2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷05（含答案）

这是一份2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷05（含答案），共6页。试卷主要包含了若 z ，已知函数 f  x  ，下列关于复数 z 等内容，欢迎下载使用。
1．（本题 5 分）已知集合 A  {x  Z∣x  2}，全集U ={- 2, - 1, 0,1, 2} ，则ðU A  （ ）
A． B．2
i2026z 
C．2
D．2, 2
2．（本题 5 分）若 z 
，则（）
i2025 1
1  1 i
22
 1  1 i
22
1  1 i
22
 1  1 i
22
3．（本题 5 分）函数 f  x  1 2sin2  x  π  是（ ）
4 

最小正周期为π 的偶函数B．最小正周期为π 的奇函数
C．最小正周期为 π 的偶函数D．最小正周期为 π 的奇函数
22
4．（本题 5 分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A． e1  1,1 ， e2  0, 0B． e1  1,−1 ， e2  2,1
–→ 13 

C． e1  2,−1 ， e2  4, 2
D． e1  2, 3 ， e2   2 ,  4 
5．（本题 5 分）已知圆锥的底面半径为 3，其侧面展开图是一个圆心角为120 的扇形，则圆锥表面积为（ ）
A． 35πB． 36πC． 39πD． 43π
6．（本题 5 分）已知1 ax1 x5 的展开式中 x2 的系数为 5，则a  （）
A．4B．3C． 2
ex , x  0
D． 1
7．（本题 5 分）已知函数 f  x  
2x  e, x  0
，若m  n 且 f m  f n ，则2m  n 的取值
范围为（ ）
A． −e,−1
B． 1−e,−1
C． 1, e 1
D． 1−e,−1
8．（本题 5 分）设Sn 为数列an 的前 n 项和， an  0 ,则“an 为递增数列”是“Sn  为递增数列”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
多选题（共 18 分）
9．（本题 6 分）下列关于复数 z 
2
1  i
的四个命题，其中为真命题的是（ ）
2
| z |B． z 的虚部为1
C． z 在复平面内对应的点在第三象限D． z2  2i
10．（本题 6 分） V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a, b, c ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 A  B ，则sin A  sin B
B．若V ABC 是锐角三角形，则sin A  cs B
C．若sin 2 A  sin 2B ，则V ABC 为等腰三角形
D．若 A  30 ， b  4 ， a  3 ，则V ABC 有两解
11．（本题 6 分）已知四面体 ABCD 中， AB  CD  2 2, AC  BD  BC  AD  3 ，则下列说法正确的是（ ）
A．四面体 ABCD 的体积为 4 5
3
B．四面体 ABCD 的外接球的表面积为13π
10
C．若平面α// 平面 BCD ，且平面α与四面体 ABCD 的内切球相切，则平面α将该四面 体分成体积比为1: 4 的两部分
D．若 P 为平面 ACD 内一动点，且直线 BP 与平面 ACD 所成角的正切值为
轨迹的长度为 4 7 π
7
，则 P 点
填空题（共 15 分）
12．（本题 5 分）已知 m，n  R ，在 aABC 中，点 D 是边 AC 上靠近点 A 的三等
分点，若 BD  mBC  nBA ，则 n 的值为 .
13．（本题 5 分）已知数列a 满足a  2 ，a 1 1 ，则数列a 的前 7 项和为.
a
n1n1n
n
x2y2FF
14．（本题 5 分）已知双曲线

a2b
2  1a  0, b  0 的左、右焦点为 1 ， 2 ，点 P 在双曲
线的右支上，且 PF1  PF2 ， aPF1F2 的内切圆半径为a ，则双曲线的离心率为．
解答题（共 77 分）
→
→
π →
15．（本题 13 分）已知向量a  sinx, csx, b  csx, 3sin  x  2  .设 f  x  a  b .

求函数 y  f  x 的最小正周期；
记V ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别是a, b, c ，已知 f  A  3, b  3,aABC 的面积为
3 ，求a 的长.
16．（本题 15 分）已知函数 f  x   x 1ex  a .
当a  0 时，若曲线 y  f  x 在点 P 处的切线与 x 轴平行，求点 P 的坐标；
若 f  x −x2  4x 恒成立，求 a 的取值范围.
17．（本题 15 分）如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， ABC  60 ，平面
ABCD ⊥平面 PAD ， PA  CD ， PA  AB  2 ，E 为 PD 的中点．
求证： PA  平面 ABCD ；
求二面角C  AE  P 的余弦值．
2
18．（本题 17 分）某兴趣小组设计一种“量子通信模拟”实验：盒中装有大小、形状完全相同的红球 4 个和白球 2 个，每次从盒中随机摸出 1 个球，记录颜色后放回.规定：摸到红球记为发送红球信息，摸到白球记为发送白球信息.发送者甲每次摸球后，随机选择两种编码方式 A，B 中的一种发送信息；接收者乙收到信息后，也随机选择 A，B 中的一种方式进行解码，且二者选择 A，B 的概率均为 1 .已知：若甲、乙采用相同编码方式，则乙正确得到该
2
次球颜色的概率为 1；若甲、乙采用不同编码方式，则乙正确得到颜色的概率为 1 .
求乙正确得到该次球颜色的概率 p；
独立进行 3 次通信，记随机变量 X 为这 3 次中乙显示为红球的次数，求 X 的概率分布列及数学期望；
现加入窃听者丙，每次通信时，丙先接收到甲的信息，并随机选择 A，B 中的一种方式进行“窃听”，再将自己的结果发送给乙；乙仍按原规则随机选择方式解码.设无窃听者时，乙
正确得到信息的概率为 p1 ，有窃听者时为 p2 .
求 p1 ， p2 ；
为判断通信过程中是否存在窃听，独立重复进行 n 次通信，记乙正确得到信息的次数
np1 1 p1 
为 Y.规定统计量Z Y  np1，当Z  2 时，判断通信过程中存在窃听；否则暂不判断
存在窃听.现进行了 64 次通信，乙正确得到信息 40 次，请根据上述标准判断通信过程中是否存在窃听，并说明理由.
19．（本题 17 分）在平面直角坐标系中， A1 1, 0, A2 1, 0 ，以 A1 为圆心作半径为 4 的圆，
M 是圆上任意一点，线段MA2 的垂直平分线与半径MA1 交于点C .
当M 在圆上运动时，求点C 的轨迹方程；
过 A2 的直线l 交曲线C 交于 D, E 两点，点 D 关于 x 轴的对称点为 D¢.
直线 D E 与 x 轴的交点为 P ，求点 P 的坐标；
PD |2  PE |2
求
| DE |2
的取值范围.
《2025-2026 学年高二下学期期末数学复习卷 05》参考答案
12． 2
3
13．5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
B
B
D
D
A
ABD
ABD
题号
11
答案
ABD
3
14．1
f x  → →
π 2
【详解】（1）由题意，  
a  b  sinxcsx 
3 cs x sin  x    sinxcsx 
2

3cs x
 sin2x  3 1 cs2x  sin  2x  π   3 ，所以函数 y  f  x 的最小正周期T  2π  π ；
223 22

3π 
由 f  A  得sin 2 A  3 ，因为 A 0, π ，所以2 A  π  π , 7π  ，解得 A  π ，
3 2
3 3 3 6

因为S
 1 bcsinA  1  3c  1 
，所以c  4 ，由余弦定理得
3
a ABC222
a2  b2  c2  2bccsA 
32  42  2  4  3 
3  7 ，所以a .
7
2
【详解】（1）当a  0 时， f  x   x 1ex ， f  x   x  2ex ，
设点 P 的坐标 P  x , y  ，由题意得： f  x    x  2ex1  0 ，解得： x  2 ，
1 1111
所以 y   x 1ex  2 1 e2   1 ，因此点 P 的坐标为 P  2,  1  .
e
111
e2
2 

（2） f  x  x2  4x   x 1ex  a  x2  4x  a   x 1ex  x2  4x ，令 g  x   x 1ex  x2  4x ，则 g x   x  2ex  2x  4   x  2ex  2 ，
因为ex  2  0 ，所以当 x  2 时， g x  0 ， g  x  单调递减，当 x  2 时， g x  0 ， g  x  单调递
增，所以 g  x g 2  2 1 e2  22  4 2  4  1 ，所以a  4  1 ，
mine2e2
即：a 的取值范围是 , 4  1  .
e2 

【详解】（1）因为底面 ABCD 为菱形，ABC  60 ，所以V ABC 是等边三角形， AB  AD  2 ，取 AD 的中点O ，连接CO ，
在菱形 ABCD 中， ADC  60 ，所以△ADC 是等边三角形，则CO  AD ，又因为平面 ABCD ⊥平面 PAD ，且平面 ABCD ∩ 平面 PAD  AD ，
CO  平面 ABCD ，
所以 PA  平面 ABCD .
（2）由（1）知 PA  平面 ABCD ，以 A 为原点，AD 所在直线为 x 轴，过 A 作 AD 的垂线为 y 轴，AP
所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系.
A0, 0, 0, P 0, 0, 2, D 2, 0, 0
    
–––→–––→–––→
因为 AC  AB  AD  1，3，0  2, 0, 0  1，3，0 ，所以C 1, 3, 0 ，因为 E 为 PD 的中点，所以
E 1, 0,1 ， AP  0, 0, 2, AE  1, 0,1 ，设平面 PAE 的法向量为n1   x1, y1, z1  ，
–→ –––→
n1  AP  2z1  0
y  1
–––→

–––→
则–→ –––→，取 1
n1  AE  x1  z1  0
––→ –––→
，得n1  0,1, 0 . AC
1, 3, 0, AE  1, 0,1 ，设平面CAE 的法向量为
n2  AC  x2 
3y2  0
––→
n2   x2 , y2 , z2  ，则––→ –––→，取 y2  1 ，得n2  
n2  AE  x2  z2  0
3,1, 3  ，
n1  n2
–→ ––
n  n
12
→
3
–→ ––→0  3 11 0 
，
二面角C  AE  P 为钝角，故
csθ 1 7
1  3  1   3 
2
2
2
7
7
所以二面角C  AE  P 的余弦值为 7 .
7
【详解】（1）记事件S “甲、乙采用相同编码方式”， C  “乙正确得到该次球颜色”.
2
因为甲、乙独立随机选择编码方式，且选择 A，B 的概率均为 1 ，
所以 P(S )  1 ， P S   1 .
22
2
又由题意可知 P(C | S )  1， P C | S   1
由全概率公式，得 p  P(C)  P(S )P(C | S )  P S  P C | S 
所以 p  1 1 1  1  3 ；
22 24
（2）记事件 R  “摸到红球”， H  “乙显示为红球”.由题意可知 P(R)  4  2 ， P R   1 ，
633
由第（1）问可知，乙正确得到颜色的概率为 3 ，因此乙判断错误的概率为1 3  1 ，所以
444
P(H | R)  3 ， P H | R   1 .由全概率公式，得
44
P(H )  P(R)P(H | R)  P R  P H | R   2  3  1  1  7
3 43 412
7  7 k
 5 3k
而独立进行 3 次通信，故 X ~ B  3, .于是 P( X  k )  Ck 
， k  0,1, 2, 3 .
1212
 12 
3  
 
概率分布列为：
数学期望为 E( X )  3 7  7 ；
X
0
1
2
3
P( X  k )
125
1728
175
576
245
576
343
1728
124
（3）（i）无窃听者时，由第（1）问可知p1
 3 ，
4
有窃听者时，记 D=“丙正确得到甲发送的信息”，E=“乙正确得到丙转发的信息”.
由题意可知 P(D)  3 ， P(E)  3 ，乙最终正确得到甲发送的信息，有两种互斥情形： D  E ，
44
D  E .
因此 p  P(D  E)  P D  E   P(D)P(E)  P D P E   3  3  1  1  5 ，所以p  3 ， p  5 ；

24 44 48
3
1428
（ii）由题意， n  64 ， Y  40 ，且p1  4 .
np1 1 p1 
代入统计量Z 
Y  np1 ，得Z 
40  64  3
4
64  3  1
44
 40  48   8
3
  4 ，
12
2 3
3
因为 4 −2 ，所以根据题中判断标准，应判断通信过程中存在窃听.
故结论为通信过程中存在窃听.
【详解】（1）因为M 是圆 A1 上任意一点，点C 为线段MA2 的垂直平分线与半径MA1 的交点，
则 MC  CA2 ,故 CA1  CA2
 CA1  MC  A1M
 4 ，又因为 A1 A2
 2 ，则 CA1  CA2
 4  A1 A2
3
所以C 的轨迹是以 A1 , A2 为两焦点，长轴长为 4 的椭圆，即a  2, c  1, b ,
2
故C 的轨迹方程为 x
2
y
 1.
43
（2）（i）由已知直线l 与直线 A1 A2 不重合，
设过 A2 1, 0 的直线 DE 方程为 x  my 1 ， D  x1 , y1 , E  x2 , y2 , D x1 ,−y1  ，
 x2  y2 
1 6m
联立 43，化简得3m2  4 y2  6my  9  0 ，显然  0 ，且 y  y  , y y
  9 ，


x  my 1
123m2  41 2
3m2  4
又因为k
 y2  y1 ，则直线 D E 的方程为 y  y
 y2  y1  x  x  ，令 y  0 ，得 x  y1 x2  x1 y2 ，
DE
x  x
1x  x1
y  y
212112
将 x1 my1 1, x2 my2 1代入上式，可得
2m  9
y1 my2 1  my1 1 y2
2my y
 y  y
 3m2  4 
x  1 212   1  4 ，
y1  y2
所以点 P 的坐标为4, 0 .
y1  y2
6m 3m2  4
（ii）由（i）得 DE 
12 m2 1
1 m2y  y 4 y y

12

2
1 2
 3m2  4 ，
111111
22
| PD |2   x  42  y2  my  32  y2  m2 1 y2  6my  9, 同理得， | PE |2  m2 1 y 2  6my
 9 ，
则 PD |2  PE |2  m2 1 y2  y2   6m  y  y  18  m2 1 y  y 2  2 y y   6m  y  y  18
1212
 121 2 12
将 y1  y2
 6m 3m2  4
, y1 y2
 9
3m2  4
代入，化简得， PD 2  PE 2 
1820m4  41m2  20
3m2  42，
故| DE |2
1820m4  41m2  20
PD |2  PE |2


3m2  42 144 m2 12
3m2  42
4m2  55m2  4 8m2 12
令t  m2 1t  1 ，则m2  t 1 ，
PD |2  PE |2

4t 15t−1

20t 2  t−1
−
1  1 21  1 
5
−
1  11 2
81
| DE |2
8t 2
8t 2
   8  t  
2
8  t2 
32
由t  1，则0  1  1 ，
t

8  t  
   ，
PD |2  PE |2
2
11811
5
2
当  时， 
，当
 1时， 
 ，
PD |2  PE |2
t2| DE |32t
| DE |2
max
| PD |2  | PE |2 5 81
所以2的取值范围为, .
min
| DE | 2 32 