专题04 勾股定理的基础应用（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级下册+答案

这是一份专题04 勾股定理的基础应用（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级下册+答案，共17页。试卷主要包含了图1是第七届国际数学教育大会等内容，欢迎下载使用。
考点01 勾股定理求直角三角形的边
考点02 勾股定理三边作相同图形的面积关系的探究
考点03 勾股定理在数轴表示无理数
考点04 勾股定理探究平面直角坐标两点间的距离
考点05 勾股定理的实际应用
考点01 勾股定理求直角三角形的边
1．已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（ ）
A．5B．4C．3D．7
2．一个直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长是（ ）
A．3B．4C．5D．5或7
3．一个直角三角形的两边长分别为5，12，则第三边长是（ ）
A．12B．5C．13D．13或119
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的值是（ ）
A．10B．234C．27D．4.8
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，则AB边的长度是（ ）
A．3B．4C．23D．25
6．一个直角三角形，若三边的平方和为338，则斜边长为（ ）
A．11B．12C．13D．14
7．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．当AB＝BC＝1，∠AOB＝30°时，OC的长为（ ）
A．5B．2C．213D．72
8．四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（ ）
A．a2﹣b2B．2abC．a2+b2D．4ab
9．如图，在3×3网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则边AC的长是（ ）
A．3B．5C．10D．13
10．一个零件的形状如图所示，其中∠A＝∠DBC＝90°，工人师傅量得三边的尺寸分别为AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝12cm，则边CD的长为（ ）
A．12cmB．13cmC．14cmD．15cm
考点02 勾股定理三边作相同图形的面积关系的探究
11．三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）
A．164B．6C．36D．8
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．若AB＝13，则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和为（ ）
A．25B．144
C．169D．以上都不对
13．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（ ）
A．AB＝ACB．2AB＝ACC．2AB＝BCD．2AC＝BC
14．如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三条边为边向外作正方形，正方形面积分别记为S1，S2，S3，已知10S1﹣3S2＝S3，则S2S1的值为（ ）
A．32B．2C．94D．3
15．如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
16．如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3.若S3+S2﹣S1＝20，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5B．10C．6D．8
17．如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角△ABE，△BCF，△ACD，面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S3﹣S2＝10，则阴影部分面积为（ ）
A．5B．10C．15D．20
18．如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S1﹣S2＝12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
19．勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形MNPQ的边长分别为m，n，p，q，且三个直角三角形中∠1＝∠2＝∠3＝α，当α变化时，以下说法错误的是（ ）
A．n＝pB．m+q＝y
C．y＝mqD．m2+n2+p2+q2＝y2
20．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2026B．2027C．22025D．22026﹣1
考点03 勾股定理在数轴表示无理数
21．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A．−5B．1−5C．−1+5D．−1−5
22．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．12B．3C．8D．5
23．如图，在数轴上方作一个4×4的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点A落在数轴上，用圆规在点A的左侧的数轴上取点E，使AE＝AB，若点A在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点E表示的数是（ ）
A．−8B．1−8C．−6D．1−6
24．如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（ ）
A．22B．3.7C．3.8D．13
25．如图，△ABC的两个顶点A，C均在数轴上，且∠ACB＝90°，BC=12AC，若点A表示的数是﹣1，点C表示的数是1，那么以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A．5−1B．5C．5+1D．−5+1
26．如图，在数轴上，点A对应的数是1，点C对应的数是3，线段AB⊥AC于点A，且线段AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的数为（ ）
A．3−5B．5−2C．10−2D．3−10
27．如图，数轴OX∥直线MN，O是数轴上表示数0的点，点A在直线MN上，AB⊥OX于点B，且∠AOX＝45°，直线MN与OX之间的距离为1，以点O为圆心、OA的长为半径画弧，交OX于点D，CD⊥OX交MN于点C；以点O为圆心、OC的长为半径画弧，交OX于点F，EF⊥OX交MN于点E；再以点O为圆心、OE的长为半径画弧，交OX于点G．则在数轴OX上的四个点B，D，F，G中，表示3的是点（ ）
A．FB．BC．DD．G
28．数轴是一种重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，面积为13的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为﹣2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴原点右侧于点P，则点P表示的数为（ ）
A．13B．13+2C．13−2D．−13+2
29．如图，面积为1的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A．−1+32B．1−3C．−1+22D．1−2
30．如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于点P，Q．点P表示的数记为m，点Q表示的数记为n，则m2﹣mn+n2的值为 ．
考点04 勾股定理探究平面直角坐标两点间的距离
31．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是 ．
32．如图，在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B（0，4），则这两点之间的距离为 ．
33．综合与实践
【问题情境】
在平面直角坐标系中，有不重合的两点A（x1，y1）和点B（x2，y2），若x1＝x2，则AB∥y轴，且线段AB的长度为|y1﹣y2|；若y1＝y2，则AB∥x轴，且线段AB的长度为|x1﹣x2|．
【知识应用】
（1）若点A（﹣1，1），B（2，1），则AB∥x轴，AB的长度为 ；
【拓展延伸】
我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的折线距离为d（M，N）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：图1中，点M（﹣1，1）与点N（1，﹣2）之间的折线距离为d（M，N）＝|﹣1﹣1|+|1﹣（﹣2）|＝2+3＝5．
【问题解决】
（2）如图2，已知E（2，0），若F（﹣1，﹣1），则d（E，F）＝ ；
（3）如图2，已知E（2，0），G（1，t），若d（E，G）＝3，则t的值为 ；
（4）如图3，已知E（2，0），H（0，2），点P是△EOH的边上一点，若d(E，P)=6，求点P的坐标．
34．在《勾股定理》一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．
【课本回顾】我们在课本上已经了解了在数轴上寻找2所表示的点的方法，如图1，由于2=12+12，因此我们能在数轴上表示长度为2的线段．
【拓展应用】
（1）在图2中，点A（x1，y1），B（x2，y2），AC∥y轴，BC∥x轴，则AC＝ ，BC＝ ，由此得到平面直角坐标系内A、B两点间的距离公式AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2；
（2）若已知点D（3，﹣4），则点D与坐标原点O之间的距离是多少？
（3）在图3中，平面直角坐标系中有两点P（2，6），Q（﹣3，﹣6），H为x轴上任一点，求PH+QH的最小值．
35．阅读与思考
下面是博学小组的一篇拓展性学习报告，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）材料中的“依据”是指 ；
（2）在平面直角坐标系中，已知M（2，8），N（﹣3，﹣4），则M，N两点之间的距离MN＝ ；
（3）在平面直角坐标系中，已知A（1，5），B（2，﹣2），C（﹣2，1），试判断△ABC的形状，并说明理由．
考点05 勾股定理的实际应用
36．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（ ）
A．11尺B．12尺C．13尺D．14尺
37．跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜反射后沿OE恰好入眼（ON为法线），已知淇淇的眼睛D到鞋底A处的距离DA=32m，DA⊥OA．若BC∥OA，且∠CBO＝120°，∠BON＝90°，则淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为（ ）
A．324mB．32mC．1mD．3m
38．如图，一面镜子OA斜固定在地面OB上，且∠AOB＝60°，点P是距离地面OB为5dm的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径（P﹣D﹣E）长最短为8dm时，PD的长是 dm．
39．如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为 尺．
40．如图①是我市路政部门正在维修路灯的实物图片，图②是平面示意图．路灯AB和汽车折臂升降机的折臂底座CD都垂直于地面EF，且它们之间的水平距离BD＝2.5m，折臂底座高CD＝1m，上折臂PA与下折臂PC的夹角∠APC＝90°，下折臂PC＝2.5m，下折臂端点P到地面EF的距离是3m．求路灯AB的高．
41．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架AC＝8，AB＝6，两轮中心的距离BC＝10，滚轮半径r＝2．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD＝13，AE＝5，且AE⊥DE，AE和BC都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离．
42．在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离AC＝8dm，BC＝6dm （定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若滑块B向左滑动了9dm，求此时物体C升高了多少？
43．勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带．
（1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点．
如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于OA，在L上取点B，使AB＝2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数．
（2）应用场景2——解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD＝6m，踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
44．如图，海面上有A，B两个小岛，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．
（1）求小岛A，渔船P之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船在P处发生故障、在原地等待救援，一艘救援船以每小时45海里的速度从A地出发前往P点进行救援，救援船从A点出发的同时，一艘补给船从C点出发，以每小时30海里的速度沿射线CP方向前往P点，已知A、P，C三点在同一直线上，从B测得C在B的北偏西15°方向，请通过计算说明救援船和补给船哪个先赶到P点．（参考数据：2≈1.41，3≈1.732，6≈2.45）
45．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？
求任意两点之间的距离在平面直角坐标系中，A，B两点在x轴上，已知点A的坐标为（x1，0），点B的坐标为（x2，0），则A，B两点之间的距离记作AB＝|x1﹣x2|，同样，C，D两点在y轴上，点C的坐标为（0，y1），点D的坐标为（0，y2），则C，D两点之间的距离记作CD＝|y1﹣y2|．如果A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系内任意两点，如何求A，B两点之间的距离？我们可以通过构造直角三角形来求A，B两点之间的距离，如图，过点A，B分别作y轴、x轴的垂线，两垂线的交点为C，则点C的坐标为（x2，y1），
∴AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，
∴AB2＝AC2+BC2（依据），即AB=AC2+BC2=(x1−x2)2+(y1−y2)2，
我们将此公式AB=(x1−x2)2+(y1−y2)2叫作平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的距离公式．