初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）三元一次方程组的解法精练

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）三元一次方程组的解法精练，共23页。
一、单选题
1．甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（ ）元
A．237B．350C．425D．901
2．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（ ）
A．6，2，7B．2，6，7C．6，7，2D．7，2，6
3．已知是方程组的解，则的值是（ ）
A．3B．2C．1D．无法确定
4．已知方程组，则（ ）
A．B．C．D．
5．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
6．若，，…是从0，1，2这三个数中取值的一列数，，，则在，，…中，取值为2的个数为（ ）
A．909B．506C．510D．520
7．某次数学竞赛前60名获奖．原定一等奖5人，一等奖15人，三等奖40人，现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分．如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多（ ）分
A．5B．6C．7D．8
8．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买三等奖奖品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需62元，若购三等奖奖品4件，二等奖奖品7件，一等奖奖品1件共需77元．现在购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需（ ）元
A．31B．32C．33D．34
9．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买三等奖奖品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需68元，若购三等奖奖品4件，二等奖奖品2件，一等奖奖品6件共需86元．现在购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需（ ）元
A．24B．23C．22D．21
10．方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．方程组的解为 ．
12．母亲节到了，小红、小丽和小华到花店买花送给自己的母亲．小红买了支玫瑰，支康乃馨，支百合花，付了元；小丽买了支玫瑰，支康乃馨，支百合花，付了元；小华想买上面三种花各支，则她应付 元．
13．《孙子算经》有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的“中国剩余定理”．该题翻译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，那么适合条件的最小正整数是 ．
14．中，当时，，当时，，当时，，则 ， ， ．
15．已知的周长为，三边、、中，，，则边长 ．
16．化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是7×2＝14，右边“O”原子的个数也是．若己烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是 ．
17．现有甲、乙、丙三种产品出售．若甲产品售3件，乙产品售2件，丙产品售1件，共得400元；若甲产品售1件，乙产品售2件，丙产品售3件，共得320元．则甲产品售3件，乙产品售3件，丙产品售3件共可得 元．
18．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款 元．
三、解答题
19．解下列方程组：
(1)
(2)解方程组
20．某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（表示千米）；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？
21．【阅读理解】
在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组
解：把②代入①得，，
解得，
把代入②得
所以方程组的解为
（2）已知，求的值，
解：①+②，得，③
③，得．
【类比迁移】
（1）求方程组的解．
（2）若，求的值．
【实际应用】
（3）打折前，买39件商品，21件商品用了1080元．打折后，买52件商品，28件商品用了1152元，比不打折少花了多少钱？
22．2007—08NBA季后赛，湖人在主场以100比92逆转马刺，晋级总决赛．湖人队的队员科比在这场比赛中23投19中（包括罚球），共夺得39分，他投进两分球的个数是投进三分球个数的2倍．问：科比投中了几个三分球？几个两分球？罚中了几个球（罚球时，投进一个球得一分）？
23．已知，且，求的值．
24．某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行队列，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有多少人？
25．[阅读感悟]
一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
[解决问题]
(1)已知二元一次方程组，则___________，___________．
(2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
26．先阅读下列材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组，则______，______；
(2)若关于x、y的二元一次方程组的解满足．则m的取值范围是______；
(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？
答案：
1．A
【难度】0.4
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程组．
设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，根据数量单价总价，分别表示出乙采购和并采购的费用，然后根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，解方程组，再根据签字笔、笔记本、钢笔均为整数，求出答案即可．
【详解】解：设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，则费用分别为元，元，元；
乙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元；
丙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元；
根据题意得
整理，得
由②得：，
∵x、y都是正整数，
∴y可能为1、2、3、4、5，
把③代入①整理，得
，
，
∵z为正整数，y可能为1、2、3、4、5，
∴当时，（不符合题意），
当时，（符合题意），
当时，（不符合题意），
当时，（不符合题意），
当时，（不符合题意），
把代入②得：，
甲艺术中心采购总费用为元，
故选：A．
2．C
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．根据“加密规则为：明文，，，对应密文，，”，即可得出关于，，的三元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：依题意得：，
解得：．
故选：C．
3．A
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的定义及解
【分析】此题考查了三元一次方程组的解，以及解三元一次方程组，方程组的解为能使方程组中每一个方程左右两边相等的未知数的值，本题的技巧性比较强，求不要求出，及的值，而是整体求出．由题意，可将，及的值代入方程组得到关于，，的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出的值．
【详解】解：由题意将代入方程组得：
，
得：，
即，
∴．
故选：．
4．A
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的定义及解
【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组三方程相加即可求出所求．
【详解】解：，
得：
，
，
，
故选：A．
5．A
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的定义及解
【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解本题的关键，先消去未知数可得，从而可得答案．
【详解】解：，
②③得：即，
③①得：，
∴，
故选A
6．D
【难度】0.65
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】此题主要考查列方程组解决问题，会根据题意设未知数列方程并正确求解是解题的关键．
解决此题可以先设0有个，1有个，2有个，根据题意列出方程组，求解即可．
【详解】解：设0有个，1有个，2有个，
由题意得，列出方程组
解得，
故取值为2的个数为520个，
故选：D．
7．A
【难度】0.65
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，根据总分不变得到，据此得到，再由原来二等奖比三等奖平均分数多7分，得到，进而求出，据此可得答案．
【详解】解：设原一等奖平均分为x分，原二等奖平均分为y分，原三等奖平均分为z分，
∵总分不变，
∴，
∴，
∴，
∵原来二等奖比三等奖平均分数多7分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴调整后一等奖比二等奖平均分数多5分，
故选：A．
8．B
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，关键在于找到各未知数的数量关系．
设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“购买三等奖奖品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需62元；购三等奖奖品4件，二等奖奖品7件，一等奖奖品1件共需77元”，可得出关于x，y，z的三元一次方程组，利用①×3﹣②×2，即可求出购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件所需的费用．
【详解】解：设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，
根据题意得：，
得：．
∴购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需32元．
故选：B．
9．C
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，关键在于找到各未知数的数量关系．设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“购买三等奖奖品3件，二等奖奖品5件，一等奖奖品1件，共需68元；购三等奖奖品4件，二等奖奖品2件，一等奖奖品6件共需86元”，可得出关于x，y，z的三元一次方程组，利用，即可求出购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件所需的费用．
【详解】解：设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，
根据题意得：，
得：，
∴购买三等奖、二等奖、一等奖奖品各一件，共需22元．
故选：C．
10．B
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的定义及解
【分析】本题考查解三元一次方程组，根据方程组特点，将三个方程相加得到，进而求解代值即可．
【详解】解：
得：，即，
将①代入④，得，
将②代入④，得，
将③代入④，得，
∴方程组的解为，
故选：B
11．
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的定义及解
【分析】本题考查解三元一次方程组，涉及加减消元法解方程组，由②③得④，联立①④，利用加减消元法求解即可得到答案，熟练掌握加减消元法解方程组是解决问题的关键．
【详解】解：，
由②③得④，
由①④解得，
将代入①得，
将代入②得，
方程组的解为，
故．
12．
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查了三元一次方程组，根据题意，设1支玫瑰元，1支康乃馨元，1支百合花元，结合数量关系列式求解即可，掌握三元一次方程组的运用是解题的关键．
【详解】解：设1支玫瑰x元，1支康乃馨y元，1支百合花z元，
∴，
②①得，，
∴，
①②得，，
把④代入得，，
∴，
③⑤得，，
故 ．
13．23
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查带余除法，用字母表示数，三元一次方程组．设，可得，可知是21的倍数，可求时，即可
【详解】解：设，
，
∴，
∴是21的倍数，
∴n的最小正整数是4，
时，，，
这个数是．
答：适合条件的最小正整数是23．
故23．
14． 3
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】此题主要考查三元一次方程组的运用，解题的关键是根据题意列出方程组．
将，；，；当，代入列出三元一次方程组，然后进行求解．
【详解】解：将，；，；当，代入得：
，解得：，
故，，3
15．/10厘米
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．由，可得，因为，所以，再根据三角形的周长为即可求出，继而求出的长．
【详解】解：，
，
，
，
的周长为，
，
，
，
故．
16．12
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查了三元一次方程，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：由题意知：，
，
将，代入得，
，
解得：，
，
故12．
17．540
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查了三元一次方程，解题的关键是根据题意列出等式进行求解．
【详解】解：设甲、乙、丙三种产品出售的单价分别为元，由题意得：
，
得：，
（元），
故．
18．600
【难度】0.85
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程．根据题意列三元一次方程组，计算出甲、乙、丙各1件时的价格，再乘以3即可．
【详解】解：设甲、乙、丙的单价分别为x元，y元，z元，
由题意知：
得，
因此，
∴（元）
即购买甲、乙、丙各三件时应该付款600元．
故600．
19．(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解
【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的解法，熟练掌握相应方程组的解法是解题的关键；
（1）根据加减消元法求解即可；
（2）先代入消元，再加减消元求解即可．
【详解】（1）解：由得，，
解得，
把代入得，，
解得，
原方程组的解为；
（2）解：把代入得，
联立方程组得，
由得，
解得，
把分别代入得，，
原方程组的解为．
20．45千米小时
【难度】0.65
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查三元一次方程组的应用．解决本题的关键是根据题目的具体说明，列出方程组，求得数字、的关系．另外注意隐含条件数字、满足，．假设这个两位数的个位数字是，十位数字是，汽车的速度为千米小时．那么这个两位数数值就是，1小时后站牌数值是，又经过1小时，他看到第三块里程牌上数值是；因而列方程与，求得与的比例关系．通过数字、满足，，确定出、的取值，代入求得的值．
【详解】解：设这个两位数的个位数字是，十位数字是，汽车的速度为千米小时．
由题意得，
整理得：
由①②得，即
又，
只能取6，
答：汽车的速度是45千米小时．
21．（1） （2） （3）比不打折少花了元
【难度】0.65
【知识点】代入消元法、三元一次方程组的定义及解
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法、应用，三元一次方程组，根据题意类比迁移，找准等量关系是重点．
（1）把②代入①中即可求出答案；
（2）用①②即可得出答案；
（3）设打折前商品每件元，商品每件元，由题意可得关于，的二元一次方程，变形可得，用原价减现价即可得少花钱数．
【详解】解：（1），
把②代入①中，得：，
解得：，
把代入②中，得，
∴方程组的解为；
（2），
①②得：
；
（3）设打折前商品每件元，商品每件元，
根据题意得：，
两边同时乘以43，得：，
∴(元)，
答：比不打折少花了元．
22．科比投中了5个三分球，10个两分球，罚中了4个球
【难度】0.65
【知识点】三元一次方程组的应用
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意，找到等量关系是关键；设科比投中个三分球，个两分球，罚中了个球，根据关系式：19中（包括罚球），共夺得39分，他投进两分球的个数是投进三分球个数的2倍，列出方程组即可求解．
【详解】解：设科比投中个三分球，个两分球，罚中了个球．根据题意，得
，
解这个方程组，得；
答：科比投中了5个三分球，10个两分球，罚中了4个球．
23．
【难度】0.65
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、三元一次方程组的定义及解
【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型．
【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组
，得
所以原式
．
24．至少有52人．
【难度】0.65
【知识点】列代数式、三元一次方程组的应用
【分析】本题主要考查代数式表示和方程组的应用，根据题意设这个单位参加健身操比赛的职工有y人，6人，5人，4人一列分别可以整排列，则，经过化简可得，结合c为正整数，令，进一步代入化简得，结合b为正整数，令，即可得，那么，即可求得其最小值．
【详解】解：设这个单位参加健身操比赛的职工有y人，6人，5人，4人一列分别可以整排列，则（是正整数）
所以，
由②得．
因为c为正整数，可令，所以③（m是正整数），将③代入①，得，所以．
因为b为正整数，可令，所以④（n为正整数），
将④代入③中，得，
所以（n为正整数）
所以，当时，y有最小值52，
故参加健身操比赛的职工至少有52人．
25．(1)，4
(2)购买20支铅笔、20块橡皮共需160元
(3)1
【难度】0.65
【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法、三元一次方程组的应用
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想以及新运算等知识，
（1）由得，则，再由得，则；
（2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，由题意列出方程组，再由整体思想求出，即可求解；
（3）由定义新运算：得，，求出，即可求解．
【详解】（1）解：，
得：，
∴，
得：，
∴，
故，4；
（2）解：设1支铅笔x元，1块橡皮y元，
由题意得：，
得：，
∴，
即购买20支铅笔、20块橡皮共需160元；
（3）解：∵，
∴，
得：，
∴，
∴，
∴．
26．(1)，5
(2)；
(3)购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元．
【难度】0.65
【知识点】三元一次方程组的应用、二元一次方程组的特殊解法、加减消元法
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，三元一次方程组的应用．
（1）利用加减法和即可得出结论；
（2）先将方程组中的两个方程相加化简可得，再代入可得一个关于m的一元一次不等式，然后解不等式即可得；
（3）根据购买20支铅笔、3块橡皮、2本笔记本，共需要32元，若购买39支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需58元列出方程组．
【详解】（1）解：，
由可得，
由可得，
∴．
故，5；
（2）解：，
两个方程相加得：，即，
由题意得：，
解得，
故；
（3）解：购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本共需元，
由题意得：，
得：，
答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
A
A
D
A
B
C
B