专题19.5 二次根式的加减（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册+答案

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专题19.5 二次根式的加减 知识点01 能合并的二次根式（同类二次根式） 同类二次根式的概念： 一般地，把几个二次根式化为 后，如果它们的被开方数 ，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 合并同类二次根式的方法： 只合并 的因式，即 相加减， 和 不变。 即 。 【即学即练1】 1．下列二次根式与3是同类二次根式的是（　　） A．2 B．6 C．9 D．12 【即学即练2】 2．最简二次根式2b+1与7−b是同类二次根式，则b＝（　　） A．2 B．3 C．0 D．4 【即学即练3】 3．若18与最简二次根式m+1能合并，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点02 二次根式的加减 二次根式的加减运算法则： 二次根式相加减，先把各个二次根式化成 ，再把 相同的二次根式进行合并。 具体步骤： ①若式子有括号，按照去括号的方法去括号。 ②对二次根式进行化简。 ③合并同类二次根式。 【即学即练1】 4．计算：（1）1345+5315−320； （2）a8a−2a218a+32a3． 知识点03 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算法则： 同有理数的混合运算法则相同，先去 ，再算 ，最后算 。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 若能用乘法公式计算的用乘法公式计算。 【即学即练1】 5．计算： （1）48÷3−12×12+24； （2）(32+3)(32−3)−(1−5)2． 【即学即练2】 6．求当x=6+3，y=6−3时，下列代数式的值． ①x2﹣y2； ②xy+yx． 【即学即练3】 8．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=ℎ5（不考虑风速的影响）． （1）从270m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？ （2）从高空抛出的物体，经过32s落地，所抛物体下落的高度是多少？ 题型01 判断同类二次根式 【典例1】下列二次根式中与2是同类二次根式的是（　　） A．50 B．12 C．10 D．4 【变式1】下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（　　） A．3和9 B．a和2a C．12和13 D．a2b和ab2 【变式2】下列各组二次根式中是同类二次根式的是（　　） A．0.7与7 B．a+b与1a−b（其中a＞b＞0） C．24与16 D．x3y与xy2（其中x＞0，y＞0） 题型02 根据同类二次根式求值 【典例1】若最简二次根式8−3k与8能合并，则k的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】若最简二次根式1+a与4−2a能进行合并，则a的值为（　　） A．a=−34 B．a=43 C．a＝1 D．a＝﹣1 【变式2】若最简二次根式2a−1与3+a是同类二次根式，则a的值是（　　） A．4 B．1 C．﹣4 D．0 题型03 二次根式的加减运算 【典例1】计算： （1）212−613+348； （2）（12+20）+（3−5）． 【变式1】计算： （1）80−20+5 （2）18+(98−27) （3）(24+0.5)−(18−6) （4）239x+6x4−2x1x 【变式2】计算下列各式： （1）5−6−20+23+95 （2）12−0.5−213−18+18 （3）27a−a3a+3a3+12a75a3 （4）23x9x+6xyx+yxy−x21x． 题型04 二次根式的混合运算 【典例1】计算． （1）（67−417）﹣（28+447）； （2）18−22−82+（5−1）0； （3）48÷3−12×12+24； （4）20+55−13×12． 【变式1】计算： （1）8+313−12+32； （2）50−15+220−45+22 （3）(25+32)(25−32) （4）(2−5)2011(2+5)2012． 【变式2】计算与化简 （1）50−（8+2512）+(2−3)2； （2）214÷328×(−5227)； （3）5x2xy÷12x3y⋅3y2x（x＞0，y＞0）； （4）(5+2)2−(5−2)2． 题型05 二次根式的化简求值 【典例1】已知：a=3−2，b=3+2，分别求下列代数式的值： （1）a2+2ab+b2； （2）a2b﹣ab2． 【变式1】已知x=3+1，y=3−1，求下列各式的值： （1）x2+2xy+y2； （2）1x−1y． 【变式2】已知a=23+32，b=23−32，求下列各式的值： （1）a2b+ab2； （2）1a2−1b2． 【变式3】先化简，再求值：(a+b)2−(a−b)(a+b)−2ab．其中a＝3，b＝4． 题型06 二次根式的实际应用 【典例1】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=ℎ5（不考虑风速的影响）．设从a（m）高空抛物到落地所需时间为t1，从2a（m）高空抛物到落地所需时间为t2，则t2t1的值为（　　） A．2 B．5 C．22 D．255 【变式1】有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加23cm（即DE=23cm），宽AB增加73cm（即BG=73cm）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE． （1）求长方形木板ABCD的面积； （2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为62cm的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 1．下列运算正确的是（　　） A．3+2=5 B．32−2=3 C．2×5=10 D．24÷6=4 2．下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（　　） A．27a3b2和12a B．52x和53x C．xy2和x2y D．a和1a2 3．某同学做了以下四道习题，①16a4=4a2；②5a⋅10a=52a；③a1a=aaa2=a；④3a−2a=a．其中做错的题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若12与最简二次根式2t−1能合并成一项，则t的值为（　　） A．6.5 B．3 C．2 D．4 5．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（　　） A．78cm2 B．(43+30)cm2 C．1210cm2 D．2410cm2 6．若x是整数，且x−1+3−x有意义，则x−1+3−x的值是（　　） A．1或3 B．0或1 C．2或2 D．0或2 7．已知a−1a=2，则a+1a值为（　　） A．22 B．±22 C．23 D．±23 8．若5−11的整数部分为x，小数部分为y，则(x+11)(y−3)的值是（　　） A．−13−311 B．13+311 C．10 D．﹣10 9．已知x+y＝﹣9，xy＝9，则xyx+yxy值是（　　） A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3 10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]．现已知△ABC的三边长分别为1，2，5，则△ABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 11．若最简二次根式2x−7与3x−2是同类二次根式，则x＝　 　 ． 12．已知实数m，n满足m−2+(n−18)2=0，则m−n= 　 ． 13．定义运算“*”的运算法则为a*b＝2a+b，则18*32＝ 　 ． 14．设a=7+6，b=7−6，则a2025b2026的值是　 　 ． 15．若m=20252026−1，则m3﹣m2﹣2027m+2025＝　 ． 16．计算： （1）75−13−2+1012； （2）(312−213+48)÷23． 17．如图，小华家有一块长方形空地ABCD，空地的长AB为72m，宽BC为32m，小华准备在空地中划出一块长为(10+1)m，宽为(10−1)m的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． （1）求出长方形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式） （2）求种植青菜部分的面积． 18．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到35，23，23+1这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号． 35=3×55×5=355① 23=2×33×3=63② 23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1③ 以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知x=13+2，y=13−2 （1）求x+y，xy的值； （2）求x2+y2﹣xy的值． 19．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式t=ℎ5（不考虑阻力的影响）． （1）求物体从80m的高空落到地面的时间； （2）小红说物体从160m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； （3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．某质量为0.2kg的小球经过3s落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65J的能量） 20．小星在解决问题：已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3， ∴a−2=−3． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1． ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小星的分析过程，解决如下问题： （1）填空：111+10= ；1n−n−1=　 　 ； （2）计算：(12+1+13+2+14+3+⋯+12025+2024)⋅(2025+1)； （3）若a=110−3，求2a2﹣12a﹣5的值． 教学目标掌握能合并的二次根式的概念，并能够熟练地进行二次根式的合并。 掌握二次根式的加减法运算，并能够熟练对二次根式进行加减运算。 掌握二次根式的混合运算法则并能够熟练进行混合运算。教学重难点重点 能合并的二次根式； 二次根式的加减运算及混合运算。 2. 难点 （1）根据同类二次根式求值； （2）二次根式的混合运算及其化简求值。