第十九章 二次根式（高效培优单元自测 强化卷）数学新教材人教版八年级下册+答案

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第十九章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．下列二次根式运算正确的是（　　）A．4+9=13B．3×6=32C．18÷2=9D．5−2=32．在下列二次根式中，最简二次根式是（　　）A．a9B．x2+y2C．x2yD．273．若代数式x+2x有意义，则实数x的取值范围是（　　）A．x＞﹣2且x≠0B．x≠0C．x≥﹣2D．x≥﹣2且x≠04．若最简二次根式1−3a与28能合并，则a的值是（　　）A．2B．1C．﹣9D．﹣25．若12+x=27，则x的值是（　　）A．2B．3C．8D．156．若(a−5)2=5−a，则a的取值范围是（　　）A．a＞5B．a＜5C．a≥5D．a≤57．已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简a2−|a+b|+(c−a)2+|b+c|=（　　）A．a+b﹣cB．2b+2c﹣aC．2c﹣aD．2b﹣a8．若a＝1+2，b=11−2，则a与b的关系是（　　）A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．互为负倒数9．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为5，则正方形③的面积为（　　）A．25+9B．45+6C．25+6D．45+910．已知a−1a=2，则a+1a值为（　　）A．22B．±22C．23D．±2311．如果ab＞0，a+b＜0，那么下列各式中正确的是（　　）A．ab=abB．ab×ba=1C．ab÷ab=bD．（ab）2＝﹣ab12．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似ba这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如23，x+1x2−2都是根分式．已知两个根分式M=x−1x−2与N=x2−5x+7x−2．则下列说法：①根分式M=x−1x−2中x的取值范围为：x≥1且x≠2；②存在实数x，使得N2﹣M2＝1；③存在两个无理数x，使得M2+N2是一个整数．其中正确的个数是（　　）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）13．写出a−1的一个有理化因式 　 　 ．14．如果3−aa−1=3−aa−1成立，那么a的取值范围是　 　 ．15．已知1≤a≤2，化简a2−2a+1+|a−2|=　 　 ．16．已知y=x−2+2−x−3，则（x+y）2025（x﹣y）2026的值为　 　 ．17．已知实数a满足|2025−a|+a−2026=a，那么a﹣20252的值是 　 　 ．18．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形（正方形ABCD和正方形EFGH），已知：AB=23+1，EF=23−1，S四边形MCIE＝25，则大正方形的边长为　 　 ．三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）计算题（1）(3−1)2−12+273；（2）(2+3)(3−2)−12÷32+6×43．20．（8分）电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高h（m）与电视节目的信号传播半径r（m）之间满足r=2Rℎ，其中R是地球半径，R≈6.4×106m．（1）已知广州塔高约600m，求广州塔发射节目信号的传播半径；（76.8≈8.76）（2）设广州塔的高度是h1，另一座塔高为h2，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比．21．（8分）定义两种新运算，规定：a★b=a−b，a☆b=a+b，其中a，b为实数且a≥0．（1）求（5★1）（5☆1）的值；（2）化简（2★n）（2☆n）．22．（8分）已知a=12+3，b=12−3．（1）求a2b+ab2的值；（2）求a2﹣ab+b2的值．23．（10分）（1）若x、y都是实数，且满足y＞12−x+x−12+1，试化简代数式：|x﹣1|−(x−1)2−y2−2y+1y−1．（2）设a、b、c为△ABC的三边，化简：(a+b+c)2+(a−b−c)2+(b−a−c)2−(c−b−a)2．24．（10分）阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如(2+1)(2−1)=1，(6+3)(6−3)=3，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如12=1×22×2=22，2+22−2=(2+2)2(2−2)×(2+2)=3+22.像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化．解决问题：（1）将15分母有理化得　 　 ，16−5分母有理化得　 　 ．（2）利用上述方法，化简31+2+32+3+33+4+⋯+399+100．25．（10分）阅读材料：小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如4+23=(1+3)2，善于思考的小颖进行了以下探索：设x+y3=(m+n3)2（其中x，y，m，n均为正整数），则有x+y3=m2+3n2+2mn3，∴x＝m2+3n2，y＝2mn．这样小明就找到了一种把部分x+3y的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当x，y，m、n均为正整数且x+y5=(m+n5)2时，请用含m、n的式子分别表示x，y：x＝　 　 ；y＝　 　 ；（2）若x+43=(m+n3)2，且x，m，n均为正整数，求x的值；（3）①填空：4+23=　 　 ；②化简：4−9+28．26．（10分）【知识背景】在实数范围内，我们学过有理数和无理数．通过运算我们发现：任意一个有理数与一个无理数的和是无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积是无理数；0与无理数的积是0．由以上信息可知：如果mx+n＝0（m，n为有理数，x为无理数），那么m＝0，n＝0．运用上述知识解决下列问题：【基础应用】已知x=3−1，且（m+2）x+n﹣3＝0（m，n为有理数），则m的值为　 　 ，n的值为　 　 ；【进阶拓展】已知a，b，c均为有理数，且(1+2)a+(1−2)b+c=0，求a与c的等量关系；【实际应用】制作一个直角三角形木架，其中一条直角边的长度为(5+2)分米，另一条直角边的长度为a分米，斜边长度为(5b+c)分米，其中a，b，c均为有理数，求bc的值．