第十九章 二次根式（高效培优单元自测 提升卷）数学新教材人教版八年级下册+答案

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第十九章 二次根式（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若a是二次根式，则a的值不能是（　　） A．17 B．3.14 C．﹣2 D．0 【答案】C 【解答】解：若a是二次根式，则a≥0， 所以a的值不能是﹣2， 故选：C． 2．下列计算正确的是（　　） A．a2=a B．(−a)2=±a C．a4=a2 D．a2+b2=a+b 【答案】C 【解答】解：A、a2=|a|≠a，原计算错误，不符合题意； B、(−a)2=|a|≠±a，原计算错误，不符合题意； C、a4=a2，正确，符合题意； D、a2+b2=|a|+|b|≠a+b，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 3．若式子m+1m−1在实数范围内有意义，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣1，且m≠1 B．m≠0 C．m≥﹣1，且m≠1 D．m≠1 【答案】C 【解答】解：由题意得：m+1≥0，且m﹣1≠0， 即m≥﹣1，且m≠1， ∴m的取值范围是m≥﹣1，且m≠1， 故选：C． 4．若最简二次根式m−1与8可以合并，则2m−1的值是（　　） A．5 B．2 C．7 D．3 【答案】A 【解答】解：8=22， ∵最简二次根式m−1与8可以合并， ∴m﹣1＝2， 解得m＝3， ∴2m−1=5． 故选：A． 5．已知：20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解答】解：∵20n=4×5n=25n，且20n是整数； ∴25n是整数，即5n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为5． 故选：D． 6．已知x、y为实数，且y=x−9−9−x+4，求x+y的值为（　　） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：x﹣9≥0，9﹣x≥0， 解得：x＝9， ∴y＝0﹣0+4＝4， ∴x+y=9+4=3+2=5， 故选：C． 7．将一个边长为a的正方形硬纸板剪去四角，使它成为正八边形，求正八边形的面积（　　） A．（22−2）a2 B．79a2 C．22a2 D．（3﹣22）a2 【答案】A 【解答】解：设剪去三角形的直角边长x，根据勾股定理可得，三角形的斜边长为2x，即正八边形的边长为2x， 依题意得2x+2x＝a，则x=a2+2=(2−2)a2， ∴正八边形的面积＝a2﹣4×12×(a2+2)2=（22−2）a2． 故选：A． 8．使式子aa−5=aa−5成立的条件是（　　） A．a≥5 B．a＞5 C．0≤a≤5 D．0≤a＜5 【答案】B 【解答】解：由题意得：a≥0a−5＞0， 解得：a＞5． 故选：B． 9．已知a=5+3，b=25−3，则a与b的关系是（　　） A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5 【答案】A 【解答】解：b=25−3=(5+3)(5−3)5−3=5+3，a=5+3， 故选：A． 10．已知：a=3−2，b=3+2，则代数式（3a2﹣18a+15）（2b2﹣12b+13）的值是（　　） A．6 B．24 C．42 D．96 【答案】A 【解答】解：由已知得a﹣3=−2，b﹣3=2， 两式平方，整理得a2﹣6a＝﹣7，b2﹣6b＝﹣7， 原式＝[3（a2﹣6a）+15][2（b2﹣6b）+13] ＝[3×（﹣7）+15][2×（﹣7）+13] ＝6．故选A． 11．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]．现已知△ABC的三边长分别为1，2，5，则△ABC的面积为（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．0.5 【答案】A 【解答】解：∵△ABC的三边长分别为1，2，5，则△ABC的面积为： ∴S=14[12×22−(12+22−(5)22)2]=1， 故选：A． 12．观察下列计算：12+1•（2+1）＝（2−1）（2+1）＝1， （12+1+12+3）（3+1）＝[（2−1）+（3−2）]（3+1）＝2， （12+1+12+3+14+3）（4+1）＝[（2−1）+（3−2）+（4−3）]（4+1）＝3， … 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： （12+1+12+3+13+4+⋯+12010+2009）（2010+1）的值为（　　） A．2008 B．2010 C．2011 D．2009 【答案】D 【解答】解：由题意得：（12+1+12+3+13+4+⋯+12010+2009）（2010+1）＝2009． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．比较大小：25+1　＞　 12（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＞． 【解答】解：原式=2(5−1)5−1 =2(5−1)4 =5−12， ∵5＞2， ∴5−1＞1， ∴5−12＞12． 故答案为：＞． 14．化简(5−a)−15−a=　−a−5　 ． 【答案】−a−5． 【解答】解：原式=(5−a)1a−5 =(5−a)a−5(a−5)2 =−(a−5)⋅a−5a−5 =−a−5． 故答案为：−a−5． 15．若实数a和b满足4−a+a−4=b+2，则a﹣b的算术平方根是　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：由二次根式有意义的条件，可得4−a≥0a−4≥0， 解得：a≤4a≥4， ∴a＝4． ∴4−a+a−4=b+2， ∴b+2＝0， ∴b＝﹣2， ∴a﹣b＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6， ∴6的算术平方根是6，即a﹣b的算术平方根是6． 故答案为：6． 16．现定义一种新运算◎：对于任意正有理数x、y，都有x◎y=3x−2y．例如：9◎3=3×9−23=33−23=3，则6◎8＝　−2　 ． 【答案】−2． 【解答】解：∵x◎y=3x−2y， ∴6◎8 =3×6−28 ＝32−42 =−2， 故答案为：−2． 17．实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式a2+|a+b|+|2−a|−(b−2)2的值为　﹣3a ． 【答案】﹣3a． 【解答】解：根据题意可知，a＜−2＜b＜0， 则a2=|a|=−a，a+b＜0，2−a＞0，b−2＜0， 原式＝﹣a﹣（a+b）+2−a+（b−2）＝﹣3a． 故答案为：﹣3a． 18．任意一个四位正整数m＝abcd，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为m′，其中F(m)=m−m′99，若F(m)+4a+10b+1为整数，则满足条件的“十拿九稳数”m的最大值为　9316　 ． 【答案】9316． 【解答】解：由题意知，m＝1000a+100b+10c+d，m'＝1000c+100d+10a+b， ∴F（m）=1000a+100b+10c+d−(1000c+100d+10a+b)99=990a+99b−990c−99d99=10a+b﹣10c﹣d＝20a+2b﹣109 ∴F（m）+4a+10b+1＝20a+2b﹣109+4a+10b+1＝24a+12b﹣108＝12（2a+b﹣9）， ∴F(m)+4a+10b+1=12(2a+b−9)=23(2a+b−9)， ∵F(m)+4a+10b+1为整数， ∴2a+b﹣9＝3或2a+b﹣9＝12， 由题意知，当a值最大时，m的值最大， 当2a+b﹣9＝3时，最大的a值为5，此时b＝2，m的最大值为5257； 当2a+b﹣9＝12时，最大的a值为9，此时b＝3，m的最大值为9316； ∵5257＜9316， ∴满足条件的“十拿九稳数”m的最大值为9316， 故答案为：9316． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）计算： （1）8+13−212； （2）45−55−22×6； （3）(−1)2025−12+|3−23|−(12)−1； （4）(13+6)(13−6)−(22−1)2． 【答案】（1）2+33； （2）2﹣43； （3）﹣6； （4）42−2． 【解答】解：（1）8+13−212 ＝22+33−2 =2+33； （2）45−55−22×6 =35−55−212 ＝2﹣43； （3）(−1)2025−12+|3−23|−(12)−1 ＝﹣1﹣23+23−3﹣2 ＝﹣6； （4）(13+6)(13−6)−(22−1)2． ＝13﹣6﹣（8﹣42+1） ＝7﹣8+42−1 ＝42−2． 20．（8分）已知b−a3b和2b−a+2是相等的最简二次根式． （1）求a，b的值； （2）求b3+a2014的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵b−a3b和2b−a+2是相等的最简二次根式， ∴b−a=23b=2b−a+2． 解得，a=0b=2， ∴a的值是0，b的值是2； （2）b3+a2014=23=22． 21．（8分）已知实数a、b使等式(2a−1)2+|b−2|=0成立，请先化简，再求值：ab−baab−b+1÷ab+ba+a． 【答案】a+a(a+1)b(a+b)，1+426． 【解答】解：∵(2a−1)2+|b−2|=0， ∴2a−1=0，b−2=0， ∴a=12，b=2， ab−baab−b+1÷ab+ba+a =ab(a−b)b(a−b)+a(a+1)b(a+b) =a+a(a+1)b(a+b)， 当a=12，b＝2时， 原式=12+12(12+1)2(12+2)=22+1+26=1+426． 22．（8分）一个三角形的三边长分别为5x5、1220x、54x45x （1）求它的周长（要求结果化简）； （2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）周长=5x5+1220x+54x45x =5x+5x+125x =525x， （2）当x＝20时，周长=525×20=25， （或当x=45时，周长=525×45=5等） 23．（10分）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到35，23，23+1这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号． 35=3×55×5=355① 23=2×33×3=63② 23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1③ 以上化简的步骤叫做分母有理化．请参照上述方法，若已知x=13+2，y=13−2 （1）求x+y，xy的值； （2）求x2+y2﹣xy的值． 【答案】（1）x+y=23；xy＝1； （2）9． 【解答】解：（1）先对x、y分别进行分母有理化，分母有理化可得： x=13+2=13+2×3−23−2=3−2， y=13−2=13−2×3+23+2=3+2， ∴x+y=3−2+3+2=23， ∴x×y=(3−2)×(3+2)=1， （2）原式＝（x+y）2﹣3xy =(23)2−3×1 ＝12﹣3 ＝9． 24．（10分）数学课代表小明发现有同学常出现类似“2+3=5”的错误计算．小明深知不能简单强调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解a+b与a+b（a＞0，b＞0）的大小关系才能解决这个问题．他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”，运用“转化”的数学思想作为问题解决的思路，具体如下： 【知识再现】一般地，已知两个正数a和b，如果a≥b，那么a≥b；反之，如果a≥b，那么a≥b． 【知识应用】 （1）阅读下面的解题过程，并填空： ∵（2+3）2＝　5+26　 ，（2+3）2＝　5　 ， ∴（2+3）2　＞　 （2+3）2．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”） ∵2+3＞0，2+3＞0， ∴2+3　＞　 2+3．（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”） 【猜想证明】 （2）判断a+b与a+b（a＞0，b＞0）的大小关系，并证明． 【答案】（1）5+26，5，＞，＞；（2）a+b＞a+b， 证明：∵a＞0，b＞0，a+b＞0，a+b＞0， ∵(a+b)2=a+b+2ab，(a+b)2=a+b， ∵2ab＞0， ∴(a+b)2＞(a+b)2， ∴a+b＞a+b． 【解答】解：（1）∵（2+3）2＝2+26+3＝5+26，（2+3）2＝2+3＝5， ∴(2+3)2＞(2+3)2， ∵2+3＞0，2+3＞0， ∴2+3＞2+3， 故答案为：5+26，5，＞，＞；（2）a+b＞a+b， 证明：∵a＞0，b＞0，a+b＞0，a+b＞0， ∵(a+b)2=a+b+2ab，(a+b)2=a+b， ∵2ab＞0， ∴(a+b)2＞(a+b)2， ∴a+b＞a+b． 25．（10分）现有两块同样大小的长方形纸片（如图①和图②），小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为18cm2和32cm2的正方形纸片A，B． （1）原长方形纸片的长为　72　 cm，宽为　42　 cm； （2）求图①中阴影部分的面积； （3）若小星想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积均为25cm2的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】（1）72，42； （2）6cm2； （3）不能，理由： ∵面积为25cm2的正方形纸片的边长为25=5(cm)， 则5+5=10=100＞72， ∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是25cm2的正方形纸片． 【解答】解：（1）依题意，正方形纸片A的边长为18=32(cm)； 正方形纸片B的边长为32=42(cm)， ∴42+32=72(cm)， 原长方形纸片的长为72cm，宽为42cm． 故答案为：72，42； （2）∵长方形的长为32+42=72(cm)，宽为42cm， ∴阴影部分的面积=72×42−(18+32)=56−50=6(cm2)． （3）不能截出，理由如下： ∵面积为25cm2的正方形纸片的边长为25=5(cm)， 则5+5=10=100＞72， ∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是25cm2的正方形纸片． 26．（10分）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：7+43该如何化简？ 建立模型：形如m+2n的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（a）2+（b）2＝m，a•b=n． 那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b）， 问题解决：化简：7+43， 解：首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即(4)2+(3)2=7，4×3=12． ∴7+43=7+212=(4+3)2=2+3， 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）6+25； （2）13−410． 模型应用2： （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4−3，AC=3，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）． 【答案】（1）1+5；（2）22−5；（3）23−2． 【解答】解：（1）m＝6，n＝5． ∵1+5＝6，1×5＝5， ∴（1）2+（5）2＝6，1×5=5， ∴6+25=(1+5)2=1+5． （2）∵13−410=13−240． ∴m＝13，n＝40， ∵5+8＝13，5×8＝40， ∴（5）2+（8）2＝13，5×8=40， ∴13−410=(8−5)2=(22−5)2=22−5． （3）BC=(4−3)2−(3)2=16−83． ∵16−83=16−248， ∴m＝16，n＝48， ∵4+12＝16，4×12＝48， ∴（4）2+（12）2＝16，4×12=48， ∴BC=16−248=(12−4)2=(23−2)2=23−2．