广东省东莞市2024-2025学年下学期七年级 数学期中试题（含解析）

这是一份广东省东莞市2024-2025学年下学期七年级 数学期中试题（含解析），共29页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号．用2B铅笔把对应号码的标号涂黑．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 立方根是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．
根据立方根的定义即可求解．
详解】解：∵，
的立方根是，
故选：C．
2. 下列是二元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的定义，含有2个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可．
【详解】解：A、，是二元一次方程，符合题意；
B、，含有2次项，不是二元一次方程，不符合题意；
C、，不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意；
D、，含有2次项，不是二元一次方程，不符合题意；
故选A．
3. 如图，直线与的边相交成“4”字模型，则的同旁内角是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查同旁内角的定义，解题关键是熟练掌握同旁内角的定义．
两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之内的角是同旁内角，即可解答．
【详解】解：∵直线、被直线所截，与在直线的同旁，且在直线、之间，
∴同旁内角是；
故选：A．
4. 下列实数属于无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答．
【详解】解：A、，是有限小数，属于是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B、，正整数，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、，是开方开不尽的数，是无理数，故此选项符合题意；
D、，是无限循环小数，可转化为分数形式，属于有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
5. 有甲，乙，丙，丁四位同学准备从斑马线上的点处过马路，四人所走路线如图所示，假设四人速度相等，则最先通过马路的是乙，理由是（ ）
A. 垂线段最短
B. 两点之间，线段最短
C. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 两点确定一条直线
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了垂线段的性质．直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短．据此进行解答即可．
【详解】解：由题意可知，最先通过马路的是乙同学，原因是垂线段最短，
故选：A．
6. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，掌握各象限点的符号特点是解题的关键．
根据平面直角坐标系中各象限点的符号特点求解即可．第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
【详解】解：点位于第一象限，
故选：A ．
7. 学校在李老师家的南偏东方向，距离是500m，则李老师家在学校的（ ）
A. 北偏东方向，相距500m处
B. 北偏西方向，相距500m处
C. 北偏东方向，相距500m处
D. 北偏西方向，相距500m处
【答案】B
【解析】
【分析】以正北、正东方向为正方向，学校为原点建立坐标系，确定李老师家的位置．
【详解】解：以正北、正东方向为正方向，学校为原点，建立方位图，则李老师家在学校的北偏西方向，相距500m处，
故选B．
【点睛】本题考查生活中的相对位置问题． “方位角距离”定位法需要知道方位角（南北在前，东西在后）和要确定的点与参照点之间的距离．
8. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线性质，三角尺中的角度计算，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据平行线性质得到，再结合垂直定义得到，最后利用平角定义进行计算求解，即可解题．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：D．
9. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为4，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（ ）
A. 1B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，无理数的大小比较，求得正方形的边长范围是解题的关键
根据算术平方根的定义，求出大小正方形的长，从而得出正方形的边长取值范围，再用估算无理和大小方法求解即可．
【详解】设大正方形的边长为，中正方形的边长为，小正方形的边长为，
根据题意，得，，
故，，
∴，
∵，
∴即，
中正方形的可能值为，
故选：C．
10. 如图，长方形的边，分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，点D，E分别在，边上．若，沿直线将翻折，点B落在点处，此时轴，则点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查图形折叠性质以及坐标的确定；解题关键是熟练掌握折叠性质．由长方形中得出，，再根据算出．依据翻折性质得，利用轴及在上，先确定纵坐标，再结合长度得出横坐标为，从而得到答案．
【详解】已知长方形中，点的坐标为，则，．
∵，
∴．
∵沿直线翻折得到，
∴．
∵轴，D在上轴，D纵坐标为1，
∴纵坐标为．
∵，轴，
综上，点的坐标为，
故选：B．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 的平方根是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义解答即可．
【详解】解：解：的平方根是．
故答案为：．
12. 将命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果 ____________ ， 那 么 __________．
【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 这两个角相等
【解析】
【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可．
【详解】解：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等.
13. 如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，，则的度数为______．
【答案】64
【解析】
【分析】本题考查对顶角性质及角的和差运算，解题关键是熟练掌握对顶角的性质．
利用对顶角性质相等得出，再根据角的和差代入计算即可．
【详解】由对顶角相等可知：，
∵，
∴，
故答案为：64．
14. 如图，平面上的个点组成一个的点阵，同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，在点阵中建立平面直角坐标系，若，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．根据题意，建立合适的平面直角坐标系即可解决问题．
【详解】解：由题知，点坐标为，点C坐标为，且同一行或同一列中的两个相邻点之间的距离相等，
则建立平面直角坐标系如图所示：
∴点的坐标为故答案为：
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD从位于第二象限的初始位置（点A和原点O重合）开始顺时针向右做“无滑动”翻转，前5次翻转得到的位置如图所示，跟踪点A的坐标可以得到点．，，，，…，那么第六次翻转后点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的旋转与坐标变化规律，解题关键是分析长方形每次翻转时顶点A坐标的变化情况，找出循环规律并据此计算指定次数翻转后点A的坐标．
分析长方形每次翻转后点A坐标的变化，找出每4次翻转的循环规律，确定一个循环内点A横向移动距离，计算6次翻转包含的循环数和剩余翻转次数， 根据循环规律和剩余翻转次数，计算第六次翻转后点A的横、纵坐标．
【详解】解：设长方形长为，宽为．
第一次翻转，以长方形右上角顶点为旋转中心，点位置没变，为．
第二次翻转，以长方形新的右上角顶点为旋转中心，点从到 ，此时横向移动距离等于长方形的长，纵向移动距离等于长方形的宽 ．
第三次翻转，以长方形新的右上角顶点为旋转中心，横向移动距离等于长方形的宽，纵向移动距离为得到 ．
第四次翻转，横向移动距离为，纵向移动距离为 ，得到，
可以看出每次翻转为一个循环，一个循环内点横向总共移动个单位．
因为，即经过个完整循环后，又进行了次翻转．
经过个完整循环，点横向移动了个单位．
新的一轮前两次翻转：第一次翻转横向移动距离等于长方形的长，第二次翻转横向移动距离等于长方形的宽，纵向移动距离等于长方形的宽 ．
所以的横坐标为，纵坐标为，
即坐标 ；
故答案为： ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到算术平方根和立方根等相关知识，掌握相关知识，准确计算是本题的解题关键．
根据实数的混合运算顺序，逐项进行化简计算，并得到答案．
【详解】解：
．
17. 如图，这是某城市一个区域的平面示意图，建立如下平面直角坐标系．
（1）请直接写出医院和学校的坐标．
（2）若超市的坐标为，请在平面直角坐标系中标注清楚超市的位置．
【答案】（1）医院和学校的坐标分别是，
（2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标．
（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）根据点的坐标在平面直角坐标系中描出点的位置．
【小问1详解】
解：由图可得：医院和学校的坐标分别是，；
【小问2详解】
超市的位置如图所示．
18. 如图，直线a，b被直线c，d所截，已知，，，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查对顶角性质，平行线的判定和性质、邻补角定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解答的关键．
首先根据对顶角相等的，然后根据同旁内角互补，两直线平行得，然后根据平行线的性质和邻补角定义即可解答．
【详解】解：如图所示：

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，已知点C的坐标为．
（1）求a，b的值；
（2）求三角形ABC的面积．
【答案】（1），
（2）5
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握绝对值、算术平方根的非负性．
（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得，的值；
（2）根据，的值可以确定点A、的坐标，进而求得，的距离，即可求得的面积．
【小问1详解】
解：，
，，
，；
【小问2详解】
解：，，
点，点，
又点，
，，
．
20. 请认真阅读下面的材料，再解答问题．
依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义．比如：若，则x叫a的二次方根；若，则x叫a的三次方根；若，则x叫a的四次方根
（1）81的四次方根为_______；的五次方根为_______；
（2）若有意义，则a的取值范围是______；
（3）求x的值：．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查新定义，开方运算，解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义．
（1）进行开方运算即可；
（2）根据定义，进行计算即可；
（3）利用四次方根解方程即可．
【小问1详解】
解：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵是一个数的四次方，
∴，
∴；
∴若有意义，则的取值范围是；
故答案为：；
【小问3详解】
解：，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
21. 综合与实践：
在《第七章平行线的证明》中我们学习了平行线的证明，今天我们继续探究：折纸中的数学——长方形纸条的折叠与平行线：
（1）知识初探：如图1，长方形纸条中，，，.将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．
①若，求的度数．
②若，则________（用含α的式子表示）．
（2）类比再探：如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处.点B落在处，得到折痕，点、G、E、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由．
【答案】（1）①；②；
（2），理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了长方形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识点；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果；②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可解答；
（2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，最后根据平行线的判定定理即可解答．
【小问1详解】
解：①由题意得：，
∴，
∵，
∴
∴
②由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【小问2详解】
解：，理由如下：
由题意得：，，
∵，
∴
∴，
∴．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22. （1）若的整数部分为m，小数部分为n，则__________，__________；
（2）已知．
①若x是整数，且，求的值；
②若一张长方形信封的长和宽分别是，，如图所示，长、宽之比为，小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友，你认为小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②小解不能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数估算大小、实数运算、代数式求值等知识，理解并掌握无理数估算大小的方法是解题关键．
（1）根据无理数估算大小的方法可得，即可获得答案；
（2）①根据题意确定出，然后代入求值即可；②结合题意解得，，根据无理数估算大小的方法得出的取值范围，即可获得答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，即，
∴；
故答案为：；
（2）①，
∵x是整数，且，
，
；
②，
∴，
，
即，
∴，解得，
，
，
，
，
∴小解不能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
23. 如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．

（1）①判断折痕与的位置关系，并说明理由；
②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______；
（2）在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由；
（3）将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示）
【答案】（1）①，理由见解析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（2）折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）①根据折叠的性质得出，根据，求出，即可得出结论；
②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可；
（2）过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，根据平行线的判定进行证明即可；
（3）分两种情况进行讨论：当点S在线段上时，当点S在线段上时，分别画出图形，进行求解即可．
【小问1详解】
解：①；理由如下：
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴；
②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
【小问2详解】
解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：

理由：根据解析（1）可得：，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：当点S在线段上时，如图所示：

∵正方形纸片中，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∴
；
当点S在线段上时，如图所示：

∵正方形纸片中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
；
综上分析可得：或．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论．