形的性质即可得到；
（3）过作于，根据全等三角形的判定和性质定理和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）解：把重合中的向左平移成，
，
点恰好是边的中点，
，
，
，
三角形的面积；
（2）证明：连接，
把重合中的向左平移成，
，，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：过作于，交于，如图，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，，
≌，
，
．
7．在学习了《平行四边形》之后，小颖同学和小慧同学对平行四边形进行了更为深入的探究．
【初步探究】
如图1，小颖同学连接了的对角线，并发现当时，与之间存在一定的数量关系，请直接写出这个数量关系；
【深入探究】
在小颖同学发现的基础上，小慧同学大胆提出一个猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是（）斜边上的中线，请根据小慧同学的猜想写出中线与斜边的数量关系，并证明这个数量关系；
【拓展延伸】
如图3，小颖同学和小慧同学在图2中的基础上又作了，使（点在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小颖同学和小慧同学判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】【初步探究】：；【深入探究】：；【拓展延伸】，理由见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握判定全等三角形的条件与直角三角形斜边中线的性质，结合角平分线的性质推导角的关系．
[初步探究]由 ,结合平行四边形的性质可证，从而得到；
[深入探究]延长至点，使，连接、，先证四边形是平行四边形，仿照[初步探究]证明，从而得到，进而推出；
[拓展延伸]根据深入探究的结论，得到，，故，结合平分，推出．
【详解】[初步探究]数量关系：
解： 四边形是平行四边形，
∴,
∴,
∵，
∴,
∴,
又,
，
．
[深入探究]数量关系：
证明：如图，延长到点，使，即，连接，
是斜边上的中线，
．
四边形为平行四边形．
，
又，
，在和中，
，
．
[拓展延伸]
解：理由如下：取和的斜边的中点，连接交于点，
由[深入探究]得，
，
，
，
平分，
，
，即，
，
，
，
所在的直线是线段的垂直平分线，
，
．
8．小红根据学习平行四边形的经验，对平行四边形进行了拓展探究．
【问题探究】
如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)在网格中找一点D，画线段且使，连接；
(2)在括号内填写根据：
∵且CD＝BA，
∴四边形是平行四边形（____________）
【拓展延伸】
(3)如图2，在四边形中，，厘米，厘米，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以1厘米/秒的速度由点C向点B运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．请问：经过几秒，直线将四边形截出一个平行四边形？
【答案】(1)见解析
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(3)经过1秒或秒或3秒，直线PQ将四边形截出一个平行四边形
【分析】（1）根据相关要求作图即可；
（2）直接运用平行线四边形的判定性质即可解答；
（3）经过x秒，直线将四边形截出一个平行四边形平行四边形，根据平行四边形的判定分情况分析求解即可．
【详解】（1）解：如图所示；
（2）解：由平行四边形的判定定理可得判定四边形是平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（3）解：经过x秒，直线将四边形截出一个平行四边形平行四边形，则：
米，米，米，米，
∵，
∴只需或或或，即得四边形是平行四边形．
①由，得：，解得： ；
②由，得：，解得：，不合题意，舍去；
③由，得：，解得：；
④由，得：，解得：．
答：经过1秒或秒或3秒，直线将四边形截出一个平行四边形．
【点睛】本题主要考查了作平行四边形、平行四边形的判定等知识点，掌握平行四边形的判定定理是解答本题的关键．
题型三 利用性质画图
1.先用直尺画出一组平行且相等的对边，确定两个顶点。
2.依据对边平行，作出另外两条边，首尾相连成型。
3.借助对角线互相平分，先定两条线段中点重合，顺次连四点。
4.已知边长夹角，固定一角，利用邻角互补补齐剩余边。
9．如图，在四边形中，平分．
(1)尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)根据（1）中作出的图，求证：四边形为平行四边形．（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由）
证明：
___________①，
，
___________②，
平分，
，
，
，
同理可得，
，
___________③
，
．即．
又___________④，
四边形为平行四边形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤作图即可；
（2）根据题干证明思路，结合平行四边形的判定与性质可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∵，
∴．即．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
10．如图，在中，点是的平分线与的交点．小谷想在里面再剪出一个以为边的平行四边形，小谷的思路：作的平分线，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与证明．
(1)用尺规完成以下基本作图：作的平分线与交于点，连接，．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)根据（1）中作出的图，求证：四边形为平行四边形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）根据作已知角的平分线的作法，即可；
（2）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义可得，证明，可得，，从而得到，进而得到，即可求证．
【详解】（1）解：如图，点，，即为所求；
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，．
∴．
∵分别平分．
∴，．
∴，
∵在与中，
∵，
∴．
∴，．
∴，即，
∴．
∴四边形为平行四边形．
11．请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题：
(1)问题背景：
小刚遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段交于点，连接，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题．
证明：过点作且使，连接，
四边形为平行四边形，则___________，
，
___________，
又，
为等边三角形，
___________，
，即．
类比运用：
(2)如图2，与相交于点，，求线段的长；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可；
（2）作，两线交于，连接，证是直角三角形，得，过点作于点，根据三线合一，勾股定理得则，根据四边形是平行四边形可得答案；
【详解】（1）证明：过点作且使．连接，
∴四边形为平行四边形，则．
∵，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，即．
故答案为：；
（2）解：过作，过作，两直线交于，连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
∴．
12．阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
(1)问题1中的四边形的面积为 ；问题2中的依据是 ．
(2)补全问题2的求证过程．
(3)如图4，已知线段AC，请在图4中作垂等四边形，其中四边形的对角线相交于点O，．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一种即可）
【答案】(1)；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）先连接，再根据题意进行解答即可；
（2）根据等角对等边、三角形内角和定理以及垂直的判定，进行解答即可；
（3）根据线段的垂直平分线的尺规作图，即可解答．
【详解】（1）解：如图，连接，
由题可知，，，
四边形的面积为；
问题2中的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（2）解：补全问题2的求证过程如下：
在中，，，
，
，，
．
，
．
，
，
即且，
四边形是垂等四边形．
（3）解：如图，
先作线段的垂直平分线，与交于点，再分别作线段、的垂直平分线，分别与、交于点，；在的垂直平分线上，截取，；顺次连接，，，，则四边形即为所求．
题型四 巧用四边形性质求面积
1.平行四边形面积用底乘高，对角线平分面积。
2.不规则四边形分割成三角形、平行四边形分别算面积再求和。
3.对角线互相垂直的四边形，面积等于对角线乘积的一半。
4.等底等高图形利用平移转化，替换成规则图形求面积。
13．如图1，将线段平移至，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接，．
​
(1)填空：与的位置关系为______；
(2)如图2，E为延长线上一点，连接，，且，作平分交于点F，
①若当，时，求的度数；
②试探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②，理由见解析
【分析】（1）根据平移的性质得到四边形是平行四边形，从而得出；
（2）①由（1）知，则，进而得到，根据角平分线的性质得到，利用求解即可；
②设、，则，根据角平分线的性质得到，进而得到，根据三角形外角的性质得到，从而得出结论．
【详解】（1）解：将线段平移至，
且，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：①由（1）知，
，
平分交于点F，
；
②，理由如下：
设、，则，
平分，
，
，
是的外角，
，
，
．
14．综合与实践
【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，，，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，，．
(1)【解决问题】试猜想，，之间存在的等量关系，直接写出结论______．
(2)【拓展探究】如图2，在梯形中，，，，分别以、、为边向梯形外作正方形，其面积分别为，，，则，，之间的数量关系式为______，请说明理由．
(3)【推广应用】如图3，，以的每一条边为边向上作三个正方形，图中阴影部分的面积分别为，，，则它们与面积相等的是______．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）由勾股定理得：，由正方形面积公式得：，，，即可得到；
（2）过点A作交于点，则，四边形是平行四边形，得到，，结合，得到，则，表示出正方形的面积可得；
（3）证明，得到．
【详解】（1）解：在中，，，，，
由勾股定理得：，
由正方形面积公式得：，，，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，过点A作交于点，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在梯形中，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵由正方形面积公式得：，，，
∴结合可得；
（3）解：如图，
由正方形的性质可得，，，
在中，，
∴，
∴，
现有条件无法确定和与是否相等．
15．学校新建了一个录播教室，为了适应不同教学场景的需要，学校定制了一批新的课桌，要求这批课桌的桌面是等腰梯形的．这天数学老师带领八年级同学到录播教室开展数学探究活动，探究内容就是如何验证这批课桌的桌面是不是等腰梯形的．老师给同学们的探究工具是带刻度的直尺（可以精确量出给定两点的距离）和记号笔．
(1)雏鹰小组给出了他们的验证方案，如下：先依次标记四边形桌面的顶点为A、B、C、D，接着测量与的长，如果，那么桌面不是等腰梯形；如果，再继续测量、、与的长，如果，或者，，那么桌面是等腰梯形，不然，桌面就不是等腰梯形．
其他小组讨论了雏鹰小组给出的验证方案，一致认为这个方案是可行的．如果按雏鹰小组的验证方案，他们小组验证的结果为桌面确实是等腰梯形，就请你来说明一下理由（结合图示，写出已知、求证，并加以证明）；
(2)请再设计一个验证方案，并说明验证的步骤．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）设交于点O，证明，，得到，；进一步可证明，得到，据此可证明四边形是等腰梯形；
（2）在上取，连接，测量的长，若，则可证明四边形是平行四边形，得到，则可证明四边形是等腰梯形．
【详解】（1）解：已知：，
求证：四边形是等腰梯形．
证明如下：如图所示，设交于点O，
在和中，
，
∴，
∴；
同理可证明，
∴；
∵，
，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，，
∴四边形是等腰梯形；
（2）解：如图所示，测量出的长，在上取，连接，测量的长，若，那么四边形是等腰梯形，若不满足，则四边形不是等腰梯形．
16．探究活动：等积变形
【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________．
【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．
如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上，
求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）
【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）．
【答案】问题情境：；问题探究：图见详解；问题拓展：图见详解
【分析】本题主要考查平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图，熟练掌握平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图是解题的关键；
问题情境：根据“平行线间的距离都相等”可进行求解；
问题探究：先得出四边形的面积，然后根据等积法可进行作图；
问题拓展：根据平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定可进行作图．
【详解】解：问题情境：由可知：点到线段的距离都相等，且都以线段为底，
∴与面积相等的三角形是；
故答案为；
问题探究：由网格可知：，
∴，
所以所作如图所示：
问题拓展：所作如图所示：
分别连接并延长，交于点F、G，连接并延长，交于一点Q，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
甲同学的作法：
在上任取一点G，连接，；
以点B为圆心，长为半径作弧，交于点H；
连接，，则即为所求．
乙同学的作法：
在上取一点G，连接，，；
以点E为圆心，长为半径作弧，交BC于点H；
连接，，则即为所求．
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧．
垂等四边形【定义理解】对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形．
例如，如图1，在正方形中，且，∴正方形是垂等四边形．
【问题解决】问题1：如图2，若四边形是垂等四边形，，则四边形的面积为 ．
问题2：如图3，，，求证：四边形是垂等四边形．
证明：∵，
∴，即．
∵，
∴四边形是平行四边形（依据），
∴，，
∴，
……