广东省中山市2025-2026学年七年级下学期期中学业水平 数学试题（含解析）

这是一份广东省中山市2025-2026学年七年级下学期期中学业水平 数学试题（含解析），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，与是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 在（每两个5之间依次增加，，，，，，中，无理数的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 估计的值在（ ）
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
7. 下列各式正确的为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，下列条件能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 平面直角坐标系中，若点在x轴上，则的值为（ ）
A. 3B. C. 4D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. ________．（选填“”、“”或“”）
12. 将命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．
13. 在平面直角坐标系中，已知点，长度为4的线段与x轴平行，则点Q的坐标是______．
14. 如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角，第二次拐的角∠B=145°，则第三次拐的角__________时，道路才能恰好与平行．
15. 如图，将一块三角板沿一条直角边所在的直线向右平移m个单位到三角形的位置，下列结论：①且；②且；③；④若，，则AB边扫过的图形的面积为5．其中正确的是______（请填写序号）
三、解答题（共8小题，满分75分）
16. 计算：
17. 如图，直线、分别与、相交，已知，，．
（1）请判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）求的度数．
18. 如图是小明所在学校的平面示意图，请你以教学楼为坐标原点建立平面直角坐标系，描述学校其它建筑物的位置．
19. 2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，．
（1）求的度数；
（2）若，，，，求证：．
20. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
21. 如图，在正方形网格中，的三个顶点和点都在格点上（正方形网格的交点称为格点），点，，的坐标分别为，，，平移使点平移到点，点，分别是，的对应点．

（1）请画出平移后的，并求出的面积；并直接写出点，的坐标；
（2）是内部一点，在上述平移条件下得到点，请直接写出点的坐标．（用含的式子表示）
22. 阅读材料：
材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分．
由此可得：如果，其中是整数，且，那么，，
其中就是的整数部分，就是的小数部分．
材料二：已知是有理数，且满足等式，则可求出的值．
求解过程如下：
∵，
∴
∵m，n是有理数，
∴，，
解得：，．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）如果，其中是整数，且，那么______， ______；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知是有理数，且满足等式，求的值．
23. 如图，已知直线与直线相交于点，于点，且，为射线上一点，过点作的平行线，与直线相交于点，直线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转所得的直线与直线相交于点，设旋转时间为．
（1）求的度数；
（2）为延长线上一点，分别为，的三等分线，且，．
①如图，当时，探究与的数量关系；
②当时，以上数量关系是否仍然成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请直接写出此时与的数量关系．
（3）如图，作的角平分线，与的角平分线交于点．当直线开始旋转的同时，三角形也开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到三角形，当停止旋转时，三角形也同时停止旋转，在旋转过程中，直接写出当直线与三角形的某一边所在直线垂直时的值．
数学
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列图形中，与是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
解答过程：解：与是对顶角的是．
2. 在（每两个5之间依次增加，，，，，，中，无理数的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：B
解析：
思路：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．据此解答即可．
解答过程：解：，，
故在（每两个5之间依次增加1），，，，，，中，无理数有（每两个5之间依次增加1），，，共3个．
故选：B．
方法提示：此题主要考查了无理数，熟悉无理数的常见几种形式是解题的关键．
3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：D
解析：
解答过程：解：点的横坐标是正数，纵坐标是负数，所以点在第四象限．
4. 如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：此题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案．
解答过程：解：如图，
∴，
∴，
故选：B
5. 估计的值在（ ）
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
答案：D
解析：
思路：由得到，从而即可得到答案．
解答过程：解：，
，
，
估计的值在4和5之间，
故选：D．
方法提示：本题主要考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
答案：A
解析：
思路：本题考查了命题与定理，熟练掌握平行线的概念和性质，点到直线的距离是解题的关键．
根据平行线的概念和性质，点到直线的距离逐项判断即可．
解答过程：解：A． 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，故该选项符合题意；
B． 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题错误，是假命题，故该选项不符合题意；
C． 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题错误，是假命题，故该选项不符合题意；
D． 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题错误，是假命题，故该选项不符合题意；
故选：A．
7. 下列各式正确的为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查了算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．
根据算术平方根，立方根的定义逐项判断即可．
解答过程：解：A． ，故该选项不符合题意；
B． ，故该选项符合题意；
C． ，故该选项不符合题意；
D． ，故该选项不符合题意；
故选：B．
8. 如图，下列条件能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理．
根据平行线的判定定理对各项进行判断即可．
解答过程：A．与不是直线与被第三条直线所截形成的同位角、内错角或同旁内角，所以不能判定，故本选项不符合题意；
B．，这两个角是直线与被直线所截形成的内错角，能判定，而不能判定，故本选项不符合题意；．
C．因为与是对顶角，所以，已知，那么．根据“同旁内角互补，两直线平行”，与是直线与被直线所截形成的同旁内角，所以可以判定，故本选项不符合题意；．
D．，这两个角是直线与被直线所截形成的内错角，能判定，不能判定，故本选项不符合题意．
故选：C．
9. 平面直角坐标系中，若点在x轴上，则的值为（ ）
A. 3B. C. 4D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，求算术平方根，解一元一次方程，熟练掌握轴上的点的纵坐标为是解题的关键．
根据题意得到，求出，得到，即可得到答案．
解答过程：解：点在轴上，
，
，
．
故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，……，是斜边在x轴上，斜边长分别为2，4，6……的等腰直角三角形．若三角形的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查点的坐标规律探索、等腰直角三角形的性质，仔细观察图形，找到点的坐标变化规律是解答的关键．先确定出在x轴的负半轴上，再写成、、、…的坐标，从而得到点的坐标的变化规律，然后即可求解．
解答过程：解：由题意，∵，
∴在x轴的负半轴上，
∵，，，，…，
∴的横坐标为，即，
故选：A．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. ________．（选填“”、“”或“”）
答案：
解析：
思路：两个负数，绝对值大的其值反而小，先计算两数的绝对值，再比较绝对值的大小，进而判断原数的大小关系．
解答过程：解：根据绝对值的定义，可得，，
因为，即，
所以．
12. 将命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为______．
答案：如果两直线平行，那么同位角相等
解析：
思路：本题考查了命题的改写，如果部分是命题的题设，那么部分是命题的结论；命题“两直线平行，同位角相等”中，“两直线平行”是命题的题设， “同位角相等”是命题的结论，据此改写即可．
解答过程：解：如果两直线平行，那么同位角相等；
故答案为：如果两直线平行，那么同位角相等．
13. 在平面直角坐标系中，已知点，长度为4的线段与x轴平行，则点Q的坐标是______．
答案：或
解析：
思路：本题考查了坐标与图形，先根据点的坐标为，且轴，得出点和点的纵坐标相同，为，再根据，分两种情况当点在点的左边时，当点在点的右边时，分别求出横坐标即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
解答过程：解：点的坐标为，且轴，
点和点的纵坐标相同，为，
，
当点在点的左边时，横坐标为，此时，
当点在点的右边时，横坐标为，此时，
综上所述，点的坐标为或，
故答案为：或．
14. 如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角，第二次拐的角∠B=145°，则第三次拐的角__________时，道路才能恰好与平行．
答案：145°##145度
解析：
思路：首先过点B作BF∥AD，由AD∥CE，即可得BF∥AD∥CE，然后根据两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠C的大小．
解答过程：过点B作BF∥AD，
∵AD∥CE，
∴BF∥AD∥CE，
∴∠1=∠A=110°,∠2+∠C=180°，
∵∠B=∠1+∠2=145°，
∴∠2=35°，
∴∠C=145°．
故答案为145°．
方法提示：此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线．
15. 如图，将一块三角板沿一条直角边所在的直线向右平移m个单位到三角形的位置，下列结论：①且；②且；③；④若，，则AB边扫过的图形的面积为5．其中正确的是______（请填写序号）
答案：①②③
解析：
思路：本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．根据平移的性质、平行四边形的面积公式判断即可．
解答过程：解：由平移的性质可知且；且，，故①②正确；
，
，
，故③正确；
当，，边扫过的图形的面积为，故④错误．
故答案为①②③．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16. 计算：
答案：9.5
解析：
思路：原式利用平方根，立方根定义计算即可求出值．
解答过程：解：原式
方法提示：本题考查了平方根和立方根的计算，解题的关键是注意算术平方根是一个非负数，注意任何数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
17. 如图，直线、分别与、相交，已知，，．
（1）请判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）求的度数．
答案：（1）；理由见解析
（2）解析：
思路：本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．
（1）根据，，得出，根据平行线的判定定理进行判断即可；
（2）根据，由两直线平行，内错角相等，直接得出答案即可．
（1）解：． 理由如下：
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴．
18. 如图是小明所在学校的平面示意图，请你以教学楼为坐标原点建立平面直角坐标系，描述学校其它建筑物的位置．
答案：图见解析，实验楼，行政楼，大门，食堂，图书馆．
解析：
思路：本题考查了坐标表示实际物体的位置；根据题意以教学楼为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，进而根据坐标系，写出其他建筑物的坐标，即可求解．
解答过程：解：如图所示，以教学楼为坐标原点建立平面直角坐标系，
实验楼，行政楼，大门，食堂，图书馆．
19. 2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，．
（1）求的度数；
（2）若，，，，求证：．
答案：（1）
（2）见解析
解析：
思路：本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质，熟知平行线的性质及其判定定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到，再由题意得到，则，据此求解即可；
（2）延长交直线于点T，可求出；由平行线的性质可得、，由周角的定义可得，则，即可证明，进而证明．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，延长交直线于点T，
∵，
∴，
∴；
由（1）可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
答案：（1），，
（2）解析：
思路：（1）分别根据立方根，算术平方根的意义，无理数的估算等知识进行计算即可求解；
（2）把a，b，c的值代入求值，再根据平方根的意义即可求解．
（1）解：∵的立方根是3，
∴，解得，
∵的算术平方根是4，
∴，
又∵，
∴，
∵c是的整数部分，，
∴，
∴，，；
（2）解：把，，代入得
，
∴的平方根是．
方法提示：本题考查了立方根，算术平方根的意义，无理数的估算，平方根的意义等知识，熟知相关知识并能正确进行计算是解题关键．
21. 如图，在正方形网格中，的三个顶点和点都在格点上（正方形网格的交点称为格点），点，，的坐标分别为，，，平移使点平移到点，点，分别是，的对应点．

（1）请画出平移后的，并求出的面积；并直接写出点，的坐标；
（2）是内部一点，在上述平移条件下得到点，请直接写出点的坐标．（用含的式子表示）
答案：（1）作图见解析，，，
（2）解析：
思路：（1）根据平移的性质作图即可，由图可得点，的坐标．
（2）由（1）可知，是向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到的，进而可得点的坐标．
（1）解：如图，即为所求．

；
点，．
（2）由（1）可知，是向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到的，
点，
点．
方法提示：本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
22. 阅读材料：
材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分．
由此可得：如果，其中是整数，且，那么，，
其中就是的整数部分，就是的小数部分．
材料二：已知是有理数，且满足等式，则可求出的值．
求解过程如下：
∵，
∴
∵m，n是有理数，
∴，，
解得：，．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）如果，其中是整数，且，那么______， ______；
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知是有理数，且满足等式，求的值．
答案：（1）
（2） （3）或
解析：
思路：本题考查了无理数的估算，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
（1）根据无理数的估算方法即可得到答案；
（2）根据无理数的估算方法求出，，代入计算即可；
（3）根据题意得到，，求出的值，代入计算即可．
（1）解：，
，，
故答案为：；
（2）解：的小数部分为，的整数部分为，，
，，
；
（3）解：是有理数，且满足等式，
，，
，
，
或，
当时，；
当，时，，
综上所述，的值为或．
23. 如图，已知直线与直线相交于点，于点，且，为射线上一点，过点作的平行线，与直线相交于点，直线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转所得的直线与直线相交于点，设旋转时间为．
（1）求的度数；
（2）为延长线上一点，分别为，的三等分线，且，．
①如图，当时，探究与的数量关系；
②当时，以上数量关系是否仍然成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请直接写出此时与的数量关系．
（3）如图，作的角平分线，与的角平分线交于点．当直线开始旋转的同时，三角形也开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到三角形，当停止旋转时，三角形也同时停止旋转，在旋转过程中，直接写出当直线与三角形的某一边所在直线垂直时的值．
答案：（1）
（2）①；不成立，
（3）或或或
解析：
思路：（1）证明，结合，证明，可得，再进一步可得答案；
（2）①当时，作，分别求出，进而求出关系；
②如图，设与相交于点，，作，同理①分别求出，进而求出关系即可；
（3）分四种情况讨论：如图，当于时，如图，当于时，记与于，如图，当于时，如图，当第二次于时，再利用数形结合建立方程求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①当时，如图，由题意得，
，
∴，，
，
作，
，
，
，
∵，
由（），得，
∵，
∴，
∴；
②不成立，，理由如下：
如图，设与相交于点，作，
同理①可得，，，，
，，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，作的角平分线，与的角平分线交于点．
∴，，，
∴，
∵，，
如图，当于时，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
如图，当于时，记与于，
此时，，
∵，
∴，
解得：，
如图，当于时，
同理：，，
∴，
解得：，
如图，当第二次于时，
由对顶角相等可得：，，，
∴，
解得：，
综上：当或或或时，直线与三角形的某一边所在直线垂直．
方法提示：本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，平行线的性质，一元一次方程的定义，角的动态定义的含义，本题的难度很大，画出图形是解本题的关键．