专题03 四边形中的动点问题（高效期中培优专项训练）数学新教材人教版八年级下册+答案

这是一份专题03 四边形中的动点问题（高效期中培优专项训练）数学新教材人教版八年级下册+答案，共17页。
类型一：与平行四边形有关的动点问题
类型二：与矩形有关的动点问题
类型三：与菱形有关的动点问题
类型四：与正方形有关的动点问题
类型一：与平行四边形有关的动点问题
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（ ）秒．
A．2或374B．52C．52或374D．373
【答案】C
【解答】解：∵四边形PQDC是平行四边形，
∴DQ＝CP，
当P从B运动到C时，且P在BC上，
∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t，
∴16﹣t＝21﹣3t，
解得t=52，
∴当t=52秒时，四边形PQDC是平行四边形；
当点P在BC延长线上时，
∴16﹣t＝3t﹣21，
解得t=374，
∴t=52秒或374秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形．
故选：C．
2．在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（ ）
A．2B．3C．2或6D．3或6
【答案】C
【解答】解：①点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，
当点F在C的左侧时，
根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝（6﹣2t）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，
根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2s或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故选：C．
3．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝82cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（ ）
A．6sB．6s或10sC．8sD．8s或12s
【答案】C
【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝82cm，
如图，过点D作DG⊥AB于点G，
∵∠A＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AG＝DG=22AD＝8，
过点F作FH⊥AB于点H，
得矩形DGHF，
∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，
∵EF＝10cm，
∴EH=EF2−FH2=6cm，
由题意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，
∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，
∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，
∴2t﹣2＝22﹣t，
解得t＝8，
当F点在E点左侧时，
由题意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，
∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，
∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，
∴2t﹣14＝22﹣t，
解得t＝12，
∵点E到达点B时，两点同时停止运动，
∴2t≤22，解得t≤11．
∴t＝12不符合题意，舍去，
∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s，
故选：C．
4．如图，在梯形ABCD中，AD＝8，BC＝12．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．设点P，Q的运动时间为ts，在此运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为 85或163或325 ．
【答案】85或163或325．
【解答】解：∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC，
∴当PD＝QC时，四边形PQCD是平行四边形，
当Q从C出发到B的运动过程中，
∵PD＝8﹣t，QC＝4t，
∴8﹣t＝4t，
∴t=85；
当Q从C出发到B后返回C的运动过程中，
∵PD＝8﹣t，QC＝12×2﹣4t，
∴8﹣t＝24﹣4t，
∴t=163；
当Q再次从C出发到B的过程中，
∵PD＝8﹣t，QC＝4t﹣12×2，
∴8﹣t＝4t﹣24，
∴t=325，
综上所述：在此运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为85或163或325．
故答案为：85或163或325．
5．如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）线段PD＝ 6﹣t ；CQ＝ 2t ；QE＝ 8﹣2t（0＜t＜4）或2t﹣8（4＜t＜6） （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上，
∴PD＝6﹣AP，BE＝CE=12BC＝8，
∴QE＝8﹣CQ或QE＝CQ﹣8，
∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，
∴AP＝t，
∴PD＝6﹣t；
∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，
∴CQ＝2t，
若点Q与点E重合，则2t＝8，
解得t＝4；
若点P与点D重合，则t＝6，
当0＜t＜4时，则QE＝8﹣2t，
当4＜t＜6时，则QE＝2t﹣8，
故答案为：6﹣t，2t，8﹣2t或2t﹣8．
（2）∵AD∥BC，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上，
∴PD∥QE，
∴当PD＝QE时，以P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
当0＜t＜4，且PD＝QE时，则6﹣t＝8﹣2t，
解得t＝2；
当4＜t＜6，且PD＝QE时，则6﹣t＝2t﹣8，
解得t=143，
综上所述，当t＝2或t=143时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
6．如图，在四边形ABCD中，AD＝12，BC＝32，AD∥BC，AB＝16，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒4个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）线段PD＝ 12﹣2t ；CQ＝ 4t ；QE＝ 16﹣4t或4t﹣16 （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）12﹣2t，4t，16﹣4t或4t﹣16；
（2）当t＝2或t=143时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【解答】解：（1）∵AD＝12，BC＝32，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上，
∴PD＝12﹣AP，BE＝CE=12BC＝16，
∴QE＝16﹣CQ或QE＝CQ﹣16，
∵点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，
∴AP＝2t，
∴PD＝12﹣2t；
∵点Q同时以每秒4个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，
∴CQ＝4t，
若点Q与点E重合，则4t＝16，
解得：t＝4；
若点P与点D重合，则2t＝12，
解得：t＝6，
当0＜t＜4时，则QE＝16﹣4t；
当4＜t＜6时，则QE＝4t﹣16，
故答案为：12﹣2t，4t，16﹣4t或4t﹣16；
（2）∵AD∥BC，点E是BC的中点，点P在AD上，点Q在BC上，
∴PD∥QE，
∴当PD＝QE时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
当0＜t＜4，且PD＝QE时，则12﹣2t＝16﹣4t，
解得：t＝2；
当4＜t＜6，且PD＝QE时，则12﹣2t＝4t﹣16，
解得：t=143；
综上所述，当t＝2或t=143时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
类型二：与矩形有关的动点问题
7．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB、BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设P、Q运动的时间是t秒．当点P与点Q重合时，t的值是（ ）
A．52B．4C．5D．6
【答案】B
【解答】解：根据题意，两点重合时可列方程为：3t﹣t＝8，
解得：t＝4，
答：当点P与点Q重合时，t的值是4．
故选：B．
8．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝5，动点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，t的值为（ ）
A．3或5或7B．4或5.5C．4或5.5或7D．4或7
【答案】D
【解答】解：当点P的运动时间为t秒时，分两种情况讨论：
当点P在BC上时，DP＝AD＝5，
∵AB＝CD＝3，
∴PC=DP2−CD2=52−32=4；
∴AB+BP＝3+（5﹣4）＝t，
∴t＝4时，DP＝AD＝5，
当点P在BC上时，AP＝AD＝5，DE＝PE，
∴BP=52−42=3，
∴CP＝2，
同理可得：BP＝4，
∴AB+BP＝3+4＝t，
∴t＝7时，AP＝AD＝5，DE＝PE，
∴BP=52−42=3，
∴CP＝2，
故选：D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（18，0），点C的坐标为（0，6），以OA、OC为边作矩形OABC；动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动；当移动时间为8秒时，AC•EF的值（ ）
A．30B．1810C．60D．120
【答案】D
【解答】解：连接AC，EF，如图所示：

∵点A（18，0），点C（0，6），
∴OA＝18，OC＝6，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝6，BC＝OA＝18，OA∥BC，
当移动时间为8秒时，OE＝8，BF＝8，
∴AE＝OA﹣OE＝10，CF＝BC﹣BF＝10，
∴AE＝CF＝10，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=OA2+OE2=62+82=10，
∴CE＝AE＝10，
∴平行四边形AECF是菱形，
∵菱形AECF的面积为：AE•OC＝10×6＝60，
∴12AC•EF＝60，
∴AC•EF＝120．
故选：D．
10．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．在某一时刻，当v为 2或83 时，△ABP与△PCQ全等．
【答案】2或83．
【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝12cm，
当PC＝AB，CQ＝BP时，△ABP≌△PCQ（SAS），
∵P、Q运动的路程和时间相同，
∴v＝2
当PC＝PB，CQ＝BA＝8cm时，△ABP≌△QCP（SAS），
∵PB=12BC＝6（cm），
∴P运动的时间是6÷2＝3（s），
∴Q运动的速度是83cm/s，
∴v=83，
∴当v为2或83时，△ABP与△PCQ全等．
故答案为：2或83．
11．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝24cm，动点M从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，动点N从点C开始沿CD边以2cm/s的速度运动，点M和点N同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为ts，则当t为何值时，四边形AMND是矩形？
【答案】t＝4．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝24cm，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，
根据题意可知，AM＝4tcm，CN＝2tcm，
∴DN＝CD﹣CN＝（24﹣2t）cm，
当DN＝AM时，四边形AMND是矩形，
∴24﹣2t＝4t，
解得：t＝4，
即当t＝4时，四边形AMND是矩形．
12．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，点M从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点M的运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△ABM≌△DCM？
（2）当点M从点B开始运动，同时，点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在a，使得△ABM与△MNC全等？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t＝3；
（2）a=83或2．
【解答】解：（1）当△ABM≌△DCM时，
则BM=CM=12BC，
∵BM＝2t，BC＝12，
∴2t＝6，
解得t＝3；
（2）如图，当△ABM≌△NCM，
则MB=MC=12BC=6，BA=CN=8，
∴2t＝6，
解得t＝3．
∴CN＝3a＝8，
解得a=83；
如图，当△ABM≌△MCN时，
则BM＝CN，AB＝MC＝8，
∴BM＝2t＝12﹣8＝4，
解得t＝2，
∴CN＝2a＝4，
解得a＝2；
综上可知，当a=83或2时，△ABM与△MNC全等．
13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．
（1）E与F是AC上两点且不与O点重合，AE＝CF，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由；
（2）若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为1cm/s．若BD＝12cm，AC＝16cm，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形？说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD；
∵AE＝CF；
∴OE＝OF；
∴BD、EF互相平分；
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）∵四边形DEBF是平行四边形，当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形；
∵BD＝12cm，
∴EF＝12cm；
∴OE＝OF＝6cm；
∵AC＝16cm；
∴OA＝OC＝8cm；
∴AE＝2cm或AE＝14cm；
由于动点的速度都是1cm/s，
所以t＝2（s）或t＝14（s）；
故当运动时间t＝2s或14s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．
类型三：与菱形有关的动点问题
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6cm，∠A＝60°，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向点B运动，设点P的运动时间为ts，当△PDQ为等边三角形时，t的值为（ ）
A．1B．1.3C．1.5D．2
【答案】D
【解答】解：如图，延长AB至点M，使BM＝AP，连接QM．
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AB＝AD，
∴∠APD+∠ADP＝120°，
∵BM＝AP，
∴AD＝MP，
∵△PDQ为等边三角形，
∴DP＝PQ，∠DPQ＝60°，
∴∠MPQ+∠APD＝120°，
∴∠ADP＝∠MPQ．
在△ADP和△MPQ中，
AD=MP∠ADP=∠MPQDP=PQ，
∴△ADP≌△MPQ（SAS），
∴AP＝MQ，∠M＝∠A＝60°．
又∵BM＝AP，
∴△BMQ是等边三角形，
∴BQ＝AP．
∵AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∴BC＝CQ+BQ＝3t cm．
∵BC＝6cm．
∴3t＝6，
∴t＝2．
故选：D．
15．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B＝60°，点E，F同时由B，D两点出发，分别沿BC，DC方向向点C匀速移动，点E的速度是点F的速度的3倍（点E移动到点C时，都停止移动），当△AEF为等边三角形时，BE的长度为（ ）
A．54B．53C．154D．5
【答案】C
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝5，∠B＝60°，如图，连接AC，设点F的运动时间为t，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
又∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝∠AEF＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
∠BAE=∠CAFAB=AC∠B=∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE＝CF，
∵CF＝t，BE＝3t，
∴CF＝CD﹣DF＝5﹣t，
∴3t＝5﹣t
∴t=54，
∴BE=154，
故选：C．
16．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，动点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动；动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CD向D点运动．若运动t秒后，四边形AMND是平行四边形，则t的值为（ ）
A．2B．23C．4D．83
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，点M在AB上，点N在CD上，
∴CD＝AB＝8，AM∥DN，
∴当AM＝DN时，四边形AMND是平行四边形，
由题意得AM＝t，CN＝2t，
∵AM＝DN，
∴t＝8﹣2t，
解得t=83，
故选：D．
17．如图，已知点A从点（1，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC＝60°，点P的坐标为（0，3），设点A运动了ts，则在点A的运动过程中，当t＝ 3−1或2或33−1 时，△OCP为等腰三角形．
【答案】3−1或2或33−1．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥x轴于点H，
根据题意得：OA＝1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC＝OA＝1+t，
∵∠AOC＝60°，
∴OH＝12OC=12OC=12（1+t），CH＝32OC=32（1+t），
∴点C的坐标为：（12（1+t），32（1+t））；
①当以O为等腰三角形顶点时，OC＝OP，
∴1+t＝3，
∴t＝2；
②当以C为等腰三角形顶点时，PC＝OC，则CH=12OP=32，
即32（1+t）=32，
解得：t=3−1；
③当以P为等腰三角形顶点时，OP＝PC，∠POC＝30°，
∴OC＝33，
∴1+t＝33，
∴t＝33−1，
综上可知，当t=3−1，t＝2，t＝33−1时，均可使得△OCP为等腰三角形，
故答案为：3−1或2或33−1．
18．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝120cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（ ）
A．20秒B．18秒C．12秒D．6秒
【答案】A
【解答】解：由题意CD＝4t，AE＝2t，
∵DF⊥BC于F，
∴∠DFC＝90°
在Rt△DFC中，∵∠C＝30°，
∴DF=12CD＝2t，
∴DF＝AE，
∵∠CFD＝∠B＝90°，
∴DF∥AE，
∴四边形DFEA是平行四边形，
∴当DF＝AD时，四边形DFEA是菱形．
∴120﹣4t＝2t，
∴t＝20s，
∴t＝20s时，四边形DFEA是菱形．
故选：A．
19．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝120°，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线AC向终点C运动．设点P的运动时间为t秒．在点P出发的同时，有一点Q从点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线C﹣D﹣A﹣B运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，则当PQ与菱形ABCD的边垂直时，t的值是 27或87或85 ．
【答案】27或87或85．
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠DAB＝120°，
则∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC，△ADC均为等边三角形，
∴AC＝AB＝4，∠ACD＝∠DAC＝∠BAC＝60°，
当PQ⊥CD时，则∠CPQ＝30°，
∴CP＝2CQ，
此时AP＝2t，CQ＝6t，则CP＝4﹣2t，
∴4﹣2t＝2×6t，解得：t=27；
当PQ⊥AD时，则∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
此时AP＝2t，CD+DQ＝6t，则AQ＝8﹣6t，
∴2t＝2×（8﹣6t），解得：t=87；
当PQ⊥AB时，则∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
此时AP＝2t，CD+AD+AQ＝6t，则AQ＝6t﹣8，
∴2t＝2×（6t﹣8），解得：t=85；
综上，当PQ与菱形ABCD的边垂直时，t=27或87或85．
故答案为：27或87或85．
20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝100cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤25）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：四边形AEFD能够成为菱形，理由是：
由题意得：AE＝2t，CD＝4t，
∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴DF=12CD=12×4t＝2t，
∴AE＝DF；
∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠B＝90°，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形．
当AE＝AD，四边形AEFD是菱形，
∵AC＝100，CD＝4t，
∴AD＝100﹣4t，
∴2t＝100﹣4t，
t=503，
∴当t=503时，四边形AEFD能够成为菱形；
（3）分三种情况：
①当∠EDF＝90°时，如图3，
则四边形DFBE为矩形，
∴DF＝BE＝2t，
∵AB=12AC＝50，AE＝2t，
∴2t＝50﹣2t，
t=252，
②当∠DEF＝90°时，如图4，
∵四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
在Rt△ADE中，∠A＝60°，AE＝2t，
∴AD＝t，
∴AC＝AD+CD，
则100＝t+4t，
t＝20，
③当∠DFE＝90°不成立；
综上所述：当t为252s或20s时，△DEF为直角三角形．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）用含t的式子表示PB．
（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由于P从A点以1cm/s向B点运动，
∴ts时，AP＝t×1＝tcm，
∵AB＝18 cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm；
（2）过B点作BN⊥CD于N点，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，
∴四边形ACNB是矩形，
∴BN＝AD＝12 cm，AD＝DN＝18 cm，
∵CD＝23 cm，
∴CN＝CD﹣CN＝5 cm，
∴Rt△BNC中，根据勾股定理可得：
BC=BN2+CN2=52+122=13 cm，
则Q在BC上运动时间为13÷2＝6.5s，
∵BC+CD＝23+13＝36 cm，
∴Q运动时间最长为36÷2＝18 s，
∴6.5 s≤t≤18 s时，Q在CD边上，
此时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形PQCB是平行四边形，如图所示：
∵AB∥CD即PB∥CQ，
∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，
∵Q以2cm/s沿沿折线B﹣C﹣D向终点D运动，
∴运动时间为ts时，CQ＝2 t﹣BC＝（2 t﹣13）cm，
∴18﹣t＝2 t﹣13，
解得：t=313 s；
②四边形ADQP是平行四边形，如图所示：
同理∵AP∥DQ，
∴只需AP＝DQ，四边形ADQP是平行四边形，
由（1）知：AP＝tcm，
点DQ＝CD+CB﹣2 t＝（36﹣2t）cm，
∴36﹣2t＝t，
解得：t＝12 s，
综上所述：当t=313 s或12 s时，
直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；
（3）设Q的速度为xcm/s，由（2）可知：Q在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形，
∵PB∥CQ，
∴只需满足PB＝BC＝CQ即可，
由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，
由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1 cm，
∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13，
解得：t＝5 s，x＝5.2 cm/s，
∴当Q点的速度为5.2 cm/s时，四边形PBCQ为菱形．
类型四：与正方形有关的动点问题
22．如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，E是BC上的一点且CE＝3cm，连接DE，动点M从A点出发，沿着路径AB﹣BC﹣CD﹣DA以2cm/s的速度运动，运动到A点停止，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（ ）
A．3.5sB．5.5s
C．5.5s或6.5sD．3.5s或6.5s
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，
当△ABM和△DCE全等时，△ABM一定为直角三角形，
当点M在AB上时，不能构成三角形；
当点M在CD上时，如图1，
构成的不是直角三角形，此时△ABM和△DCE不全等；
当点M在BC上时，如图2，
∵△ABM≌△DCE，
∴BM＝CE＝3cm，
此时点M运动的路程为：AB+BM＝4+3＝7（cm），
运动的时间为t＝7÷2＝3.5（s）；
当点M在AD上时，如图3，
∵△ABM≌△CDE，
∴AM＝CE＝3，
此时点M运动的路程为：AB+BC+CD+AD﹣AM＝4+4+4+4﹣3＝13（cm），
运动的时间为：13÷2＝6.5（s），
综上所述，当△ABM和△DCE全等时，t的值是3.5s或6.5s．
故选：D．
23．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC在x轴上，AB在y轴上，点B与坐标原点重合．动点P从点C出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，速度为每秒2个单位长度，已知BC＝6，设点P的运动时间为t秒，当△ADP存在且为锐角三角形时，t的值可以是下列中的（ ）
A．144B．606C．2024D．4498
【答案】C
【解答】解：正方形ABCD的边BC＝6，故周长为4×6＝24，
当t＝144秒时，动点P运动的路程为144×2＝288 个单位长度，
∵288÷24＝12，
∴动点P从点A出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动144秒后，点P在A点上，构不成△ADP，故A不满足题意；
当t＝606，动点P运动的路程为606×2＝1212 个单位长度，
∵1212÷24＝50⋯12，
∴动点P从点A出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动606秒后，点P在C点上，此时△ADP为直角三角形，故B不满足题意；
当t＝2024，动点P运动的路程为2024×2＝4048个单位长度，
∵4048÷24＝168……16，
∴动点P从点A出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动606秒后，点P在BC边上，故C满足题意；
当t＝4498，动点P运动的路程为4498×2＝8996个单位长度，
∵8996÷24＝374……20，
∴动点P从点A出发，按顺时针方向在正方形的边上匀速运动，运动4498秒后，点P在AB边上，此时△ADP为直角三角形，故D不满足题意；
故选：C．
24．已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜8）．当点P在BC边上，AP、BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，t的值为（ ）
A．103B．163C．6D．7
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为8cm，
∴AB＝BC＝8cm，∠ABP＝∠BCQ＝90°，
∵AP⊥BQ，
∴∠BAP+∠ABH＝∠ABH+∠CBQ＝90°，
∴∠BAP＝∠CBQ，
在△ABP和△BCQ中，
∠BAP=∠CBQAB=BC∠ABP=∠BCQ，
∴△ABP≌△BCQ（ASA），
∴BP＝CQ，
∵BP＝2t﹣AB＝2t﹣8，CQ＝8﹣t，
∴2t﹣8＝8﹣t，
解得t=163，
即t的值为163．
故选：B．
25．如图，正方形ABCD的边长为22cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 （5−1） cm．
【答案】（5−1）．
【解答】解：连接AC、BD，交于点O，
由题意可知，EF经过点O，取OB中点M，连接MA，MG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝OB，
∵AB＝22cm，
∴OA＝OB＝2cm，
∴OM＝1cm，
∴AM=OA2+OM2=22+12=5（cm），
在Rt△BOG中，M是OB的中点，
∴GM=12OB＝1cm，
∵AG≥AM﹣MG＝（5−1）cm，
当A，M，G三点共线时，AG最小＝（5−1）cm，
故答案为：（5−1）．
26．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒0.5cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 4或14 ．
【答案】4或14．
【解答】解：∵△DCE是直角三角形，
∴△PBC为直角三角形，
∴点P只能在AB上或者CD上，
当点P在AB上时，有BP＝CE，
∴BP＝CE＝1，
∴AP＝2，
∴t＝2÷0.5＝4，
当点P在CD上时，有CP＝CE＝1，
∴t＝（3+3+1）÷0.5＝14，
故答案为：4或14．
27．如图，已知正方形ABCD的边长为8cm．若点N从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AD运动到点D后立即反向以原速向点A运动；同时点M从点B出发，以每秒4cm的速度沿折线B→C→D方向运动．当点M到达点D时，两点同时停止运动．当运动时间是 87或247 秒时，AN＝CM．
【答案】87或247．
【解答】解：由题意可得：点N从A到D用时83s，从D到A用时83s；点M从B到C用时2s，从C到D用时2s．
情况1：0＜t≤2（N在A→D，M在B→C），
∵AN＝3t，CM＝8﹣4t，
∵AN＝CM，
∴3t＝8﹣4t，
∴7t＝8，
∴t=87（满足0＜87≤2）；
情况2：2＜t≤83（N在A→D，M在C→D），
∵AN＝3t，CM＝4t﹣8，
∵AN＝CM，
∴3t＝4t﹣8，
∴t＝8（不满足2＜t≤83，舍去）；
情况3：83＜t≤4（N在D→A，M在C→D），
∵AN＝16﹣3t，CM＝4t﹣8，
∵AN＝CM，
∴16﹣3t＝4t﹣8，
∴7t＝24，
∴t=247（满足83＜247≤4）；
故答案为：87或247．
28．如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPE与△CQP全等？
【答案】（1）△BPE≌△CQP，理由见解析；（2）245cm/s．
【解答】解：（1）△BPE≌△CQP，理由如下：
经过1秒后，BP＝4cm，CQ＝4cm，
∴BP＝CQ．
∵BC＝10㎝，
∴PC＝6cm．
PC＝6cm，
∴BE＝PC，
在△BPE和△CQP中，
BP=CQ∠B=∠C=90°BE=PC，
∴△BPE≌△CQP（SAS）；
（2）设经过t秒后，
△BPE≌△CPQ，
当点Q与点P速度不相同时，BP＝PC，此时△BPE≌△CPQ，
∴4t＝10﹣4t，
解得t=54，
又CQ＝BE＝6cm，
∴vQ=654=245(cm/s)．
当△PBE≌△QCP时，BP＝QC，此时，点P和点Q的运动速度相同，不存在这种全等．
29．已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜8）．
（1）如图1，点P在AB边上，PQ，AC相交于点O，当PQ，AC互相平分时，求t的值；
（2）如图2，点P在BC边上，AP，BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，求t的值．
【答案】（1）83s；
（2）163s．
【解答】解：（1）由题意得DQ＝tcm，AP＝2tcm，
∵四边形ABCD是边长为8cm的正方形，
∴CQ＝（8﹣t）cm，
当PQ，AC互相平分时，四边形APCQ为平行四边形，
∴AP＝CQ，
∴2t＝8﹣t，
解得t=83，
即t的值为83s；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°，
∵AP⊥BQ，
∴∠BAP+∠ABH＝∠ABH+∠CBQ＝90°，
∴∠BAP＝∠CBQ，
∴△ABP≌△BCQ（ASA），
∴BP＝CQ，
∵BP＝2t﹣AB＝2t﹣8，CQ＝8﹣t，
∴2t﹣8＝8﹣t，
解得t=163，
即t的值为163s．
30．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E、F依次为AD、CD边上的动点，且分别从A、D出发，以相同的速度同时向终点D、C运动，连接BE、AF相交于H．
（1）试问：在整个运动过程中，BE、AF之间的关系是否保持不变，并请说明理由；
（2）AB的中点为G，在整个运动过程中，是否存在某一时刻．使DH+HG=2+22，若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）BE＝AF且BE⊥AF；
（2）存在；例如：当点E运动到点D，点F运动到点C时，DH+HG=2+22．
【解答】解：（1）BE＝AF且BE⊥AF；理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵点E、F以相同的速度同时向终点D、C运动，
∴AE＝DF，
在△BAE与△ADF中，
AE=DF∠BAE=∠ADFAB=AD，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，
∵∠DAF+∠BAH＝∠BAD＝90°，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
∴BE⊥AF；
（2）存在；例如当点E运动到点D，点F运动到点C时，DH+HG=2+22；
∵∠AHB＝90°，
∴△ABH为直角三角形，
∵G为AB的中点，
∴GH=12AB=2，
即GH始终等于2，
当点E运动到点D，点F运动到点C时，BE，AF正好为正方形ABCD的对角线，点H正好为对角线的交点，
∵BD=42+42=42，
∴DH=12BD=22，
∴此时DH+HG=2+22．