2026年9年级上册人教版数学 期末考试专项训练含答案 专题12 期末真题百练通关（210题43大常考题型）

这是一份2026年9年级上册人教版数学 期末考试专项训练含答案 专题12 期末真题百练通关（210题43大常考题型），共10页。
1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、利用菱形的性质求角度
【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形典型在，求出是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得，进而根据得出，进而得出的度数，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴
∵，
∴
∴
故选：B．
2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为的菱形的位置如图所示，若，求点的坐标．
【答案】
【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、写出直角坐标系中点的坐标
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形，利用菱形的性质和勾股定理求出即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，边长为，，
∴，，，
∴，
∴．
3．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在菱形中，连接，点、分别是、上的点，连接，，，且．求证：．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定；根据菱形的性质可得，，，根据已知，得出，进而证明，根据全等三角形的对应边相等，即可得证．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
4．（24-25九年级上·四川成都·期末）在中，，现将沿翻折得到，连接交于点O，过点B作交于点E，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求四边形的周长．
【答案】(1)见详解
(2)
【知识点】折叠问题、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查勾股定理、菱形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及折叠的性质，熟练掌握勾股定理、菱形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及折叠的性质是解题的关键；
（1）由折叠的性质可知，，然后可得，则有四边形是平行四边形，进而根据菱形的判定定理可进行求证；
（2）根据菱形的性质可得，，然后利用根据勾股定理可得，从而得到，进而利用勾股定理求得，问题可求解．
【详解】（1）证明：∵将沿翻折得到，连接交C于点O，
∴，线段垂直平分，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理可得：，
在中，由勾股定理可得：，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴四边形的周长为．
5．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形的性质证明、根据菱形的性质与判定求面积
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）由四边形是平行四边形，可得，结合，即可证明；
（2）由（1）得，推出四边形是菱形，，得到，求出、，即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
又，
．（三线合一）
（2）解：由（1）得，
四边形是菱形，，
在中，，
，
，
， ，
，，
．
题型二 矩形的性质与判定（共10小题）
6．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】矩形性质理解
【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，对边平行且相等，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意；
B、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意；
C、矩形的对角线相等且平分，故，原结论一定正确，符合题意；
D、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意；
故选C．
7．（25-26九年级上·全国·期末）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】D
【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形
【分析】本题考查菱形和矩形的判定，根据矩形和菱形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：A、如图，在四边形中，，，显然四边形不是菱形．
故本选项的说法错误；
B、如A中的图，在四边形中，，显然四边形不是矩形．
故本选项的说法错误；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，而非菱形，故本选项的说法错误；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故本选项的说法正确．
故选：D．
8．（24-25九年级上·贵州·期末）一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的，黄色的三角形的面积是21，则该矩形的面积为（）

A．60B．70C．120D．140
【答案】A
【知识点】根据矩形的性质求面积
【分析】本题考查了矩形的性质以及面积的计算；关键是根据图得出黄色和绿色部分共占总面积的，再找出黄色面积占总面积的百分之几，进而根据除法的意义求解．黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的，而绿色三角形面积占矩形面积的，所以黄色三角形面积占矩形面积的，已知黄色三角形面积是21，用除法即可得出矩形的面积．
【详解】解：黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的，
矩形的面积，
，
，
故选：A．
9．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）在中，相交于点，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形
【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∵，，
∴是菱形；不符合题意；
B、∵，，
∴是菱形；不符合题意；
C、∵，，
∴是矩形，不能判定是菱形；符合题意；
D、∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是菱形；不符合题意；
故选C．
10．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【知识点】添一条件使四边形是矩形
【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，根据矩形的判定方法逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形为菱形，故此项错误；
B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形为菱形，故此项错误；
C、根据平行四边形中一个角等于，可证得四边形为距形，故此项正确；
D、平行四边形对角线平分一组对角，得，不能证明四边形为距形，故此项错误；
故选：C．
11．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在矩形中，，对角线相交于点O，过A作交于点E，将沿折叠，点B恰好落在线段的F点处，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，折叠的性质，由矩形的性质及勾股定理可得，进而由三角形的性质可得，再由勾股定理得，即可由折叠的性质得，最后由线段的和差关系即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
由折叠可得，，
∴，
故选：．
12．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．8
【答案】C
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质．
连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，
，，
四边形是矩形，
，
的最小值即为的最小值，
当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，
四边形是矩形，，
，
的最小值为．
故选：C．
13．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）在下列方案中，能够得到是的平分线的是（ ）
A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行B．方案Ⅰ、Ⅱ都可行
C．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】B
【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、利用矩形的性质证明
【分析】本题考查了菱形的性质与判定、矩形的性质，解题的关键是正确推理．
根据菱形的性质与判定和矩形的性质证明即可．
【详解】解：方案Ⅰ：
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
（菱形的性质），
是的平分线；
方案Ⅱ：
矩形，
（矩形的性质），
，，
，
，
是的平分线；
综上所述，方案Ⅰ、Ⅱ都可行．
故选：B．
14．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，菱形的对角线与相交于点O，E是的中点，且，则的长是 ．
【答案】6
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴是直角三角形，
∵点E是的中点，
∴．
故答案为：6．
15．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，矩形的边上有一动点E，以为边作平行四边形，且边过点D，若，，则平行四边形的面积为 （用含a，b的代数式表示）．
【答案】/
【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
连接，根据与平行四边形同底同高，进行计算求解即可．
【详解】解：连接，如图：
四边形是矩形，
、，
，
令以边为底上的高为，
，
平行四边形与三角形同底同高，
平行四边形以边为底上的高为，
，
，
即平行四边形的面积为，
故答案为：．
题型三 正方形的性质与判定（共8小题）
16．（24-25九年级上·江西吉安·期末）下列说法正确的是（ ）
A．两条对角线相等的菱形是正方形B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】A
【知识点】正方形的判定定理理解、矩形的判定定理理解、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，根据正方形的判定、平行四边形的判定和矩形的判定逐项判断即可求解，掌握以上判定定理是解题的关键．
【详解】解：、两条对角线相等的菱形是正方形，该选项说法正确，符合题意；
、对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项说法错误，不合题意；
、对角线相等的平行四边形是矩形，该选项说法错误，不合题意；
、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，该选项说法错误，不合题意；
故选：．
17．（24-25九年级上·广东清远·期末）下列的性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（ ）
A．对边相等B．对角相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直
【答案】D
【知识点】正方形性质理解、矩形性质理解
【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，比较正方形和矩形的性质，找出正方形具备而矩形不一定具备的特征即可．
【详解】解：正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直；而正方形的对角线不仅相等、互相平分，还互相垂直，
因此“对角线互相垂直”是正方形具备而矩形不一定具备的性质．
故选：D．
18．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】等边对等角、等边三角形的性质、根据正方形的性质求角度
【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解．
【详解】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线，
∴，，
∴，
∴
故选C．
19．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，将正方形折叠，使点A与的三等分点E重合，折痕为，设梯形的面积为，梯形的面积为，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题
【分析】分，或两种情况讨论，连接，设正方形边长为，设，则，设，则，在、、中运用勾股定理及翻折的性质，求得，最后运用梯形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵为边的三等分点，
∴，或，
如图，当时，连接，设正方形边长为，
由翻折知，，
设，则，设，则，
∵正方形，
∴，,
在中，，
∴，
∴，
∴，
在、中，，
∴，
∴，，
∵梯形面积为，梯形面积为，且,
∴；
如图，当时，
同理，；
综上，，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、翻折的性质、勾股定理、梯形的面积公式，求解的关键是利用勾股定理及翻折的性质建立等式．
20．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形是正方形的是（ ）
A．且B．且和互相平分
C．且D．且
【答案】D
【知识点】添一个条件使四边形是正方形、与三角形中位线有关的证明
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键．
根据三角形的中位线定理先证明四边形是平行四边形，再证明其是菱形，最后根据有一个角是直角的菱形的是正方形即可证明．
【详解】解：如图：
当且，四边形是正方形，理由如下：
∵点E，F，G，H分别是边的中点，
∴,，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，故D符合题意，而A、B、C均不能证明，不符合题意，
故选：D．
21．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形的边长为6，连接，点，在上，以为一边作正方形，点，分别在边，上，则正方形的周长为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，根据正方形的性质求出，再证明与是等腰直角三角形，得，从而得正方形的周长．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴与是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的周长为，
故答案为：．
22．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D是的中点，．过点D作且，连接．求证：四边形是正方形．
【答案】见解析
【知识点】证明四边形是正方形、证明四边形是矩形
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定，先证明，，即可得到结论．
【详解】证明：∵点D是的中点，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，则，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形．
23．（24-25九年级上·江西吉安·期末）已知矩形中，，点为的中点，请仅用无刻度的直尺画图．
(1)如图（），在上取一点，使；
(2)如图（），画一个以为腰的等腰直角．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定证明
【分析】（）连接，交于点，连接并延长交于点，则点即为所求；
（）连接，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则即为所求；
本题考查了无刻度直尺画图，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图（），连接，交于点，连接并延长交于点，则点即为所求；
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴为中点，
∴点即为所求；
（2）解：如图，连接，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则即为所求；
由（）得四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
题型四 认识一元二次方程（共6小题）
24．（24-25九年级上·全国·期末）若方程的二次项系数是2，则一次项系数是（ ）
A．B．3C．D．1
【答案】C
【知识点】化成一元二次方程的一般式
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．直接将方程整理为一般形式，进而得出一次项系数．
【详解】解：方程整理为，
则一次项系数是：．
故选：C．
25．（25-26九年级上·全国·期末）已知是方程的一个实数根，则m的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【知识点】由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查一元二次方程的解，由题意，将已知根代入方程求解 m即可.
【详解】解：∵是方程 的根，
∴ ，
即 ，
∴，
∴；
故选C.
26．（25-26九年级上·全国·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项．
【详解】解：A、，最高次数为1，不符合；
B、，满足所有条件，符合；
C、，含有两个未知数，不符合；
D、，不是整式方程，不符合．
故选：B．
27．（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】判断是否是一元二次方程
【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可．
【详解】解：，
∴；
故选D．
28．（24-25九年级上·四川成都·期末）小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的解的估算
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围．
【详解】解：当时，；
当时，，
∵更接近于0，
∴方程的一个解得整数部分是1，
故选：C．
29．（24-25九年级上·山东滨州·期末）若是方程的一个根，则
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元二次方程的解
【分析】本题考查了一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
．
故答案为：2024
30．（25-26九年级上·全国·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】
【知识点】由一元二次方程的定义求参数
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为零．因此，需要满足指数条件且系数条件．
【详解】解：由于方程是一元二次方程，则的最高指数，
解得或，即或．
同时，二次项系数，即．
因此，满足条件的值为．
当时，方程为，符合一元二次方程的定义．
故答案为：．
题型五 用配方法求解一元二次方程（共3小题）
31．（25-26九年级上·全国·期末）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（）
A．2028B．C．2024D．
【答案】B
【知识点】配方法的应用
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出、的值即可得到答案．
【详解】解：∵方程，
∴移项得，
配方得，即，
与比较，得，，
∴，
故选：B．
32．（25-26九年级上·吉林长春·期末）解方程：．
【答案】，
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键；配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再开平方求解即可得解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，．
33．（25-26九年级上·全国·期末）（1）用适当的方法解方程：；
（2）对于试题：“先化简，再求值：，其中”．小亮写出了如下解答过程：
①
②
，③
当时，原式④
小亮的解答在哪一步开始出现错误______；（填序号）
请你写出正确的解答过程．
【答案】（1），；（2）①；见解析
【知识点】分式化简求值、解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的化简，属于简单题，正确计算是解题关键．
（1）根据配方法求解即可．
（2）根据分式的化简原理即可解题．
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴，
∴，
，；
（2）小亮的解答在①开始出现错误；
原式，
当时，原式．
题型六 一元二次方程根的判别式（共2小题）
34．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．直接计算一元二次方程的判别式即可
【详解】解：∵ 一元二次方程 中，
，，，
∴ 判别式 ．
故选：C．
35．（25-26九年级上·全国·期末）若关于x的方程没有实数根，则m的取值可以是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数．通过计算方程的判别式，根据无实数根的条件判别式小于零，求解m的取值范围，并选择符合该范围的选项，即可作答．
【详解】解：∵方程 无实数根，
∴判别式 ，
解得，
观察选项中，只有，符合条件，
故选：A
题型七 用因式分解法求解一元二次方程（共4小题）
36．（25-26九年级上·北京·期末）方程的根是 ．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程化为，
∴或，
解得，．
故答案为：，．
37．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的方程有实数解，则的取值范围为 ．
【答案】或
【知识点】换元法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了一元二次方程，换元法解一元高次方程，方程有实数解的问题等知识点，对于高次方程，可以尝试通过变形将其转化为我们熟悉的解一元二次方程的形式来求解，然后根据非负数的性质和不等式的性质来确定a的取值范围，熟练掌握换元法变形方程是解决此题的关键．
【详解】∵当时，方程左边，
∴不是方程的解，
∴将方程两边同时除以得，
，
整理可得，
令，则，
∴，
∴原方程就变为，即，
∵方程有实数解，
∴，
∴或，
当时， ，
∴，
∴，
当时， ，
∴，
∴，
∵，
∴或，
设方程的两根，，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
∴当时，，
∴，
∴，
同理可得，时，，
综合以上情况，a的取值范围是或，
故答案为：或．
38．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）解方程：
(1)；
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：
或
∴，
（2）解：
，
，
∴，．
39．（25-26九年级上·全国·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；
(2)若方程的一个根是，求的值和方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)，另一个根为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
（1）只需要证明即可；
（2）把代入原方程可求出k的值，进而求出原方程，再解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：由题意得，
，
∴无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵方程的一个根是，
∴，
解得，
∴原方程为，即，
∴，
解得或，
∴原方程的另一个根为．
题型八 应用一元二次方程（共7小题）
40．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）已知一个数x与比它大2的数的积等于35．请根据题意，列出关于x的方程 ．
【答案】
【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据“一个数x与比它大2的数的积等于35”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意：，
故答案为：．
41．（24-25九年级上·全国·期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮平均一个人传染个人，列方程得 ，因此每轮平均一个人传染了 个人．
【答案】
【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查一元二次方程的应用．最初有个人患流感，第一轮传染后新增个人被感染，那么第一轮后共有个人患病；第二轮这个人每人又传染个人，所以第二轮新增个病人，两轮后共有个人患病，根据两轮后共有人患病来列方程求解的值．
【详解】解：①最初有个病人，第一轮后共有个人患病，
第二轮传染后有个人患病，
∵两轮后共有人患流感，
∴可列方程为，
即；
故答案为：．
②对进行求解，
当时，；
当时，；
∵传染的人数不能为负数，所以舍去；
∴每轮平均一个人传染了个人；
故答案为：．
42．（25-26九年级上·山东青岛·期末）某校九年级举行篮球赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间都赛一场），共进行了场比赛，设这次有个队参加比赛，则列方程为 ．
【答案】
【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用）
【分析】本题考查了列一元二次方程．单循环赛制中，总比赛场数的计算公式为队数乘以队数减一除以二，根据总场数为45，列出方程．
【详解】解：设有x个队参加比赛，每个队需要与其他个队各赛一场，但每场比赛涉及两个队，因此总比赛场数为，
根据题意，总场数为45，故列方程为．
故答案为：．
43．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）一个面积为的矩形苗圃，它的长比宽多2m．求这个苗圃的长和宽．
【答案】
宽为8m，长为10m
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，
先设苗圃的宽为，长为，再根据面积列出方程，求出解，并舍去不合题意的解，即可得出答案．
【详解】解：设苗圃的宽为，长为，
根据题意，得，
解得（舍去），
则，
所以这个苗圃的长为，宽为．
44．（25-26九年级上·全国·期末）某远光商场一种商品的进价为每件60元，售价为每件80元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售8件，那么每天要想获得1020元的利润，每件应降价多少元？
【答案】(1)该商品连续两次下降的百分率为
(2)每件商品应降价5元
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用百分率问题和销售问题，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键
（1）设每次降价的百分率为x，根据题意列方程求解即可；
（2）设每件商品应降价元，根据每天要想获得1020元的利润，列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
答：该商品连续两次下降的百分率为；
（2）解：设每件商品应降价元，
根据题意，得，
解得或，
∵为尽快减少库存，
∴，
答：每件商品应降价5元．
45．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在某校运动会入场式的彩排中，国旗护卫队的20名学生排成了4行5列的矩形方阵，为了表演的需要，又增加了22名学生，与之前的学生一起排成一个新的矩形方阵．与原方阵相比，新方阵增加的行数和增加的列数相同．求新方阵增加了多少列？
【答案】新方阵增加了2列
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设新方阵增加了列．根据新方阵增加的行数和增加的列数相同，再建立方程求解即可．
【详解】解：设新方阵增加了列．
根据题意，得．
整理，得．
解这个方程，得（不合题意，舍去），．
答：新方阵增加了2列．
46．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发．
(1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大；
(2)经过几秒，的面积为；
(3)出发几秒后，的长度等于？
【答案】(1)，
(2)2秒或4秒
(3)2.4秒
【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键．
（1）根据路程=速度×时间，可得、的长，从而得出的面积，可得答案；
（2）由（1）得，列方程为，解一元二次方程即可，注意本题x的取值范围．
（3）根据勾股定理可列方程为： ，解出x即可
【详解】（1）解：关于的函数解析式为：；
所以的取值范围是：．
对于，当时，有最大值；
（2）设经过秒，的面积为．
列方程为
解得：
答：设经过2秒或4秒，的面积为．
（3）设秒后，的长度等于12mm，列方程为：，
解得（舍去），，
答：出发2.4秒后，的长度等于．
题型九 概率的进一步认识（共6小题）
47．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）小明、小红、小刚三人在课间做“石头、剪刀、布”游戏．规则如下：由小明和小红两人来做“石头、剪刀、布”的游戏，两人出三种手势的可能性相同，如果他们两人所出的手势相同，那么小刚胜出，如果手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小红的获胜者为游戏的获胜者．以下说法正确的是（ ）
A．这个游戏小刚获胜的可能性最大
B．这个游戏小刚获胜的可能性最小
C．这个游戏小明和小红获胜的可能性一样，都比小刚获胜的可能性大
D．这个游戏对三人是公平的
【答案】D
【知识点】游戏的公平性
【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数以及小刚获胜的结果数、小明获胜的结果数、小红获胜的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，
其中小刚获胜的结果有：（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布），共3种，小明获胜的结果有：（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共3种，小红获胜的结果有：（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀），共3种，
∴小刚获胜的概率为，小明获胜的概率为，小红获胜的概率为．
∴小刚、小红、小明获胜的概率一样大，
故选：D．
48．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．白色B．红色C．黑色D．黄色
【答案】B
【知识点】由频率估计概率
【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键．用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为0.20，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案．
【详解】解：观察统计图可知，该球的频率稳定在0.20左右，所以抽到该球的概率为0.20，
∵抽到白球的概率为：，
抽到黑球的概率为：，
抽到红球的概率为：，
抽到黄球的概率为：，
∴该球的颜色最有可能是红色．
故选：B．
49．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“龙”、“蛇”、“马”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学抽到的邮票恰好是“龙”和“马”的概率为 ．
【答案】
【知识点】根据概率公式计算概率、列举法求概率
【分析】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握列举法求概率的方法．
【详解】解：所有可能的抽取组合有6种：{虎,龙}、{虎,蛇}、{虎,马}、{龙,蛇}、{龙,马}、{蛇,马}，其中抽到“龙”和“马”的结果有1种，因此概率为，
故答案为：.
50．（25-26九年级上·全国·期末）据中国交通部门预计，2025年春运全社会跨区域人员流动量达90亿人次．如图，广州南站某检票口有A，B，C，D四个验票闸机，旅客凭第二代身份证可随机选择一个验票闸机通过检票口．
(1)一名旅客选择A闸机通过的概率为 ；
(2)当两名旅客通过该验票闸机时，请用画树状图或列表法求这两名旅客选择相邻闸机通过的概率．
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键；
（1）根据概率公式可直接进行求解；
（2）根据画树状图或列表法进行求解概率即可．
【详解】（1）解：由题意可得，一名旅客选择一个验票闸机通过检票口的等可能性结果有4种，即A，B，C，D， 一名旅客选择A闸机通过的结果有1种，
∴一名旅客选择A闸机通过的概率为．
故答案为；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两名旅客选择相邻闸机通过的结果有6种，
这两名旅客选择相邻闸机通过的概率为
51．（24-25九年级上·山东泰安·期末）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中2个红球，2个黄球，1个白球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
(1)随机摸球10次，其中摸出红球3次，则这10次摸球中，摸出红球的频率是多少？
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是黄球的概率．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求某事件的频率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键．
（1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可；
（2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有4种结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，摸出红球的频率是，
（2）画树状图得，
，
共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是黄球有4种结果，
两次摸出的小球都是黄球的概率为．
52．（24-25九年级上·广东江门·期末）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)上表中的 ， ；
(2)“摸到红球”的概率的估计值是 （精确到0.1）；
(3)如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？
【答案】(1)
(2)
(3)个
【知识点】用频率估计概率的综合应用、由频率估计概率、已知概率求数量
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到红球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
【详解】（1）解：，，
故答案为：；
（2）由表格的数据可得，
“摸到红球”的概率的估计值是．
故答案为：；
（3）(个)，
答：除红球外，还有大约个其它颜色的小球．
题型十 成比例线段（共4小题）
53．（25-26九年级上·山东济南·期末）如果，那么 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【分析】本题考查了比例的性质．通过代数变换，将已知等式化为关于的等式，然后求解．
【详解】解：，
可变形为：
移项，得：
即．
故答案为：．
54．（25-26九年级上·全国·期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【分析】本题考查了黄金分割，根据P为的黄金分割点，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，且的长度为，
∴，
即，
故答案为：．
55．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为 ．
【答案】4
【知识点】成比例线段
【分析】此题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，线段是线段和的比例中项，则，代入数值计算即可．
【详解】解：∵线段是线段和的比例中项，
∴，
∴（线段长度取正值）．
故答案为：4．
56．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知，满足，
(1)求的值；
(2)若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长．
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】比例线段、比例的性质、二次根式的乘法
【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键．
（）设 ，则，，然后代入即可求解；
（）由（）得，，则，所以，，，又线段是线段，的比例中项，所以， 然后求出的值即可．
【详解】（1）解：设，则，，
∴；
（2）解：由（）得，，
∵，
∴，
∴，，，
∵线段是线段，的比例中项，
∴，
∴（负值已舍去）．
题型十一 平行线分线段成比例（共3小题）
57．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理（两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例），解题的关键是能根据平行线分线段成比例定理列出比例式．
根据得到，再代入数据求解即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴
∴，
故选：A．
58．（25-26九年级上·江西·期末）如图，已知和是的中点，是的中点，，求的值．

【答案】
【知识点】由平行判断成比例的线段
【分析】本题主要考查解平行线分线段成比例，掌平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键．
根据，是的中点，得到，再证，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，是的中点，
，
，
，
．
59．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长．
【答案】
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，根据条件可得，再进一步求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
把，，代入，
得，
解得：．
题型十二 相似多边形（共4小题）
60．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）下列图形中，是相似图形的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似图形
【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义．根据相似图形的概念：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，直接判断即可得出答案．
【详解】解：大小不同，形状相同的图形是相似形，选项A，B，D的形状不同，都不是相似形，
选项C的图形大小不同，形状相同，是相似形，
故选：C．
61．（24-25九年级上·广东广州·期末）“任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是 事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”）
【答案】随机
【知识点】相似多边形、事件的分类
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，随机事件，根据相似多边形的性质及随机事件的定义解答即可．
【详解】解：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形，
∴任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形不一定相似，
故“任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是随机事件．
故答案为：随机．
62．（25-26九年级上·全国·期末）如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知，，当 时，矩形矩形．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似多边形对应边成比例．
先根据题意得出，，再根据相似的性质得出，即可解答．
【详解】解：∵， 与 ， 与 之间的距离都为
∴，
∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ，
∴，
∵矩形矩形，
∴，
即，
解得：，
故答案为：．
63．（25-26九年级上·全国·期末）阅读理解：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图所示，甲、乙是两个大小不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比．
设，分别表示这两个正方体的表面积，则 ，又设，分别表示这两个正方体的体积，则 ．
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）
．两个球体 ．两个圆锥体 ．两个圆柱体 ．两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）的比等于 ；②相似体表面积的比等于 ；③相似体体积的比等于 ．
(3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的身体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为，体重为．到了九年级时，身高为，则他的体重是多少（不考虑不同时期人体平均密度的变化）？
【答案】(1)
(2)①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方
(3)他九年级时的体重是
【知识点】相似图形、相似多边形的性质
【分析】本题考查“平面图形的相似”知识的拓展应用，理解“相似体”的定义是解题关键．
（1）根据“相似体”的概念，对球体，圆锥体，圆柱体以及长方体进行分析判断；
（2）根据阅读材料进行归纳，得到相似体的对应线段（或弧）长的比，面积的比，体积的比与相似比的关系；
（3）先算相似体对应线段的相似比，再根据“与体积成正比的量的比相似比的立方”列方程，求解并检验得结果．
【详解】（1）解：已知形状完全相同、大小不一定相等的几何体是相似体，
选项，球体的形状由半径唯一确定，任意两个球体形状完全相同，一定是相似体；
选项，圆锥体需要底面半径和高的比例一致才是相似体，否则形状不同；
选项，圆柱体需要底面半径和高的比例一致才是相似体，否则形状不同；
选项，长方体需要长、宽、高的比例都一致才是相似体，否则形状不同．
答：．
（2）解：根据阅读材料进行归纳可以得到：
①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比；
②相似体表面积的比等于相似比的平方；
③相似体体积的比等于相似比的立方．
答：①相似比；②相似比的平方；③相似比的立方．
（3）解：设他九年级时的体重为，
已知小朋友幼儿园身高，九年级身高，
由题可知，相似比幼儿园身高九年级身高，
可得相似比，
由相似体的体重比相似比的立方，
可得 ，解得，
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
答：他九年级时的体重是．
题型十三 探索三角形相似的条件（共5小题）
64．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，有两组角对应相等的两个三角形相似，有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
A、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意；
B、添加条件，结合，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意；
C、添加条件，结合，可以根据有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故此选项不符合题意；
D、添加条件，结合，不可以证明，故此选项符合题意；
故选：D．
65．（24-25九年级上·云南红河·期末）已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原相似的有（ ）对．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定综合
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似．
结合图形给出的条件，根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可．
【详解】解：①如图所示，
∵，，
∴，符合题意；
②如图所示，
∵，且，即，
∴，符合题意；
③如图所示，
∵，，
∴，符合题意；
④如图所示，
该图中给出条件无法得出阴影部分的三角形与原相似；
综上，阴影部分的三角形与原相似的有3对，
故选：B．
66．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，P是上一点，连接，要使，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一种情况即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定定理即可解答．
【详解】解：由题意得，，
若添加条件，则有，符合题意；
若添加条件，则有，符合题意；
若添加条件，则有，符合题意；
添加的条件可以是或或（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
67．（25-26九年级上·江西·期末）如图，在等腰中，，是的角平分线，是腰边上的高，垂足为点．求证：．
【答案】见解析
【知识点】三线合一、利用两角对应相等判定相似
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的特征，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．
由等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据直角三角形两锐角互余，得出，即可证明结论．
【详解】证明：等腰中，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
68．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图4正方形方格中的两个和的顶点都是格点．
(1)求证：；
(2)在该网格中画一个顶点都是格点的三角形，要求与相似且面积最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似
【分析】本题考查了相似三角形的判定．
（1）利用勾股定理求得各边的长，再利用三边对应成比例的两个三角形是相似三角形即可证明；
（2）同（1）作出图形即可．
【详解】（1）解：设网格中每个小正方形的边长为1，则
，，，，，，
∴，
∴；
（2）解：如图，就是所求的三角形．
．
题型十四 相似三角形实际应用（共3小题）
69．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】证明解答即可．
本题考查了数学与物理的跨学科综合，三角形相似的判定和性质，光的反射定理，正确利用三角形相似解答是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：D．
70．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图所示，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则李明击球的高度h为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，再根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：．
71．（23-24九年级上·浙江台州·期末）景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？
【答案】10米
【知识点】相似三角形实际应用
【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，先证明，可得，从而可得答案；
【详解】解：，
，
，
，
，
，
米．
题型十五 相似三角形的性质（共5小题）
72．（25-26九年级上·江苏南通·期末）已知，相似比为，若，则的长为（ ）
A．2B．8C．16D．6
【答案】B
【知识点】利用相似三角形的性质求解
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握“相似三角形对应边的比等于相似比”是解题的关键．根据相似三角形对应边的比等于相似比，结合已知的相似比和的长度，计算的长度．
【详解】解：∵，与的相似比为
∴
∵
∴
∴
故选：B．
73．（25-26九年级上·全国·期末）如图，小正方形的边长均为，则，，，四个选项中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中画与已知三角形相似的三角形
【分析】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应边的比．
根据勾股定理，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例，即可根据相似三角形的判定得到结论．
【详解】解：小正方形的边长为1，
在中，，，，
A选项中，一边，一边，一边，
有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似，符合题意；
B选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意；
C选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意；
D选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意．
故选：A．
74．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，D是上一点，且，，、的平分线分别交、于E，F，则的值为 ．
【答案】/
【知识点】相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据相似三角形的判定和性质解题即可．
【详解】解：在与中，
∵，，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵、分别是与对应角、的平分线，
∴，
∴．
故答案为：
75．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，，重心在上，若，则四边形的面积为 ．
【答案】10
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值、重心的有关性质
【分析】此题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，三角形重心的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，连接并延长交于点D，根据重心的性质得到，然后得到，然后证明出，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，连接并延长交于点D

∵点G是的重心
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴四边形的面积．
故答案为：10．
76．（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ．
【答案】
【知识点】相似三角形——动点问题
【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解．
【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
故答案为： ．
题型十六 图形的位似（共7小题）
77．（24-25九年级上·山西大同·期末）电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（ ）
A．位似变换B．平移变换C．对称变换D．旋转变换
【答案】A
【知识点】位似图形的识别
【分析】本题考查图形变换的位似变换，特别是位似变换在实际场景（电影制作）中的应用．
【详解】首先分析题目中提到的电影制作中通过改变物体大小模拟远近变化这一现象；
然后依次回顾平移变换、对称变换、旋转变换和位似变换的定义和特点．
平移变换只是位置改变，大小和形状不变，B项不符合题意；
对称变换是关于某条直线对称，图形的大小也未发生改变，C项不符合题意；
旋转变换是绕定点旋转一定角度，同样不涉及大小的变化，D项不符合题意；
位似变换可以使图形按照一定比例放大或缩小，与电影中物体大小变化模拟远近的原理相符，A正确．BCD不符合题意．
故选A．
78．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，和是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断位似中心
【分析】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键．
分别连接、、，其所在直线交于点，即可得到答案．
【详解】解：如图，分别连接、、，其所在直线交于点
则点G为所求的位似中心，
故选：C．
79．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图，与位似，点为位似中心，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，，
∴与位似比为，与相似，相似比为，
∴，
故选：B．
80．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是第一象限以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，若点A的横坐标为4，则点D的横坐标为（ ）
A．1B．4C．8D．18
【答案】C
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念和相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，再由、，得、，可根据相似三角形的性质得到答案．
【详解】解：如图，过点A作轴于点M，过点D作轴于点N，则，
∵与是以O为位似中心的位似图形，
∴，，且，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D点横坐标为8．
故选：C．
81．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，以原点为位似中心，将放大后得到，若点的坐标为的周长为4，则的周长为（ ）
A．7B．8C．12D．16
【答案】B
【知识点】求两个位似图形的相似比、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出两图形的位似比是解题关键．
【详解】解：∵点的坐标为，以原点为位似中心，将放大后得到，点的坐标为 ，
∴与的位似比为：，
∴，则，
∴的周长为：8，
故选：B.
82．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形．
(1)在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________；
(2)若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出）
【答案】(1)作图见解析，
(2)见解析
【知识点】在坐标系中画位似中心、在坐标系中画位似图形
【分析】本题考查作图——位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）．
（1）对应点连接的交点即为位似中心；
（2）利用位似性质作图即可．
【详解】（1）解：如图，连接，，，交点即为M点，M点的坐标为；
故答案为：；
（2）解：当点在第三象限时，如下图所示：
当点在第一象限时，如下图所示：
83．（25-26九年级上·全国·期末）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，点E、A、B、C都在小正方形的顶点上．
(1)以点E为位似中心，画，使它与的相似比为2；
(2)若建立平面直角坐标系，使点A在坐标系中的坐标为，请画出平面直角坐标系，则点的坐标是____________；
(3)与的面积比为________．
【答案】(1)见解析
(2)平面直角坐标系见解析；和
(3)
【知识点】利用相似三角形的性质求解、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查了画位似图形，相似三角形的性质，写出位似点的坐标等知识，掌握位似与相似的性质是关键；
（1）根据位似的知识点作图即可；
（2）建立平面直角坐标系，求出点的坐标即可；
（3）根据相似图形的性质即可得出结果；
【详解】（1）解：所画位似图如下：
（2）解：坐标系见上图，点的坐标是和，
故答案为：和；
（3）解：由于与的相似比为，则面积比为，
故答案为：．
题型十七 投影（共3小题）
84．（25-26九年级上·山东·期末）在同一时刻的太阳光下，小刚的影子比小红的影子长，那么，在晚上同一路灯下（ ）
A．不能够确定谁的影子长B．小刚的影子比小红的影子短
C．小刚跟小红的影子一样长D．小刚的影子比小红的影子长
【答案】A
【知识点】中心投影、平行投影
【分析】本题考查了平行投影与中心投影．根据在太阳光下，由于光线平行，影子长度仅与物体高度成正比，但在路灯下，点光源光线发散，影子长度同时受物体高度和与光源距离影响，结合平行投影与中心投影性质进行分析求解，即可解题．
【详解】解：∵在太阳光下，光线平行，影子长度与物体高度成正比，且小刚影子比小红长，
∴小刚更高；
在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断小刚的影子与小红的影子长度．
故选：A．
85．（24-25九年级上·山东东营·期末）如图所示的几何体是由3个大小相同的正方体拼成的，它的正投影不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】正投影
【分析】本题考查了几何体正投影，根据从左边看得到的图形，从正面看得到的图形，从上面看得到的图形，可得答案．
【详解】解：A、从左边看上边一个小正方形，下边一个小正方形，故A正确，不符合题意；
B、从哪个方向看都不是并排的三个小正方形，故B错误，符合题意；
C、从上面看是两个并排的小正方形，故C正确，不符合题意；
D、从正面看第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D正确，不符合题意；
故选：B．
86．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，木杆和与地面垂直，木杆在路灯O下的影子为，木杆在路灯O下的影子为，已知点D，G，F，H在一条直线上，，，请在图中画出路灯O．
【答案】作图见详解
【知识点】中心投影、相似三角形实际应用
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质在中心投影问题中的应用．通过连接物体顶端与影子顶端的光线，找到路灯位置．
【详解】解：如图，路灯O为所求，
作法：连接，，延长，交与点O，此时点O即路灯为所求．
题型十八 视图（共3小题）
87．（25-26九年级上·全国·期末）下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题主要考查了三视图的有关知识，掌握三视图都相同的常见的几何体有球和正方体是解答本题的关键．
找到从物体正面、左面和上面看得到的图形完全相同的几何体即可．
【详解】解：A、球的三视图都是圆，此选项符合题意；
B、图中长方体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是正方形，此选项不符合题意；
C、圆柱体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，此选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图是矩形中有一条线，左视图是矩形，俯视图是三角形，此选项不符合题意．
故选：A．
88．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查简单组合体的三视图，掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．得到从几何体正面看得到的平面图形即可．
【详解】解：从正面看得到3列正方形的个数依次为2，1，1．
故选：C．
89．（24-25九年级上·全国·期末）有n个形状大小都相同的小正方体叠放在一堆后，有如下三视图，则n等于 ．
【答案】6
【知识点】由三视图，判断小立方体的个数
【分析】考查由视图判断几何体，由俯视图可得几何体最底层正方体的个数及正方体摆放的形状，按照正视图可得第二层最多有3个正方体，第3层最多有2个正方体，由左视图可得应把正视图得到第二层和第3层正方体的个数各减去1个，把正方体的个数相加即可．
【详解】解：∵俯视图中有3个正方形，
∴组合几何体最底层有3个正方体，
∵由正视图可得第二层最多有3个正方体，第3层最多有2个正方体，
由左视图可得应把正视图得到第二层和第3层正方体的个数各减去1个，
∴组合几何体第2层有2个正方体，第三层有1个正方体，
∴组合几何体共有个正方体．
故答案为：6．
题型十九 反比例函数（共4小题）
90．（25-26九年级上·江西·期末）下列函数是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据定义判断是否是反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．
根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或或其中的函数是反比例函数．
【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B、变形为，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、不是反比例函数，故本选项不符合题意；
D、是反比例函数，故本选项符合题意；
故选：D
91．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）下列各点在反比例函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】用反比例函数描述数量关系
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：∵
∴
A.，该选项错误；
B. ，该选项正确；
C. ，该选项错误；
D. ，该选项错误.
故答案选：B.
92．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知反比例函数的图象经过A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是 （写一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】求反比例函数值
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过A，B两点，点A的坐标为，
∴反比例函数，
不妨设点，则，
故答案为：（答案不唯一）．
93．（24-25九年级上·山东烟台·期末）从五个点、、、、中任取一点，在双曲线上的概率是 ．
【答案】/
【知识点】由反比例函数值求自变量、根据概率公式计算概率
【分析】本题主要考查概率公式的知识，解答本题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比，首先找出在双曲线上点的个数，然后根据概率公式求出答案．
【详解】解：∵五个点、、、、中，在双曲线上的点有，一共2个，
∴五点任取一点，在双曲线上的概率是，
故答案为：．
题型二十 反比例函数的图象与性质（共5小题）
94．（24-25九年级上·福建福州·期末）函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断（画）反比例函数图象
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键．
根据反比例函数的判断函数的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可求解．
【详解】解：，
函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大，
函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度．
故选：C．
95．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）反比例函数的图象在第二、第四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握这一知识点是关键；反比例函数图象的象限位置由比例系数k的符号决定，当时，图象在第二、第四象限，据此列出不等式，解不等式即可，
【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限，
∴比例系数，
解得；
故答案为．
96．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）反比例函数，，则在第二象限，随增大而 （选填“增大”或“减小”）．
【答案】增大
【知识点】判断反比例函数的增减性
【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据反比例函数的性质，当时，函数在第二象限内，随增大而增大，即可解答．
【详解】解：反比例函数，，
反比例函数在第二、四象限，每个象限内随增大而增大，
在第二象限，随增大而增大，
故答案为：增大．
97．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，．若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】正比例函数的图象、由反比例函数图象的对称性求点的坐标
【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查反比例函数的中心对称性，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称即可求得的坐标．
【详解】解：∵反比例函数是中心对称图形，正比例函数与反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，
∴点和点关于原点对称，
∴，
故答案为：．
98．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，已知反比例函数的图象与直线交于点，两点分别在轴和轴的正半轴上，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，直接写出反比例函数的取值范围 ．
【答案】(1)；
(2)或
【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解决本题的关键是先根据和求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式．
根据和求出点的坐标为，利用待定系数法求出反比例函数的解析式为
分别求出当时的取值范围，再求出当时的取值范围，综合起来就是当时，反比例函数的取值范围．
【详解】（1）解：设点的坐标为，
，
，
，
解得：，
，
点的坐标为，点的坐标为，
，
，
又，
，
解得：，
点在第二象限，
，
，
点的坐标为，
把点的坐标代入比例函数，
可得：，
解得：，
反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，可得：，
若，则有，
当时，可得：，
若，则有，
综上所述，当时，直接写出反比例函数的取值范围为或．
故答案为：或．
题型二十一 反比例函数的应用（共6小题）
99．（25-26九年级上·全国·期末）若电磁波波长、频率满足关系式，则下列关于电磁波的说法中，正确的是（ ）
A．波长是频率的正比例函数
B．如果波长为，那么频率为
C．如果波长小于，那么频率小于
D．如果波长大于，那么频率小于
【答案】D
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】此题重点考查反比例函数的定义与性质，正确理解反比例函数的定义与性质是解题的关键．根据关系式，波长与频率成反比例关系，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．关系式可变形为，此为反比例函数关系，故A不符合题意；
B．当时，代入得：，故B不符合题意；
C．当时，代入得：，根据反比例函数性质，与成反比例，当，应有，故C不符合题意；
D．当时，代入得：，根据反比例函数性质，与成反比例，当，应有，故D符合题意．
故选：D．
100．（24-25九年级上·全国·期末）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象，解题的关键是能够分类讨论，难度不大．
根据反比例函数和一次函数的图象，逐项判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，
则A、D选项不符合题意；
当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，函数的图象位于第一、三象限，则B选项符合题意；C选项不符合题意；
当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象位于第二、四象限，均不符合题意；
故选：B
101．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）如图，一次函数与x轴，y轴交于A，B两点，P是反比例函数第二象限部分的动点，连接，，C是中点，平行交于D．则长度为（）
A．2B．C．2.5D．无法确定
【答案】B
【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数、坐标轴交点坐标综合运用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键；
本题可先求出一次函数与坐标轴交点坐标，根据两点距离公式和相似三角形的判定与性质即可解答；
【详解】解：∵一次函数与x轴，y轴交于A，B两点，
∴当时，，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∵C是中点，平行，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在
，
∴；
故选B．
102．（25-26九年级上·全国·期末）如图，的顶点，在双曲线上，顶点在y轴上，边与双曲线交于点，若，的面积为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与几何综合
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合．
设，则．设，则，求出，根据，求出，由，可得，即可得的值．
【详解】解：设，则．
设，则，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
故答案为：．
103．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，．
(1)求和的值；
(2)求一次函数的函数表达式；
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）把点代入求出，得，把代入，解得；
（2）把，代入，求出，的值即可；
（3）求出点A的坐标，根据解答即可．
【详解】（1）解：∵点在的图象上，
∴，
∴；
把代入，
得，
解得；
（2）解：由（1）得，
把，代入，得：，
解得，
∴一次函数解析式为；
（3）解：对于，当时，，
解得，
∴，
∴，
又，，
∴
．
∴的面积为．
104．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题：
(1)求药物燃烧时y与x的函数关系式；
(2)求药物燃烧后y与x的函数关系式；
(3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？
【答案】(1)
(2)
(3)对病毒有作用的时间长为分钟
【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用
【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题．
【详解】（1）
解：设药物燃烧时的函数解析式为，
由题意得：，解得：，
燃烧时的函数关系式为；
（2）
解：设燃烧后函数解析式为，
由题意得：，解得：，
燃烧后的函数关系式为；
（3）
解：由题意得： 解得：，
（分钟），
答：对病毒有作用的时间长为分钟．
题型二十二 锐角三角函数 （共5小题）
105．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、正切的概念辨析
【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断．
【详解】解：如下图，
A. ，故该选项不成立，不符合题意；
B. ，故该选项不成立，不符合题意；
C. ，故该选项不成立，不符合题意；
D. ，故该选项成立，符合题意．
故选：D．
106．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值
【分析】本题考查了勾股定理、正弦的定义，由勾股定理可得，由正弦的定义可得，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
107．（24-25九年级上·浙江温州·期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】余弦的概念辨析、根据菱形的性质与判定求角度
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、解直角三角形．连接交于点，根据四边形是菱形，根据菱形的性质可知是直角三角形且，根据余弦的定义可得，根据菱形的定义可知．
【详解】解：如下图所示，连接交于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故选： D．
108．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）在中，，如果，，那么 ．
【答案】
【知识点】已知正弦值求边长
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是牢记锐角三角函数的定义，根据得到，把的长度代入比例式子中即可求出的长度．
【详解】解：如下图所示，
，
，
，
，
解得：．
故答案为： ．
109．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，是边上的中线，和都是锐角且，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)5
(2)2
【知识点】已知正切值求边长、已知正弦值求边长、用勾股定理解三角形、根据三角形中线求长度
【分析】（1）过点作于，如图所示，在中，由正弦函数值定义列式求得，再由勾股定理求得，在中，由正切函数值定义列式求得，数形结合即可得到；
（2）由（1）中求出的线段长，结合中线性质得到，数形结合求出，在中，由正切函数值定义代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：过点作于，如图所示：
设，
在中，，则，
即，解得，
，
，解得，
∴，
在中，，，则由勾股定理可得，
在中，，则，
，
∴，
∴；
（2）解：∵为中线，，
∴，
，
∴，
在中，，，则．
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正切函数值定义、正弦函数值定义、勾股定理、中线性质、解方程等知识，根据题意构造直角三角形，灵活运用三角函数值定义列式求解是解决问题的关键．
题型二十三 30°， 45° ，60°角的三角函数值（共3小题）
110．（23-24九年级上·河南商丘·期末）已知实数，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了特殊三角函数值、实数的大小比较，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选：B ．
111．（24-25九年级上·山东烟台·期末）在中，，，，则长度是 ．
【答案】10
【知识点】用勾股定理解三角形、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键是利用余弦函数的定义求出直角三角形的斜边．
先根据余弦函数的定义得出的值，再设，最后结合勾股定理求解AB的长度．
【详解】在中，，根据余弦函数的定义，
已知，所以设，
根据勾股定理，
已知，则，
即．
两边同时除以16得，
，
，
则．
故答案为：10．
112．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】此题考查了特殊三角函数的混合运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．
（1）代入特殊角度的三角函数值，计算可得；
（2）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再计算加减法．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
题型二十四 解直角三角形（共3小题）
113．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中， ，若，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查解直角三角形，根据正切的定义，设，，勾股定理得到，再根据正弦的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵在中， ，，
∴，
∴设，，
∴，
∴；
故选：B．
114．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ．
【答案】/
【知识点】解非直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解．
【详解】解：如图所示，作于，
设，
，
，
，，
，
即，
解得：，
在中，，
即：，
，
，
故答案为：．
115．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，．
(1)求的值．
(2)求的面积（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)的面积为
【知识点】解非直角三角形、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积
【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形．
（1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可；
（2）利用勾股定理及三角形面积求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点．
在中，，，
，
，
在中，
，
；
（2）解：由（1）知：在中，，，
，
．
题型二十五 三角函数的应用（共4小题）
116．（23-24九年级上·湖南郴州·期末）如果α是锐角，且，那么的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键；
在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答；
【详解】，，
；
故选：B．
117．（24-25九年级上·辽宁·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】利用同角三角函数关系求值、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角的正弦与余弦的关系，根据特殊角的三角函数值，同角的正弦与余弦的关系进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：
118．（24-25九年级下·重庆大足·期末）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之举，是对外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在城市周围三个地点演习．如图，点在点正东方向100海里处，点在点北偏东方向120海里处，点在点东南方向，且点也在点正北方向．（参考数据：）
(1)求两地之间的距离（结果保留一位小数）；
(2)由于演习过程中的特殊任务，从点到点需要经过点或点，那么点到点的两条路径和哪一条线路最短？
【答案】(1)两地之间的距离为海里．
(2)线路最短，理由见解析．
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查的是与方向角相关的解直角三角形的应用；
（1）如图，过作于，过作于，则四边形为矩形，可得，，再在中，在中结合锐角三角函数求解即可；
（2）先求解，再分别求解线路和的长，再比较即可．
【详解】（1）解：如图，过作于，过作于，则四边形为矩形，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴（海里）．
（2）解：由（1）得：，，
∴，
∴（海里），
（海里），
∴线路最短．
119．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数）
(1)求试管口与铁杆的水平距离的长度；
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度．
【答案】(1)试管口与铁杆的水平距离的长度为
(2)导气管的长度为
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键．
（1）在中，根据即可求解；
（2）过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，可得，在中，通过即可求解．
【详解】（1）解：，，
，
在中，，
，
即试管口与铁杆的水平距离的长度为；
（2）解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形，
在中，，
，
，
，
在中，，
．
即导气管的长度为．
题型二十六 利用三角函数测高（共3小题）
120．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）如图，老王在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩杆之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为米，此时沿钓竿看向钓竿顶端处，仰角为钓竿两端点的直线距离为米，钓线与江面的夹角，则浮漂与河堤下端之间的距离约为（ ）米．（参考数据：，，，，结果精确到米）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度、仰角问题，勾股定理，矩形的判定与性质，延长交于，在中，，设，则，由勾股定理求得，则米，米，延长交于，过作于，交于，求出（米），（米），然后证明四边形是矩形，则米，米，所以（米），在中，，则，即有（米），然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交于，
∴，
在中，，
∴设，则，
∴，
∴，
解得，
∴米，米，
∴米，
延长交于，过作于，交于，
∵，
∴，
在中，米，，
∴米，（米），
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∴（米），
在中，，
∴，
∴（米），
∵（米），
∴（米），
故选：．
121．（24-25九年级上·河南周口·期末）2024年12月，西安电子科技大学电子工程学院李龙教授课题组在无线能量传输和无线定位领域取得突破性进展，实现了自适应追踪的无线能量传输，能够让动态无线充电更高效，其未来应用有望让无人机边飞边充电．如图，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点A处，测得点A与地面的距离为，测得点C的俯角；控制无人机水平移动至点D，测得，楼顶C点的俯角．点A，B，C，D在同一平面内，求大楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到）
【答案】约为
【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．延长交于点F，分别在和中，利用正切定义求出，，可构建关于的方程，求解即可．
【详解】解：延长交于点F，
根据题意，得，，
在中，，
在中，，
，解得，
，
答：大楼的高度约为．
122．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米
(1)求综合楼的高度；
(2)求宣传牌的高度．
【答案】(1)综合楼的高度为
(2)宣传牌的高度为
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据正切的定义求出；
过点B作于F，，交的延长线于G，解求出，进而求出，结合图形计算，得到答案．
【详解】（1）解：在中，，米，
，
，
答：综合楼的高度约为；
（2）解：如图，过点B作于F，，交的延长线于G，
则四边形为矩形，
，，
由题意得，而米，
∴在中，，
，
，，
，
，
答：宣传牌的高度约为．
题型二十七 二次函数（共3小题）
123．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数属于二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数、二次函数的识别
【分析】本题考查了二次函数的定义．一般地，形如（a，b，c为常数）的函数叫做二次函数．
根据定义逐一判定．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意；
B．是二次函数，故符合题意；
C．是正比例函数，故不符合题意；
D．，当时是一次函数，故不符合题意．
故选：B．
124．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（ ）
A．0B．2C．或2D．
【答案】B
【知识点】根据二次函数的定义求参数
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可．
【详解】解：关于的函数是二次函数，
且，
解得：，
故选：B．
125．（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为和，如果长和宽各增加了，则扩充后绿地的面积与之间的关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】列二次函数关系式
【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案．
【详解】解：由题意得，，
故选：B．
题型二十八 二次函数的图象与性质（共13小题）
126．（24-25九年级上·广西河池·期末）二次函数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
【答案】A
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=a（x-h）²+k的图象和性质
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线，
∴当时，该函数有最大值，
故选：A．
127．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若点都在二次函数图象上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】y=ax²的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由，可得．
【详解】解：∵，，
∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，
∵，
∴．
故选：A．
128．（24-25九年级上·山东临沂·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴负半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第四象限，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∴在x轴负半轴上；
∵二次函数顶点在第二象限，
∴当时，，
∵二次函数与x轴无交点，
∴，
∴点在第四象限，
∴经过点和点的直线一定经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选：A．
129．（24-25九年级上·河南三门峡·期末）二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的对称性．
通过表格数据发现二次函数图像关于直线对称，进而结合表格作答即可．
【详解】解：∵由表格数据，当和时，y值均为，
∴对称轴为直线．
由表格可知方程（，，，为常数）的负数解的取值范围是，
则方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是．
故选：D．
130．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，能够将增减性与对称轴及开口方向联系起来是解题关键．根据二次函数的图象和性质即可得解．
【详解】二次函数开口向下，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而减小，
，
故答案为：．
131．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）如图，在中，，，，点D为上的三等分点．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点D出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当其中任意一个动点到达终点时，两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的长度为，的面积为．
(1)请直接写出与分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数与的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
【答案】(1)，；
(2)图见解析，性质见解析；
(3)．
【知识点】利用网格求三角形面积、y=ax²+bx+c的图象与性质、画y=ax²+bx+c的图象、画一次函数图象
【分析】（1）根据题意得到，，则，，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意画出函数的图象，并根据函数的图象得到函数的性质；
（3）根据函数的图象即可得到不等式的解集．
【详解】（1）解：由题意得，
．
（2）函数，的图象如答图．
根据函数图象，函数的性质为：
抛物线与x轴的交点为，顶点为．或当时，随着x的增大而增大．或当时，随着x的增大而减小．或当时，函数有最大值9．
以上4条性质写出一条即可．
（3）由函数图象得，当时，．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积，一次函数的图象，二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，正确作出函数的图象是解题的关键．
132．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
【详解】解：A、一次函数与y轴交点应为，二次函数与y轴的交点也应为，图象不符合，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确．
故选：D．
133．（24-25九年级上·山东临沂·期末）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：以下结论正确的是（ ）
A．当时，随增大而增大B．抛物线的开口向下
C．D．当时，的取值范围是
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据和对应的函数值相等，可得对称轴对直线；根据对称轴两侧数据的变化，可得抛物线的开口方向；根据对称性可得和对应的函数值相等，进而可得m的值；根据抛物线与x轴的交点情况及开口方向，可得时，的取值范围．
【详解】解：由表格可得，该函数的对称轴为直线，
∴和对应的函数值相等，
∴，故选项C错误，不符合题意；
时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的开口向上，故选项B错误，不符合题意；
对称轴为直线，开口向上，
∴时，y随x的增大而增大，故选项A错误，不符合题意；
当时，的取值范围是，故选项D正确，符合题意；
故选D．
134．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、三、四象限，
故选：A．
135．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，若二次函数图象的对称轴为直线，与x轴交于A、B两点，点则当时，x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【知识点】根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的对称性，以及结合二次函数图象观察函数的取值问题．利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的另一个交点坐标，再结合图象，得出y的取值大于0时，图象为x轴上方部分，即可得出自变量x的取值范围．
【详解】解：二次函数对称轴为直线，与轴交点为，
∴根据二次函数的对称性，可得到图象与轴的另一个交点坐标为，
又函数开口向下，x轴上方部分，
．
故选：B．
136．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ．
【答案】2或6
【知识点】二次函数图象的平移
【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律．
根据抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，即可求解．
【详解】解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，
得或6．
故答案为：2或6.
137．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】图象法解一元二次不等式、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围．
【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点，
∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即，
根据图象可知，当时，，
故答案为：．
138．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是．①；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是；③若点和在该抛物线上，则；④对任意实数n，不等式总成立．其中正确的有 ．
【答案】①③④
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数的对称性求函数值
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可．
【详解】解：对称轴是直线，
，
故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故②错误；
将代入，可得，
由图像可知，此时图像在轴上方，故，故①正确；
时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故③正确；
时，函数有最大值，
故，即不等式总成立，故④正确；
故答案为：①③④．
题型二十九 二次函数的应用（共3小题）
139．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为．
(1)围成的矩形花圃的面积能否为？若能，求出x的值；若不能，说明理由；
(2)围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)围成的矩形花圃的面积能为，此时x的值为25
(2)围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），二次函数的实际应用（图形问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式或方程是解题的关键．
（2）根据题意设未知数列一元二次方程，判断此方程有解，然后再解方程即可；
（3）先列函数关系式，将二次函数解析式化成顶点式，然后根据自变量的取值范围和二次函数的性质求二次函数的最值即可．
【详解】（1）解：围成的矩形花圃的面积能为．
∵平行于墙的边，
而，且，
∴．
由题意，得．
解得（舍去）或．
答：围成的矩形花圃的面积能为，此时x的值为25．
（2）解：设围成的矩形花圃的面积为．
由题意，得．
∵，且，
∴当时，S取得最大值800．
答：围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20．
140．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）周末，小明跟父母去宁强网红打卡地玩耍，小明的爸爸在树荫下将吊床绑在距离为米的树与树之间（米），两边拴绳的地方、距地面的高度均为米（米），吊床形状近似呈抛物线形，此时吊床最低点离地面的高度为米．已知，，图中所有的点都在同一平面内．以树与地面的交点为原点，地面上所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当吊床上某处离地面高度为米时，求吊床上该处离右边树的距离．
【答案】(1)
(2)米或米
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）将代入解得，，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得，，，
设抛物线的函数表达式为，
将点代入，
得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：将代入得，
解得，，
当时，（米），
当时，（米），
∴吊床上该处离右边树的距离为米或米．
141．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图1所示，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为（即），当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离达最大值，其最大值为3米．以为原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，解决问题：
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由；
(3)河水离地平面距离为多少米时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)米
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析，二次函数图形的平移，解直角三角形的计算是解题的关键．
（1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线解析式为，把点代入，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意，当时，（米），再与护栏高度进行比较，即可求解；
（3）根据坡比得到（米），则点到原点的水平距离为（米），即，且，可求出直线的解析式为，联立方程得，由此求解即可．
【详解】（1）解：当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米，
∴抛物线的顶点坐标为，
以O为原点建立平面直角坐标系，
∴点，
设抛物线解析式为，把点代入得，，
解得，，
∴水柱所在抛物线的解析式为；
（2）解：水柱不能喷射到护栏上，理由如下：
当时，，
，
水柱不能喷射到护栏上；
（3）解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中），
，即，
则点与原点的水平距离为，
点的坐标为，
又点的坐标为，
设的解析式为，
，解得，
，
，
解得（不合题意，舍去），，
当时，，
即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上．
题型三十 二次函数综合（共7小题）
142．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)点P是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点P的坐标．
(3)点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为
(3)在x轴上存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
（1）根据待定系数法求抛物线解析式；
（2）过点P作轴于点D，交AC于点设，则，，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，t的值，进而求得P点的坐标；
（3）分情况讨论，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得M的坐标进而求得Q点的坐标．
【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于，两点，将点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
该抛物线的表达式为；
（2）解：二次函数与y轴交于点C，
当时，得：，
，
设直线AC的表达式为，将点A的坐标代入得：
，
解得：，
直线的表达式为，
如图1，过点P作轴于点D，交于点
设，则，
，，，
，，，
，
，，
当时，取最大值，最大值为，
此时点P的坐标为；
（3）解：在x轴上存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为或或或理由如下：
设，
，
如图2，①当为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，得：，
解得：(不合题意，舍去或，
，；
②当为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，得：，
解得：或，
，或，
；
③当为平行四边形的对角线时，
由中点坐标公式，得：，
解得：(不合题意，舍去或，
，
综上所述，在x轴上存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为或或或
143．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值．
(3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】角度问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）将，代入求解即可；
（2）根据的解析式和抛物线的解析式，设，则，表示的长，根据二次函数的最值可得的最大值即可；
（3）如图1，连接，，交于点．然后分点在点的左侧和右侧两种情况解答即可．
【详解】（1）解：把，代入抛物线中
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：，
当时，，
解得：或，
∴；
设的解析式为：，
∵，，
，
解得：，
∴的解析式为：，
设，
则，
，
当时，有最大值为．
（3）解：如图1，连接，交于点．
，
∴顶点，
设所在直线的解析式为：，
将代入函数解析式得，
解得，
故所在直线的解析式为：，
∵，
∴，
设所在直线的解析式为：，
将点坐标代入函数解析式，得，
故所在直线的解析式为：，
当时，，
即点的坐标为，
当点在点的右侧时，
∵，，，
，，，
，
∴是直角三角形，
是斜边，
∵，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴经过的中点，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标是．
∴综上所述，点的坐标是或．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论和数形结合的思想是解题的关键．
144．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)的最大值为，此时；
(3)存在，．
【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段周长问题(二次函数综合)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）先求出，再求出直线表达式为，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解；
（）当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，求出，则，证明，所以，又，，故有，则，可得点与点重合，从而求解．
【详解】（1）解：由题意知，解得，
∴解析式为；
（2）解：∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线，
∴，
当，，
∴，
设直线表达式为：，
∴，解得，
∴直线表达式为，
设，
则，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值为，此时；
（3）解：存在，理由如下：
当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，
∵，
∴当时，，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，点与点重合，
∴．
145．（24-25九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围；
(3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值；
(4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)且
(3)或或
(4)存在，或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊三角形问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，即可求解；
（3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，当点M的纵坐标为时，，解得；当点M的纵坐标为时，，即可求解；
（4）当点在点B的上方时，证明，得到，即可求解；当点在点B的下方时，同理可解．
【详解】（1）解：抛物线经过原点，
抛物线的表达式为，
将点代入上式得，，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）中抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，
当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，
即，
点B、M不重合，
故，
即且；
（3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，
当点M的纵坐标为时，，
解得；
当点M的纵坐标为时，，
解得：或，
综上，m的值为1或或；
（4）存在，或，理由如下：
当点在点B的上方时，如图，设点，
过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G，
是以为斜边的等腰直角三角形，
则，
，
，
，
，
，
则点，
将点M的坐标代入抛物线表达式得，
解得（舍去）或，
则；
当点在点B的下方时，
同理可得，点，
将点M的坐标代入抛物线表达式得，，
解得：（不合题意的值已舍去），
则，
综上，或．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
146．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段的值最大？请求出点的坐标和的最大值；
(3)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为，的最大值为
(3)存在，或
【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出直线的解析式为，设，则，表示，可知当时，取得最大值，最大值为，此时，，即可求解坐标以及面积最大值；
（3）根据菱形的对角线垂直且互相平分即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
设，则，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为，
此时，
点的坐标为，的最大值为；
（3）解：存在．如图，
设点，交于点，若四边形是菱形，连接，则，，
，
解得，
或．
147．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值．
【答案】(1)
(2)存在，P的坐标为
(3)的最大值为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用相似三角形的性质求解、面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)
【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）将点和点代入求得a、b的值即可解答；
（2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解；
（3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。
【详解】（1）解：将点和点代入可得：
，解得：，
故抛物线的表达式为．
（2）解：∵抛物线的表达式为，
∴当时，，即
∴，即为等腰直角三角形，
∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，
∴为等腰直角三角形，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的表达式为，
∵抛物线解析式为，
∴该抛物线的对称轴为：，
当时，，即点，
∵，
故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意；
当为直角时，则，
当时，解得：或（舍去），
∴点．
（3）解：如图：连接，设点，
设直线的表达式为，
则有，解得：，
∴直线的表达式为，
∴，
∴，
∴，
．
∴的最大值为．
148．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，抛物线过，，三点，且与x轴交于另一点F．
(1)求抛物线的对称轴方程；
(2)如图1，点C为抛物线对称轴与x轴的交点，连接，直线交抛物线于另一点H，P为直线下方抛物线上的点，连接，若，求P点坐标；
(3)如图2，点M为第一象限内抛物线上一点，过点M的直线与抛物线交于第四象限内一点N，连接，分别交y轴于点D、E，且，求证：直线恒经过一定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)；
(2)P点坐标为；
(3)直线恒过定点．
【知识点】其他问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】（1）根据，坐标以及对称性可求对称轴；
（2）由对称轴得到，所以抛物线，再代入点A坐标，即可得，最后可得抛物线解析式为，再求出的解析式为，与抛物线联立可得．根据已知条件可转化为证明，求得．再由待定系数法可得直线的解析式，与抛物线解析式联立可解得P点坐标为；
（3）设，，利用待定系数法可得直线，和的解析式，求得，，根据可列式化简整理可得，进而可得①，把①式代入直线的解析式中，化简后可得：，令，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过，，
∴抛物线的对称轴方程为直线；
（2）解：∵对称轴为直线，
∴，
∴抛物线，代入点，
得，
解得，
∴抛物线解析式为；
∵点C为抛物线对称轴与x轴的交点，
∴，
又∵，
设直线的解析式为，
代入得，
解得，
由待定系数法可知直线的解析式为，
联立与，
得，
解得或0（舍去），
即．
如图1所示，设交y轴于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
当时，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故，
同理，由待定系数法可得直线的解析式为，
联立直线解析式与抛物线解析式可得，
解得或，
故P点坐标为；
（3）证明：如图2所示，
设，，
故由待定系数法可得直线的解析式为．
∵，再由抛物线对称性可知，
同理可得直线的解析式为，
则，
同理可得直线的解析式为，
则，
∵，即，
化简整理可得，
进而可得①，
把①式代入直线的解析式中，得：
，
令，
解得，此时，
故直线恒过定点．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，函数与方程的转化，函数恒过定点问题，难度较大，对运算变形能力要求高，熟练掌握以上内容是解题关键．
题型三十一 二次函数与一元二次方程（共7小题）
149．（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知二次函数的函数值求自变量的值
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，依据题意，当为锐角三角形时，则，进而计算可以得解．能根据锐角三角形的性质进行判断是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，得；当时，得：，
∴，，
∴，
∵过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，
当时，，
解得：或，
∴点，
∵为锐角三角形，
∴，
∴．
故选：D．
150．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、图象法确定一元二次方程的近似根
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：，
∴对称轴为直线，
由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：，
∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为；
∴一元二次方程的正数解的范围是；
故选:D．
151．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线与轴的交点坐标是 ．
【答案】
【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求出时，的值即可得到抛物线与轴的交点坐标，根据轴上点的横坐标为求出交点的纵坐标是解题的关键．
【详解】解：当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标是，
故答案为：．
152．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、求抛物线与x轴的交点坐标
【分析】本题考查的是抛物线的对称性，先求解抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可．
【详解】解：由题可知，的对称轴为直线，
抛物线与轴的一个交点坐标为，
根据抛物线的对称性知，与轴的另一个交点坐标为．
故答案为：．
153．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为 ．
【答案】，
【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【分析】本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键．
根据图示，由交点横坐标即可求解．
【详解】解：根据题意，关于的方程的解为，
故答案为： ．
154．（24-25九年级上·湖北咸宁·期末）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)或
【知识点】求x轴与抛物线的截线长、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系、配方法的应用
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键．
（1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可；
（2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可．
【详解】（1）解：∵
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：令，得：，
∴，，
∴，
∵抛物线与轴交于点，，且，
∴，
∴，
化简为：，
解得：或．
155．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为．
(1)求这个二次函数的表达式；当时，求的取值范围．
(2)将该抛物线向上平移___________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点．
【答案】(1)这个二次函数的表达式为；当时，y的取值范围为；
(2)3或4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题、利用不等式求自变量或函数值的范围
【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确地求得解析式．
（1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可；抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围；
（2）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可．
【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为，
将代入，得，，
解得，，
∴这个二次函数的表达式为．
当时，，
∵抛物线的顶点坐标为
∴y的最小值为，
∴当时，y的取值范围为；
（2）解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得，
∴与x轴只有一个交点即，
当时，，
∴与y轴的有一个交点即，
符合题意；当经过原点时，
，向上平移3个单位长度，
函数解析式为：，
当时，，
解得：，
所得交点为，符合题意；
∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点．
故答案为：3或4．
题型三十二 圆的概念（共4小题）
156．（24-25九年级上·广东云浮·期末）如果点P在圆O内，，那么圆O的直径可能为（ ）
A．5B．7C．10D．13
【答案】D
【知识点】判断点与圆的位置关系
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点在圆内即可判断求解，掌握点和圆的位置关系是解题的关键．
【详解】解：∵点在内，且，
∴的半径大于，直径大于，
∴的直径可能为，
故选：D．
157．（24-25九年级上·河南周口·期末）若，是半径为4的上的两个点，则弦的长不可能是（ ）
A．2B．6C．8D．10
【答案】D
【知识点】圆的基本概念辨析、求过圆内一点的最长弦
【分析】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可．
【详解】解：∵圆的半径为4，
∴圆的直径为8，
∵是半径为4的圆的一条弦，
∴，
∴弦的长不可能是10．
故选：D．
158．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知半径为，点为内一点，，则满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】利用点与圆的位置关系求半径
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，即可求解．
【详解】解：∵半径为，点为内一点，，
∴．
故选：B
159．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，等边三角形的边长为，点D，E分别是边的动点，且，连接交于点．则 ：连接，线段长的最小值为 ．
【答案】 /60度
【知识点】点与圆上一点的最值问题、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质是解题的关键．
首先由已知条件证明，得到，通过构造圆，找到线段的最小值时，点的所在的位置，进而求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
作的外接圆， 连接交于， 交于，则，
根据圆周角定理可得， ， ，
，，
∴，，
当点与重合时，的值最小，最小值，
故答案为： ，2．
题型三十三 圆的对称性（共3小题）
160．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，是的直径，为上的点，且，连接．若弦，则直径的长为（ ）
A．3B．6C．6D．6
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质．
连接，，，，由，得到，从而是等边三角形，进而即可解答．
【详解】解：连接，，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴直径．
故选：B
161．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图所示，在扇形中，，半径，点F在上，且．点C、D分别在线段、上，，E为的中点，连接．在滑动过程中（长度始终保持不变），当取最小值时，的长为 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短、等边三角形的判定和性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解
【分析】本题考查弧与圆心角的关系，线段最小值问题，等边三角形的判定及性质，解题的关键是明确当，，共线时，的值最小，此时．
连接，，结合题意得，再求出当，，共线时，的值最小，此时，得为等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
，，
，
∵E为的中点，
，
，
，
当，，共线时，的值最小，如图，
此时，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，则，
故答案为：．
162．（24-25九年级上·河南郑州·期末）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”．
定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距．
实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图②，是的平分线上一点，以点为圆心的圆与角的两边分别交于．

(1)求证：；
(2)若角的顶点在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)结论仍然成立，证明见解析
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、角平分线的性质定理
【分析】该题考查了角平分线的性质定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．
（1）如图②过点作于点，于点，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明；
（2）同（1）的作图方法分为如图③，当点在上时，和如图④，当点在内时，根据角平分线的性质定理得出，再根据“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”即可证明；
【详解】（1）证明：如图②过点作于点，于点，
又∵平分，
∴，
∴；

（2）解：结论仍然成立．
理由如下：如图③，当点在上时，由（1）知．
∴，
如图④，当点在内时，由（1）知．
∴．
题型三十四 垂径定理（共3小题）
163．（24-25九年级上·福建莆田·期末）月日上午时分，世界最长高速公路隧道天山胜利隧道全线贯通．天山胜利隧道的建成将进一步巩固新疆在国家安全和维护边疆稳定中的作用，对于防御外部威胁和保障国家安全具有重要意义．隧道中导洞的横截面如图所示，是以为圆心的圆的一部分．已知路面宽约为，净高，那么圆的半径约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了圆中垂径定理和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键；
【详解】解：由题可得：，，，
∵是的弦，
∴，
∴，
设，，
在中，，
即，
解得：，
∴圆的半径约为，
故选：B；
164．（24-25九年级下·全国·期末）如图，已知在中，．
(1)求证：；
(2) 直径于点D，若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题
【分析】本题考查的是垂径定理、全等三角形的判定和性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
（1）延长交于点F，连接，证明，，即可求解；
（2）由垂径定理可知，根据全等三角形的判定定理得出，故可得出的长，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图，延长交于点F，连接，
∵，
∴，且，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）解：设的半径为r，
∵，过圆心，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得，
∴的半径为．
165．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的点，，过点C作于点E，连接相交于点 F．
(1)求证：；
(2)若，．求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】垂径定理的推论、用勾股定理解三角形、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定、垂径定理推论的应用及勾股定理的应用，
（1）先证明，进而证明三角形全等；
（2）根据（1）中结论得出，求出，设，根据勾股定理列方程并解方程即可解决．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
由（1）知，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
题型三十五 圆周角和圆心角的关系（共5小题）
166．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】 求圆弧的度数、等边对等角、根据平行线的性质求角的度数、对顶角相等
【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B
【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键．
167．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，内接于圆，点D在弧上，连接，．下列角中，与相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等
【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆内角度的关系是解题关键．
同弧或等弧所对的圆周角相等，从同弧或等弧的角度去寻找相等的角即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
168．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，内接于，点B是的中点，是的直径．若，，则的长为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】C
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】先根据弧中点的意义得出，再根据直径所对的圆周角是直角得出，从而可利用勾股定理得出，进而得到，再利用圆周角定理得出，从而可求得，于是有，从中可求得．
【详解】解：连接，
∵点B是的中点，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（负值舍去），
故选：C．
【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，圆周角定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
169．（24-25九年级上·广西梧州·期末）工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径
【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角是直角对三个工件进行分析即可得到答案．
【详解】解：因为直径所对的圆周角是直角，
∴只有B选项正确，其他均不正确．
故选：B．
170．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是的直径，点C，D，E在圆上，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，圆内接四边形的性质．连接，得出，，再利用圆内接四边形对角互补求解可得出答案．
【详解】解：连接，

∵同弧所对的圆周角相等，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
题型三十六 确定圆的条件 （共7小题）
171．（24-25九年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（ ）
A．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似
B．相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形
C．三点确定一个圆
D．如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等
【答案】A
【知识点】位似图形相关概念辨析、相似三角形的判定综合、判断确定圆的条件、利用弧、弦、圆心角的关系求证
【分析】此题考查了相似三角形的判定，位似图形的性质，确定圆的条件，同圆或等圆中弦和圆周角的关系，根据相似三角形的判定，位似图形的性质，确定圆的条件，同圆或等圆中弦和圆周角的关系求解即可．
【详解】A．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似，正确；
B．相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，原说法错误；
C．不共线的三点确定一个圆，原说法错误；
D．同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，原说法错误．
故选：A．
172．（24-25九年级上·河北沧州·期末）在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、求特殊三角形外接圆的半径
【分析】如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接，则为的直径，根据是的外接圆，且点H为中点，证明是等边三角形，求出，设的半径为x，则，，在中，利用勾股定理求出，进而得到，根据三角形三边关系得到当点A，Q重合时，即点重合，有最大值，最大值为的长，即可解答．
【详解】解：如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接，
则为的直径，
是的外接圆，且点H为中点，
，，
，
四边形是内接四边形，且，
，
是等边三角形，
，
，
设的半径为x，则，，
在中，，即，
解得：，
，
，
，
当点A，Q重合时，此时点重合，最大，最大值为的长，
此时，，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外接圆的性质，垂径定理，三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，利用三角形三边关系找到中边上高的最大值是解题的关键．
173．（24-25九年级上·云南保山·期末）已知：不在同一直线上的三点．求作，使它经过点．
作法：如图，（1）连接，作线段的垂直平分线；
（2）连接，作线段的垂直平分线，交于点；
（3）以为圆心，长为半径作．就是所求作的圆．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（ ）
A．连接，则点是的内心
B．
C．连接，则不是的半径
D．若连接，则点在线段的垂直平分线上
【答案】D
【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查作图，三角形的外接圆与外心等知识；根据三角形的外心的定义和性质一一判断即可．
【详解】解：连接，
由作图可知，∵点是，垂直平分线上的焦点，
∴点是的外心，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴A错误，D正确，
∵点的位置不确定，
∴的长度不确定，∴B错误；
∵点是的外心，且以为圆心，长为半径作
∴
∴是的半径，∴C错误；
故选：D．
174．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系．
(1)圆心的坐标为______；
(2)求的半径；
(3)若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点在内，理由见解析
【知识点】勾股定理与网格问题、判断点与圆的位置关系、确定圆心(尺规作图)
【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识．
（1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标；
（2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解；
（3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系．
【详解】（1）解：圆心D如图所示；
圆心D坐标为，
故答案为：．
（2）解：由勾股定理得，的半径为．
（3）解：点在内．理由如下：
，
而，
点在内．
175．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在由小正方形组成的网格图中建立一个平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，．圆心为，则的坐标是 ．
【答案】
【知识点】求三角形外心坐标、垂径定理的实际应用
【分析】本题主要考查垂径定理，点的坐标，通过作图，确定圆心的位置是解题的关键．
找到，的垂直平分线的交点即为圆心，再求其坐标即可．
【详解】解：如图，连接，分别作，的垂直平分线交于点，
由图可得点坐标为，
故答案为：；
176．（24-25九年级上·广东珠海·期末）的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图．
(1)在图中以点B为旋转中心，作绕点B逆时针旋转后得到的；
(2)直接写出线段与的位置关系：______；
(3)图中用无刻度的直尺作出的外心O．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【知识点】格点作图题、根据旋转的性质求解、画旋转图形、判断三角形外接圆的圆心位置
【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形外接圆与外心，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）根据旋转的性质即可在图1中以点为旋转中心，作绕点逆时针旋转后得到的；
（2）结合（1）根据网格即可得线段与的位置关系；
（3）作，的垂直平分线，两条线交于一点，即可得的外心．
【详解】（1）解：如图1，即为所求；
（2）解：根据作图可知：；
故答案为：；
（3）解：如图2，点即为所求．
177．（24-25九年级上·全国·期末）请作答：
(1)用直尺和圆规作出 的外接圆 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若 ，，求 ⊙ 的半径长．
【答案】(1)图形见详解
(2)
【知识点】圆周角定理、画圆(尺规作图)、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了三角形外接圆的作图原理、圆周角定理，明确三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点是解决第一问的关键．能够综合运用圆周角定理及三角函数求解半径是解决第二问的关键．
（1）分别作线段，的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作⊙，⊙即为所求．
（2）根据圆周角定理由的度数得到，再根据等腰三角形‘三线合一’得到与的值，最后利用三角函数求得⊙的半径长即可．
【详解】（1）如图，⊙即为所求．

（2）设的垂直平分线交于点，连接，．
．
．
，是的垂直平分线．
，．
．
即⊙ 的半径长为．
题型三十七 直线和圆的位置关系 （共7小题）
178．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列判断正确的是（ ）
A．弧长相等的弧是等弧B．过三点可以确定一个圆
C．同弧或等弧所对的圆心角相等D．垂直于半径的直线是圆的切线
【答案】C
【知识点】圆的基本概念辨析、同弧或等弧所对的圆周角相等、有关切线的概念辨析
【分析】本题考查了圆的确定，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可．
【详解】解：A、弧长相等的弧是等弧，错误，应为能够完全重合的弧是等弧，故不符合题意；
B、过三点可以确定一个圆，不一定成立，应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；
D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故不符合题意，
故选：C．
179．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）同一平面内，已知的半径，点到直线的距离，则与直线的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】A
【知识点】判断直线和圆的位置关系
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，直线与圆相离即可求解，掌握直线和圆的位置与和之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为，
∴，
∴与的位置关系是相离，
故选：A．
180．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交求解即可．
【详解】解：、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8，
∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点，
某个圆上的点到直线l的最大距离为8是，
故选：C．
181．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图， 是的直径，点C在上，点I为的内心，若，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】三角形内心有关应用、圆周角定理、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形
【分析】延长交于点，连接，由圆周角定理可得，从而得出，由三角形内心的定义可得，求出，得出，从而可得，，再由勾股定理得出，即可得解．
【详解】解：如图：延长交于点，连接，
，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵点I为的内心，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内心的性质、勾股定理、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
182．（24-25九年级上·新疆伊犁·期末）如图，是的切线，A，B是切点，点C为上一点，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】多边形内角和问题、圆周角定理、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．
如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是的切线，为切点，
∴，即，
∵点为上一点，，
∴，
在四边形中，．
故答案为： ．
183．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，过F点做，垂足为G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、证明某直线是圆的切线
【分析】本题主要考查切线的性质和判定、勾股定理、等腰三角形的性质、正方形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线构造平行线和正方形是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质可证可证，易得即可证明结论；
（2）由切线的性质可证四边形是正方形可得，设半径为r，由可得，利用勾股定理求出，再在直角三角形中运用勾股定理计算即可解答．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴∠C＝∠OFC，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵与相切于点E，
∴，
∴四边形是长方形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
设的半径为r，则，
∴，
在中，，
∴，
在中，， ，
∴．
184．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，是的切线，为切点，过点作交于点，连接，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图1中作的平分线；
(2)在图2中作的切线（切点不与重合）．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
【知识点】证明某直线是圆的切线、切线的性质和判定的综合应用、等腰三角形的性质和判定、根据平行线的性质求角的度数
【分析】（1）如图所示，设与交于点，连接，根据等边对等角，平行线的性质即可求解；
（2）如图所示，延长交于点，连接，可证，得到，由切线的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，设与交于点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴即为所求作作图；
（2）解：如图所示，延长交于点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的切线，为切点，
∴，
∴，且是半径，点是半径外端点，
∴是的切线，即是所求作图形．
【点睛】本题主要考查圆的基础知识，等腰三角形的定义，平行线的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
题型三十八 圆的综合问题（共2小题）
185．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）如图，点A在以为直径的半圆上，，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，点F与点D关于对称，点G与点D关于点A对称．连接、、、、、，则：
（1）当四边形是正方形时， ；
（2）当的一边与相切时，的长为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、圆与四边形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）先利用对称的性质得到，则可判断四边形为矩形，再根据圆周角定理，由为直径得到，则，由于点与点关于对称，则于，如图，设，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，接着利用正方形的性质得，则，所以，解得，于是得到；
（2）当与相切时，设点为切点，连接交于，交于，如图，则，先证明，得到，同时有，，设，则，，所以，在中，可表示出，，然后根据30度的直角三角形得，即，解方程求出即可得到的长．
【详解】解：（1）∵点与点关于对称，点与点关于点对称，
∴，，
∵点与点关于对称，点与点关于对称，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵为直径，
∴，
在中，
∵，
∴，，
∵点与点关于对称，
∴于，如图，
设，
在中，
∵，则，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
而，
∴，解得，
∴；
故答案为：；
（2）当与相切时，设点为切点，连接交于，交于，如图，则，
∵四边形为矩形，
∴，，
而，
∴，
∴，
∵，，
∴设，则，，
∴，
在中，，，
∵，
∴，则，
∴，解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何综合题，考查了圆周角定理、切线的性质和矩形的判定与性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，正方形的性质等，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
186．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值；
(3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【知识点】圆与函数的综合(圆的综合问题)、面积问题(二次函数综合)、切线的性质定理、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，切线的性质、勾股定理、正方形、三角形面积的计算等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键；
（1）利用待定系数法即可得出答案；
（2）连接、，过点P作，交BC于点D，求直线的解析式，设点P坐标为，则，得出，根据，运用三角函数的性质可得结论；
（3）设点P坐标为，则
设的半径为r．根据切线的性质得，然后根据的长为边长的正方形的面积与的面积相等，列式计算即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，得，
∴，
∴；
（2）连接、，过点P作，交于点D．
由题意，可得点，设直线对应函数表达式为，则
∴，
∴
设点P坐标为，则，
则
当时，的最大值为8．
∴，
∴，
∴最大．
（3）设点P坐标为，则
设的半径为r．
∵与相切，切点为T．
∴
∵以的长为边长的正方形的面积与的面积相等
∴，
∴
∵，
∴，
∴的半径是常量．
题型三十九 切线长定理（共4小题）
187．（24-25九年级下·全国·期末）如图所示，已知，切于A，B两点，C是上一动点，过点C作的切线交于点M，交于点N，连接，，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】应用切线长定理求解
【分析】本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
根据三角形内角和定理求出的度数，根据补角的概念求出，根据切线长定理得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵、是的切线，
∴，
∵、是的切线，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
188．（24-25九年级上·广东·期末）如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ．
【答案】10
【知识点】应用切线长定理求解
【分析】本题主要考查了切线长定理．直接利用切线长定理得出，进而求出的长．
【详解】解：∵切于点A，B，切于点E，
，
的周长是20，
，
，
，
，
故答案为：10．
189．（24-25九年级上·全国·期末）如图所示，在梯形中，，为内切圆，E、F为切点．
(1)试猜与的位置关系，并说明理由．
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【知识点】切线的性质定理、应用切线长定理求证、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查的是切线长定理的应用，勾股定理的应用，切线的性质；
（1）先证明，再证明，，可得，从而可得结论；
（2）先求解，结合切线的性质求解，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵在梯形中，，
∴，
∵为四边形内切圆，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，
∵切于，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为：．
190．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接．
(1)若与相切于点，求证；
(2)若，求证与相切．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【知识点】切线的性质和判定的综合应用、应用切线长定理求证、全等三角形综合问题
【分析】（）利用切线长定理证明，即可求证；
（）延长到点，使得，连，过点作，垂足为G，连接，，，，证明，再由证明，根据性质再证明，最后由性质即可求证；
此题考查了切线长定理和切线的判定与性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点，
∴ ，，
∵，
∴；
（2）证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，，
∵，，
∴ ，
∵，是的切线，，为切点，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴与相切．
题型四十 圆内接正多边形（共3小题）
191．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】B
【知识点】已知正弦值求边长、正多边形和圆的综合
【分析】本题考查了正多边形的性质，三角函数等.
连接，过作交于，由正多边形的性质得，由正弦函数得，结合三角形的面积，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过作交于点，
正八边形内接于，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
解得：，
的半径为；
故选：B．
192．（24-25九年级上·河南信阳·期末）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形是 ．
【答案】正六边形
【知识点】已知正多边形的中心角求边数
【分析】本题考查了正多边形的边数与中心角的关系，掌握正多边形的中心角等于是解题的关键．
根据正多边形中心角等于即可求解．
【详解】解：由题意得，边数为，
故答案为：正六边形．
193．（24-25九年级上·北京丰台·期末）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形、则地基的周长为 m．
【答案】
【知识点】求正多边形的中心角
【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可．
【详解】解：如图，
∵，,
∴，即正六边形的边长为，
∴地基的周长为，
故答案为：.
题型四十一 弧长及扇形的面积（共9小题）
194．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】根据旋转的性质求解、求图形旋转后扫过的面积
【分析】本题主要考查了扇形的面积、旋转的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），设旋转后，点的对应点分别为点，则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积，连接，先利用勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，然后根据线段在旋转过程中扫过的面积等于求解即可得．
【详解】解：如图，设旋转后，点的对应点分别为点，
则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积，
连接，
∵矩形中，，，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，，，
∴线段在旋转过程中扫过的面积为
，
故选：A．
195．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求弧长、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，弧长，综合运用相关知识是解题的关键．
先根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由旋转得，从而证得是等边三角形，得到，即旋转角为，再根据勾股定理求出，根据弧长公式即可解答．
【详解】解：∵点D是的斜边的中点，
∴，
由旋转可得，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴由旋转可得，
∵点D是的中点，
∴，
∴在中，，
∴．
故选：C
196．（24-25九年级上·云南昆明·期末）“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则此草锅盖的侧面积约是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求圆锥侧面积
【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：此草锅盖的侧面积为：．
故选：C．
197．（24-25九年级上·江苏常州·期末）若将一个半径为，面积为的扇形卷成一个圆锥体，则此圆锥的高为 ．
【答案】
【知识点】求圆锥底面半径、求扇形面积、求圆锥的高、求弧长
【详解】本题考查了扇形的面积和弧长，圆锥的高，先利用扇形的面积求出圆心角度数，再求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面圆半径，最后根据勾股定理即可求出圆锥的高，掌握扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长是解题的关键．
解：设扇形的圆心角度数为，则，
∴，
∴扇形的弧长为，
设圆锥的底面圆半径为，则，
∴，
∴此圆锥的高，
故答案为：．
198．（24-25九年级上·山东威海·期末）一个圆锥的主视图如图所示，则该圆锥侧面展开图的圆心角为 ．
【答案】/90度
【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角
【分析】本题主要考查了圆锥的计算，根据底面周长等于扇形的弧长求得答案即可．
【详解】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为，
由题意得，，
解得，
∴设该圆锥侧面展开图的圆心角为，
故答案为：．
199．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是 平方尺．（结果用含的式子表示）
【答案】
【知识点】求扇形半径、求圆锥底面半径
【分析】本题主要考查了圆锥的计算、弧长的计算等知识点，从实际问题中抽象出圆锥的知识是解题的关键．
设米堆底部的扇形半径为r尺，根据米堆底部的弧长为8尺，求出底面半径为，所以这个米堆遮挡的墙面面积为两个三角形的面积的和，据此解答即可．
【详解】解：设圆锥的底面半径为r尺，
由米堆底部的弧长为8尺，可得，解得：，
∴这个米堆遮挡的墙面面积是（平方尺）．
故答案为：．
200．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，，，，两两不相交，且半径都是，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ．
【答案】
【知识点】求扇形面积
【分析】本题考查扇形的面积，关键是由图形得到四个扇形的面积之和半径是的圆的面积．四个扇形的面积之和=半径是的圆的面积，由此即可计算．
【详解】解：四边形内角和是，
四个扇形的面积之和半径是的圆的面积，
故答案为：．
201．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质、求其他不规则图形的面积、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了扇形面积的计算，线段的中垂线，解直角三角形等知识，根据中垂线的性质以及解直角三角形可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可，掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵
∴
∵是的中垂线，
∴，，
∴，
∴，，
∴
，
故答案为：．
202．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均在网格线的交点上．以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到．
(1)请在网格中画出．
(2)求点B从开始到结束所经过的路径长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】求某点的弧形运动路径长度、画旋转图形
【分析】本题考查作图-旋转变换、轨迹，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
根据旋转的性质作图即可．
利用勾股定理求出OB的长，再利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）由勾股定理得，，
点B从开始到结束所经过的路径长为
一、单选题
1．若一元二次方程的一个实数根为m，则的值是（ ）．
A．2023B．2024C．2025D．2026
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程根的定义，得到，然后整体代入求值．
【详解】解：∵ 是方程 的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末），，三点在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出抛物线的开口向上，对称轴为直线，结合即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∵，
∴，
故选：B．
二、填空题
3．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查比例的性质，分式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据比例关系设参数，代入表达式化简即可．
【详解】解：∵，
∴设，（），代入 得：
故答案为：．
4．已知点，，均在反比例函数的图象上，则函数值的由大到小的关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较函数值．
通过代入反比例函数解析式计算各点纵坐标，并比较大小．
【详解】解：对于反比例函数，
当时，；
当时，；
当时，．
由于，因此，
故答案为：．
5．如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体（含一个侧面与两个底面）的表面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握圆柱的底面直径和高线长是解题的关键；首先判断该几何体的形状，然后根据其尺寸求得其侧面积和底面积，则表面积可求．
【详解】解：根据三视图可得该几何体为圆柱体；底面直径为4，则半径为2，高为6，
∴，
故答案为：.
三、解答题
6．如图，矩形中，，，点、分别在、上，且．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论；
（2）过F作于点H，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：在矩形中，，，
，，，，
，
，
由勾股定理得，
，
四边形是菱形；
（2）解：过作于，则四边形是矩形，
，，，
．
7．在一节数学实践课里，老师布置了如下任务：在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺，在图中的线段上找一点，连结，使平分的周长；
如图1为小瑞的作法，其作法是否正确______（填正确或错误），并说明理由．
【答案】正确，理由见解析
【分析】利用网络，结合勾股定理，分别求出相关线段的长，再证明，列出比例式分别求得、，再说明平分的周长．
【详解】解：正确 ，理由如下：
如图，

由题意得：，
，
，
，，
，
∴，
∴，
∴
∴，
即平分的周长，
∴小瑞的作法正确，
故答案为：正确．
【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，无刻度直尺作图，利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
8．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，以为直径的经过的顶点C，点E是的内心，连接并延长交于点D，连接．
(1)试判断的形状并证明；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析
(2)
【知识点】圆周角定理、等边三角形的判定和性质、求弓形面积、三角形内心有关应用
【分析】本题是圆的综合题，考查了扇形的面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）根据圆周角定理得到，由点是的内心，得到、分别平分、，根据角平分线的定义得到，，得到，根据等腰直角三角形的判定定理得到结论；
（2）连接、，与交于点，由（1）可知△为等腰直角三角形，根据勾股定理得到，根据平分，，求得，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
∵为直径，
∴，
∵点E是的内心，
∴分别平分、，
∴，，
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：如图，连接与交于点F，
由（1）可知为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型1 菱形的性质与判定
题型22 锐角三角函数
题型2 矩形的性质与判定
题型23 30°， 45° ，60°角的三角函数值
题型3 正方形的性质与判定
题型24 解直角三角形
题型4 认识一元二次方程
题型25 三角函数的应用
题型5 用配方法求解一元二次方程
题型26 利用三角函数测高
题型6 一元二次方程根的判别式
题型27 二次函数
题型7 用因式分解法求解一元二次方程
题型28 二次函数的图象与性质
题型8 应用一元二次方程
题型29 二次函数的应用
题型9 概率的进一步认识
题型30 二次函数综合
题型10 成比例线段
题型31 二次函数与一元二次方程
题型11 平行线分线段成比例
题型32 圆的概念
题型12 相似多边形
题型33 圆的对称性
题型13 探索三角形相似的条件
题型34 垂径定理
题型14 相似三角形实际应用
题型35 圆周角和圆心角的关系
题型15 相似三角形的性质
题型36 确定圆的条件
题型16 图形的位似
题型37 直线和圆的位置关系
题型17 投影
题型38 圆的综合问题
题型18 视图
题型39 切线长定理
题型19 反比例函数
题型40 圆内接正多边形
题型20 反比例函数的图象与性质
题型41 弧长及扇形的面积
题型21 反比例函数的应用
方案Ⅰ：
取，以A，B为顶点作平行四边形，连接．
方案Ⅱ：
取，以A，B为顶点作矩形，连接，交于点C，连接．
0
1
2
5
摸球的次数n
100
150
300
500
800
1000
摸到红球的次数m
61
93
b
301
480
601
摸到红球的频率
a
0.62
0.59
0.602
0.60
0.601
……
……
……
……
……
……
…
0
1
2
3
…
…
3
0
3
…