专题23.5 一次函数的应用（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级下册+答案

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专题23.5 一次函数的应用 知识点01 一次函数实际应用 一次函数解决实际问题的基本步骤： 先将实际问题抽象为一次函数问题； 设函数解析式； 根据条件求出函数解析式； 结合函数图象和性质分析并解决实际问题。 【即学即练1】 1．幸福小区计划购买一批树苗绿化小区，且需送货上门，已知一棵树苗15元，送货上门需要加100元运费，则所需金额y（单位：元）与购买棵数x（单位：棵）之间的函数关系式为（　　） A．y＝15x B．y＝100﹣15x C．y＝15x+100 D．y＝115x 【即学即练2】 2．如图是一块长为5m，宽为2m的长方形木板（厚度忽略不计），现要在长边上截去长为xm（0＜x＜5）的一部分，则剩余木板的面积（空白部分）y（m2）与x（m）之间的函数关系式为（　　） A．y＝10﹣x B．y＝5x C．y＝2x D．y＝﹣2x+10 【即学即练3】 3．春节期间，多部国产电影纷纷上映，某电影院的负责人经过调查后发现，每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间大致满足一次函数的关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如下表所示： （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）若电影票的售价定为38元时，每天售出的电影票数量应为多少张？ 【即学即练4】 4．2026年春晚舞台上，人形机器人表演让人叹为观止．某公司计划购买甲、乙两种机器人进行销售，调查发现，甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍． （1）求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ （2）该公司打算购进甲、乙两种机器人共30个（两种都要买），且总经费预算不超过1900万元．若购进甲种机器人m个，购买经费为W万元，求W与m之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 知识点02 建立函数模型，选择最佳方案 用一次函数选择最佳方案的一般步骤： 从数学的角度分析实际问题，建立函数模型； 列出不等式（组）或方程（组），求出自变量的取值范围，并求出在不同自变量取值时对应的函数值大小关系； 结合实际需求，选择最佳方案。 【即学即练1】 5．清明假期期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都按八折收费．假设这两位家长带领x名学生去旅游， （1）用y1代表甲旅行社的费用，用y2代表乙旅行社的费用，写出y1，y2的函数表达式； （2）他们应该选择哪家旅行社更合算呢？ 【即学即练2】 6．甲公司将员工的午餐外包给某家餐饮公司，该餐饮公司根据每天甲公司员工团购订餐的数量，给出以下优惠方案： （1）某天甲公司有40人团购订餐，且订A套餐的人数不少于25人．若按方案一结算的总费用恰为1060元，求这天订A套餐和B套餐的人数分别有多少人． （2）某天甲公司有60人团购订餐，其中订B套餐的人数大于订A套餐人数的2倍，设其中有x人订A套餐，按方案一结算的总费用为y1元，按方案二结算的总费用为y2元． ①分别求y1，y2与x之间的函数关系式． ②若按方案二结算较合算，则x的值为 　 　 ． 知识点03 分段函数 分段函数： 在一次函数的实际应用中，最常见为分段函数。分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。 关键点：①分段函数各段的函数解析式。 ②各个拐点的实际意义。 ③函数交点的实际意义。 【即学即练1】 7．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先达到B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是（　　） A．乙车的速度为90km/h B．AB两地相距360km C．b＝150 D．d=296ℎ 【即学即练2】 8．甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为6米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（　　） A．①② B．①④ C．②③④ D．③④ 【即学即练3】 9．小明和小亮相约晨练跑步．小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人沿滨江路跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分．如图是两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分）之间的函数图象．下列说法：①小明家与小亮家距离为540米；②相遇前小亮的速度为120米/分；③小明出发7分钟时，两人距离为80米；④若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过1分钟两人相遇．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型01 由实际问题抽象出函数解析式 【典例1】如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的建筑材料围成．为方便进出，在边CD上留一扇1米宽的门．若设AB的长为x米，BC的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝24﹣2x（0＜x＜12） B．y＝25﹣2x（0＜x＜12.5） C．y＝26﹣2x（0＜x＜13） D．y＝25﹣x（0＜x＜25） 【变式1】某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油消耗了10L，如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（　　） A．y＝0.1x，x＞0 B．y＝50﹣0.1x，x＞0 C．y＝0.1x，0≤x≤500 D．y＝50﹣0.1x，0≤x≤500 【变式2】节假日期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商场一次性购物超过50元，超过50元的部分按九折优惠”，在此活动中，小明到该商场一次性购买了单价为30元的商品x件（x＞2），应付款y（元），则下列方程中正确的是（　　） A．y＝30x•90%+50 B．y＝30x•90% C．y＝30x•90%﹣50 D．y＝50+（30x﹣50）•90% 【变式3】已知等腰三角形的周长为20cm，则底边长y（cm）与腰长x（cm）的函数关系式是（　　） A．y＝20﹣2x（5＜x＜10） B．y＝2x﹣20（5＜x＜10） C．y＝10−12x（x＜10） D．y=12x﹣10（5＜x） 题型02 一次函数的实际应用 【典例1】某学校采购体育用品，需要购买若干个篮球和足球．已知购买一个篮球和一个足球共需要110元，购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元． （1）求篮球和足球的单价各是多少元？ （2）若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少元？ 【变式1】随着“体重管理年”三年行动的实施，某体育用品商店老板计划购进甲、乙两种健身器材共100件进行销售．甲、乙两种健身器材的进价与售价如下表所示： 设该体育用品商店老板购进甲健身器材x件（0＜x＜100），购进这两种健身器材所需的总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若该体育用品商店老板共花费6200元购进这两种健身器材，求售完此次购进的甲、乙两种健身器材所得的总利润． 【变式2】某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1440元，购买乙种用了2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵6元． （1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元； （2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，要求甲种滑动变阻器的数量不多于乙种滑动变阻器的数量的3倍，总费用不超过5000元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【变式3】2026年山亭区助农电商平台采购方案：为助力乡村振兴，某电商平台购进甲（店子长红枣礼盒）和乙（城头豆制品礼盒）两款助农产品进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价不变）： （1）求甲、乙两款礼盒的进货单价； （2）该平台计划第三次购进甲、乙两款礼盒共100盒．已知每盒甲款礼盒售价为160元，每盒乙款礼盒售价为110元．若规定乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的2倍，设购进甲款礼盒x盒，这批礼盒的总利润为W元，求W的最大值． 题型03 分段函数的图象分析 【典例1】甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　） A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 【变式1】如图中的图象（折线ABCDE）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在行驶途中停留了0.5h； ②汽车共行驶了300km； ③汽车回来时的平均速度是去时的2倍； ④汽车自出发后2h至3h之间的行驶速度为60km/h． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发1h；②甲行驶的速度为40km/h；③3h时，甲、乙两人相距45km；④0.75h或1.15h时，乙比甲多行驶10km．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】小明从家中去往A地，匀速前进，小明出发2min后，小明的爸爸发现小明的数学书落在了家中，于是按照小明步行的路线匀速追赶小明，爸爸将数学书送给小明后（不计停留时间），又按原路原速返回．当小明到达目的地时，爸爸恰好也到达家中，小明和爸爸离家的距离y（m）与小明的步行时间x（min）的函数关系图象如图所示．下列说法正确的有（　　）个． ①a＝2； ②b＝720； ③小明爸爸的速度是180m/min； ④小明爸爸出发2min或6.4min时两人相距120m． A．1 B．2 C．3 D．4 题型04 一次函数与方案选择 【典例1】某学校老师暑假带领该校学生去旅游，甲旅行社说：“若老师买一张全票，则所有学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括老师在内都享受六折优惠．”若全票票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲元、乙旅行社收费为y乙元． （1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式； （2）请你讨论该学校选择哪一家旅行社更优惠？ 【变式1】随着洗车服务需求的不断增长，智能洗车行业迎来了更加广阔的发展空间．已知某智能洗车店的洗车费用为30元/次，为回馈客户，该智能洗车店推出以下两种优惠方案： 方案一：按次收费，每次洗车打八折，没有额外费用； 方案二：办理年卡，年卡收费120元，每次洗车打六折． 若张叔叔一年洗车的次数为x（x为正整数）次，所需总费用为y元．（只选其中一种方案） （1）分别求出张叔叔选择两种优惠方案所需的总费用y与洗车次数x之间的函数关系式； （2）若张叔叔计划一年的洗车总费用为552元，请你分析他选择哪种方案更划算，并说明理由． 【变式2】小南爸爸新购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调研，他收集到以下信息： （1）请分别写出方案A和方案B的充电费用y（元）关于充电量x（度）的函数关系式yA与yB（注：A方案充电费用包括一次性安装费用）； （2）请问该车充电量达到多少度时，两种方案的充电费用相同？ （3）已知该款车百公里能耗为15度电，预计小南爸爸每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，比较哪种充电方案更合算，并说明理由． 【变式3】某校在期末对本学期的校级“三好学生”进行表彰，准备购买一批精装硬皮笔记本作为奖品，经市场调研发现，这种笔记本市场价格均相同，且花费300元购买的笔记本的数目比花费100元购买的笔记本多20本． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店准备购买，这两家商店在期末期间均有优惠活动： 甲商店：购买超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买超过50本，超过部分打八折出售； 设学校购买x本笔记本，所花费用为y元，其函数图象如图所示． （1）求每本笔记本的单价． （2）①当x＞30时，求甲商店的应付总价y1与数量x之间的函数关系式； ②当x＞50时，求乙商店的应付总价y2与数量x之间的函数关系式． （3）请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． （4）根据图象直接写出选择哪家商店购买笔记本更优惠． 1．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为25℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面h千米处的温度t为（　　） A．t=25−ℎ6 B．ℎ=25−t6 C．t＝25﹣6h D．h＝25﹣6t 2．油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．油箱中剩油量Q（升）与流出的时间t（分）间的函数关系式是（　　） A．Q＝20﹣5t B．Q=15t+20 C．Q＝20−15t D．Q=15t 3．据查，某存车处某日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数是（　　） A．y＝0.1x+800（0≤x≤4000） B．y＝﹣0.1x+1200（0≤x≤4000） C．y＝﹣0.1x+800（0≤x≤4000） D．y＝0.1x+1200（0≤x≤4000） 4．八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园ABCD，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边BC的长为xm，边AB的长为ym（x＞y）．则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝﹣2x+12（0＜x＜12） B．y=−12x+6（4＜x＜12） C．y＝2x﹣12（0＜x＜12） D．y=12x﹣6（4＜x＜12） 5．学校生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里橘树苗的生长，将橘树苗的高度y（cm）与观察时间x（天）的关系记录如图所示，那么橘树苗在第50天的高度是（　　） A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm 6．某车间甲车床一天可制作480个工件．该车间新引进乙车床，通过调试，乙车床一天用同样的工时（小时）制作560个工件．设乙车床每小时比甲车床多制作的工件数为p，下列推断正确的是（　　） A．p＝80 B．p是乙车床一天总工时的反比例函数 C．p是甲车床一天总工时的正比例函数 D．p是甲车床每小时制作的工件数的反比例函数 7．随着人们生活水平的提高，对美食的要求也越来越高，特别是油炸食品，需要控制油的温度才能保证菜品的成功．下表是厨师记录的一次油沸腾前的油温y（单位：℃）随加热时间t（单位：s）变化的部分数值： 根据表格中的数据判断，加热100s时的油温为（　　） A．150℃ B．165℃ C．180℃ D．195℃ 8．某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（　　） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当3＜x≤6时，y＝2x+4 C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 9．甲、乙两辆汽车从A城出发前往B城，在整个行程中，两车离开A城行驶的路程y（千米）与甲车出发的时间x（小时）的对应关系如图所示，则下列四个结论： ①A城与B城相距360千米； ②乙出发1.5小时后追上甲； ③甲，乙两车相距50千米时，x=56或32； ④当3≤x≤5.5时，甲、乙两车之间相距的路程不变． 其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 10．甲、乙两人原计划一同从A从到B城，但乙临时有事就只能分开自驾出发，乙为了能在预计时间内到达B坡，其匀速行驶的速度比甲匀速行驶的速度大．当乙提前到达B城后，他又立马掉头用原来速度的310去接甲，与甲相遇后又按照甲的速度一起行驶到B城，整个行驶过程中，两人与A城的距离y（km）与甲行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．有下列结论： ①两城相距300km； ②乙比甲晚出发1h，却早到1h； ③两人第一次相遇时距出发点150km； ④图象中a=5，b=423； ⑤当甲、乙两人相距50km时，t=56或54或154或379． 其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 11．西安市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8.5元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了x（x＞3）千米，付车费y元，则所付车费y（元）与出租车行驶的路程x（千米）之间的关系式为 　 ．（不要求写出自变量x的取值范围） 12．一个水池的容积是90m3，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1小时后水池的水量是15m3，5小时后水池的水量是35m3，那么8小时后水池的水量是　 　 m3． 13．甲、乙两地相距300km，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的关系如图所示，则图中点B的横坐标为　 　 ． 14．某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kW•h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程相等时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多12kW•h，则此时它们行驶的路程均为 　 　 km． 15．如图，经过点A的一束光线照射到平面镜（x轴）上的点B处，反射后的光线BC交y轴于点C（0，1），若反射光线BC的函数关系式为y=−34x+b，则入射光线AB的函数关系式为　 ． 16．我市为了打造蓼河公园，今年计划改造一片绿化地种植A、B两种景观树．种植3棵A种、4棵B种景观树需要1800元，种植4棵A种、3棵B种景观树需要1700元． （1）种植每棵A种景观树和每棵B种景观树各需要多少元？ （2）今年计划种植A、B两种景观树共400棵，且A种景观树的数量不超过B种景观树数量的3倍，要使总费用最低，这两种景观树各种植多少棵？最低费用为多少元？ 17．冲泡日照绿茶的最佳水温为80﹣85℃，在这个温度范围内，水温足以激发茶叶中的香气和滋味，同时又不会破坏其营养价值．为使冲泡出来的日照绿茶口感更佳，明明的爸爸在泡茶时，记录了烧水壶的水温T（单位：℃）随烧水时间t（单位：min）变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的． （1）求水温T与时间t之间的表达式； （2）为使水温达到日照绿茶适宜的冲泡温度80℃，需要烧水多长时间？ 18．在一条公路上依次有A，B，C三地，为服务我市冰雪运动嘉年华活动，甲车从A地出发匀速驶向活动区域，途经B地时接到紧急任务，立即原路原速返回A地（调头时间忽略不计）；乙车从C地出发匀速驶往A地，行至B地时因路面临时交通管控停车等候半小时，之后继续匀速前行，最终比甲车早半小时到达A地．如图是甲、乙两车距C地的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲车的速度是　 　 km/h，乙车到达B地之前的速度是　 　 km/h； （2）求图象中线段EF的函数解析式； （3）直接写出乙车到达B地休息前，甲、乙两车出发多长时间，两车与B地的距离相等． 19．某游泳馆普通票价为20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费； ②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元． （1）分别写出选择银卡、普通票消费时，所需总费用y1，y2与x之间的函数关系式； （2）在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A，B，C，D的坐标； （3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更划算． 20．已知小亮所在学校的宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍0.4km，书店离宿舍1.6km，小亮从宿舍出发，先匀速步行了4min到超市；在超市停留了6min后，匀速骑行了5min到书店；在书店停留了30min后，匀速步行20min返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）①填表： ②填空：当小亮离宿舍的距离为0.2km时，他离开宿舍的时间为　 　 min． （Ⅱ）当0≤x≤15时，请直接写出y关于x的函数解析式． （Ⅲ）若同宿舍的小华与小亮同时从宿舍出发，小华以0.08km/min的速度步行直接到书店．在从宿舍到图书馆的过程中，对于同一个x的值，小亮离宿舍的距离为y1，小华离宿舍的距离为y2，当y1＜y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 教学目标掌握用一次函数解决实际问题的基本步骤，并能够对在用一次函数解决实际问题中灵活运用； 掌握一次函数的基本性质，并能够熟练的运用一次函数的基本性质解决相关的实际问题。教学重难点重点 利用一次函数解决实际问题的基本步骤； 利用一次函数解决实际问题的类型。 2. 难点 （1）分段函数的图象处理； （2）方案优化，最佳方案的选择。电影票售价x（元/张）…405060…售出电影票数量y（张）…16412484…套餐类别套餐单价团购订餐优惠方案A：米饭套餐30元方案一：A套餐满20份打九折，B套餐满20份打八折． 方案二：总费用满1000元立减220元． 注：方案一、二不可同时使用.B：面食套餐25元种类进价（元/件）售价（元/件）甲80100乙5080进货次数甲款数量/盒乙款数量/盒进货总费用/元第一次1081200第二次6121080方案一次性安装费用（元）电费（元/度）A家用充电35000.5B公用充电01.2加热时间t/s010203040…油温y/℃3045607590…t/min02468T/℃1731455973小亮离开宿舍的时间/min1103055小亮离宿舍的距离/km0.4