2026年9年级上册人教版数学 期末考试专项训练含答案 专题03 概率和投影与视图15大常考题型汇总

这是一份2026年9年级上册人教版数学 期末考试专项训练含答案 专题03 概率和投影与视图15大常考题型汇总，共10页。试卷主要包含了几何概率，列举法求概率，列表法或树状图法求概率，游戏的公平性，概率的实际应用，用频率估计概率，用频率估计概率的综合应用，正投影等内容，欢迎下载使用。

题型1 几何概率（常考点）
题型8 正投影
题型2 列举法求概率（常考点）
题型9 平行投影
题型3 列表法或树状图法求概率（重点）
题型10 中心投影
题型4 游戏的公平性（重点）
题型11 判断几何体的三视图 （常考点）
题型5 概率的实际应用（重点）
题型12 画几何体的三视图（常考点）
题型6 用频率估计概率（常考点）
题型13 由三视图还原几何体（常考点）
题型7 用频率估计概率的综合应用（重点）
题型14 已知三视图求值（常考点）
题型15 由三视图判断小立方体的个数（常考点）
题型一 几何概率（共4小题）
1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】几何概率
【分析】本题考查的是几何概率，熟练掌握概率的计算是解题的关键．
根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形，根据概率公式可知，指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，据此计算即可．
【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，
其中阴影部分的面积为个面积相等的三角形，
指针落在阴影部分的概率是．
故选：C．
2．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，转盘中8个扇形的面积都相等，涂色的为灰色部分，其余为白色部分，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】几何概率
【分析】本题考查了简单概率的计算，熟知概率公式是解题关键．根据题意得到圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，根据概率公式即可求解．
【详解】解：∵圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，
∴指针落在灰色区域的概率为．
故选：C．
3．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图是一个六等分圆盘，向圆盘中随机投掷飞镖，落在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【分析】本题考查了几何概率，某事件的概率等于这个事件所占的面积与总面积之比．
算阴影部分的面积在圆的面积中的占比即可．
【详解】解：∵图中6个扇形的面积相等，
∴随机投掷飞镖落在阴影部分的概率
故答案为：
4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）一只小虫在如图所示的五角星区域内爬行（小虫爬行方向随机），则小虫停止爬行后位于阴影区域的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【分析】先计算阴影部分的面积，用阴影面积除以总面积即可．
本题考查了简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：作辅助线如下图，根据题意，设阴影面积为：，总面积为，
小虫停止爬行后位于阴影区域的概率为：．
故答案为：．
题型二 列举法求概率 （共4小题）
5．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上，第次抛掷，正面朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】列举法求概率
【分析】本题主要考查了概率的计算，一枚质地均匀的硬币，抛掷后共有种可能性：正面朝上、反面朝上，所以每次抛掷后正面朝上的概率均为．
【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上，
第次抛掷，正面朝上的概率是．
故选：B．
6．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，电路图上有一个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 ．
【答案】
【知识点】列举法求概率
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键．根据题意列举随机闭合两个开关的所有情况，以及能使小灯泡发光的情况，从而完成求解．
【详解】解：由题意得，随机闭合两个开关有 、 、 、 、 、 六种情况，其中能使小灯泡发光的有 、 ，即2种，
∴小灯泡发光的概率为；
故答案为：．
7．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）产品质量是企业的生命，也是企业发展长远的根本，做好产品质量检测是一件非常重要的事情．某零件厂生产了5件规格一样的产品，因某道工序的不合理产生了2件次品，现从中不分先后一次性任意抽取3件进行检验．（记3件正品分别为，，，2件次品分别为，）
(1)列出“从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件产品”的所有等可能结果；
(2)求抽得的3件产品中至少含1件次品的概率．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率
【分析】此题考查了列举法求概率．
（1）根据题意列举出所有等可能结果即可；
（2）利用概率公式进行解答即可．
【详解】（1）解：从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件的所有等可能的结果有，，，，，，，，，．
（2）解：由（1）得基本事件的总数为，
其中抽取的3件产品中没有次品的结果有种．
∴抽得的3件产品中至少含1件次品的概率为．
8．（24-25九年级上·河北唐山·期末）三张卡片正面分别写有，，，除正面的数字不同外，其余均相同．
(1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽到的数字是偶数的概率为_____________；
(2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，记正面数字为点的横坐标，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，记正面数字为点的纵坐标，请在表格中补全两次取出的卡片上数字所形成的点坐标所有可能的结果，并求出点在反比例函数的图象上的概率．
【答案】(1)；
(2)补全表格见解析；点在反比例函数的图象上的概率为．
【知识点】列举法求概率
【分析】本题主要考查了随机事件的概率．先求出所有等可能出现的情况的数量，再求出要求出现的事件的数量，根据概率公计算即可．
从，，三个数中随机抽一个数，共有三种等可能的情况，因为只有是偶数，所以抽到偶数的可能性只有一种，所以抽到偶数的概率为；
列表把所有等可能出现的情况都列出来，共有种情况，其中在反比例函数上的情况只有种，所以点在反比例函数的图象上的概率为．
【详解】（1）解：，，中只有是偶数，
抽到的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
（2）解：补充表格如下
共有种结果，只有和在反比例函数上，
点在反比例函数的图象上的概率为．
题型三 列表法或树状图法求概率（共4小题）
9．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）学校在世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．李华去学校图书馆借阅书籍，准备从《九章算术》、《孙子算经》、《周髀算经》、《几何原本》中随机选择一本，再准备从《西游记》、《水浒传》、《三国演义》中随机选择一本、恰好选中《九章算术》和《西游记》的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率计算的方法是解题的关键．
根据列表法解题即可．
【详解】解：分别用表示《九章算术》、《孙子算经》、《周髀算经》、《几何原本》、《西游记》、《水浒传》、《三国演义》，
用列表法列举出所有可能：
一共有12种等可能的情况，恰好选中《九章算术》和《西游记》为，只有一种，
∴概率为：．
故选：A ．
10．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）某一物理实验的电路图如图所示，其中，，为电路开关，、为能正常发光的灯泡．任意闭合开关，，中的两个，那么能让灯泡发光的概率为 ．

【答案】
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
列表得出共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果有2种，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：由电路图可知，闭合开关和，能让灯泡发光，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果有2种，即，，
能让灯泡发光的概率为，
故答案为：．
11．（24-25九年级上·云南红河·期末）随着科技的发展，改变的不仅仅是人们的生活水平，就连购物的模式和支付方式也在发生着天翻地覆的改变，除了现金、银行卡支付以外．还有微信、支付宝以及其他支付方式．在学校组织的远足活动中，小华和小丽去“零食很能嗨”便利店购物，她们准备从微信、支付宝、银行卡、现金四种支付方式中选一种方式进行支付，记小华的选择为x，小丽的选择为y．
(1)请用画树状图法或列表法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
(2)求出小华、小丽两人恰好选择相同支付方式的概率P．
【答案】(1)16
(2)
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了画树状图法求概率，
（1）根据题意画出树状图，然后根据画树状图法求概率即可，
（2）由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案.
【详解】（1）解：设微信、支付宝、银行卡、现金四种支付方式分别用、、、表示，
根据题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，
（2）他们的选择共有种等可能的结果，其中两人恰好选择相同支付方式的结果数有种，
∴两人恰好选择相同支付方式的概率．
12．（25-26九年级上·全国·期末）某校举行“春天诵诗”比赛，将参赛选手的成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)求B等级选手的人数为 ，m的值为 ；
(2)学校从成绩为A等级的学生中选2人去参加县里比赛．已知A等级学生中有2名男生1名女生，请用列表法或画树状图求出所选2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)5；40
(2)恰好是一名男生和一名女生的概率为
【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用列表法或者树状图法求概率，弄清题意是解题的关键．
（1）用A等级的人数除以其所占比例即可得到总参赛人数，用总人数减去A、C、D等级人数和即可得到B等级人数，用C等级人数除以总人数即可求出m的值；
（2）利用列表法得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，利用概率公式即可求解．
【详解】（1）解：参赛选手的总人数为人，
∴B等级选手的人数为：，
C等级所占的百分比为 ，
故答案为：5；40；
（2）解：列表如下：
所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，
则P恰好是一名男生和一名女生．
题型四 游戏的公平性（共4小题）
13．（24-25九年级上·广东江门·期末）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”）
【答案】不公平
【知识点】游戏的公平性
【分析】本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可．
【详解】解：由题可列表如下：
由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果，
∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∵，
∴这个游戏不公平，
故答案为：不公平．
14．（22-23九年级下·广东云浮·期末）甲、乙两班进行篮球比赛，裁判员采用同时抛掷两枚完全相同硬币的方法选择比赛场地：若两枚硬币朝上的面相同，则甲班先选择场地；否则乙班先选择场地．为了判断这种方法的公平性，明明画出树状图如图所示，根据树状图，这种选择场地的方法对两个班级 ．（填“公平”或“不公平”）

【答案】公平
【知识点】游戏的公平性
【分析】要判断这种方法是否公平，只要看所选取的方法，使这两个队优先选择比赛场地的可能性是否相等即可．
【详解】解：根据题意画树状图如下：

由上图可知，
甲班优先选择场地的概率，
乙班优先选择场地的概率，
故这两个队优先选择比赛场地的可能性相等，
∴这种选择场地的方法对两个班级公平．
故答案为：公平．
【点睛】本题主要考查了游戏规则公平性的判断，会画树状图求等概率事件的概率是做出本题的关键．
15．（24-25九年级上·安徽六安·期末）小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜．
问上述游戏规则公平吗？请说明理由．
【答案】不公平，理由见详解
【知识点】游戏的公平性、轴对称图形的识别
【分析】本题考查了概率的计算与游戏公平性的判断，具体涉及以下知识点：等可能事件概率的计算，游戏公平性的标准，轴对称图形的概念应用，理解这些是计算相关概率的关键前提．
分别计算出小华获胜和妹妹获胜的概率，通过找出妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的所有情况，来计算小华获胜的概率；用总情况数减去小华获胜的情况数得到妹妹获胜的情况数，进而计算妹妹获胜的概率
【详解】解：妹妹从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，
所以总共有 6 种等可能的结果．
通过观察图形，我们发现妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的情况有 4 种，
小华获胜的概率：．
妹妹获胜的概率：．
因为，即小华获胜的概率大于妹妹获胜的概率，
所以此游戏规则不公平．
16．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标
(1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标．
(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由．
【答案】(1)图见解析，，，，，，，，，，，，
(2)公平，理由见解析
【知识点】游戏的公平性、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，概率的计算．
（1）画树状图列出所有等可能的结果，根据x，y对应的值写出坐标即可；
（2）根据概率公式计算出小明、小红获胜的概率，即可求解．
【详解】（1）解：画树状图为：

共12种等可能的结果，
点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，．
（2）解：点M的坐标为，，，，，时，x、y若满足，
小明胜的概率为：，小红胜的概率为：，
这个游戏公平．
题型五 概率的实际应用（共6小题）
17．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）如图是可以自由转动的转盘，转盘被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3，转盘停止后，则指针指向的数字为奇数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】概率的其他应用
【分析】根据概率公式求解．
【详解】解：由转盘被等分成三个扇形可知：有3种等可能的结果，转盘停止后指向奇数的情况有2种，
所以指针指向的数字为奇数的概率是．
故选D．
【点睛】本题考查的是概率公式的应用，正确理解题意是解题的关键．
18．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为 ．
【答案】126
【知识点】概率的其他应用
【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键．
根据题意转化为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间，得到共有9个位置，进而求解即可．
【详解】解：∵路上有12盏路灯，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，
∴可以理解为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间
∴共有9个位置
∴（盏）．
∴不同的关灯方案种数为126盏．
故答案为：126．
19．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率、概率在比赛中的应用
【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题．
（2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题．
【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输，
第1局甲当裁判，
第2局甲为选手，
每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，
第2局甲获胜，
第4局甲当裁判的概率；
（2）解：第1局甲当裁判，
乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局，
当在第2局时的概率，
当在第3局时的概率，
当在第4局时的概率，
乙恰好当1次裁判的概率．
20．（22-23九年级上·江西吉安·期末）某班为表彰期中考试进步比较快的三名学生小敏，小明和小川，班主任准备了四件奖品，现将奖品名称写在纸片上，并将纸片无字的一面朝上扣在桌面上，设奖品分别为A，A，B，B，为了提高趣味性，班主任规定，每人先后取一张纸片，若前两名同学选完后，剩下的两件是一样的奖品，则第三名同学可得到所剩两件奖品．若小敏先取一张纸片后小明取．
(1)求小敏与小明均取到奖品A的概率；
(2)求小川得到两件奖品的概率．
【答案】(1)
(2)
【知识点】概率的其他应用、列表法或树状图法求概率
【分析】（1）先根据题意画出树状图，确定所有可能数和满足题意得可能数，然后根据概率公式计算即可；
（2）由题意可知：当小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B时，小川可得到所剩的两件奖品，然后再根据（1）中的树状图可知小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B的情况有4种，然后运用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中小敏与小明均抽到奖品A的情况有2种，故所求概率为：．
（2）解：由题意可知当小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B时，小川可得到所剩的两件奖品，
由（1）中的树状图可知小敏和小明都抽到奖品A或都抽到奖品B的情况有4种．
故小川得到两件奖品的概率为：．
【点睛】本题主要考查了列树状图求概率、互斥事件等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
21．（22-23九年级上·河南平顶山·期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：
方案一：是直接获得20元的礼金卷；
方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．
(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．
(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．
【答案】(1)
(2)方案一比较实惠
【知识点】概率在转盘抽奖中的应用、列表法或树状图法求概率
【分析】（1）根据题意列出表格，然后根据概率公式求出结果即可；
（2）先分别算出指针指在两个红色区域，两个蓝色区域的概率，算出按方案二获得礼金券的平均值，最后进行比较即可得出答案．
【详解】（1）解：列表格如下：
∵由表格可知，共有9种等可能结果，其中转盘指针分别指向一红区和一蓝区的情况数有5种，
∴两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．
（2）解：∵，
∴如果选择方案二，获得礼金券的平均值为：
（元），
∵，
∴选择方案一比较实惠．
【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意列出表格或画出树状图，熟练掌握概率的基本公式．
22．（23-24九年级上·河北沧州·期末）某商场为吸引消费者，举行幸运大转盘活动，规定顾客消费满100元就可获得转如图所示的转盘（转盘被平均分成3份）的机会．为了活跃气氛，该商场设计了两个方案：
方案一：转动转盘一次，若指针指向数字1可领取一份奖品；
方案二：转动转盘两次，若两次指针指向的数字之和为奇数可领取一份奖品．（若指针指向分界线，则重转）
(1)若转动转盘一次，则领取到一份奖品的概率为________；
(2)若转动转盘两次，用树状图列举出所有等可能出现的结果；
(3)如果你获得转动转盘的机会，想要领取到奖品，你会选择哪个方案？并说明理由．
【答案】(1)
(2)图见解析，共有9种等可能的结果
(3)会选择方案二；理由见解析
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率、概率在转盘抽奖中的应用
【分析】本题考查了概率公式以及列表法与树状图法求概率，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）利用概率公式求解；
（2）根据题意画出树状图即可解决；
（3）利用（2）中树状图求出方案二中领取一份奖品的概率，然后比较两个方案中领取一份奖品的概率的大小来判断选择哪个方案．
【详解】（1）解：若转动一次转盘，指针指向数字1的概率为，
故答案为：；
（2）解：树状图如图，共有9种等可能的结果；
（3）解：会选择方案二．
理由：由（2）可得，方案二中，领取到一份奖品的概率为，
，
选择方案二．
题型六 用频率估计概率（共5小题）
23．（23-24九年级上·青海果洛·期末）学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求某事件的频率
【分析】本题考查的是频率的计算应用． 频率∶每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率，熟知频率公式是解题的关键；
由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案．
【详解】骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，
掷得朝上一面的点数是6的频率为：，
故选：B．
24．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1，有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积，进行了模拟实验，将不规则图案放在边长为的正方形内部．通过计算机随机投放一个点到正方形内部，并记录该点落在不规则图案上的次数，得到如下数据．
由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题考查了根据正方形的性质求面积，由频率估计概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
用随机点估计不规则图形面积的方法，基于比例关系求解．
【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率．
设不规则图案的面积为，则有，
解得：，
即不规则图案的面积为．
故选：C．
25．（24-25九年级上·河北张家口·期末）一个不透明的箱子里放有若干个白球，为了估计白球的数量，将8个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为 个．
【答案】12
【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率
【分析】根据频率估计概率，红球出现的频率稳定在附近，即红球的概率为，利用概率公式列方程求解白球数量．
【详解】解：设白球有x个，则总球数为个．
根据题意得：．
，
即，
移项得，
即，
解得．
检验：当时，分母，方程成立．
故答案为12．
26．（24-25九年级上·陕西西安·期末）一个不透明的袋子中共装有4个小球，其中2个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次
(1)随机摸球10次，其中摸出白球3次，则这10次摸球中，摸出白球的频率是______；
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】(1)
(2)
【知识点】列表法或树状图法求概率、求某事件的频率
【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键．
（1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可；
（2）画出树状图可得，共有16种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有4种结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是；
故答案为：；
（2）解：画树状图得，
共有16种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有4种结果，
∴．
故两次摸出的小球都是红球的概率为．
27．（23-24九年级上·山东烟台·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________；随机摸出一个球，摸到白球的概率是___________，摸到黑球的概率是___________；（保留两位小数）
(2)试估算，口袋中黑球的个数是________，白球的个数是___________；
(3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率．
【答案】(1)，，
(2)1，3
(3)
【知识点】由频率估计概率、列表法或树状图法求概率、已知概率求数量
【分析】（1）本题考查了由频率估计概率，随着n的增大，频率逐渐稳定在，即得到摸到白球的概率，从而得到摸到黑球的概率．
（2）本题考查了概率的相关计算，根据概率乘以总数即可解题．
（3）本题考查了用树状图求概率，根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同的情况数再除以总的情况数，即可解题．
【详解】（1）解：由题意知，摸到白球的频率逐渐接近：，
则摸到白球的概率可看作：，
摸到黑球的概率：．
故答案为：，，；
（2）解：由（1）可知摸到白球的概率为，摸到黑球的概率为，而小球总数为4，
所以口袋中黑球的个数：，
口袋中白球的个数：．
故答案为：1，3；
（3）解：画树状图如下，
共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有10种情况，
两次摸到的球的颜色正好相同的概率为．
题型七 用频率估计概率的综合应用（共5小题）
28．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某植物研究院培育的新品植株的成活率约为，若在相同条件下培育50棵同种植株，则成活的植株约为（ ）
A．45棵B．5棵C．20棵D．40棵
【答案】A
【知识点】用频率估计概率的综合应用
【分析】本题主要考查百分率的知识．利用“总数×成活率=成活棵树”计算求解．
【详解】解：（棵），
故选：A．
29．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在一个不透明的盒子中共装有40个球，其中有a个红球，这些球除颜色外无其它差别．数学兴趣小组做摸球试验，将盒子里面的球充分搅匀，任意摸出1个球记下颜色再放回，不断重复上述过程，记录实验数据如下：
根据以上数据，估计a的值约为 ．
【答案】24
【知识点】用频率估计概率的综合应用
【分析】本题考查了利用频率估计概率的方法，根据利用频率估计概率，由于摸到红球的频率稳定在左右，由此可估计摸到红球的概率为，进而可估计口袋中红球的个数，从而得到红球的个数．
【详解】解：根据表格，摸到红球的频率稳定在左右，所以摸一次摸到红球的概率为，
则可估计口袋中红球的个数约为(个)
故答案为： ．
30．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中放入3个除了颜色外其余均相同的白球，从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，请估计袋子中红球的个数．
【答案】17个
【知识点】用频率估计概率的综合应用
【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率公式求数量，根据摸到白球的频率稳定在0.15附近，得到摸到白球的概率为0.15，设袋子中红球的个数为个，利用概率公式列出方程求解即可．
【详解】解：设袋子中红球的个数为个，
根据题意得：，解得，
经检验是原方程的解，
估计袋子中红球的个数为17个．
31．（23-24九年级上·江西上饶·期末）某批乒乓球的质量检验结果如下：
(1)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？
(2)从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．
①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
【答案】(1)
(2)①；②9个
【知识点】根据概率公式计算概率、由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用
【分析】本题主要考查利用频率估计概率：
（1）根据频率估计概率，频率都在0.946左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；
（2）①用黄球的个数除以球的总个数即可；②设从袋中取出了x个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于， 列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.946；
（2）解：①∵袋中一共有球个，其中有5个黄球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：；
②设从袋中取出了个黑球，由题意得
，解得，
故至少取出了9个黑球．
32．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示：
根据表中数据，回答下列问题：
(1)表中______，______；
(2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）；
(3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？
【答案】(1)，50
(2)
(3)这片鱼塘的价值大约是80000元．
【知识点】用频率估计概率的综合应用
【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
（1）根据频率=频数÷总数求解即可；
（2）利用频率估计概率即可；
（3）用200除以打捞到的鱼是带标记的鱼的概率可得总条数，再计算总钱数即可．
【详解】（1）解：，；
故答案为：，50；
（2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为；
故答案为：；
（3）解：这个鱼塘中鱼约有（条），
（元），
答：这片鱼塘的价值大约是80000元．
题型八 正投影（共2小题）
33．（24-25九年级上·山东威海·期末）线段是线段的正投影，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】正投影
【分析】本题考查了正投影，熟练掌握正投影的概念是解题的关键．根据正投影的概念即可解答．
【详解】解：根据正投影的定义可知，当与投影面平行时，；
当与投影面不平行时，；
综上所述，．
故选：C．
34．（23-24九年级上·山东济南·期末）线段的正投影，其形状可能是 ．（写出一个即可）
【答案】线段或点
【知识点】正投影
【分析】本题考查正投影．根据题意，线段的正投影可能是线段，也可能是一个点，进行作答即可．掌握正投影的定义，是解题的关键．
【详解】解：线段的正投影，其形状可能是线段，也可能是一个点，
故答案为：线段或点．
题型九 平行投影（共4小题）
35．（24-25九年级上·陕西西安·期末）在有阳光的某天下午，咱区某初中的小明，在不同时刻对一景物拍了三张风景照m、n、r，冲洗后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度，则m、n、r的先后顺序是（ ）
A．m、r、nB．m、n、rC．r、m、nD．r、n、m
【答案】D
【知识点】平行投影
【分析】本题主要考查了平行投影，正确掌握平行投影的性质是解题关键．
直接利用平行投影的性质，结合影子与物体长度关系分析得出答案．
【详解】解：由题意可得：都是下午拍摄，影子越长说明太阳倾斜越大，
投影长度，
∴m、n、r的先后顺序是r、n、m．
故选：D．
36．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）如图，日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器．史料中最早的记载是“汉书·律历志·制汉历”一节：太史令司马迁建议共议“乃定东西，主晷仪，下刻漏”．看来日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，晷针在晷面上所形成的投影属于 投影．
【答案】平行
【知识点】平行投影
【分析】本题考查了平行投影的概念，理解其概念是解题的关键．
根据太阳光是平行光线可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．
【详解】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影．
故答案为：平行 ．
37．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）某一时刻，一棵树在阳光下的影子如图所示，同一时刻，小丽站在A处，树和小丽均垂直于地面．请画出图中此时表示小丽影长的线段．
【答案】见详解
【知识点】平行投影
【分析】本题考查平行投影，掌握相关知识是解题关键．根据树顶端与树影顶端确定光线方向，利用太阳光线都是平行的性质画出过小丽头部顶端的光线，则其影子即可得．
【详解】解：连接树顶端与树影顶端，过小丽头部顶端E作交直线于点B，则线段即为所求．
38．（24-25九年级上·广东清远·期末）小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，．
(1)①图中阳光下的影子属于______投影；
②线段与线段之间的位置关系为______．
(2)已知小军的身高为米，求建筑物的高．
【答案】(1)①平行；②；
(2)建筑物的高为15米．
【知识点】相似三角形实际应用、平行投影
【分析】本题考查了相似三角形的应用-平行投影问题．
（1）①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影；
②太阳光是平行光线，则；
（2）证明，根据相似三角形的性质作答即可．
【详解】（1）解：①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影．
故答案为：平行；
②太阳光是平行光线，则．
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴建筑物的高为15米．
题型十 中心投影 （共4小题）
39．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，晚上小颖在路灯下散步，在小颖由处走到处的过程中（在之间），小颖在地上的影子（ ）
A．先变短后变长B．逐渐变短C．先变长后变短D．逐渐变长
【答案】A
【知识点】中心投影
【分析】本题考查了中心投影的性质，根据题意作图分析是解题的关键．
根据中心投影的性质“物体的影子长度与物体和光源的距离有关，当物体与光源的距离变小时，影子会变短；方物体与光源的距离变大时，影子会变长”，由此作图分析即可．
【详解】解：根据题意，作图如下，
表示小颖在点的位置，表示小颖在点的位置，点表示路灯，
当小颖在点的位置时，光线经过小颖后，形成影子，当小颖在点的位置时，光线经过小颖后，形成影子，，，
小颖由点到点时，小颖与光源的距离逐渐减小，影子逐渐变短；
小颖由点到点时，小颖与光源的距离逐渐增大，影子逐渐变长；
∴小颖在地上的影子先变短后变长，
故选：A ．
40．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如果两根木杆垂直立在地面上，其中一根的影子的方向为正东方，另一根的影子的方向为正西方，那么这是 投影（填“中心”或“平行”）
【答案】中心
【知识点】中心投影
【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律， 熟记中心投影的特点和规律是解题的关键．
平行投影的影子只能在同侧，中心投影的影子可以在两侧，根据中心投影的特点解答即可．
【详解】解：∵两根木杆的影子方向不同，
∴这是中心投影．
故答案为：中心．
41．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，木杆和与地面垂直，木杆在路灯O下的影子为，木杆在路灯O下的影子为，已知点D，G，F，H在一条直线上，，，请在图中画出路灯O．
【答案】作图见详解
【知识点】中心投影、相似三角形实际应用
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质在中心投影问题中的应用．通过连接物体顶端与影子顶端的光线，找到路灯位置．
【详解】解：如图，路灯O为所求，
作法：连接，，延长，交与点O，此时点O即路灯为所求．
42．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图是小彬晚上在路灯下散步的示意图，图中线段表示站立在路灯下的小彬，线段表示直立在路边的灯杆，点表示路灯的位置．在同一直线上）
(1)在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为_____．
(2)请你在图中画出小彬站在处的影子．
(3)当小彬走到处时，身高（）为的小彬的影长为，路灯的高度是多少米？
【答案】(1)先变短后变长；
(2)见解析
(3)路灯的高度是米．
【知识点】中心投影、相似三角形实际应用
【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据光是沿直线传播的道理分析即可；
（2）连接并延长交直线于点，线段即为小亮站在处的影子；
（3）连接并延长交直线于点，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）解：在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为先变短后变长，
故答案为：先变短后变长；
（2）解：如图，线段即为所求作影子；
（3）解：如图，连接并延长交直线于点，
由题意可知，，，，
，
，
，
，
，
，
即路灯的高度是米．
题型十一 判断几何体的三视图 （共5小题）
43．（24-25九年级上·四川成都·期末）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是解题的关键．根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可．
【详解】解：这个几何体的主视图如下：
故选：A．
44．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】判断非实心几何体的三视图
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图指从物体的正面看，左视图是指从物体的左面看，俯视图是指从物体的上面看．根据从左面看到的图形是左视图可得答案．
【详解】解：该几何体的左视图为一个长方形，长方形的中间有2条横向的虚线．
故选：D．
45．（25-26九年级上·全国·期末）如图，该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查了三视图，根据左视图的定义进行解答即可．
【详解】
解：该几何体的左视图是，
故选：D．
46．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图所示的几何体图形中，俯视图是圆的有 （填序号）．

【答案】①④
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题考查了几何体的三视图，理解 “从上面看几何体，所看到的视图是俯视图．”，会看出几何体的三视图是解题的关键．
【详解】
解：①圆柱的俯视图为 ；
②圆锥的俯视图是 ；
③长方体的俯视图是 ；
④球的俯视图是 ；
故答案：①④．
47．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）如图，有4张除了正面图案不同，其余都相同的卡片．
(1)这四张卡片上的立体图形中，主视图是矩形的有________（填字母序号）；
(2)将这四张卡片背面朝上混合均匀，从中随机抽出一张后放回，混合均匀后再随机抽出一张，求两次抽出的卡片上的立体图形的主视图都是矩形的概率．
【答案】(1)A，D
(2)
【知识点】列表法或树状图法求概率、判断简单几何体的三视图
【分析】本题考查了由三视图判断几何体、概率的计算公式等知识，解题的关键是能够写出每个几何体的主视图及利用列表法将等可能的所有结果列举出来，难度不大．
（1）分别写出每个几何体的主视图，然后即可确定答案；
（2）列表后将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：A的主视图为矩形；
B的主视图是圆；
C主视图为等腰三角形；
D的主视图为矩形，
故答案为：A，D；
（2）解：列表可得
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的立体图形的主视图都是矩形的有4种，所以两次抽出的卡片上的立体图形的主视图都是矩形的概率为．
题型十二 画几何体的三视图（共6小题）
48．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图所示的几何体，其左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】画简单组合体的三视图
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可．
【详解】解：在三视图中，实际存在而被遮挡的线用虚线表示，
此几何体从左边看如图，
故选：D．
49．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图是一种“工”型液压机的配件，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】画简单几何体的三视图
【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．
【详解】解：从物体左面看，是一个长方形，长方形的内部有两条横向的实线．
故选：A．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有看到的棱都应表现在三视图中．
50．（24-25九年级上·海南·期末）如图所示，几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左面看到的图叫做左视图进行分析，即可作答．
【详解】
解： 的左视图是
故选：A．
51．（24-25九年级上·全国·期末）补全下列几何体的三视图．
【答案】详见解析
【知识点】画简单几何体的三视图
【分析】本题考查了作几何体的三视图，通过从正面、侧面和上方三个不同角度观察几何体，绘制相应的视图即可
【详解】解：三视图如图所示：
52．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图．
【答案】见解析
【知识点】画简单组合体的三视图
【分析】本题考查了作图−三视图的画法，注意实线和虚线在三视图的用法．
画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．
【详解】如图所示．
53．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图是由7个相同的小正方体组成的几何体．请在网格中画出图示几何体的三视图．
【答案】见解析
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图
【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．根据三视图的作法，画图即可．
【详解】解：这个组合体的三视图如图所示：
题型十三 由三视图还原几何体 （共4小题）
54．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，根据三视图可知这个立体图形的名称为（ ）
A．圆锥B．三棱锥C．圆柱D．长方体
【答案】A
【知识点】由三视图还原几何体
【分析】本题考查了三视图，掌握常见几何体的三视图特征是解题关键．
根据圆锥的三视图特征判断即可．
【详解】解：由图形可得：其主视图和俯视图为三角形，左视图为圆，符合圆锥的三视图特征，
故选：A．
55．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】由三视图还原几何体
【分析】本题考查了由三视图判定几何体的形状，熟练掌握相关概念是解题关键．主视图从几何体的正前方向正后方观察得到的视图，主要反映几何体的长度和高度；左视图从几何体的正左方向正右方观察得到的视图，主要反映几何体的宽度和高度；俯视图反映几何体的长和宽；通过对比最终确定符合条件的几何体．
【详解】解：A、其主视图是一个三角形和一个矩形组合，左视图也是一个三角形和一个矩形组合，俯视图是两个矩形组合，与题目所给三视图不一致，不符合题意；
B、其主视图是两个矩形，左视图是一个三角形和一个矩形组合(三角形在上方)，俯视图是一个矩形，与题目所给三视图不一致，不符合题意；
C、主视图是两个矩形(上下排列)，左视图是一个直角梯形(直角边在左侧)，俯视图是一个矩形，与题目所给的主视图、左视图、俯视图都相符，符合题意；
D、其主视图是两个矩形(上下排列且上面矩形较小)，左视图是两个矩形(上下排列)，俯视图是两个矩形(左右排列)，与题目所给三视图不一致，不符合题意；
故选：C．
56．（24-25九年级上·广东清远·期末）一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，左视图是圆，这个几何体可能是 ．
【答案】圆柱
【知识点】由三视图还原几何体
【分析】本题考查三视图，关键是空间想象能力．根据三种视图的形状可得答案．
【详解】解：一个几何体的主视图和俯视图都是矩形，而左视图是圆，
该几何体可能是圆柱．
故答案为：圆柱
57．（22-23九年级上·陕西榆林·期末）如图是一个组合（由两种常见的几何体组合）几何体的两种视图．
(1)请写出这个组合几何体是由哪两种几何体组成的；
(2)画出该组合几何体的左视图．
【答案】(1)由圆柱体与长方体组成
(2)见解析
【知识点】画简单组合体的三视图、由三视图还原几何体
【分析】（1）由主视图与俯视图即可得出原几何体；
（2）根据（1）中结果得出左视图与主视图一样即可．
【详解】（1）解：根据题意得：这个几何体的上面是圆柱体，下面是长方体，
故由圆柱体与长方体组成；
（2）由（1）得组合的几何体为圆柱体与长方体，
∴左视图与主视图一样，如图所示：
【点睛】题目主要考查根据三视图判断几何体及三视图的作法，熟练掌握三视图的基本作法是解题关键．
题型十四 已知三视图求值（共10小题）
58．（24-25九年级上·河南郑州·期末）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】已知三视图求体积、由三视图还原几何体
【分析】本题考查了几何体的三视图，圆柱的体积，利用三视图还原几何体是解题关键．由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为，再根据圆柱的体积公式求解即可．
【详解】解：由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为，
则它的体积是，
故选：B．
59．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图所示，是一个几何体的俯视图和正视图（主视图），则该几何体的表面积为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】已知三视图求侧面积或表面积
【分析】本题主要考查几何体的三视图判断几何体形状及表面积的计算，根据三视图判断出几何的构成是关键．
先根据主视图和俯视图可知该几何体的地步是四棱柱，上面是圆柱体，再根据几何体的表面积公式计算可得．
【详解】解：根据主视图和俯视图可知该几何体的底部是四棱柱，上面是圆柱体，
∴几何体的表面积为，
故选：A．
60．（23-24九年级上·四川达州·期末）由5个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，关于它的视图，说法正确的是（ ）
A．主视图的面积最小B．左视图的面积最小
C．俯视图的面积最小D．三个方向看的视图面积相等
【答案】C
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、求几何体视图的面积
【分析】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是分别得到三视图的各个面积，比较即可．首先得出三视图：主视图：5个小正方形；左视图：5个小正方形；俯视图：3个小正方形；比较可知俯视图面积最小．
【详解】解：如图：
主视图：5个小正方形；
左视图：5个小正方形；
俯视图：3个小正方形；
则俯视图的面积最小．
故选：C．
61．（25-26九年级上·全国·期末）一个几何体的三视图如图所示（单位：mm），这个几何体的表面积是 ．
【答案】
【知识点】已知三视图求侧面积或表面积
【分析】由三视图可知，该几何体底面是直角边为的等腰直角三角形，高为的三棱柱，根据三棱柱的表面积公式求解即可．
【详解】解：这个几何体的表面积为：
；
故答案为．
62．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图是一个由铁铸灌成的几何体的三视图，根据图中所标数据，（主视图标注的数字为4、左视图标注的数字为6、俯视图标注的数字为2）铸灌这个几何体需要的铁铸的体积为 ．
【答案】
【知识点】已知三视图求体积
【分析】本题考查圆柱的三视图，圆柱的体积计算，关键是得到该几何体的形状．易得此几何体为空心圆柱，用大圆柱的体积减去小圆柱的体积即可．
【详解】解∶根据题意，得，
故答案为∶ ．
63．（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，这是一个放在水平桌面上的半球体，它的底面圆的半径为，该几何体的主视图的面积为 ．
【答案】
【知识点】求几何体视图的面积、判断简单几何体的三视图
【分析】本题考查了简单几何体的主视图以及圆的面积计算，解题的关键是明确半球体主视图的形状为半圆，并运用半圆面积公式求解．
先确定半球体主视图是半圆，再根据半圆面积公式，结合已知底面圆半径计算主视图面积．
【详解】解：主视图为半圆，半圆的面积=．
故答案为：．
64．（24-25九年级上·山东威海·期末）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示．求该工件的体积．
【答案】
【知识点】由三视图还原几何体、已知三视图求体积
【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆柱体体积的计算，正确得到几何体的形状是解题关键．
根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和，利用圆柱体体积的计算公式即可求解．
【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，
底面直径分别是和，
高分别是和，
体积为：．
答：该工件的体积是．
65．（22-23九年级上·河北邢台·期末）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点出发，沿表面爬到的中点，请你求出这条线路的最短路径．
【答案】
【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、已知三视图求边长
【分析】根据三视图可知这个几何体是圆柱，画出侧面展开图，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据三视图可知这个几何体是圆柱，侧面展开图如图，
∵底面直径为，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即这条线路的最短路径为．
【点睛】本题考查了三视图，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
66．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图是一个几何体的三种视图．
(1)这个几何体的名称是________；
(2)根据图中尺寸，计算这个几何体的侧面积．（结果保留）
【答案】(1)圆柱
(2)
【知识点】已知三视图求侧面积或表面积、由三视图还原几何体
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及圆柱的侧面积公式．
（1）根据俯视图和左视图可以判断出该几何体是柱体，根据主视图判断为圆柱；
（2）根据圆柱的底面直径和高，再利用圆柱的侧面积公式计算即可；
【详解】（1）解：根据三视图即可得出该几何体是圆柱，
故答案为：圆柱．
（2）解：由图可知，圆柱的底面圆的直径是4，高为6，
则圆柱的侧面积为：．
∴这个几何体的侧面积为．
67．（23-24九年级上·四川达州·期末）把边长为1个单位的6个相同正方体摆成如图的形式．
(1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图；
(2)直接写出该几何体的表面积为 ；
(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加 个小正方体．
【答案】(1)见详解
(2)26
(3)2
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、求小立方块堆砌图形的表面积、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数
【分析】本题主要考查了作图—三视图、几何体的表面积等知识，掌握相关知识是解题关键．
（1）根据主视图、左视图、俯视图的定义作图即可；
（2）三视图的面积和的2倍，再加上被挡住的面即可；
（3）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置，即可获得答案．
【详解】（1）解：如下图所示：
（2）解：该几何体的表面积为，
故答案为：26；
（3）解：最多可以再添加2个正方体，如下图，
故答案为：2．
题型十五 由三视图，判断小立方体的个数（共5小题）
68．（23-24九年级上·河北衡水·期末）一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【知识点】由三视图，判断小立方体的个数、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数
【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，在俯视图小正方形上标记主视图两列的个数，再分析即可．
【详解】解：综合俯视图和主视图，可得下图：
∴这个几何体的右边一列有3个小正方体，左边一列两层都是2个小正方体时，组成这个几何体的小正方块最多，
所以组成这个几何体的小正方块最多有块．
故选：B．
69．（23-24九年级上·山东滨州·期末）在一张桌子上摆放着一些形状、大小都相同的碟子，从3个方向看到的图形如图所示，则这个桌子上的碟子总个数是（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【知识点】由三视图，判断小立方体的个数
【分析】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图和左视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出碟子的个数．从俯视图可得：碟子共有3摞，结合主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，相加可得答案．
【详解】解：由俯视图可得：碟子共有3摞，
由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如图所示：
故这张桌子上碟子的个数为（个），
故选：B．
70．（24-25九年级上·全国·期末）有n个形状大小都相同的小正方体叠放在一堆后，有如下三视图，则n等于 ．
【答案】6
【知识点】由三视图，判断小立方体的个数
【分析】考查由视图判断几何体，由俯视图可得几何体最底层正方体的个数及正方体摆放的形状，按照正视图可得第二层最多有3个正方体，第3层最多有2个正方体，由左视图可得应把正视图得到第二层和第3层正方体的个数各减去1个，把正方体的个数相加即可．
【详解】解：∵俯视图中有3个正方形，
∴组合几何体最底层有3个正方体，
∵由正视图可得第二层最多有3个正方体，第3层最多有2个正方体，
由左视图可得应把正视图得到第二层和第3层正方体的个数各减去1个，
∴组合几何体第2层有2个正方体，第三层有1个正方体，
∴组合几何体共有个正方体．
故答案为：6．
71．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
(1)请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图；
(2)该几何体的表面积（含下底面）是______；
(3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加____个小立方块．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)3
【知识点】画小立方块堆砌图形的三视图、求小立方块堆砌图形的表面积、由三视图，判断小立方体的个数
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，关键是掌握在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．
（1）根据俯视图是从上面看到的图形，左视图是从左面看到的图形进行画图即可；
（2）分别找到前后左右上下六个面中露在外面的小正方体的面的个数，再根据每个面的面积为1进行求解即可；
（3）若使该几何体俯视图和左视图不变，可在从左数第1列后排和中间一排的小正方体上分别添加1，2块小正方体．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：表面积为，
故答案为：30；
（3）解：要使俯视图不变，可以在左边一列前排和后排添加无数个小正方体，在中间一列的后排都添上无数个正方体，在右边一列后排添加无数个小正方体，要想左视图不变，则可以在左边一列的后排添上一个正方体，中间一排添加两个小正方体，
∴要同时保证左视图和俯视图不变，则最多可以添加个小正方体，
故答案为：3．
72．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）用多个相同的小立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中字母表示该位置小立方块的个数，请解答下列问题：
(1)______，______，______．
(2)这个几何体最少由______个小立方块搭成，最多由______个小立方块搭成．
(3)若，，请画出这个几何体的左视图．
【答案】(1)，，
(2)，
(3)见解析
【知识点】已知三视图求最多或最少的小立方块的个数、由三视图，判断小立方体的个数、画小立方块堆砌图形的三视图
【分析】此题考查了小立方体组成的几何图形，
（1）根据主视图结合俯视图直接解答即可；
（2）由主视图得，中有一个等于时，小立方体个数最少，当 时，小立方体个数最多；
（3）根据三视图的要求画图即可．
【详解】（1）解：根据主视图可知第一列的高度为，故，第二列的高度为，故，
故答案为：，，；
（2）由主视图得，中有一个等于时，小立方体个数最少，最少个数为：；
当时，小立方体个数最多，最多个数为：；
故答案为：，；
（3）左视图如图：
第一次第二次

男
男
女
男
(男， 男)
(男， 女)
男
(男， 男)
(男， 女)
女
(女，男)
(女， 男)
2
3
4
2
4
5
6
3
5
6
7
4
6
7
8
指针指向
两红
一红一蓝
两蓝
礼金券（元）
27
9
27
蓝
蓝
红
蓝
（蓝，蓝）
（蓝，蓝）
（蓝，红）
红
（红，蓝）
（红，蓝）
（红，红）
红
（红，蓝）
（红，蓝）
（红，红）
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1 000
摸到白球的次数m
73
117
152
370
604
751
摸到白球的频率
摸球的次数n
20
50
100
200
300
400
500
摸到红球的次数m
9
32
62
117
181
238
301
摸到红球的频率
0.45
0.64
0.62
0.585
0.603
0.595
0.602
抽取的乒乓球数
200
500
1000
1500
2000
优等品频数
188
471
946
1426
1898
优等品频率
每次打捞鱼数
每次打捞鱼中带标记的鱼数
打捞到带标记的鱼的频率
A
B
C
D
A
B
C
D