2026年广东省 广州市天河区九年级中考数学二模测试卷（含解析）中考模拟

这是一份2026年广东省 广州市天河区九年级中考数学二模测试卷（含解析）中考模拟
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可．
【详解】解：与只有符号不同的数为，
的相反数是．
2. 一个几何体的三视图如图所示，这个几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：由图可知，这个几何体可能是：
3. 将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的图象的平移法则：上加下减，即可得到答案，熟练掌握二次函数的图象的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选：A．
4. 如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛在平面镜里的虚像，点与点到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握这三个性质是关键；由题意知平面镜所在直线垂直平分线段，则，从而等边对等角，再由三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵点与点到平面镜的距离相等，且它们的连线与平面镜垂直，
∴平面镜所在直线垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5. 下列运算中，结果正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法和除法以及积的乘方运算，本题属于基础题型．
根据同底数幂的乘法和除法以及积的乘方运算即可求出答案；
【详解】解：A、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：D．
6. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得：．
故选：C．
7. 如图，有3张背面相同的卡片，正面分别印有下列几种几何图形．现将这3张卡片正面朝下摆放，从中任意抽取一张后放回，再从中任意抽取一张，则两次抽到的卡片的正面图形都是中心对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中给出的图形，可以判定是否中心对称图形，然后根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到抽到的卡片正面图案都是中心对称图形的概率．
【详解】解：设A是等腰三角形，B是平行四边形，C是圆，由题意可得B、C卡片正面图案都是中心对称图形，画树状图得，
∴一共有9种情况，摸出两张卡片都是中心对称图形有4种；
∴抽到的卡片正面图形都是中心对称图形的概率是．
8. 如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作于点D，则，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点A作于点D，则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
9. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作，等边三角形的性质结合圆内接四边形的性质，求出，三线合一，解直角三角形，求出的长，利用扇形的面积公式求出阴影部分的面积即可．
【详解】解：∵是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，
∴，，
∴，
作，
则：，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
10. 已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当时，该抛物线的顶点到达最高处
D. 该抛物线与没有交点
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线开口方向，结合与x轴交点性质、顶点坐标特征、联立方程判断交点个数，逐一分析选项即可．
【详解】解：∵抛物线 的二次项系数
∴抛物线开口向下，且与轴交于，，，
对选项A：点在抛物线上，当时，，A正确；
对选项B：当时，可得或，B错误；
对选项C：将抛物线配方得 ，顶点纵坐标为，
∵，当时顶点纵坐标最小，该抛物线的顶点没有到达最高处，C错误；
对选项D：联立与，
消去整理得 ，
该方程判别式 ，总有实数根，
∴抛物线与直线总有交点，D错误．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．
【详解】解：根据二次根式的意义，得，
解得．
故答案为：．
12. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为_____．

【答案】##度
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，，
∴，
∵，，
∴
∴．

故答案为：．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13. 分式方程=的解是__________．
【答案】x=2
【解析】
【详解】试题分析：先去分母，将分式方程转化为一个整式方程．然后解这个整式方程．方程两边同乘以（x＋1）x，约去分母，得3x=2（x+1）,去括号，移项，合并同类项，得x=2．
考点：分式方程的解法．
14. 已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则反比例函数的图象经过的象限是______．
【答案】
第二、四象限
【解析】
【分析】先根据一次函数的图象性质判断和的正负，得到的正负，再根据反比例函数的性质确定其图象所在象限.
【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限，
根据一次函数的性质可得，，
，
对于反比例函数，，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限.
15. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点，，平分交轴于点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用面积法进行求解即可．
【详解】解：∵点，，
∴，，
∴．
∵平分交y轴于点M，
∴点M到和的距离相等，
∴，
则，
∴．
16. 如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，，过点作于点．
（1）若时，则______．
（2）设，，则与之间的函数解析式为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理得出解答即可；
（2）过D作交的延长线于H，在菱形中，，，，，根据平行线的性质得到，性质的，根据直角三角形得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：（1）当时，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）过D作交的延长线于H，
在菱形中，，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【详解】解：，
去括号得：，
移项得：，
解得：．
18. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，求的长．
【答案】8
【解析】
【分析】根据矩形的性质，结合勾股定理进行求解即可.
【详解】解：∵在矩形中，两条对角线与相交于点，，，
∴，
∴.
19. 已知，．
（1）化简；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将异分母分式通分，再进行减法运算即可；
（2）先算，再将代入化简即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
20. 某班级拟开展主题班会活动，现通过投票从“与科技”“与生活”“与学习”“安全”“故事”中挑选一个最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如图所示．
根据以上信息，完成下列问题：
（1）补全条形统计图并填空：参与本次投票的人数是______人；
（2）由于“与科技”“故事”两个主题得票并列最高，为确定活动主题，从该班随机选择8名学生代表对这两个主题评分，评分结果及汇总信息如表：
结合表中的数据，求出，的值，并判断选择哪个活动主题最合理？说明理由．
【答案】（1）48；补全条形统计图为：
（2），； 应该选择“与科技”， 理由：因为“与科技”的评分的中位数和众数都比“故事”的高，所以应该选择“与科技”（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（1）由安全的人数除以占比得到投票人数；
（2）根据平均数，中位数的定义即可求解；可以根据中位数和众数分别进行分析即可．
【小问1详解】
解：本次投票人数为：（人），
与学习的人数为：（人），
补全条形统计图为：
【小问2详解】
解：；
将“故事”的打分排列为：5，5，7，8，8，8，9，10，
则中位数；
应该选择“与科技”， 理由：因为“与科技”的评分的中位数和众数都比“故事”的高，所以应该选择“与科技”（答案不唯一）．
21. 某班准备购买“国风书签”和“校徽钥匙扣”作为校园文化节奖品．已知购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元．
（1）求每枚国风书签和每个校徽钥匙扣的价格；
（2）班委准备用33元全部购买这两种奖品，每种奖品至少买一件．
①写出枚国风书签和个校徽钥匙扣的数量满足的等量关系，并直接写出可能购买方案的个数；
②若从所有可能的购买方案中随机选取一种，直接写出买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率．
【答案】（1）每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元；
（2）①，符合条件的方案有5个；②买到的校徽钥匙扣数量多于国风书签数量的概率为．
【解析】
【分析】（1）设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元，根据“购买1枚国风书签和2个校徽钥匙扣需要8元，购买2枚国风书签和3个校徽钥匙扣需要13元”列出方程组，解方程组即可；
（2）①根据购买m枚国风书签和n个校徽钥匙扣的总费用列出m，n的数量关系，再根据m，n为正整数写出方案；
②根据概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：设每枚国风书签的价格为x元，每个校徽钥匙扣的价格为y元．
根据题意列方程组：，
解得，
答：每枚国风书签的价格为2元，每个校徽钥匙扣的价格为3元；
【小问2详解】
解：①由（1）可知，国风书签单价2元，校徽钥匙扣单价3元，总费用33元，
可得：，
∴，
因为m，n都是正整数，
所以必须是正偶数，
∴时，；
时，；
时，；
时，；
时，；
时，（舍去，因为每种奖品至少买一件）．
所以符合条件的方案有5个；
②校徽钥匙扣数量多于国风书签数量，即，
∴，和，，
∵满足条件的方案有2个，总方案数为5个，
∴概率为：．
22. 已知中，，平分交于点，其中．
（1）求的度数；
（2）将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：．
【答案】（1）
（2）如图，即为所求；
证明：∵旋转，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【解析】
【分析】（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可得出结果；
（2）先分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接交于，则垂直平分，此时，得到，再分别以、为圆心，长为半径画弧，交点即为，此时，连接，，即得到，证明，结合即可得证.
【小问1详解】
解：∵，平分交于点，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
略
23. 问题背景：小天在整理储物柜时，发现纸杯的不同叠放方式会导致高度与数量的关系发生变化，他运用学过的函数知识分析其中的变化规律．
叠法1：小天以图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度（）与纸杯的个数（个）之间是一次函数关系，相关数据如表．
叠法2：“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图3所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．小天发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化，并在平面直角坐标系中描点，，，等，由此猜想这些点在某一条过原点的抛物线上（图4）：
（1）求与之间的函数表达式；
（2）小天把杯子按叠法1叠成如图1的一摞，竖着一次性放入内高为的柜子里（图2）．求一摞最多能叠的杯子总数；
（3）小天将储物柜里竖着的一摞杯子（总数为）全部拿出来，刚好能按叠法2进行叠放，用含的代数式表示杯子叠放后的层数．
【答案】（1）；
（2）一摞最多能叠的杯子总数为45个；
（3）杯子叠放后的层数为.
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出关于的函数关系式，求出时的自变量的值即可；
（3）令，求出的值即可.
【小问1详解】
解：由题意，设，
把，，代入，得，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：设，
把代入，得，
解得，
∴，
∴当时，解得；
答：一摞最多能叠的杯子总数为45个；
【小问3详解】
解：由（1）可知：；
∴当时，解得，
∵，
∴；
答：杯子叠放后的层数为.
24. 已知抛物线与轴交于两点，（在的左边，），与轴交于点，设的外接圆圆心为，与轴相切，圆心在反比例函数图象上．
（1）求点的纵坐标；
（2）求的值；
（3）当时，设直线与函数图象的另一交点为，若该抛物线对称轴上一点满足，证明点在上，并直接写出点的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）1 （2）；
（3）见解析，或
【解析】
【分析】（1）根据切线的性质求得，即可得到点的纵坐标为1；
（2）作轴于点，连接，求得，，，在中，由勾股定理列式计算得到，将点代入即可求得；
（3）证明四边形是平行四边形，得到，得出且，求得，，利用待定系数法求得直线的解析式，反比例函数的解析式，联立求得，即可证明点在上，是等边三角形，据此求解即可．
【小问1详解】
解：如图，
∵点，与轴相切，
∴，
∴点的纵坐标为1；
【小问2详解】
解：作轴于点，连接，如图，
∴四边形是矩形，解方程，得，，
∴，，
∴，
∴，，，
在中，由勾股定理得，即，
整理得，
将点代入得，
∴；
【小问3详解】
解：∵，又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴且，
解得，，
∴，，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
将代入得，
∴反比例函数的解析式为，
联立得，
解得，，
当时，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴点在上，是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，又，
∴，
解得或．
25. 如图，点是边长为2的正方形的边上一动点（不与，重合），和关于直线对称，连接交射线于点．
（1）当点在对角线上时，求的度数；
（2）求证：；
（3）若点在上，且，当最大时，求的长度．
【答案】（1）
（2）证明：连接，与交于点，如图，
∵折叠，
∴，，
∵正方形，边长为2，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴； （3）2
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出为等腰直角三角形，得到，邻补角求出的度数即可；
（2）连接，与交于点，倒角证明，得到，再证明，得到，进而得到，再根据折叠可知，等量代换即可得出结论；
（3）作，连接，证明，得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，得到当与相切时，最大，证明也是的切线，根据切线长定理，即可得出结果.
【小问1详解】
解：∵正方形，
∴，，
∵折叠，
∴，
∵点在对角线上，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：作，连接，则，
∴，
由（2）可知，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴又∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，
取的中点，连接，
∴当与相切时，最大，如图，
∵为的半径，
∴也是的切线，
∴.
主题
评分
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中位数
众数
与科技
10
9
8
3
6
4
10
10
8.5
10
故事
9
10
7
8
5
5
8
8
7.5
8
纸杯个数（个）
1
2
3
4
…
纸杯高度（）
9
9.5
10
10.5
…