2026年9年级上册人教版数学 期末考试专项训练含答案专题09 期末真题百练通关（93题8大选填小压轴题型）

这是一份2026年9年级上册人教版数学 期末考试专项训练含答案专题09 期末真题百练通关（93题8大选填小压轴题型），共10页。试卷主要包含了求值类问题，折叠问题，旋转问题，动点问题，最值问题，多结论问题，分类讨论多解问题，新定义问题等内容，欢迎下载使用。

题型一 求值类问题（共9小题）
1．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，连接必经过点；设与交于点，与交于点．
为菱形，，
，
为对角线，
，
，
，
同理，可得，
，
，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
故选：A．
2．（23-24九年级上·四川内江·期末）如图，在中，，，，是斜边的中点，过作于，连接交于；过作于，连接交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点、、…、，分别记、、、…、的面积为、、、…、．则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解∶ ∵中，，，，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∵是斜边的中点，
∴，
∴，，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
同理，
…，
∴；
∴．
故选：C．
3．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：在矩形中，，
，
，
，
，
，
，
，则，设，则，
，
在中，，
，即，解得或（负值舍去），
，
故选：A．
4．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，点A在反比例函数（）的图象上，点B在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数（）的图象于另一点C．连按，若点C为的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图，分别过B、A作x轴垂线，垂足分别为E、D，过O作于F；
则，
∴；
设，
则；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴或（舍去），
即，
∴，
即；
设，则，
由勾股定理得：；
∵C为中点，
∴；
∵，
∴，
由勾股定理得，
在中，．
故选：C．
5．（24-25九年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
过点D作，交于点H，连接，证明，得到，，再根据得到．证明四边形是平行四边形，得到，证明，得到，，则，，进而得到，根据得到，最后由即可解答．
【详解】解：过点D作，交于点H，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
6．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，内接于，直径交弦于点E，延长交过点C的切线于点F，连接．若， ，，则 ， ．
【答案】 9
【详解】连接，作于点，则，
∵是的直径，与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：9；．
7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点D为中点，过点B作，连接，交于点F，若，，，则的长为 ．
【答案】13
【详解】解：连接，过点作，交于点，
∴，
∵点D为中点，，
∴是的中位线，，
∵，
∴，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：13．
8．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，在内部交于点，作射线，过点作的垂线分别交于点，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，
矩形中，，
，
．
由作图过程可知，平分，
四边形是矩形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
．
，
．
，，
，
，即，
解得．
故答案为：．
9．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在中，点是的中点，，若，则的长度为______．
【答案】
【详解】解：如图所示，作的中位线，交于点，交于点，
，且，
，
在和中，
，
，
，
在中，
，，
,
又，
，
，
，
，
解得，
，
故答案为．
题型二 折叠问题（共4小题）
10．（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点分别在上，连接，且满足．现将沿所在直线折叠，当点恰好落在边的点处时，则的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：连接，如图所示：

在中，，则，且，
，
，
将沿所在直线折叠，当点恰好落在边的点处时，则，，，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，即，解得，
故选：B．
11．（24-25九年级上·湖北·期末）正方形，点，在边，上，沿折叠正方形，使点恰好落在边的中点处，点是的中点，若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
如图，作于，令交于，
，
由折叠的性质可得：，，，，，
设，则，
由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上（点E不与点A，B重合），连接，且，将沿直线翻折，点B的对应点恰好落在边上．若，则 （用含α的代数式表示），的长为 ．
【答案】 /
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
由折叠知，
∴，
∴，
∴，
如图，过D作于H，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：或，
当时，，则，此时点E与点A重合，不符合题意，舍去，
∴，
即，
故答案为：．
13．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：连接并延长，交延长线于点，连接，过点作的垂线，交延长线于，
设，
，是菱形，
， ，，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
，
是中点，
，
，
在中， ，即，
整理得：，
，
，，
，
，即：，即：， 即：，
将，代入可得：，
，
，
故答案为：．
题型三 旋转问题（共4小题）
14．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，菱形纸片ABCD的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后到的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )
A．8B．C．D．
【答案】C
【详解】解：
根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形，
旋转前后两菱形里鲁部分多边形的周长是．
故选：C．
15．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是等腰梯形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
16．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，将沿翻折得到，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，点E为的中点，连接，，则 ；若，则的面积是 ．
【答案】 30 /
【详解】解：连接与相交于点，连接，
∵，
∴，
由折叠可得，，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
由旋转得，，，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∵点E为的中点，，
∴，
∴，垂直平分，
∴；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：30；．
17．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，正方形中，点为正方形对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点恰好落在边上的点处，（不与点重合），连接，交于点，下列结论：①；②；③；④若时，则；其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】②③/③②
【详解】解：连接，如图所示：
在正方形中，，
与的交点为，
根据过点有且只有一条直线与垂直可知，错误，即①不符合题意；
过点作、，如图所示：
，
由旋转性质可知，，
在正方形中，是的角平分线，则，
在和中，
，
，
，
在正方形中，，，则四边形为正方形，
，
，
在中，，，则为等腰直角三角形，
，
，，
，
，即，即②符合题意；
将绕着点逆时针旋转得到，如图所示：
，
，，，，
，
在中，由勾股定理可得，，即，
，
，
在和中，
，
，
，
，即③符合题意；
过点作、，如图所示：
，
由平行线分线段成比例可得，
设，则，
，且正方形的边长，
，
，
，
，即④不符合题意；
综上所述，正确的结论有②③，
故答案为：②③．
题型四 动点问题（共6小题）
18．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，在四边形中，，，，以中点为圆心作弧及弧，动点从点出发沿线段，弧，弧，线段的路线运动，点从点C运动到点时，线段扫过的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：连接，如图所示：
由题意得：，
∵，，
∴
∴均为等边三角形
∴
∴，
∴线段扫过的面积
故选：C
19．（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知正方形边长是5，点P是线段上一动点，过点D作于点E．连接．若，则的面积是（ ）
A．B．20C．3D．10
【答案】D
【详解】解：如图，过点C作于H，
∵，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
20．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，正方形的边长为6，P为边上的动点，连接，作交边于点Q．当点P从B运动到C时，线段的中点M所经过的路径长为 ．
【答案】
【详解】解：连接，取的中点O，连接，
由中位线的性质得，且，
，得点M运动路径是经过点O且平行于的一条线段，
设设，
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
又，
，
，
，得，
∴当时，的最大值为，
的最大值为，
即点M的运动路径从O到M再到O，路径长．
故答案为：．
21．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形中，，点P为上动点，点Q在的延长线上，且，相交于点E，当点P从点A运动到点B时，点E运动的路线长度为 ．
【答案】
【详解】解：当点P在点A处时，如图，
，，
，
当点P运动到点B时，如图，
，
所以点E运动的路线，如图，
，
过E作，交于点F，即，
∵四边形为正方形，
，
在中， ，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，即，
解得：，
，，
在中，
．
故答案为：．
22．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，一次函数的图象分别与轴相交于点A，B，点C，D是射线上的两个动点，且（点在点的左侧），点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，运动时间为，以为边向右作一个等腰直角三角形，使．现有二次函数的图象恰好经过点，该二次函数的图象交轴于点E，F，则当时，运动时间的值为 ．
【答案】6
【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，交于，过点作轴于，
∵一次函数的图象分别与轴相交于点A，B，
∴当时，，当时，，
∴，，，
∴，
∵以为边向右作一个等腰直角三角形，使，
∴，
∴，
∴轴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴直线是抛物线的对称轴，为顶点，
∵，，
∴四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，
∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，运动时间为，
∴，，
∴，，
∴，，，
∴，
∵二次函数的图象恰好经过点，
∴，
①②得：，
③①得：，
∴，
解得：，，
∴代入②得：，即，
∵二次函数的图象交轴于点，，则当，
∴一元二次方程的两个根为，两点的横坐标，设为、，
∴，，，
∴，即，
解得：．
故答案为：
23．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，，以为圆心，为半径画圆，点是上一个动点，连接，，记，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：过C点作的平行线，以C点为原点，以的平行线为x轴建立平面直角坐标系，如图，
此时y轴交于点H，则，
则，
∵，，， ，
∴，
∴，
∵，
即，
∴点H的坐标为：，
∴点A，点B的纵坐标都为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点，
同理可求出，
设，
∴，，
∴
∵点是上一个动点，且的半径为2，
∴，
∴，
故答案为：．
题型五 最值问题（共28小题）
24．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，等边边长为，E、F分别是边上两个动点且．分别连接，交于P点，点M为的中点，N为上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【详解】解：∵等边边长为，点M为的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
以为边在外作等边，取的外心为，连接，
∵，
∴点在上运动，
作点关于的对称点，连接交于点，
当点在同一直线上时，有最小值，最小值为的长，
过点作直线的垂线，垂足为，如图，
∵，，，
∴，，
∴，
∵是的外心，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
在中，，
∴，
∴的最小值为：，
故选：B．
25．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，点是抛物线上第一象限内一动点，，，过点分别作轴、轴的平行线，分别交直线于，两点，过点作的垂线，垂足为．下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最大值为
C．的最大值为2D．周长的最大值为
【答案】D
【详解】解：设直线解析式为，则有，解得，
∴直线解析式为；
设，则点H的坐标为，
∴，
配方得：，
当时，有最大值；
∵，，
∴；
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，故选项C错误；
∴由勾股定理得；
∵，
∴，由勾股定理得，
即
∴的最大值均为，
故选项A、B错误；
∵周长为，
∴当最大时，周长也最大，且最大值为：，
故选项D正确；
故选：D．
26．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，的半径为5，四边形是的内接四边形，（，位于圆心O的两侧），，，将，分别沿，翻折得到，，M为上点，过点M作交于点N，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【详解】解：如图，过点O作于P，交于Q，设弧所在的圆的圆心为，弧所在的圆的圆心为，连接，，，，，，，设交于J．

∵，，
∴，，
∵，，
∴．
同法可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
过点作交的延长线于T．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
根据对称性可知，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为4．
故选：A．
27．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】C
【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，
则，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵菱形中，，且，
∴，
∴，
∴，
∴当点E在线段上时，取得最小值17．
故选：C．
28．（23-24九年级上·福建厦门·期末）如图，已知矩形，，，点N是边上一点，且，将矩形绕A顺时针旋转（），得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G，连接．点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为 ．
【答案】
【详解】解法一：连接、，延长至，使得，则为中点，连接、，
又点M是的中点，
，
最大时，最大，
在中，，
，
即动点在以为圆心，半径为的圆上，
，
则．
故答案为：．
解法二：连接，交于点O，连接，，过点作于点，连接，
∵是矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴
∴，，
∵，
∴，
在中，
∴线段的最大值为
故答案为：．
29．（23-24九年级上·福建福州·月考）如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】连接，以为一条边在右侧作正方形，
∵是直径，
∴，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上运动，设该圆为．
∵四边形和四边形是边长相等的正方形，
∴，，
∵
∴，
∴
连接，，，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：
30．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，过A，C两点的交线段于D点，交于E点，交于F，则的最大值为 .
【答案】
【详解】解：取的中点G，连接，，过点作于点H，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂线段最短，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
31．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，现有一张含的直角三角形纸片，最短边，分别以为菱形的一个内角折出三个面积最大的菱形，则这三个最大菱形的面积最大值和最小值和为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
如图，以为菱形的一个内角折出的最大菱形，
设菱形的边长为，则，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，以为菱形的一个内角折出的最大菱形，

∵，
∴菱形为正方形，
设正方形的边长为，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，以为菱形的一个内角折出的最大菱形，

设菱形的边长为，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴三个最大菱形中面积最大值为，最小值为，
∴最大值和最小值和为，
故答案为：．
32．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，内接于，已知是直径，，，点在直径上方的半圆上运动，连结交于点，则的最大值为 ．

【答案】
【详解】分别过点C，D作于点F，于点G，
则
是直径，

所以当取最大值时，的值最大，
当点D位于的中点时，取最大值为1，
所以的值最大值为．

33．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）已知：如图等腰中，，是边上的高，，是上一动点，则的最小值为 ．
【答案】8
【详解】解：过点作，如图所示：
在等腰中，是边上的高，
在中，，，则，由勾股定理可得，
，
在中，，则，
，
如图所示，当三点共线，且时，有最小值，为，
由等面积可知，则，
故答案为：8．
34．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，中，，，，点D是边上任意一点，以为边在的右侧作等边，则面积的最大值为 ．

【答案】
【详解】解：如图，作于M，

∵，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
∴，，
设，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在上截取，
则，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的面积，
∴当，即时，面积的最大值．
故答案为：．
35．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，点在的延长线上，点在直线上，连接，若，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：在矩形中，，，
，即，
，
点在以中点为圆心、长为半径的圆上运动，如图所示：
由动点最值点圆模型（圆外一定点与圆周上一动点距离最值问题）可知，的最大值为连接并延长交于的线段长，
在中，，则，
，
故答案为：．
36．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点Р在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，则点Р沿半圆由点A运动至点B的过程中，线段的最小值为 ．

【答案】
【详解】解：如图，设的中点为O，连接，作于H，

，
是的中点，
，
，
，
∴点M的运动轨迹是以为直径的⊙T，
设⊙T交于点E，交于点F，连接，则是直径，
∴点M的运动轨迹在以为直径的上（即上），，
，
，
连接，与交于点M，

在中，
，
，
当时，此时最小，
，
故答案为：．
37．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，线段，点为平面上一动点，连接，，且，为线段的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段，则线段的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：，
点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，
，
取的中点，连接，为的中点，
为的中位线，
，，
如图所示，过点作，且，连接，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
的最大值为，
故答案为：．
38．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，的顶点O是坐标原点，点，点，点M是边上一动点，从O向A运动，连接，过点A作于点C，连接．当取得最小值时，的坐标是 ．
【答案】
【详解】解：∵点，点，
∴，
∵，
∴在点的运动过程中，始终有，
∴如图，在点的运动过程中，点的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上，
设的中点为点，的中点为点，连接，
∴，，即，
∴，
由三角形的三边关系得：，当且仅当点共线时，等号成立，
即当点共线时，取得最小值，
∴此时，
∵点为的中点，
∴，
∴点为的中点，
设点的坐标为，则，
又∵，
∴，解得，
∴点的坐标为，
故答案为：．
39．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，若，则四边形面积的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作于点，于点，
∵，
∴，
∴，
设则，设四边形面积为
∴
，
当时，有最大值为，
故答案为：．
40．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过作于点，
设，
，
，
过作于点，过作于点，则，
，
，
，，
，
，即，
，
，
即，
解得，
的半径最小值为
故答案为：
41．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形中，，平分，，，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：作的外接圆，设圆心为O，延长交圆O于E，连接、，
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
过E作于H，分别取、的中点I、F，连接、、，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，I为的中点，
∴，
∵，
∴，当I、B、C共线时取等号，
∴的最小值为，
故答案为：．
42．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，已知点，点B为直线上的一个动点，点且垂足为点C，连接．若与y轴正半轴的所夹锐角为，当的值最大时，x的值为 ．
【答案】
【详解】解：过点作轴交于点，过点作轴交于点，
设，
，
，
，
，
，
，
点，点，
，，，，
，
，且，
，
，
，
与轴正半轴的所夹锐角为，
，
当最大时，最小，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
当最小时，最小，
，
，
，
时，的值最小，
即当的值最大时，x的值为．
故答案为：．
43．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向右运动，同时动点F从点D出发、以每秒4个单位长度的速度沿向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接，过点C作于点G，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：连接交于点M，取中点，连接，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即得到点M为定点，
∵，
∴，
∴点G在以为直径的圆上运动，即点G在上运动，
当重合时，有最大值，最大值为的长，此时，过点M作于点H，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
44．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在矩形中，，，在平面内有一动点，，作，且，连接，为线段上一点，且，连接，则最小值为 ．

【答案】
【详解】解：如图，连接、，在上取点，使得，在上取点，使得，连接、、，
延长至点H，使，连接，
∵，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
，
∴，
∵在矩形中，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴当点、、三点共线，点在线段上时，取得最小值，
∴最小值，
故答案为：．
45．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在正方形中，，为直线上的动点，连接，．为上一动点，连接，使得．在点的运动过程中，的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：连接，取中点E，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∵正方形中，，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴点N在以为直径的圆上运动，
∴当B、N、E三点共线，且N在线段上时，最小，最小值为，
∵E为中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
46．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，直线、分别经过点、，且．若直线关于对称的直线为，直线关于对称的直线为，直线、交于点，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：∵，点，
∴，
如图：过C分别作的垂线，垂足为E、F、G，
∵点是的内心，
∴,
∵直线关于对称的直线为，直线关于对称的直线为，直线、交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即,
∴点P在以为直径的圆O上，C、O、P共线时最大，
∴，,
∵,
∴,即，
∴,
∴,
∴，
∴的最大值为为．
故答案为：．
47．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，在边和边上分别截取，，使，分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交边于点．点从点出发，沿方向向终点运动，连接，点在边上，且．设，，若关于的函数图象过点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：根据作图可得是的角平分线，则
∵在中，，，
∴
∵
∴
∵设，，关于的函数图象过点，
当重合时，重合，
∴，
如图，作，延长至，交于点，
∴，
∴
设，则
∵
∴
∴
∴
∴，
∴
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴当时，的最小值为
故答案为：．
48．（23-24九年级上·浙江·期末）已知的直角顶点与原点重合，点，都落在抛物线上，则与轴的交点为 ；若于点，则点到点的最大距离为 ．
【答案】
【详解】解：设直线解析式：，点坐标：，点坐标：，
过点作轴于点，过点作轴于点，如图，
则，，，，
，，
，
，
，即：，
，
设直线解析式，将、坐标代入，
，解得：，
则直线解析式：，
当时，，将代入，得：，
与轴的交点为，
设与轴的交点为点，中点为，点为点，
，，为中点，
在中，，
在中，，
点轨迹为，以为圆心，长为半径的圆，
的最大值为：，
故答案为：，．
49．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，在正方形中，，O为上一点，且，将线段绕点O逆时针旋转（旋转角小于），得到线段，连接并延长，交直线于点P，则的最小值为 ，最大值为 ．
【答案】 2 14
【详解】解：∵正方形中，，
∴，，
如图，当与相切时，最小，则，
∴为的切线，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴的最小值为：；
如图，当与相切于正方形外的点时，此时最大；
同理可得：，
∴的最大值为：；
故答案为：2，．
50．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，．点E是上的动点，点F是线段上的点，且，，相交于点P，则的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】
【详解】解：设， ∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，，
∴，
，即，
∴，
在中，，
∴，
令，则，
∴，
∵，即，
∴，
∴，即，
∴当时，即时，取得最大值，
最大值为：；
当时，即时，取得最小值，
最小值为：；
故答案为：，．
51．（23-24九年级上·天津·期末）已知，均是边长为4的等边三角形，点D是边的中点．
（Ⅰ）如图①，这两个等边三角形的高为 ；
（Ⅱ）如图②，直线相交于点M，当绕点D旋转时，线段长的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查等边三角形的性质、勾股定理，圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，得到点M的运动路线是解答的关键．
（Ⅰ）可根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可；（Ⅱ）如图①中，连接、、，根据题意可得，，，分别证明和，利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定与性质推导出，则点M在以为直径的圆上运动，进而得到当点M运动到时，最短，利用圆的基本知识求解即可．
【详解】解：（Ⅰ）如图①中，连接，
∵是边长为4的等边三角形，点D是边的中点，
∴，，，
在中，
∴
故答案为：；
（Ⅱ）如图①中，连接、、，
由题意，，，，
∴，，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点M在以为直径的圆上运动，
如图②中，当点M运动到时，最短，
∵，，
∴的最小值为，
故答案为：．
题型六 多结论问题（共23小题）
52．（23-24九年级上·广东广州·期末）抛物线（a，b，c是常数，）经过，，三点，且．在下列四个结论中：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则；其正确结论的序号是（ ）．
A．②③④B．①②④C．①②③D．①③④
【答案】B
【详解】解：图象经过，则把代入，
得：，故①正确；
图象经过，，即抛物线与轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与轴的交点 都在的左侧，
∵中，
∴抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即，
∵，
即
∵，，
∴，，
∴方程的两个根的积大于0，即，
∵，
∴，
∴，即抛物线的对称轴在直线的右侧，
∴抛物线的顶点在点的右上方，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴当 时，，
∴抛物线对称轴在直线的右侧，
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∵，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴，故③错误；
方程可变为，
∵方程有两个相等的实数解，
∴．
∵，即
∴，
即，
∴，
∴，即，
∵，在抛物线上，
∴，为方程的两个根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．故④正确．
综上，正确的结论有：①②④．
故选：B．
53．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，，结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③时，函数有最大值；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：①∵直线与抛物线相交于点A，B，
∴由图象可知：当时，直线在抛物线的上方，
∴，即①正确；
②由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根．
∴是方程的一个解，即②正确；
③将点代入得：，解得：，
将点代入得：，解得：，
∴函数为：，
∴时，函数有最大值；即③正确．
④由③可得抛物线的解析式为：，
∴当时，有最小值，
∵
∴由函数图象可知：当时，有最大值5，
∴当时，的取值范围是，即④错误．
综上，正确的有3个．
故选：C．
54．（23-24九年级上·贵州遵义·期末）在平面直角坐标系中，函数（）的图象与坐标轴交于，，三点，则下列说法正确的是（ ）
（1）；
（2）若是周长为的等边三角形，，则函数图象经过点；
（3）若，的值不变，则的面积随的增大而减小；
（4）若是直角三角形，则的判别式．
A．（1）（3）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）
【答案】C
【详解】解：∵函数（）的图象与坐标轴交于，，三点，
∴函数为二次函数，且与轴有两个交点，
∴，故（1）不符合题意；
如图，∵是周长为的等边三角形，，
∴，，

∴，，
设抛物线为，
∴，解得：，
∴抛物线为，
当时，，
∴图象过，故（2）符合题意；
如图，

∵时有两个实数根，
∴，
∴，
当，，
∴，
∴，
∴当，的值不变，则的面积随的增大而增大；故（3）不符合题意；
如图，当为直角三角形时，，

设，，，
∴，
∴即，
∵，是的两个根，
∴，，
∴，而（等于0就没有三个交点）
∴即，
∴，故（4）符合题意；
故选C
55．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ）
①；②；③若是方程的两个根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有．
A．个B．个C．个D．个
【答案】D
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，
∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，
∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
∴抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
∴时，，
即，
∴，故②正确；
由方程得，，
画函数的图象如下，
由图象可知，直线与抛物线相交于两点，交点横坐标满足，故③正确；
∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为 ，，且，
∴点在对称轴右侧，
当时, 在抛物线的右侧，随的增大而减小，
∵，
∴，
当时，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
∵,
∴，
又∵抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的越近，函数值越大，
∴，
∴图象上有两点和，若，且，则一定有，
故④正确；
∴结论正确的有个，
故选：．
56．（24-25九年级上·重庆渝中·期末）已知是直线l上互不重合的三个点，，，，其中，，下列说法正确的个数是（ ）
①当时，点C在之间；
②当时，点A在之间；
③至少存在一个m的值，使点B在之间．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【详解】解：①当时，，，
当点C在之间时，恒成立，方程有实数解．
整理方程得，解得，，
∴当时，点C在之间，正确，符合题意；
②当点A在之间时，恒成立，即方程有实数解，
整理方程得，
，
当时，由解得（负值已舍去），
当时，，方程无解，即点A不在之间；
当时，，方程有实数解，点A在之间，
综上，当时，点A不一定在之间，
故②说法错误，不符合题意；
③当点B在之间时， 恒成立，即方程有实数解，
整理方程得，
，
当时，由解得（负值已舍去），
当时，，方程无解，即不存在一个m值，使得点B在之间；
当时，，方程有解，而方程的两个之和为，即原方程不存在两个正根，不满足，即不存在一个m值，使得点B在之间，
所以不存在一个m的值，使点B在之间，故③说法错误，不符合题意，
综上，说法正确的只有①，
故选：B．
57．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线与交于点，过点A作轴的平行线．分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤，其中正确的是（ ）
A．①⑤B．①②⑤C．③④D．①④
【答案】A
【详解】解：，
无论取何值，的值总是正数，所以①正确；
抛物线过点，
则有，
解得，
所以②不正确；
，，
当时，，，
，所以③不正确；
观察图象可知当时，；时，；时，．
所以④不正确；
抛物线，其对称轴为直线，
抛物线，其对称轴为直线，
又两抛物线交于点，
结合抛物线对称性，可求得，，
则，，所以，所以⑤正确．
故选：A．
58．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，若，则下列四个结论：①②③④，正确结论的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【详解】解：二次函数的图象关于直线对称，与轴交于，两点，
，两点关于直线对称，
，
，
结论①正确；
直线是二次函数对称轴，
，即，
，
由函数图象可知，该二次函数开口向上，，
，
结论②错误；
该二次函数与轴有两个交点，
，
由图可知，当时，，
即，，
，
，
即，
结论③正确；
，即，
，
，
，即，
，
，
∴不一定正确，
结论④错误；
综上，正确结论为①③，共个．
故选：．
59．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图， 正方形的边长是3，， 连接交于点O， 并分别与边交于点 F， E， 连接， 下列结论：；； ；当时， 其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故②错误；
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∴，
即；
故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故④正确，
故正确有3个，
故选C．
60．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，反比例函数的图像与矩形的边、分别相交于点D、E，连接、，直线与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是（ ）
①
②
③
④）若，，则．
A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④
【答案】D
【详解】解：设，则，，
①∵点D、E在反比例函数的图像上，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，故①正确；
②∵，，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，，
∴，，
∴，则，故③正确；
④由得
，
则，又，
∴（负值舍去），故④正确，
综上，正确的结论为①②③④，
故选：D．
61．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，是上一动点，是的中点，绕点顺时针旋转得，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤若正方形的边长为，则点在射线上运动时，有最小值．其中正确的结论有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】解：如图，延长交的延长线于点，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵绕点顺时针旋转得，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
由条件不能证明与全等，故不能证明，故③错误；
如图，连接，过点作于点，过点作于，交于，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是梯形的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，故④正确；
∵，
∴点在上运动，
∴当时，有最小值，
∵，
∴的最小值，故⑤不正确；
∴正确的有①②④，
故选：B．
62．（24-25九年级上·全国·期末）如图，矩形中，，交的延长线于点，交于点，是上一点，，且为的中点，则①；②；③；④若，则，以上结论正确的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【详解】解：①∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故结论①正确；
②由①知，，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由①知：，
∴，
∴，故结论②正确；
③假设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴矩形必为正方形，不符合题意，故结论③错误；
④∵，
∴，
由②知：四边形为矩形，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴或（负值不符合题意，舍去），
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，故结论④错误，
∴结论正确的个数是个．
故选：B．
63．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图所示，在正方形中，对角线，交于点，点在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【详解】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，
又，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，
，
∴；故①正确，符合题意；
，
，
又，
，
，即故②正确，符合题意；
∵，
∴
∴
又∵
∴，故④正确
∵
∴
∴，即，故③正确，符合题意，
综上所述，①②③④正确，
故选：D．
64．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）有n个依此排列的整式：第一项是，为，用第一项加上得到第二项，再将加上2得到，将第二项加上得到第三项，再将加上2得到，……以此类推，下列说法：①当时，第三项为36；②若第四项与第五项的和为85，则或；③若，则；④第项为．其中正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【详解】解：根据题意可得：
第一项：，
第二项：，
第三项：，
第四项：，
第项为：，故④不符合题意；
第项，，
当时，第三项：，故①符合题意；
当第四项与第五项的和为85，
∴，
解得：或，故②不符合题意；
当时，
∵，
，
，
∴
∴，故③不符合题意；
故选：D
65．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，正方形和正方形的顶点，，的同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的是：（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】A
【详解】解：①∵，正方形，
∴，，，
∵正方形，
∴，，
∴，故①正确，符合题意；
②∵，，
∴，故②正确，符合题意；
③作于K，交于，连接交于，
则，，，四边形为矩形，
∴，
∴，故③正确；
④∵正方形，，
∴，，
∵，，，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；故④错误；
综上：正确的有①②③；
故选：A
66．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点及点，都是格点，与格线交于点，与交于点．则有以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①④C．③④D．①②③
【答案】D
【详解】解：由勾股定理可得：，，
∴，
∴，故①正确；
如图，连接、，则，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
取格点、，连接、、，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
取格点、，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：D．
67．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图所示，已知四边形是矩形，延长到点E，使，连接．点F为的中点，分别连接，，交于点G．观察下列结论：①；②；③；④其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【详解】解：连接，设的交点为，
∵，F为的中点，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；故①正确；
过作，
在中：，
在中：，
∵，
∴，
∵，
∴；故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；故③正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴平分，
∴点到的距离相等，
∴
∵，
∴；故④正确；
综上所述：①②③④正确.
故选：D．
68．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，，点E在矩形的对角线上，连接．过点C作，过点D作，与相交于点F，连接，点H是线段的中点，连接和，下列结论：①，且相似比为：②点D，E，C，F在同一个圆的圆周上：③的面积随线段长度的增大而增大；④当面积大于9时，线段长的范围是．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【详解】解：①如图：
∵矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，且相似比为，即①正确；
②如图：连接，
∵，点H是线段的中点，
∴，
∴点D，E，C，F在同一个圆的圆周上，即②正确；
③由②可得：，
∴点H在的垂直平分线上，
如图：过点H分别作，，垂足分别是M、N，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵且，
∴，
∴，
∴的面积不随线段长度的增大而增大，即③错误；
④由①可知，且相似比为，
设，则，，
∴，
当面积大于9，即，
∵，
∴抛物线开口方向向下，
当时，解得：或，
∴的x的取值范围为：，
∴，即④正确；
综上，正确的有①②④共3个．
故选B．
69．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数（，为常数且）经过，且，下列结论：；；若关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个；当时，二次函数的最大值为，则.
其中一定正确的有 .（填序号即可）
【答案】
【详解】解：二次函数，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
，
∴正确，
∵，，
∴，
∴点在轴的下方，
∵抛物线的对称轴为直线，，，
∴抛物线与直线交点的横坐标为整数的有，
∴关于的方程有整数解，则符合条件的的值有个，
故正确；
∵抛物线对称轴为直线，与轴的交点为，
∴抛物线过，
∵当时，二次函数的最大值为，且，
∴，
∴，
故错误，
综上，正确，
故答案为：．
70．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，点为线段的中点，为直线上方的一动点，且满足，连接，以为腰，A为直角顶点在直线上方作等腰直角三角形，连接，当最大时，下列结论：①D、A、C、E四点共圆；②；③平分；④．其中正确的是 ．
【答案】①③④
【详解】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴，
∵，
∴当D，C，H共线时，最大，如下图所示
∵，，，，
∴、是等腰直角三角形
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴D、A、C、E四点共圆，故①正确；
∵
∴，
∵点C为线段的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，故②错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故③正确；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确．
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④
71．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知抛物线过，且．下列结论：
①；②；③；④若，方程有两个不相等实数根．其中正确的是 ．（填写序号）
【答案】①③④
【详解】解：∵抛物线经过，
∴，
∴，故①符合题意；
∵抛物线过，且．
∴抛物线的对称轴为直线，
∴而，
∴，故②不符合题意；
∵抛物线过，
∴，而，
∴，
∴，而，
∴，故③符合题意；
∵当时，抛物线为，而，
∴，
∴方程为，
∴，
∵由③得：，而，即，
∵，
∴，
∴，
∴当，方程有两个不相等的实根．故④符合题意；
故答案为：①③④．
72．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，正方形中，点、分别是、的中点，与交于点，连结并延长交于点，与对角线交于点，现有以下列结论：①；②；③；④；其中正确结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【详解】解：∵四边形是正方形，
∵，，
∵点E，N分别是，的中点，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴．故①正确．
∵在正方形中，，
∴，
∴相似比，
∴．
设，则，
过点H作，交于点J，交于点K，
∴，，
∴，，
∴，
∴．故②错误．
由①可知，
∴在四边形中，，
∴，
根据对角互补可得点B、N、G、E四点共圆，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．故③正确．
如图，过点B作于点I，作，交的延长线于点J，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④ ．
73．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，点在上，连接，，，点在上，连接交于点，，于点，则以下结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中结论正确的序号有 （填写序号）．
【答案】①②③④
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
延长至点，使得，连接，过点作交延长线于点，过点作交于点，
∴，，
∴，，故②正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∴，
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴
若，
∴
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，故⑤错误，
∴正确的序号为：①②③④，
故答案为：①②③④．
74．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，在中，对角线，交于点，点在上，点在上，连接，，，交于点．下列结论：若，则；若，，，则；若，则；若，，则．其中正确的有 （只填序号）．
【答案】
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
，，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，故正确；
，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
在和中，
，
，
，故正确；
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，，
，
如图，当与不垂直时，上还存在一点，使，
假设，
在和中，
，
，
，
，
，
而另一点也满足，但与不平行，
与不一定平行，故不符合题意；
故答案为：．
题型七 分类讨论多解问题（共7小题）
75．（24-25九年级上·重庆忠县·期末）如图，已知点的坐标为，，点在轴的正半轴上，边长为的正方形绕点旋转，当、、三点共线时，（ ）
A．B．或C．或D．或
【答案】D
【详解】解：根据题意，分两种情况：
当点D在上时，如图，过A作轴于P，过C作轴于H，过E作轴于F，
∵的坐标为，，
∴，则，
∴，
设，则直线的函数表达式为，
∵四边形是边长为的正方形，
∴，，，
∴，
∴，又，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴设直线的函数表达式为，
将代入，得，解得，
∴直线的函数表达式为，
由题意，点B在直线上，
∴，则，
∵，
∴，（负值已舍去），
∴，
∴；
当点E在上时，如图，
设，同理可求得直线的函数表达式为，，直线的函数表达式为，
由题意，点B在直线上，
∴，则，
∵，
∴，（正值已舍去），
∴，
∴；
综上，或，
故选：D．
76．（23-24九年级上·江西南昌·期末）如图，在矩形中，，以为直径在矩形内作半圆，点P为半圆上的一动点（不与A，D重合），连接，当为锐角等腰三角形时，的长为 ．
【答案】6或或
【详解】解：由题意可得：．
①当时，是等腰三角形，此时；
②如图：当时，是等腰三角形．
此时是的切线，连接交于F．
∴
∵，
∴垂直平分线段，
∴，
∴；
③当时，是等腰三角形．
如图：作于H，交⊙O于，作．
∴，
在中，，
∴
∴（为钝角三角形，不符合题意），；
综上所述，的长为6或或．
故答案为6或或．
77．（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于A、两点，且点的坐标为，连接，与轴相交于点，点在轴上，如果和相似，则点的坐标为 ．

【答案】或
【详解】解：∵直线与轴、轴相交于、两点，
∴当时，则；
当时，则；
∴；
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴设直线的解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为；
∵连接，与轴相交于点，
∴当时，则；
∴，
∴，，
当点在轴正半轴上时，
∴设，
∵，
∴，
∴当时，如图：

∴，
∴ ，
解得 ，
∴，
当时，
∴，
则，
∴；
当点在轴负半轴上时，
，，而，
∴，
∴，不相似；
综上：点的坐标为或，
故答案为：故答案为：或．
78．（23-24九年级上·四川成都·期末）新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“鲲鹏三角形”，为“鲲鹏边”，则为“鲲鹏角”，其中A，B两点在反比例函数图像上，，且A点横坐标为，点C坐标为，当为直角三角形时， ．
【答案】或
【详解】解：如图，当时，
分别过A，B作轴于点D，于点E，
设，
∴，
，
∴，
∴，
由题意，，
∴，
∵A点横坐标为－1，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
（负舍），则，
∴
如图，当时，
分别过A，B作轴于点D，于点F，
设，
由题意，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵A点横坐标为－1，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴
故答案为：或．
79．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，点为斜边的中点，点为边上的一动点，沿着所在直线折叠，得到，当垂直于的直角边时，的长度为 ．

【答案】或5
【详解】解：∵，
∵点为的中点，
如图1，，垂足为点，则，

由折叠得，
解得；
如图2，，

由折叠得，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
综上所述，的长为或5，
故答案为：或5．
80．（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针旋转，当时，的长度为 ．
【答案】或
【详解】解：如图，作于，延长交于，交于，连接，
∵在菱形中，，，
∴，，，，
由旋转的性质得，，，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
∴三点共线，
在中，，，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
如图，
同理，，，
，
∴；
综上，的长度为或．
故答案为：或．
81．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在矩形中，，，点E是矩形边上的一个动点，连接，将沿着所在直线折叠，点A落在点F处（点F在直线的下方），连接，当是以为腰的等腰三角形时，的值为 ．
【答案】4或
【详解】解：如图1：当，且点E在边上，作于点H，交的延长线于点G，连接交于点L，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠得垂直平分，，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图2，DF=CF，点E在边上，作于点H，于点G，连接交于点I，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴不存在的情况，
综上所述，的值为4或．
故答案为：4或．
题型八 新定义问题（共5小题）
82．（23-24九年级上·重庆渝中·期末）在平面直角坐标系中，对点和点给出如下定义：
若则称点是点的伴随点．
如：点的伴随点是，的伴随点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其伴随点的纵坐标的值不可能是（ ）
A．B．C．10D．11
【答案】D
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为直线，且开口向上，
当时，，
当时，
当时，，
∴当时，，当时，，
∴当时，，即；
当时，，即，
综上所述，，
∴四个选项中，只有D选项中的值符合题意，
故选D．
83．（24-25九年级上·山东济南·期末）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”．
对于下列四个结论：
①点是一次函数图象的“2方内点”；
②函数图象上存在四个“2方内点”；
③若直线的“方内点”有两个，则；
④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④
【答案】A
【详解】解：①点到x轴距离为2，到y轴的距离等于1，不大于2，
故是一次函数图像的“2方内点”；故①正确；
②当时，，则点到y轴的距离为2，到x轴的距离为，不大于2，即点是函数图像上的“2方内点”；
同理可求：，，也是函数图像上的“2方内点”，故②正确；
③若直线的“方内点”有两个，
由题意知，函数图象的“方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与x轴、y轴平行的正方形边上，
如图，当时，，即直线过定点，
当时，直线与有无数个“方内点”，
对于直线，把点代入中，，
解得：，
当时，直线与正方形的边有两个交点，表明有两个“方内点”，故③不正确；

④抛物线的“方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为且相邻两边分别平行于x轴与y轴的正方形上的点，如下图；
当抛物线顶点在直线上时，抛物线恰有三个“方内点”，
此时：，解得：（舍去）；
当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”，
此时，整理得：，
解得：（舍去）；
当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”，
此时，整理得：，
解得：（舍去）；
综上，a的值恰有三个，分别为，
故④正确；
故正确的有①②④，
故选：A．
84．（23-24九年级上·重庆江津·期末）对于一个四位自然数M ，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“智慧数”．例如，，因为，所以5241是“智慧数”则最小的“智慧数”是 ；若“智慧数”，使二次函数与x轴有且只有一个交点，且满足，则满足条件的M的最大值为 ．
【答案】 1010 6936
【详解】解：对于一个四位数，当各个数位上的数字最小时，这个四位数最小，
千位上的数字为1，百位上的数字为0，
又千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，
十位上的数字为1，个位上的数字为0，
最小的“智慧数”是1010；
“智慧数”，
显然，，，，且，，，均为整数，
根据“智慧数”的定义得：，
二次函数与轴有且只有一个交点，
，
，
整理得：，
，
，
又，
，
解得：，
“智慧数”为最大，
、均为最大，
取最大值6，取最大值9，此时，，
的最大值为：6936．
故答案为：1010；6936．
85．（25-26九年级上·四川眉山·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，则正确的结论有 ．（填写序号）
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点B是点的“倍增点”，则的最小值是．
【答案】①③④
【详解】解：对于①，点：，，相等；
点：，，相等，
故①正确；
对于②，设点，代入定义得，解得，点，
故②错误；
对于③，设点，代入定义得，
整理得，
解得或，
对应点和，有两个点，
故③正确；
对于④，设点，则，
即，
∴，
当时，取得值为，
故④正确．
故答案为：①③④．
86．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点，点在射线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点，将线段和函数的图像在之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有8个整点，那么点的横坐标的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：依题意，如图所示：
则区域W内恰有8个整点，由图可知点P只能位于A的上方如图：
如图，当P的纵坐标为7时，横坐标为，即，
结合图象可知，当时，区域内有8个整数点．
结合图象可知，当P的纵坐标大于7时，则横坐标大于，
则区域W内的整点数大于，故不符合题意，舍去；
结合图象可知，当P的纵坐标小于或等于6时，则横坐标小于或等于2，
则区域W内的整点数小于，故不符合题意，舍去；
故答案为：．
一、单选题
87．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现给出以下结论：；；；．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴在左侧，
∴同号，，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴，
∴，故①正确；
由图象得当时，，
∴，
∵，，，
∴，故②正确；
∵，，
∴，故③错误；
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，故④正确﹒
故选：C
88．如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【答案】B
【详解】解：连接，则：，，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小，
设直线与轴，轴分别交于两点，
∵动点P在直线上，
∴当时，的值最小，
当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
当时，，即，
解得，
∴的最小值为，的最小值为，
∴的最小值为．
故选B．
89．如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连接，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】B
【详解】解：为等边三角形，
，，
∵正方形，，
，
，
，
，
，正方形中，，
，
在中，
，
，
又，
，
故①正确；
∵正方形中，，，
，，
，
，
故②正确；
，
，
，
又与同高，
，
又，，
，
，
故③正确；
∵正方形中，
，
∵，
，
，
，
又，，
，
故④错误，
故选：B．
90．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点．
①与的面积一定相等；
②若点是边的中点，则点一定为的中点；
③在点的运动过程中，是一个定值．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，即，故①符合题意；
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，即点是边的中点，则点一定为的中点，故②符合题意；
由点坐标为，设点，，则，
∴，，
∴，即是一个定值，故③符合题意，
故选：D．
91．如图，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图所示，过点G作于点H，作，交于点M，交于点N，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，如图所示，
当点重合时，线段的值最小，
根据作图，，
∴四边形，四边形都是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴的最小值为，
故选：B．
二、填空题
92．如图，四边形中，，，，且四边形的面积为，连接，则的面积为 ；在上取点，使，则最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，取中点，连接，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过作于点，
∴，即，
∴，
∴点在与平行，与距离为的直线上运动，
延长交直线于点，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
取，
则，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，取中点，
∴，
∴，
如图，当三点共线时，最小，
∵，
∴最小值为，
故答案为：，．
93．如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连接，使得面积为9，连结，则的最大值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点D作连接使得，取中点为点F，连接、，以点F为圆心，半径为3作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由题意得，
，
即点D轨迹为以线段为直径的圆，
，
当且仅当点B、F、D三点共线时取等，
在中，
，
解得，
，
，
最大值为．
故答案为：．
题型1 求值类问题
题型5 最值问题
题型2 折叠问题
题型6 多结论问题
题型3 旋转问题
题型7 分类讨论多解问题
题型4 动点问题
题型8 新定义问题