2026年山东济宁市邹城市初中学业水平考试（模拟）数学试题（含解析）

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一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 如图，点A、B表示的数分别为a、b．下列式子中，正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查数轴的应用，掌握好数轴的概念是关键．
根据点在数轴上的位置判断字母的范围，并判断选项即可．
【详解】解：由数轴可得，，，
对于A，，故A错误；
对于B，由，可得，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，由，可得，故D错误．
故选：C．
2. 盖碗茶是中国传统饮茶方式，茶具由盖、碗、托三件组成，又称“三才碗”，盖为天、托为地、碗为人，寓意天地人和．如图，是一种盖碗茶具的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同D. 三种视图都相同
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的形状得到其对应的三视图即可得到答案．
【详解】解：由题意得，这个几何体的俯视图与主视图和左视图不相同，主视图与左视图相同．
3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．
【详解】解：∵ 科学记数法要求，原数，
将小数点向左移动11位，得到，
∴ ．
4. 下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解∶A．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：A、根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．，计算错误；
B、根据积的乘方法则：积的乘方等于各因式分别乘方，再将所得幂相乘．，计算错误；
C、根据合并同类项法则：合并同类项时，同类项系数相加，字母和字母指数不变．，计算错误；
D、根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，计算正确．
6. 中国书法是一门古老的艺术，它伴随着中华文明的发展而发展，被誉为“无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐”．如图，这是正面分别用楷书、行书、楷书、隶书写有“马”字的四张卡片，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好都是用楷书写的“马”字的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好都是用楷书写的“马”字的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将楷书、行书、楷书、隶书四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好都是用楷书写的“马”字的结果有2种，
∴卡片正面恰好都是用楷书写的“马”字的概率为．
7. 如图，在中，，点B在x轴上，点C，点D分别为的中点，连接，点E为上任意一点，连接，反比例函数的图象经过点A，若的面积为4，则k的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，反比例函数中k的几何意义，
根据三角形中位线的性质得，可知和的高之比为，可得，再连接，可知，则，然后结合图像所在象限得出答案．
【详解】解：∵点C，点D分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，.
∴，
∴和的高之比为．
∵，
∴．
连接，
∵点D分别是的中点，，
∴，
∴，
解得．
故选：B．
8. 如图，在中，．
①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；
②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；
③作射线交于点D；
④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点G，H；
⑤作直线，分别交于点E，
依据以上作图，若，，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接由作法得平分，垂直平分，进而推出，，勾股定理求出的长，再利用面积公式进行求解即可.
【详解】解：如图，连接
由作法得平分，垂直平分，连接，
平分，，
∴，
∴，即，
，
垂直平分，
，
在中，，
，
的面积
9. 如图1， 点E在正方形的边上， 且 点P沿从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 则最高点N的纵坐标a的值为（ ）

A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、三角形三边之间的关系、勾股定理等，解题的关键是准确分析图1与图2的对应变化关系．
根据正方形的对角线的轴对称性得到，则得到y的最小值是AE，对应到图2中的最低点M的纵坐标，结合之间的关系及勾股定理可求得的长，再观察到当点P运动到D点时，y达到最大值a，勾股定理求得长，则可求得a的值．
【详解】连接，

∵四边形是正方形，是其对角线，
∴，
又，
∴，
∴，
，
连接交于点，
（三角形两边之和大于第三边）．
当点P运动到时，
，
解得，
．
连接，则．
在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，，
故选：C．
10. 定义：若一个点的横、纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次函数的性质，由一个点的横纵坐标之和为，可得“和谐点”在直线上，由可得“和谐点”所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．
【详解】解：由题意可得“和谐点”所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立与，得方程，
即，
抛物线与直线有两个交点，
，
解得
当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入，得，
把代入得，
，
解得，
，
故选：．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11. 若，互为倒数，且满足，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查倒数的定义，单项式乘多项式的运算，根据倒数的定义得到，展开原式后代入计算即可求出的值．
【详解】解：，互为倒数，
，
将展开得：，
把代入得：，
解得．
12. 将因式分解后的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到，再分别求出和扇形的面积，相减即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，，
，
故答案为：．
本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握是解题关键．
14. 定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（），锐角A的正割记作．已知在中，，点D是斜边的中点，点E在边上，，，那么的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
根据正割的定义，在中，，．由点 D 是中点，点 E 在 上，且，然后利用相似三角形和勾股定理建立方程求解．
【详解】解：如图：在中，，设，则．
∵点 D 是 中点，
∴，
设，则，，
在中，，由勾股定理得，
∴，化简得：．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
将代入可得：．
将代入得，整理得．
设，则．
代入得，即．
两边平方并整理得，
令，得，解得（舍去负根），
∴，即 ．
故答案为：．
15. 如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是_______．
【答案】．
【解析】
【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2=EC•EP，由此即可解决问题．
【详解】如图，作FH⊥PE于H．
∵四边形ABCD是正方形，AB=5，
∴AC=5，∠ACD=∠FCH=∠ECG=45°，
∵∠FHC=90°，CF=2，
∴CH=HF=，
∵CE=4AE，
∴CE=4，AE=，
∴EH=5，
在Rt△EFH中，，
∵∠GEF=∠GCF=90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG=∠ECG=45°，
∴∠ECF=∠EFP=135°，
∵∠CEF=∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题：（本题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. 按要求完成下列各题：
（1）计算：．
（2）解不等式组：；并写出它的所有整数解．
【答案】（1）
（2）不等式组的解集为，所有整数解为
【解析】
【分析】（1）本题分别计算负整数指数幂．绝对值．特殊角的三角函数值．零指数幂．二次根式，再合并计算即可得到结果．
（2）本题分别解出两个不等式的解集，取公共部分得到不等式组的解集，再找出范围内的所有整数即可．
【小问1详解】
解 ：
；
【小问2详解】
解：
解不等式①： 展开得
移项合并同类项得
解得
解不等式②： 两边同乘去分母得
展开得
合并同类项得
解得
因此不等式组的解集为，所有整数解为
17. 【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在菱形纸板上裁剪出一对“仿古三角旗”（阴影部分），其中点，分别在，上，连结交于点．
【数学理解】
（1）这对“仿古三角旗”是相似的，请写出的证明过程．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似即可判断；
（2）根据菱形的性质和已知可得，，结合（1）中，可得，由此即可求解．
【小问1详解】
解：∵在菱形中，，
∴，
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
又∵在菱形中，，
∴，
，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴．
18. 综合与实践：
【问题情境】2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，林老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品．
【信息收集】
（1）【问题探究】线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？
（2）【问题解决】林老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共40个，请你帮林老师算一算，购买玩偶的数量在什么范围内时，方式一更划算？
【答案】（1）玩偶的销售单价是20元，徽章的销售单价是10元；
（2）当时，方案一更划算
【解析】
【分析】（1）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据题意列方程组计算即可；
（2）设购买玩偶m个，根据购买方式列出代数式，进而列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，
由题意，得，
解得；
答：玩偶的销售单价是20元，徽章的销售单价是10元；
【小问2详解】
解：设购买玩偶m个，则购买徽章个，
由题意，按照方案一购买需：（元）；
按照方案二购买需：（元）；
当时，解得，
∵购买玩偶和徽章共40个，
∴当时，方案一更划算．
19. 人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析：
（1）【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：_____．（请填写序号）
①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩；
②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩；
③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩；
④分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，四组进行整理如表：
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图．
（2）【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
①抽取学生竞赛成绩的样本容量为_____；请补全频数分布直方图；
②抽取的样本数据中位数所在组别是_____组；
（3）扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是_____度；
（4）若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数．
【答案】（1）④； （2）①总样本容量为，补全频数分布直方图见解析；②；
（3）；
（4）估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数是人．
【解析】
【分析】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键．
（1）根据样本具代表性，避免偏差，即可得出答案；
（2）根据频数分布直方图可知样本容量，完成统计图即可；因为样本容量为，那么中位数为第，人成绩的平均数，由于组人数人，组人数人，中位数就在组；
（3）用组对应的圆心角的度数是；
（4）根据样本估计总体可知，用乘分以上（含分）的人数占比，即可求解．
【小问1详解】
分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩，覆盖全校不同层次，避免因单一班级或年级的特殊性导致偏差，其他选项均存在局限性（如仅抽取一个班级、年级或性别）；
故答案为：④；
【小问2详解】
①总样本容量为，
因此组的人数，
补全频数分布直方图如下：
，
故答案为：；
②样本容量，那么中位数为第，人成绩的平均数，由于组人数人，组人数人，
抽取的样本数据中位数所在组别是组；
故答案为：；
【小问3详解】
扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是；
故答案为：；
【小问4详解】
（人），
答：估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数是人．
20. 如图，是的直径，弦于点，延长至点，使得．过点作的切线，交延长线于点，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若半径为5，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，易证垂直平分，得到，推出，再根据垂径定理得到，进而得到，推出，由切线的性质得到，证明，即可证明结论；
（2）连接，由（1）可得，结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，进而求出，根据即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：连接，
则，
由（1）知四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都为，摄像头高度，识别的最远水平距离．
（1）小玲站在离摄像头水平距离点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线处），请问小玲的身高约为多少厘米？
（2）身高的小婷，头部高度为，当她直立站在离摄像头最远处点Q时，小婷能被摄像头识别吗？请说明理由．（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】（1）小玲的身高约是厘米
（2）小婷能被摄像头识别，理由见解析
【解析】
【分析】（1）过作的垂线分别交仰角线，俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数求出即可求出，进而可求出小玲的身高；
（2）过Q作的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H，在中，根据三角函数求出，，即可求出，进而可确定小婷头部以下的高度，进而即可判断．
【小问1详解】
解：如图，过M作的垂线分别交仰角线，俯角线于点E，D，交水平线于点F，
由题意得，，
四边形是矩形，
，，
在中，，，
，
，
答：小玲的身高约是厘米；
【小问2详解】
解：小婷能被摄像头识别，理由如下：
如图，过Q作的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
在中，，，
，
同理，
，，
小婷头部以下的高度为：，
，且小婷身高，
小婷整个头部都在摄像头视角范围内，
小婷能被摄像头识别．
22. 已知二次函数（）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）若，当时，的最大值为，求函数的解析式；
（3）已知，为该函数图象上两点，当时，，求的取值范围．
【答案】（1）对称轴为直线
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用对称轴公式，将代入，直接计算得对称轴；
（2）由知抛物线开口向上，在时，最大值在离对称轴更远的端点处取得，代入，，即可求出，从而得到解析式；
（3）由、纵坐标相同，知两点关于对称，设，，则，结合，得，将代入函数得，因为所以该函数的最小值要大于等于4，结合二次函数的性质，分和讨论即可求解．
【小问1详解】
解：对称轴为直线．
【小问2详解】
解：，图象开口向上，对称轴为直线，
当时，越远离对称轴函数值越大，
当时，的最大值为5，
，
，
．
【小问3详解】
解：点和在二次函数的图象上，且纵坐标相同，
这两点关于抛物线的对称轴对称，
由(1)可知，对称轴为直线，
，
，
设点，到对称轴的距离为()，则有：
，
，
解得的取值范围为：，
将代入函数解析式求：
当时，恒成立，分情况讨论：
①当时：
抛物线开口向上，在范围内，随的增大而增大。
当时，取得最小值，
要使恒成立，只需，即：
，
，
，
此时满足的条件；
②当时：
抛物线开口向下，在范围内，随的增大而减小，
当时，取得最小值，
要使恒成立，只需，即：
这与前提条件矛盾，故此时无解（舍去）；
综上所述，的取值范围是．
23. 综合与探究
【定义】以直角三角形的斜边为直角边向外再作一个直角三角形，且满足两直角三角形的公共边平分所得四边形的一个内角，我们称该四边形为“旋直四边形”，两直角三角形的公共边为“旋直分割线”．
【示例】如图1，在四边形中，，平分，则四边形为“旋直四边形”，为“旋直分割线”．
【概念辨析】
（1）用分别含有或的直角三角形纸板拼出上面3个四边形，其中是“旋直四边形”的有______（填序号）；
【问题解决】
（2）如图1，在“旋直四边形”中，，为“旋直分割线”．求证：；
【拓展应用】
（3）如图2，四边形是矩形，，，与交于点．若，求的值；

（4）如图3，在中，，，，点是平面内一点，点是边上一点，若四边形是“旋直四边形”，是“旋直分割线”，与交于点，求的长．
【答案】（1）② （2）见解析
（3）
（4）或2
【解析】
【分析】（1）根据“旋直四边形”的定义逐一判断即可；
（2）方法1：过点作于点，证明，得出，，，再结合勾股定理即可得证；方法2：延长交延长线于点，证明，得出，，，再结合勾股定理即可得证；
（3）方法1：过点作于点，证明，进而推出，则，再证明，得到，利用等角对等边，得出，设，则，再结合勾股定理求出，即可得解；方法2：延长交延长线于点，证明，进而推出，，设，则，，再证明，求得，即可得解；
（4）①当平分时，作，，垂足分别为、，分别证明，，四边形为平行四边形，设，利用求出，则，，即可得到的长；②当平分时，记与相交于点，证明，得到，利用三角函数值，求出，即可得到的长；③如图，当平分，且时，证明，得到，，在直角三角形中，求出，， 再利用等面积法求出，证明，求出，即可求出得到的长．
【小问1详解】
解：①两个直角三角形的斜边是公共边，不满足“旋直四边形”的定义；
②满足 “旋直四边形”的定义；
③两直角三角形的公共边不平分所得四边形的一个内角，不满足 “旋直四边形”的定义；
故拼出的3个四边形，其中是“旋直四边形”的是②．
【小问2详解】
证明：方法1：如图，过点作于点，
为“旋直分割线”，即平分，
，
又，，
，
，，
，
在中，，
．
方法2：如图，延长交延长线于点，
为“旋直分割线”，即平分，
，
又，，
，
，，
，
∵在中，，
．
【小问3详解】
解：方法1：如图，过点作于点，则，
四边形是矩形，
，，，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
又，，
，
，
设，则，，，
，
．
方法2：如图，延长交延长线于点，
，，，
，
，，
，
，
矩形，
，，，
，，，
，
设，则，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
【小问4详解】
解：①当平分时，“旋直四边形”如图所示，则，
作，，垂足分别为、，则．
在中，，，
，，，
，，，
，
，，
，，
，
又，，
，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，，，
，
设，则，
，
，
解得，
即，，
，
，
；
②当平分时，“旋直四边形”如图所示，记与相交于点，
则，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
；
③如图，当平分，且时，“旋直四边形”如图所示，
延长交于点，延长交于点，作于点，
，
，，
，
，，
，
，
又，，
，
，，
，
，
，，，
在，，
，
，
，，
，
，
，
．
综上，或2．信息一
信息二
线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需400元；若买15个玩偶和15个徽章共需450元．
2026年线上平台促销活动信息如下：
方式一：购买60元会员卡后所有商品打8折；
方式二：非会员所有商品打9折．
组别
成绩（分）