2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第8讲.四边形中的动点问题（含答案）

这是一份2021-2022学年苏教版初二数学下册专项练习第8讲.四边形中的动点问题（含答案），共17页。试卷主要包含了5t，BF=0，5个单位长度，得B1，等内容，欢迎下载使用。

四边形中的动点问题
8


四边形7级
特殊图形的旋转与正方形弦图

四边形8级
四边形中的动点问题

满分晋级阶梯

四边形6级
平移和几何最值问题





春季班
第六讲
春季班
第七讲
春季班
第八讲





漫画释义
如法炮制

知识互联网





题型切片


题型切片（两个）
对应题目
题型目标
由动点产生的特殊图形
例1，例2，例3，练习1，练习2，练习3；
由动点产生的函数关系
例4，例5，例6，例7，练习4，练习5．

编写思路



本讲内容主要分为两个题型，题型一为由动点产生的特殊图形，例题主要是从单动点问题过渡到双动点问题，解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．对于程度比较好的班级，给出了一个拓展版块，补充了线动及形动问题；题型二为由动点产生的函数关系，该版块重点是线段的含参表示，以及自变量的取值范围，请老师在课上进行重点强调．

题型一：由动点产生的特殊图形



思路导航

我们常见的四边形中的动点问题可以总结为单动点问题与双动点问题．解决问题的主要策略为以静制动，分类讨论，寻找临界点．
典题精练


【例1】 已知如图：在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的坐标为 ． (101中学初三月考)

【解析】 、或


【例2】 在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向C、A运动．
⑴四边形DEBF是平行四边形吗?请说明理由．
⑵若BD=12cm，AC=16cm，当运动时间t为何值时，四边形DEBF是矩形?

【解析】 ⑴四边形DEBF是平行四边形
理由：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA＝OC，OB＝OD
∵E，F两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动
∴AE＝CF
∴OE＝OF
∴BD、EF互相平分
∴四边形DEBF是平行四边形
⑵∵四边形DEBF是平行四边形
∴当BD＝EF时，平行四边形DEBF是矩形
∵BD＝12cm，
∴EF＝12cm
∴OE＝OF＝6cm
∵AC＝16cm
∴OA＝OC＝8cm
∴AE＝2cm或AE＝14cm
∵动点的速度是1cm/s
∴t＝2s或t＝14s


【例3】 如图所示，在直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，BC=14cm，A点坐标为（16，0），C点坐标为（0，2）．点P、Q分别从C、A同时出发，点P以2cm/s的速度由C向B运动，点Q以4cm/s的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为ts．
⑴ 求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形？
⑵ 求当t为多少时，PQ所在直线将梯形OABC分成左右两部分，其中左部分的面积为右部分面积的一半，求出此时直线PQ的函数关系式．
A
C
O
B
P
x
Q
y

【解析】 ⑴∵t s后，BP=cm，AQ=4t cm．由
BP= AQ，得，t=(s)．
∴当t=s 时，BP= AQ，又OA∥BC，
∴四边形PQAB为平行四边形．


⑵∵C点坐标为（0，2），A点坐标为（16，0），
∴OC=2 cm，OA=16 cm．
∴=(OA+BC)·OC=×(16+14)×2=30(cm2)．
∵s后，PC=cm，OQ=cm，
∴=．
由题意可得=10，∴，解得t=3s．
此时直线PQ的函数关系式为．


【探究】四边形中的动态问题

【探究1】单动点问题；
【变式1】如图，在矩形OABC中，已知点B的坐标为(9，4)，点P是矩形边上的一个动点，
若点E的坐标为(5，0)，且△POE是等腰三角形，求点P的坐标？


【解析】如图，，，，.

【探究2】多动点问题，注意多动点之间的联动情况，然后转化为单动点问题；
【变式2】如图，矩形ABCD中，B的坐标为(，4)，一动点P从O出发，以每秒1个
单位的速度，从点O出发沿OA向终点A运动，同时动点Q以每秒2个单位的速度从点O出发沿OB向终点B运动.过点Q作QE⊥OB，交AB于点E，连接PE、PQ.设运动时间为t秒.求t为何值时，PE∥OB.

【解析】PQ=BE时，PE∥OB，此时.
【探究3】线动问题，线动问题转化为点动问题；
【变式3】如图，矩形ABCO中，B的坐标为(，4)，一动点P从O出发，以每秒1个
单位的速度，从点O出发沿OA向终点A运动，过点P作直线PF⊥OB，交OB于点F；同时将直线PF以每秒个单位向右平移，分别交AB、OB于点E、Q，连接PE.设运动时间为t秒.求t为何值时，PE∥OB.

【解析】同上，此时.

【探究4】形动问题，形动问题通过转化为线动问题，从而转化为点动问题；
【变式4】如图，直角Rt△ABO中，A的坐标为(，)，斜边中线AC将这个直角三角形分成了两个等腰三角形△AOC与△ABC（如图所示），将△AOC沿直线x轴正方向平移得到△，当点与点C重合时，停止平移。在平移的过程中，与OB交于点D，与BC交于点E.设平移距离为x，△与△ABC重叠部分的面积为，是否存在这样的x,使得重叠部分面积等于原△ABO面积的？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

【解析】.


题型二：由动点产生的函数关系





典题精练


【例4】 ⑴如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为，△MNR的面积为y，如果y关于的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（ ）
（161期中）
A．N处 B．P处 C．Q处 D．M处

Q
P
R
M
N


4
9
y
x
O






图1 图2

⑵如图，在矩形中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀
速运动，那么的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是（ ）
（重庆中考）
D
C
P
B
A

O
3
1
1
3
S
x
A．
O
1
1
3
S
x
O
3
S
x
3
O
1
1
3
S
x
B．
C．
D．
2


【解析】 ⑴ C；⑵ B．


【例5】 正方形ABCD的边长为2厘米，点E从点A开始沿AB边移动到点B，点F从点B开始沿BC边移动到点C，点G从点C开始沿CD边移动到点D，点H从点D开始沿DA边移动到点A、它们同时开始移动，且速度均为0.5厘米/秒．设运动的时间为t（秒）
⑴求证：△HAE≌△EBF；
⑵设四边形EFGH的面积为S（平方厘米），求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
【解析】 ⑴t秒时，AE=0．5t，BF=0．5t，DH=0．5t
∴AE=BF=DH
∵四边形ABCD为正方形
∴∠A=∠B=90°，AD=AB
∴AH=BE=
∴△HAE≌△EBF
⑵由⑴同理可得Rt△HAE，Rt△EBF，Rt△FCG以及Rt△GDH四个三角形两两全等

自变量t的取值范围是

【例6】 如图，已知正方形与正方形的边长分别是和，它们的中心都在直线上，，在直线上，与相交于点，，当正方形沿直线 以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形也绕以每秒顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变．
（1）在开始运动前， ；
（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形停止旋转，这时 ， ；
（3）当正方形停止旋转后，正方形继续向左平移的时间为秒，两正方形重叠部分的面积为，求与之间的函数表达式．
A
B
C
D
E
F
G
H
l
O2
O1
M




【解析】 （1）9．
（2）0，6．
A
B
C
D
E
F
G
H
l
O2
O1
A
B
C
D
E
F
G
H
l
O2
O1
A
B
C
D
E
F
G
H
l
O2
O1
图1
图2
图3







（3）当正方形停止运动后，正方形继续向左平移时，与正方形重叠部分的形状也是正方形．重叠部分的面积与之间的函数关系应分四种情况：
①如图1，当时，，
与之间的函数关系式为．
②如图2，当时，与之间的函数关系式为．
③如图3，当时，，
与之间的函数关系式为．
④当时，与之间的函数关系式为．
真题赏析

【例7】 将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在轴上， 点C在y轴上，OA=10，OC=8．
⑴ 如图1在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点；
① 求点E的坐标及折痕DB的长；
② 在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且，求使四边形BDMN的周长最短的点M、点N的坐标．
⑵ 如图2，在OC、CB边上选取适当的点F、G，将△FCG沿FG折叠，使点C落在OA上，记为H点，设OH=，四边形OHGC的面积为S．求：S与之间的函数关系式，并指出变量的取值范围．







图1 图2

【解析】 ⑴① 在矩形OABC中，BC=OA=10， BA=OC=8．
由折叠可知：△CBD ≌ △EBD，
∴BE=BC=10．
在Rt△BAE中，EA==6．
OE=OA－AE=4，
∴E(4，0)．
设CD＝x，
∵△CBD ≌ △EBD，
∴DE=CD=x， OD=8－x．，
在Rt△ODE中， DE2 =OD2＋OE2 ，
∴x2 =（8－x）2＋42 ，
∴x =5．
在Rt△CDB中， BD ==
② 要使DB+ DM+MN+ BN最短，只需要DM+BN最短．
将点B(10，8 )向左平移4．5个单位长度，得B1(5．5，8)，
∴BB1＝4．5
∵MN=4．5，
∴BB1M N，
∴BNMB1是平行四边形．
∴B1M = BN．
作D关于x轴的对称点D1(0，-3)， 连接B1D1，
由对称性及两点之间线段最短可知：B1D1与x轴的交点为所求M点， 在x轴上点M的右侧作MN=4．5，得所求N点．
可求得直线B1D1的解析式为 ，
∴M (，0 )，N(6，0 )．
⑵过点G作GK⊥OA于K，设CG＝y，
∴OK=CG＝y，GK=OC＝8．
由折叠可知：△CGF≌△HGF，
∴GH=CG＝y，
∴HK= OK－OH=＝y－x．
在Rt△HKG中，HG2 =HK2＋GK2 ，
∴，
，
．
思维拓展训练(选讲)




训练1. 如图，在直角梯形中，，，，
，，点从点出发，以的速度向点
运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，当其中一
个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四边形
的面积与两动点运动的时间的函数图象大致是（ ）







A． B． C． D．
【解析】 解析式为 ∴选D


训练2. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．
⑴当x的值为____________时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
⑵点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
（河南中考）
【解析】 ⑴ 或．
⑵由⑴知，当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形．
∴
过作于，则，∴．
∴
∴，故此时平行四边形是菱形．
以点P、A、D、E为顶点的四边形构成菱形．


训练3. 已知：等边三角形的边长为厘米，长为厘米的线段在的边上沿方向以厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点、分别作边的垂线，与的其它边交于、两点，线段运动的时间为秒．
⑴ 线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；
⑵ 线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

【解析】 ⑴ 过点作，垂足为．
则，
当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，
即时，四边形是矩形，
∴秒时，四边形是矩形．
∵，
∴．
⑵ ①当时，

；
②当时


；

③当时，

．
【点评】 像本题第一问这样是否存在特殊图形的问题，应先把特殊图形画出，再根据图形引出的特殊条件进行求解．







训练4. 如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB =3，AD =5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．
⑴ 求P点从A点运动到D点所需的时间；
⑵ 设P点运动时间为t（秒）
①当t=5时，求出点P的坐标；
②若OAP的面积为，试求出s与t之间的函数关
系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．
【解析】 ⑴ P点从A点运动到D点所需的时间＝（3+5+3）÷1＝11（秒）
⑵ ①当t＝5时，P点从A点运动到BC上，
此时OA=10，AB+BP=5，∴BP=2
过点P作PE⊥AD于点E，则PE=AB=3，AE=BP=2
∴OD=OA+AE=10+2=12
∴点P的坐标为（12，3）．
②分三种情况：
i．当时，点P在AB上运动，此时OA=2t，AP=t
∴=×2t×t= t
ii．当时，点P在AB上运动，此时OA=2t
∴=×2t×3=3 t
iii．当8＜t＜11时，点P在CD上运动，此时OA=2t， AB+BC+CP= t
∴DP= (AB+BC+CD)(AB+BC+CP)=
∴=×2t×(11t)=t2+11t
综上所述，与t之间的函数关系式是：
当时，= t2；当时，=3 t；当8＜t＜11时，=t+11 t






复习巩固



题型一 由动点产生的特殊图形 巩固练习

【练习1】 如图，在矩形中，已知、两点的坐标分别为为的中点．设点是平分线上的一个动点（不与点重合）．
⑴ 试证明：无论点运动到何处，总与相等；
⑵ 当点运动到与点的距离最小时，求P的坐标；
⑶ 已知E（1，－1），当点运动到何处时，的周长最小？求出此时点的坐标和的周长； (四中期中)
【解析】 ⑴可证△OPC≌△OPD．
⑵
⑶由、可知，直线CE的解析式
为 与直线相交于点P（，）．
则．


【练习2】 平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）．动点M．N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．请你探索：若P点坐标为（3-x，）当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？有几种情况？写出研究成果并证明．
【解析】 当x=1，或，或时，△MPA是一个等腰三角形
延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥OA
①若MP=PA ∵PQ⊥MA
∴MQ=QA=x
∴，∴x=1
②若MP=MA，则MQ=，PQ=，PM=MA=
在Rt△PMQ中，∴，
∴ ∴
③若PA=AM，∴PA=，AM=
∴ ∴
A
B
D
C
O
P
x
y
综上所述，x=1，或，或
【练习3】 如图，在直角梯形COAB中，OC//AB，以O为原点建立平面直角坐
标系，A、B、C三点的坐标分别为，点D为
线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线
OABD的路线移动，移动的时间为秒．
⑴求直线BC的解析式；
⑵若动点P在线段OA上移动，当为何值时，四边形OPDC的面积是
梯形COAB面积的．
【解析】 ⑴直线BC的解析式为y=x+4
⑵过点D作DM⊥y轴，垂足为M
在Rt△CDM中，
∴
梯形COAB的面积
解方程 解得
因此，当时，四边形OPDC的面积是梯形COAB的面积的．
题型二 由动点产生的函数关系 巩固练习
【练习4】 如图，三个大小相同的正方形拼成六边形ABCDEF，一动点P从点A出发沿着
A→B→C→D→E方向匀速运动，最后到达点E．运动过程中△PEF的面积（）随时间（t）变化的图象大致是（ ）



A．。



B


D



C







.
.
.
·






【解析】 B


【练习5】 P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），
点E在射线BC上，且PE=PB．
⑴求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
⑵设AP=x， △PBE的面积为y． 求出y关于x的函数关系式，并写出x的
取值范围；
A
B
C
P
D

E
图12
【解析】 ⑴① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴ BC=DC， ∠BCP=∠DCP=45°．
∵ PC=PC，
∴ △PBC≌△PDC （SAS）．
∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC．
又∵ PB= PE ，
∴ PE=PD．
②（i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，
∵ PB=PE，
∴ ∠PBE=∠PEB，
∴ ∠PEB=∠PDC，
∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，
∴ ∠DPE=360°(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，
∴ PE⊥PD．
A
B
C
D

P

E

1

2

H

（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD．
（iii）当点E在BC的延长线上时，如图．
∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴ ∠DPE=∠DCE=90°，
∴ PE⊥PD．
综合（i）（ii）（iii）， PE⊥PD．
A
B
C
P
D

E
F
⑵ 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE．
∵ AP=x，AC=，
∴ PC=- x，PF=FC=．
BF=FE=1FC=1()=．
∴ S△PBE=BF·PF=()．
即 (0＜x＜)．





第十六种品格：感恩