2025-2026学年苏科版第二学期八年级数学期末模拟卷含答案（12）

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1．下列调查中，最适合抽样调查的是…………………………………………………………………………（ ）
A．调查某校七年级一班学生的课余体育运动情况；B．调查某班学生早餐是否有喝牛奶的习惯；
C．调查某种面包的合格率； D．调查某校足球队员的身高；
2．为了解我国古代数学文化，小明准备从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》《周髀算经》四本数学著作中选取一本进行阅读．他在这四本书名对应的卡片中随机抽取一张，恰好抽到书名为《九章算术》的卡片的概率是…………………………………………………………………………………………………………（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在平行四边形中，，，，分别平分，，那么的长为………………………………………………………………………………………………………………（ ）
A．3B．4C．5D．以上都不对
4．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为…………………………（ ）
A．1B．C．1或D．
5．换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到81人．设每个患者平均传染人，则可列方程为……………………………………………………………………………………（ ）
A．；B．；C．； D．；
6．如图，已知点是线段的黄金分割点，且．若表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积，则与的大小关系为……………………………………………………（ ）
A．B．C．D．不能确定
7．如图，△是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是18，则四边形的面积为………………………………………………………………………………（ ）
A．16B．20C．30D．40
8．如图，在△中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为…………………………………………（ ）
A．B．C．2D．
二．填空题（共8小题）
9．若，则 ．
10．已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为 ．
11．已知一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、三、四、五组数据的个数分别为2，8，15，20，5，则第四组的频率为 ．
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13．高4米的旗杆在水平地面上的影长5米，此时测得附近一个建筑物的影子长20米，则该建筑物的高是 _________米．
14．已知、是方程的两个实数根，则的值是 ．
15．如图，在中，是边上的点，连接，交于点，若，则的值是 ．
16．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，于点，过点作的平行线交正方形的外角的平分线于点，连接，．有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④若，，点为直线上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是 __________．
三．解答题（共11小题）
17．（本题满分6分） 解方程：（1）． （2）．
18．（本题满分6分）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 （精确到
（2）盒子里白色的球有 只；
（3）若将个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求的值．
19．（本题满分6分）4月18日，为迎接第28个世界读书日，我校初一年级开展了《名著知识知多少》答题比赛．现随机抽取了若干个学生的答题成绩（单位：分，满分100分）进行整理分析，并绘制了如下不完整的统计图：（数据分为4组：组：，组：，组：，组：，表示成绩，成绩为整数）．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽取学生人数为 人， ，扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数为 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）我校初一年级共有3200名学生，请据此估计我校初一年级学生答题成绩处于组和组的共有多少人．
20．（本题满分6分）如图，，是对角线上的两点，连接，，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，，求的长．
21．（本题满分7分）如图，矩形的对角线相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，菱形的面积为，求的长．
22．（本题满分7分）如图，，，，分别为，的中点，点在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的周长．
23．（本题满分8分）若关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
24．（本题满分8分）如图，在四边形中，、相交于点，点在上，且．
（1）求证：；
（2）求证：△△．
25．（本题满分8分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
26．（本题满分10分）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为 ．
（1）当 时，四边形是矩形；
（2）当 时，四边形是菱形；
（3）是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
（4）在运动过程中，沿着把△翻折，当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
27．（本题满分10分）在正方形中，是所在直线上一动点，射线与相交于点，与直线相交于点．
（1）如图1，当点在边上时，如果点是的中点，连接，．
求证：①△△；
②．
（2）如图2，当点在的延长线上时，连接，作，交于点．求证：点是的中点；
（3）若△是等腰三角形，求的度数．
A．3B．4C．5D．以上都不对
【分析】由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得．
【解答】解：四边形为平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理，
，
故选：．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，结合平行四边形的性质求得是解题的关键．
4．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ）
A．1B．C．1或D．
【分析】根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到关于的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．
【解答】解：根据题意得：且，
解得：．
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
5．换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到81人．设每个患者平均传染人，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设每个患者平均传染人，则第一轮传播中有人被传染，第二轮传播中有人被传染，根据“该社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到81人”，可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每个患者平均传染人，则第一轮传播中有人被传染，第二轮传播中有人被传染，
根据题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．如图，已知点是线段的黄金分割点，且．若表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【分析】根据黄金分割的定义得到，再利用正方形和矩形的面积公式有，，即可得到．
【解答】解：是线段的黄金分割点，且，
，
表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
7．如图，△是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是18，则四边形的面积为（ ）
A．16B．20C．30D．40
【分析】由题意可得，从而推出△△，△△，再由相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：△是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，
，
△△，△△，
，
，，
，，
图中阴影部分的面积是18，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
8．如图，在△中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A．B．C．2D．
【分析】连接，取的中点，连接，，由三角形中位线定理推出，，，，由勾股定理即可求出的长．
【解答】解：连接，取的中点，连接，，
点、分别是、的中点，
、分别是△和△的中位线，
，，，，
，，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出，，，．
二．填空题（共8小题）
9．若，则 ．
【分析】先利用内项之积等于外项之积得到，然后利用合比性质求解．
【解答】解：，
，
16 米．
【分析】根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
【解答】解：，
即，
设建筑物的高是米．则，
解得：．
故该建筑物的高为16米．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出该建筑物的高度，体现了方程的思想．
14．已知、是方程的两个实数根，则的值是 15 ．
【分析】由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可．
【解答】解：由题意可知：，，
，
，
故答案为：15．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．
15．如图，在中，是边上的点，连接，交于点，若，则的值是 ．
【分析】先根据得，再根据平行四边形的性质得，，，由此可判定和相似，然后根据相似三角形的性质可得出答案．
【解答】解：，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
16．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，于点，过点作的平行线交正方形的外角的平分线于点，连接，．有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④若，，点为直线上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】根据正方形的性质和垂直定义证明△△即可判断①；根据勾股定理和线段关系分析与的数量关系判断②；在上取点，使，证明△△可得，结合判断③；根据将军饮马模型，利用轴对称性质找到点关于直线的对称点，结合勾股定理计算最小值判断④．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
故结论①正确，符合题意；
若，则，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
即为中点，
由于题目未限定为中点，故不一定等于，
故结论②错误，不符合题意；
在上取点，使，连接，如图，
四边形是正方形，
，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
△△，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
故结论③正确，符合题意；
，，
，，
，
在上取点，使，如图，连接、，
平分，
点、是关于直线的对称点，连接，
，
，
当、、三点在一条直线上时，等号成立，此时最小值为的长，
，
，
的最小值是，
故结论④正确，符合题意．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键．
三．解答题（共16小题）
17．解方程：
（1）．
原方程可变形为，
，
，
，或，
，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．
（2）．
【分析】求出的值，代入公式求出即可．
【解答】解：，，，
△，
，
，．
【点评】本题考查解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．
18．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 0.6 （精确到
（2）盒子里白色的球有 只；
（3）若将个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求的值．
【分析】（1）计算出其平均值即可；
（2）用总数乘以其频率即可求得频数；
（3）利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）摸到白球的频率约为0.6，
当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
（2）摸到白球的频率为0.6，共有20只球，
则白球的个数为只；
（3）根据题意得：，
解得：．
故答案为：0.6；12．
【点评】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率．
19．4月18日，为迎接第28个世界读书日，我校初一年级开展了《名著知识知多少》答题比赛．现随机抽取了若干个学生的答题成绩（单位：分，满分100分）进行整理分析，并绘制了如下不完整的统计图：（数据分为4组：组：，组：，组：，组：，表示成绩，成绩为整数）．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽取学生人数为 60 人， ，扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数为 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）我校初一年级共有3200名学生，请据此估计我校初一年级学生答题成绩处于组和组的共有多少人．
【分析】（1）根据组人数和所占百分比即可求出本次抽取学生人数；
组人数除以总人数化成百分比即可求出；
求出组所占百分比，再乘以即可得到扇形统计图中组所对应的扇形圆心角的度数；
（2）先求出组人数，再补全频数分布直方图即可；
（3）将学生答题成绩处于组和组所占百分比的和乘以3200即可作出估计．
【解答】解：（1）组6人，占，
本次抽取学生人数为：（人；
组36人，
，
；
组所对应的扇形圆心角的度数为：．
故答案为：60，60，36；
（2）组人数为：（人，
补全频数分布直方图如下：
（3）估计我校初一年级学生答题成绩处于组和组的共有：（人，
答：估计我校初一年级学生答题成绩处于组和组的共有2240人．
【点评】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息，熟悉样本估计总体的方法是解题的关键．
20．如图，，是对角线上的两点，连接，，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，，求的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，由得△△，由全等三角形的性质得，即可得证；
（2）由勾股定理得，由全等三角形的性质得，由线段的和差得，即可求解．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：，
，
，
，
，
由（1）知△△，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，平行四边形的判定及性质等，掌握全等三角形的判定及性质及平行四边形的判定及性质是解题的关键．
21．如图，矩形的对角线相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，菱形的面积为，求的长．
【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（2）根据菱形的对称性可知，然后用表示出、，再根据矩形的性质利用三角形的面积公式列方程求解即可．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，，
，
解得．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
22．如图，，，，分别为，的中点，点在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的周长．
【分析】（1）根据三角形中位线定理、直角三角形的性质证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；
（2）由（1）的结论计算即可．
【解答】（1）证明：，分别为，的中点，
，，
，为的中点，
，
，又，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：，为的中点，
，
，分别为，的中点，
，
四边形的周长．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理的应用、平行四边形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
23．若关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可；
（2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值．
【解答】解：（1）由条件可知△，
；
（2），，，
，
整理得，
解得或，
，
．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
24．如图，在四边形中，、相交于点，点在上，且．
（1）求证：；
（2）求证：△△．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△△，由相似三角形的性质得到，根据角的和差即可得到结论；
（2）由已知条件得到，根据，，即可得到结论．
【解答】证明：（1）在△与△中，
，
△△，
，
，
即；
（2），
，
在△与△中，
，，
△△．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
【分析】（1）设每次下降的百分率为，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率；
（2）设涨价元，根据总盈余每千克盈余数量，可列方程，可求解．
【解答】解：（1）设每次下降的百分率为
根据题意得：
解得：，（不合题意舍去）
答：每次下降
（2）设涨价元
解得：，（不合题意舍去）
答：每千克应涨价5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找到题目中的相等关系，列出方程是本题的关键．
26．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为 ．
（1）当 3 时，四边形是矩形；
（2）当 时，四边形是菱形；
（3）是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
（4）在运动过程中，沿着把△翻折，当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得的值；
（2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间；
（3）过作，交于，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案；
（4）根据折叠的性质得出，，，进而在△中，，所以，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【解答】（1）解：由已知可得，，，
在矩形中，，，，
当时，四边形为矩形，
，
解得：，
当时，四边形为矩形；
故答案为：3；
（2）解：，，
，即，
，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，，
，
解得，
当时，四边形为菱形；
故答案为：．
（3）解：不存在；理由如下：过作，交于，如图所示：
则，
，
四边形是矩形，
，，
，
在△中，，
在△中，，
，
，
，
即：，
整理的，
△，
此方程无实数根，
不存在某一时刻使得；
（4）解：如图所示，
根据折叠可知：，，，，
在矩形中，
，
，
，
，
，
在△中，根据勾股定理得：，
，
即：，
解得：，，
当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等内容，解决此题注意结合方程的思想解题．
27．在正方形中，是所在直线上一动点，射线与相交于点，与直线相交于点．
（1）如图1，当点在边上时，如果点是的中点，连接，．
求证：①△△；
②．
（2）如图2，当点在的延长线上时，连接，作，交于点．求证：点是的中点；
（3）若△是等腰三角形，求的度数．
【分析】（1）先根据正方形的性质证，，根据证△△即可；②根据全等三角形的性质和直角三角形的性质，证即可；
（2）根据△△，证得，由证得，通过证，得到，，再根据等角的余角相等证得，，最后证得问题得证；
（3）分情况讨论：当点在上或点在的延长线上两种情况求解即可．
【解答】（1）证明：①四边形是正方形
，，
又，
△△；
②△△，
，
，是的中点，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：在正方形中，，，
，
△△，
，
，
，
．
，
，
，
，
在△中，
，
，
点是的中点；
（3）解：如图，当点在边上时，
，要使△是等腰三角形，必须，
，
声明：
摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.52
0.69
0.593
0.604
0.60
0.599
0.601
摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数
52
138
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.52
0.69
0.593
0.604
0.60
0.599
0.601