2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷02（含答案）

这是一份2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷02（含答案），共6页。试卷主要包含了已知sinθ，已知函数 f 等内容，欢迎下载使用。
R
1．（本题 5 分）已知集合 A  {x  Z | 0  x  3}， B  x | x2  9  0，则集合 A ð B 
（ ）
A．1,2
B．1,2,3
C． 0, 3
D． 0,3
2．（本题 5 分）已知命题 p : x  0, 2x  ln x  0 ，则命题 p 的否定是（ ）
x  0, 2x  ln x  0B． x  0, 2x  ln x  0
C． x  0, 2x  ln x  0D． x  0, 2x  ln x  0
3．（本题 5 分）复数 z 满足 z 3  2i  13 ，则复数 z 的共轭复数 z 的虚部为（ ）
A． 2
B．2C． 2i
D． 2i
→→→→
4．（本题 5 分）已知单位向量a ， b 满足a  a  2b ，则csa,b  （ ）
A．  1
2
B．0C． 1
D． 3
2
2
5．（本题 5 分）已知sinθ
3csθ 2 ，则cs π −θ  （ ）
5 6
 2 6
5
2 6
5

 1
5
1
5
6．（本题 5 分）已知a 是各项均为实数的等比数列， a  2, a  1 ，则a  （ ）
n1523
A．-1B．1C．-1 或 1D．2
7．（本题 5 分）已知0  a  1，则 1 2 的最小值为（ ）
5
2
9
2
2  2aa
C．5D．9
8．（本题 5 分）已知函数 f (x) 
x  2 的最大值为 1，则a  （）
ex  a
A
． 1
2
B．1C． 3
2
D．2
多选题（共 18 分）
9．（本题 6 分）已知直线l : x  2 y  0 与圆C : x2  y2  2x  0 相交于 E ， F 两点，则（ ）
圆心C 的坐标为1, 0
C．圆心C 到直线l 的距离为 5
5
圆C 的半径为
2
D． EF  4 5
5
n
n
1
n1
n
10．（本题 6 分）已知数列a 的前 n 项和为S ， a  3 ，且a 3a  2n n  N*  ，则
（ ）
1
2
3
n
A． a ， S ， a 成等差数列B．a  2n  是等比数列
nn
C．a  3n1 是等比数列D．S  2n1是等比数列
11．（本题 6 分）已知函数 f  x 的定义域为R ， f  x 1 1 为奇函数， f  x 为偶函数，且
当 x 0,1 时， f  x  x2  2，则（ ）

2026
A．f (i)  2025
i1
C．当 x 5, 7 时， f  x   x  62
x  2k 1, k  Z
B． f  x 的图象关于点3, 0 成中心对称
D．方程 f  x  f  x  2 的解为
填空题（共 15 分）
12．（本题 5 分）在 x  2x4 的展开式中， x3 的系数为．（用数字作答）
13．（本题 5 分）如图，为了测量河对岸的塔高 AB ，某测量队选取与塔底 B 在同一水平面内且相距 20 米的两个测量基点C 与 D ．现测量得BCD  30 ，在点C, D 处测得塔顶 A 的仰角分别为45, 60 ，若河宽至少 12 米，则塔高 AB  米．
2
14．（本题 5 分）一项比赛由 A，B，C，D，E 共 5 人参加，任意两人之间都需要比赛一场并且分出胜负，若 5 人实力相当（即每场比赛两人胜负概率均为 1 ），则 A 的胜场数比其
余任何一人的胜场数都多的概率为．
解答题（共 77 分）
n
15．（本题 13 分）已知数列a 满足a  2 ，且aann  N*  ．
n1n12a 1
 1 
证明：数列 a  为等差数列；
 n 
设bn  an  an 1 ，求数列bn 的前n 项和Sn ．
2
16．（本题 15 分）已知椭圆 C： x
a2
点.
2
2
y
 1（a＞b＞0）的离心率为
b22
， A(2, 0)
是 C 上一
求 C 的方程；
已知斜率为 1 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点，若 MN  8 ，求 l 的方程.
3
17．（本题 15 分）如图，在直角梯形 ABCD 中， AB//DC ， BAD  90 ， AB  4 ，
AD  2 ， DC  3 ，点 E 在CD 上，且 DE  2 ，将V ADE 沿 AE 折起，使得平面 ADE  平面
ABCE ，G 为 AE 中点．
求证： DG  平面 ABCE ；
求点G 到平面 ADB 的距离；
BP
在线段 BD 上是否存在点 P ，使得CP// 平面 ADE ？若存在，求 BD 的值；若不存在，请说明理由．
18．（本题 17 分）已知函数 f  x 
lnx x  a
a  0 ．
若函数 f  x 在1, f 1 处的切线与直线 y  1 x 平行，求a 的值；
2
当a＝0 时，证明 f  x  x 1；
若函数 f  x 在区间0, e2 上单调递增，求a 的取值范围．
19．（本题 17 分）某校足球队有高一队员 6 人，高二队员 7 人，高三队员 5 人，足球队进行射门和守门训练，已知高一队员甲、高二队员乙和高三队员丙参加守门训练，其他队员参加射门训练.
先从三个年级中任选一个年级，再从所选年级的队员中随机抽取 2 名队员.求所抽取出的 2
名队员都参加射门训练的概率.
训练前所有队员排成 3 行 6 列进行热身，求甲、乙、丙恰有两人在同一行，两人在同一列的概率.
参加射门训练的队员轮流射门，每轮射门训练中每位队员各有 10 次射门机会，一旦进球，则换下一名队员进行射门训练：若未进球，则继续射门训练，设参加射门训练的队员丁每次
射门进球的概率为 1
5
，在一轮射门训练中射门的次数为
X，证明：
E  X   5 .
《2025-2026 学年高二下学期数学期末复习卷 02》参考答案
12．24
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
B
A
D
B
B
B
ACD
ABC
题号
11
答案
ACD
3
20
15
128
【详解】（1）由a
an
，所以 1  2an 1  2  1 ，
n12a 1
aaa
nn1nn
所以 1  1  2 ，所以数列 1  是以2 为公差，首项为 1  1 的等差数列；
aa a a2
n1n
 n 1
1
（2）由（1）有
 1  n 1 2  4n  3 ，所以a 2，
an22
n4n  3
所以b
 a  a
22
41
1，
nnn1
4n  3 4n 1
4n  34n 1
4n  34n 1
所以S
 b  b
L b
 1 1  1  1 11
 11
 4n .
n12
​
n5594n  34n 14n 14n 1
 c 2 ，
 a2
2
【详解】（1）由题可知
4
解得 a＝2， c 
2，b ，
  1，
 a2
x2y2
所以 C 的方程为
 1 .
42
（2）设直线 l：y＝x＋m， M  x1 , y1 ，N  x2 , y2  .
 y  x  m，

4m2m2  4
由 x2y2得3x2  4mx  2m2  4  0 ，则 x  x −
，x x ，
 1，

1231 23
16m2 
9
4 2m2  4
3
 42
112


x  x 4x x
12
2
1 2
8
MN 
x1  x2
 2 
 2  ，
3
2
2
解得m  ，所以 l 的方程为 x  y  0 .
17．(1)因为G 为 AE 中点， AD  DE  2 ，所以 DG ⊥ AE ．
因为平面 ADE  平面 ABCE ，平面 ADE ∩ 平面 ABCE  AE ， DG  平面 ADE ，所以 DG  平面 ABCE ．
2
在直角三角形 ADE 中，∵ AD  DE  2 ，∴ AE  2 2 ，∴ DG  1 AE ．
2
又三角形 ABG 的面积S
a ABG
 1 AB  1 AD  1  4 1  2 ，由（1）知， DG  平面 ABCE ，所以三棱锥
222
2 16  2  2  4 
2
2
D  ABG 的高为 DG ，设点G 到平面 ADB 的距离为h ,由 AB  4 ， AG  2 ，而EAB  45 ，则
AG2  AB2  2 AG  AB  cs EAB
GB 

 10 ，
DG2  GB2
3
所以 DB 

 2 3 ,则 AD2  DB2  AB2 ，即 AD  DB ，
2 10
3
则S 1 AD  DB  1  2  2
 2
，由V
 V，得 1 S
 DG  1 S
 h ，
a ABD
22
G  ABDD ABG
3 a ABG
3 a ABD
2  2
2 3
则h  Sa ABG  DG 6 ，
Sa ABD3
即点G 到平面 ADB 的距离为 6 .
3
过点C 作CF / / AE 交 AB 于点 F ，则 AF : FB  1: 3 ；
过点 F 作 FP / / AD 交 DB 于点 P ，连接 PC ，则 DP : PB  1: 3 ；如下图所示：
因为 AD  平面 ADE ， PF  平面 ADE ，
所以 FP / / 平面 ADE ．因为CF / / AE ， AE  平面 ADE ， CF  平面 ADE ，
所以CF // 平面 ADE ．因为CF  FP  F ， CF  平面 PFC ， FP  平面 PFC ，所以平面 PFC / / 平面 ADE ．因为CP  平面 PFC ，所以CP / / 平面 ADE ．
所以在 BD 上存在点 P ，使得CP / / 平面 ADE ，且 BP  3 ．
18．
BD4
1  x  a  lnx
【详解】（1）易知函数 f  x 的定义域为0,  ，∵ f  x  x  x  a  xlnx  x  0 ，
∴ f 1 
1 a 2  1  1 .∴ a＝1.
 x  a2
x  x  a2
1 a1 a2
证明：当a  0 时， f  x  ln x  x  0 ，要证lnx  x 1 ，即证x  0, x2  x  lnx  0 恒成立，令
xx
h  x＝x2  x  lnx  x  0 ，则h x＝2x 1 1   x 12x 1 ，当0  x  1时， h x  0 ，当 x  1时，
xx
h x  0 ，∴ h  x 在0,1 单调递减，在1,  单调递增，
∴当 x  1时， h  x 取得极小值，也是最小值，即h  x  h 1  0 ，即x＞0, x2  x  lnx  0 恒成立，故原结论成立；
x  x  a2
若函数 f  x 在区间0, e2 上单调递增，即当 x 0, e2  时， f  x  x  a  xlnx  0 恒成立
min
 x 0, e2 , x  a  xlnx  0 恒成立，即x 0, e2 , a  x  xlnx 恒成立，即a   x  xlnx，令 t  x  x  xlnx, t x  1 1 lnx  lnx ，当0  x  1时， t x  0 ，当1  x  e2 时， t x  0 ，∴ t  x在0,1 单调递增，在单调递减，又当 x  0 时， t  x  0 ，当 x  e2 时， t  x  e2 ，
∴ a  e2 ，∴ a  e2 ，即a 的取值范围为e2 ,  ．
1911
．【详解】（
）三个年级被选中的可能性相同，每个年级被选中的概率都是 ．
3
高一共有 6 人，其中甲参加守门训练，所以高一参加射门训练的有 5 人．
C2102
若选中高一，则抽取出的 2 名队员都参加射门训练的概率为 5  .
C
6
2153
高二共有 7 人，其中乙参加守门训练，所以高二参加射门训练的有 6 人．
C2155
若选中高二，则抽取出的 2 名队员都参加射门训练的概率为 6  .
C
7
2217
高三共有 5 人，其中丙参加守门训练，所以高三参加射门训练的有 4 人．
C263
C
5
若选中高三，则抽取出的 2 名队员都参加射门训练的概率为 4  .
所以所求概率为 1  2  5  3   1  208  208 .
2105

3  375 3 105315
（2）所有队员排成 3 行 6 列，一共有 18 个位置．只考虑甲、乙、丙三人所在的位置，三人位置的选
18
法共有C3 种．现在统计满足条件的位置选法．要使甲、乙、丙恰有两人在同一行，且恰有两人在同
一列，它们的位置应形成一个“拐角”形状：先确定有两人的那一行，再确定这一行中的两个位置，最后第三人要与其中一个位置同列，但不能在同一行．
6
具体地，有两人的行有 3 种选法；在这一行中选出两个列位置，有C2 种选法；
第三人的列要与这两个位置中的一个相同，有 2 种选法；第三人的行不能是原来的行，有 2 种选
6
法．所以满足条件的位置选法共有3C2  2  2  315  4  180
.总的位置选法为C3
 816 .
18
故所求概率为180  15 .
81668
31
1 1  4 .
（ ）丁每次射门进球的概率为
5
，未进球的概率为
55
因为一旦进球就停止本轮训练，且最多射门 10 次，所以 X 表示丁实际射门的次数，
X 的可能取值为 1，2，…，10．我们先看丁至少射第k 次的概率．丁一定会射第 1 次，所以
P  X  1  1
.要射第 2 次，说明第 1 次没有进球，所以 P  X  2  4 .
5
要射第 3 次，说明前 2 次都没有进球，所以    5
 4 2
P X3 
 
.依此类推，要射第k 次，说明前k 1次
都没有进球，因此    5
 4 k 1
P Xk 
 
.其中k  1, 2,L,10 ．
4  4 2 4 9
因此 E  X   P  X  1  P  X  2 L P  X  10 .所以 E  X   1    L   ，故
 4 10
1  5 
 4 10 
 4 10
5
 4 10
 5  5 

 4 10 
E  X    5 1    .因为0     1 .所以1    1 .从而 E  X   5 1  5    5 .
1 4
5
 5  
 5 
 5 
  
故E  X   5 ．