专题19.2 二次根式的性质（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册+答案

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专题19.2 二次根式的性质 知识点01 二次根式的性质二次根式的性质：二次根式具有双重非负性，二次根式本身 0，被开方数 0。即 0， 0。考点：几个非负数的和等于0，这几个非负数分别等于0初中的三大非负数类型：、、【即学即练1】1．已知a+2+b−1=0，那么（a+b）2025＝（　　）A．﹣1B．1C．2D．﹣2【即学即练2】2．若|a+1|+b2−4b+4+c+3=0，则a+b3+c2的算术平方根（　　）A．4B．16C．±4D．﹣4知识点02 的性质的性质： 一个非负数的算术平方根的平方等于 。即 。【即学即练1】3．若a=(5)2，则a＝（　　）A．5B．±5C．±5D．5【即学即练2】4．(−2025)2= 　 　 ．知识点03 的性质的性质： 一个数的平方的算术平方根等于 。即 。再根据a的正负去绝对值符号。【即学即练1】5．化简：(3−π)2=　 　 ．【即学即练2】6．如图，数轴上点A表示的数为a，化简a2+(a−5)2的值是 　 　 ．【即学即练3】7．若(2a−3)2=3−2a，则a的取值范围是　 　 ．【即学即练4】8．若(2a−3)2=2a−3成立，则a的取值范围是 ．【即学即练5】9．已知18n是正整数，则正整数n的最小值是 　 　 ．题型01 二次根式的性质【典例1】下列各式中运算正确的是（　　）A．(−2)2=−2B．49=±7C．(−4)2=±4D．−(−3)2=−3【变式1】下列各式中，正确的是（　　）A．(−5)2=−5B．−52=−5C．(±5)2=±5D．52=±5【变式2】若a+|a|＝0，则(a+1)2+(a−1)2的值是（　　）A．2B．﹣2aC．2或﹣2aD．2a题型02 二次根式的非负性【典例1】已知a−3+b−8=0，则（a﹣b）2的平方根是　 　 ．【变式1】若(x−2)2+y+5+|z+1|=0，则xyz的值是（　　）A．10B．﹣10C．3D．﹣3【变式2】若a+2+4b2−4b+1=0，则a2023•b2024＝ 　 ．题型03 利用二次根式的性质化简【典例1】已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|=（　　）A．a+b﹣cB．2b+2c﹣aC．2c﹣aD．2b﹣a【变式1】若﹣1≤x≤7，化简：x2−14x+49−x2+2x+1= 　 ．【变式2】若2、5、n为三角形的三边长，则化简(3−n)2+(8−n)2的结果为（　　）A．5B．2n﹣11C．11﹣2nD．﹣5【变式3】已知a，b，c为三角形的三边，则(a+b−c)2+(b−c−a)2+(b+c−a)2= ．题型04 利用二次根式的性质求取值范围【典例1】若(a−5)2=5−a，则a的取值范围是（　　）A．a＞5B．a＜5C．a≥5D．a≤5【变式1】若(a−5)2=a﹣5，则a的取值范围是（　　）A．a＞5B．a＜5C．a≥5D．a≤5【变式2】如果(3a−1)2=1﹣3a，则（　　）A．a＜13B．a≤13C．a＞13D．a≥13题型05 根据二次根式是整数求值【典例1】若10−a是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是　 　 ．【变式1】已知二次根式12n的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为　 　 ．【变式2】已知n是一个正整数，75n是整数，那么n的最小值为　 　 ．1．下列计算正确的是（　　）A．a2=aB．(−a)2=±aC．a4=a2D．a2+b2=a+b2．《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即c=a2+b2（a为“勾”，b为“股”，c为“弦”）．若“勾”为2，“股”为3，则“弦”在如图所示数轴上可表示在（　　）A．A点B．B点C．C点D．D点3．已知(x−1)2+y−2=0，则（x﹣y）2025的值是（　　）A．1B．﹣1C．2023D．﹣20234．若2＜a＜3，则(2−a)2−(3−a)2=（　　）A．5﹣2aB．1﹣2aC．2a﹣1D．2a﹣55．若(a+1)2=−a−1，则a的值可以是（　　）A．4B．2C．0D．﹣26．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：a2+(a−b)2+b2=（　　）A．2aB．0C．2a﹣2bD．2b7．如果一个三角形的三边长分别为3、a、7，则(a−4)2−(a−11)2化简后为（　　）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．15﹣2a8．当0＜a＜1时，化简(a−1a)2−1a=（　　）A．aB．﹣aC．a−2aD．2a−a9．已知y=(x−2)2−x+4，当x分别取1，2，3，⋯，2025时，所对应y值的总和是（　　）A．2027B．2025C．4048D．405210．化简23−610+43−22的结果是（　　）A．3+2B．3−22C．3+22D．3−211．计算：(−2)2+(5)2=　 　 ．12．若(5−a)2+5=a，则a的取值范围是 　 ．13．二次根式24a是一个整数，那么正整数a的最小值是 　 　 ．14．若1＜x＜2，化简x2−2x+1−x2−4x+4=　 　 ．15．已知|x2+y−1|+y2−4|y|+4=0，且xy＜0，则xy＝ 　 ．16．通过计算下列各式的值探究问题：（1）①42=　 　 ；02=0；②(−2)2=　 　 ，探究：对于任意负有理数a，a2=　 ．综上，对于任意有理数a，a2=　 　 ．（2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示．化简：a2−b2−(a−b)2+|a+b|．17．阅读理解：阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答：化简：(1−3x)2−|1−x|．解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤13．∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．启发应用：已知△ABC三条边的长度分别是x+1，(5−x)2，4−(4−x)2．记△ABC的周长为C△ABC．（1）若x＝2，求C△ABC的值；（2）请用含x的代数式表示△ABC的周长C△ABC（结果要求化简），并写出x的取值范围．18．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似ba的形式，我们把形如ba的式子称为根分式，例如32，x−1x都是根分式．（1）下列式子中①aa2+1，②3x+1，③a2+32，　 是根分式（填写序号即可）；（2）写出根分式x−1x−2中x的取值范围 　 ；（3）已知两个根分式M=x2−6x+7x−2，N=2x−1x−2，若M2﹣N2＝1，求x的值．19．（1）当2≤a≤5时，化简；(a−2)2+(a−5)2=　 　 ；（2）若(a+1)2+(a−5)2=8，求a的值；（3）已知实数a，b满足(1−a)2+|b+3|=9−(a+4)2−|b−1|，求a2+b2的最大值．20．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如3=(3)2；5=(5)2，下面我们观察：(2−1)2=(2)2−2×1×2+12=2−22+1=3−22，反之，3−22=2−22+1=(2−1)2，∴3−22=(2−1)2，∴3−22=2−1．根据以上材料，求：（1）5+26；（2）4−12；（3）若a±2b=m±n，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．教学目标掌握二次根式的非负性，并能够结合绝对值，偶次方等的非负性灵活运用。2. 掌握二次根式的其他性质，并能够在解决问题时熟练的应用。教学重难点重点（1）二次根式的性质。2. 难点（1）利用二次根式的性质化简及其求取值范围；（2）利用二次根式为整数求值（易错点）。