中考数学二轮培优练习热点08 解直角三角形及其应用（6大题型+高分技法+限时提升练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮培优练习热点08 解直角三角形及其应用（6大题型+高分技法+限时提升练）（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了特殊角的三角函数值相关运算，解直角三角形，解直角三角形的应用等内容，欢迎下载使用。

中考数学中《锐角三角函数及其应用》部分主要考向分为三类：
一、特殊角的三角函数值相关运算（每年1道，6~8分）
二、解直角三角形（每年1道，3分）
三、解直角三角形的应用（每年1题，3~8分）
中考数学中，对锐角三角函数的考察主要以特殊角的三角函数值及其有关计算、解直角三角形、解直角三角形的应用三个方面为主。其中，特殊角的三角函数值主要和实数相关概念放一起考察计算题，而解直角三角形及其各种应用则选择、填空、简答题都有出现，其中应用则偏向大题多些，难度一般中等或偏上，分值也比较可观，但对应考点掌握熟练，计算和审题上够小心了，一般不会失分。
考向一：特殊角的三角函数值的运算
【题型1和实数概念结合的特殊角的三角函数值的运算】
1．（2025·山东济南·一模）计算：π−50+8−2sin30°+∣−2∣+12−1．
【答案】32+2
【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幂，化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂，再合并即可．
【详解】解：π−50+8−2sin30°+∣−2∣+12−1
=1+22−2×12+2+2
=32+2
2．（2025·江苏镇江·一模）计算：(2−2)0+2−3+2sin45°
【答案】4
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到绝对值，特殊角三角函数，熟练掌握实数混合运算法则是解题的关键．根据实数运算法则，先进行幂的运算，绝对值和特殊角三角函数，再进行加减运算，即可得到结果．
【详解】解：(2−2)0+|2−3|+2sin45°
=1+3−2+2×22
=4−2+2
=4 ．
3．（2025·江苏宿迁·一模）计算：−20+2sin30°−2−3．
【答案】3
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．根据绝对值的意义，负整数指数幂，零指数幂及锐角三角函数分别化简，然后进行计算．
【详解】解：原式=1+2×12−2+3
=3．
4．（2025·湖南长沙·一模）计算：23−1−cs60°+2−5+(2025−π)0
【答案】5
【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，先把每一项算出，再加减即可，熟练计算是解题的关键．
【详解】解：原式=32−12+5−2+1 =5．
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：4−π−30−10sin30°+12−2
【答案】0
【分析】本题主要考查零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式=2−1−10×12+4=2−1−5+4=0．
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算：−12025+2tan60°−12+π−20．
【答案】0．
【分析】本题考查了实数的运算，先计算乘方，特殊角的三角函数值，二次根式，零指数幂，负整数指数幂，再进行加减运算即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：−12025+2tan60°−12+π−20
=−1+2×3−23+1
=0．
7．（2025·广东清远·模拟预测）计算：−32−−4+2024−π0+tan45°．
【答案】1
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，绝对值、零次幂，先运算乘方、化简绝对值、零次幂以及特殊角的三角函数，再运算加减法，即可作答．
【详解】解：−32−−4+2024−π0+tan45°
=3−4+1+1
=1．
8．（2024·广东梅州·一模）计算：sin60°−(3−π)0+4+(−13)−1．
【答案】32−2
【分析】此题考查了实数的混合运算．代入特殊角是三角函数值、利用零指数幂法则、求算术平方根的法则、负整数指数幂法则进行计算即可．
【详解】解：sin60°−(3−π)0+4+(−13)−1
=32−1+2+−3
=32−2．
考向二：解直角三角形
【题型2 利用已知信息求解对应角的三角函数值】
1.（2025·广东深圳·一模）在△ABC中，∠A=80°,∠B=70°，那么sinC的值是（ ）
A．12B．1C．22D．32
【答案】A
【分析】本题考查了特殊三角函数的值，三角形内角和定理，根据三角形内角和定义求出∠C=30°，再由特殊三角函数的值即可解答．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=80°,∠B=70°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=30°，
∴sinC=sin30°=12，
故选：A．
2．（2024·云南·中考真题）在△ABC中，若∠B=90°,AB=3,BC=4，则tanA=（ ）
A．45B．35C．43D．34
【答案】C
【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数即可得到本题答案．
【详解】解：∵∠B=90°,AB=3,BC=4，
∴tanA=BCAB=43，
故选：C．
3．（2025·广东深圳·一模）如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，BD丄AC，若测得AC=200m，则塔高BD是（ ）
A．200tanαmB．200tanαmC．100tanαmD．100sinαm
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据等腰三角形的性质得D为AC的中点，利用锐角三角函数即可解决问题．
【详解】解：由题意可知：∠A=∠C=a,BD⊥AC，
∴点D为AC的中点，
∵AC=200米，
∴AD=CD=12AC=100米，
∴BD=AD⋅tanα=100tanα（米）．
故选：C．
4．（22-23九年级上·广东佛山·期末）如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为（ ）
A．1B．104C．54D．45
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
根据正切函数的定义，可得答案．
【详解】解：如图：
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=4，BD=5，
∴tanB=ADBD=45，
故选D．
5．（2024·安徽宿州·模拟预测）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在△MBN的边上，则csN=（ ）
A．255B．25C．22D．32
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理、余弦的定义等知识点，得到∠N=∠DEF是解决本题的关键．
如图：由题意得EF∥BN，∠B=∠DFE=90°，从而得出∠N=∠DEF，设DF=t，则EF=2t，由勾股定理得出DE=5t，最后代入计算即可．
【详解】解：如图：
由题意得：EF∥BN，∠B=∠DFE=90°，
∴∠N=∠DEF，
设DF=t，则EF=2t，
∴DE=t2+2t2=5t，
∵在Rt△DEF中，cs∠DEF=EFDE=2t5t=255，
∴cs∠N=cs∠DEF=255．
故选：A．
6．（2025·广东广州·模拟预测）已知点A与点B分别在反比例函数y=1x x>0与y=−3x x>0的图像上，且OA⊥OB，则sin∠OAB的值为（ ）
A．12B．22C．32D．33
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
过点A作AC⊥y轴，过点B作BD⊥y轴，证明△ACO∽△ODB得到S△BODS△AOC=OBOA2，再由反比例函数性质可求出OBOA=3，再利用正弦定义求sin∠OAB的值即可．
【详解】解：过点A作AC⊥y轴，过点B作BD⊥y轴，则∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠OAC+∠COA=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△ACO∽△ODB，
∴S△BODS△AOC=OBOA2，
∵点A与点B分别在反比例函数y=1x x>0 与y=−3x x>0的图像上，
∴S△AOC=12,S△BOD=32，
∴S△BODS△AOC=OBOA2=3，
∴OBOA=3，
设OA=k,OB=3k，
∵∠AOB=90°，
∴AB=OA2+OB2=k2+3k2=2k，
∴sin∠OAB=OBAB=3k2k=32．
故选：C．
【题型3 利用三角函数值求解几何图形的线段】
1．（2025·陕西榆林·一模）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高．若AB=5，BC=6，sinB=35，则AC的长为（ ）
A．13B．32C．5D．42
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．解直角三角形得AD=AB⋅sinB=3，由勾股定理得：BD=4，求得CD的长，在Rt△ACD中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵sinB=35，AB=5，
∴AD=AB⋅sinB=3，
由勾股定理得：BD=AB2−AD2=4，
∴CD=BD−BC=6−4=2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC=AD2+CD2=32+22=13，
故选：A．
2．（2025·海南三亚·模拟预测）如图，建筑物AB和旗杆CD的水平距离BC为9m，在建筑物的顶端A测得旗杆顶部D的仰角α为45°，旗杆底部C的俯角β为30°，则旗杆CD的高度为（ ）
A．32mB．33mC．32+9mD．33+9m
【答案】D
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．根据题意可得四边形ABCE是矩形，AE=BC=9m，然后分别在Rt△AEC和Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出CE和DE的长，最后利用线段的和差，即可解答．
【详解】解，如图：
由题意得：四边形ABCE是矩形
∴AE=BC=9m
在Rt△AEC中，∠CAE=β=30°，
∴ CE=AE⋅tan30°=33m，
在Rt△AED中，∠EAD=α=45°，
∴ DE=AE·tan45°=9m，
∴ CD=CE+DE=33+9m．
故选：D．
3．（2025·浙江宁波·一模）在菱形ABCD中， 点E，F分别是AB， AD的中点， 连接CE， CF．若 sin∠ECF=35，CE=10， 则BC的长为（ ）
A．45B．43C．36D．6
【答案】A
【分析】延长BA，CF交于点M，证明△CBE≌△CDFSAS，△AMF≌△DCFAAS，可得CE=CF=FM=10，过E点作EN⊥CF于N点，结合sin∠ECF=35可得EN=6，CN=8，MN=12，再进一步可得答案.
【详解】解：延长BA，CF交于点M，
在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，
∴AB=BC=CD=AD，BE=AE=AF=DF，AB∥CD，∠D=∠B，∠M=∠FCD
在△BCF和△DCF中
CB=CD∠B=∠DBE=DF，
∴ △CBE≌△CDFSAS，
∴ CE=CF=10，
在△AMF和△CDF中
∠M=∠FCD∠AFM=∠DFCAF=DF，
∴ △AMF≌△DCFAAS，
∴ AM=CD，MF=CF=10，
过E点作EN⊥CF于N点，
∴∠CNE=90°
∵ sin∠ECF=35，CE=10，
∴EN=6，CN=8，
∴ NF=CF−CN=2，
∴MN=10+2=12，
在Rt△ENM中
EM=EN2+MN2=122+62=65，
即EM=AE+AM=12AB+AB=65，
∵AB=BC=CD=AD，
∴AB=BC=45，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键．
4．（2025·陕西西安·二模）如图，在平行四边形ABCD中，过D 作DE⊥BC于 点E，若∠A=60°，DE=6，则 AB的长为（ ）
A．23B．3C．43D．63
【答案】C
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，锐角三角函数的应用，证明AB=CD，∠A=∠C=60°，根据CD=DEsin60°可得答案．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=CD，∠A=∠C=60°，
∵DE⊥BC，DE=6，
∴CD=DEsin60°=6×23=43，
∴AB=43，
故选：C
考向三：解直角三角形的应用
【题型4 坡度坡角问题】
1．（2024·湖南·模拟预测）如图，在冬奥会滑雪场有一坡度为1:3的滑雪道，滑雪道AC的长为150m，则BC的长为（ ）
A．75mB．753mC．503mD．1003m
【答案】B
【分析】本题考查勾股定义解应用题，涉及坡度定义，根据坡度定义得到ABBC=13=33，设AB=3x，则BC=3x，在Rt△ABC中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：∵在冬奥会滑雪场有一坡度为1:3的滑雪道，
∴ABBC=13=33，
设AB=3x，则BC=3x，
在Rt△ABC中，AC=150m，则由勾股定理可得3x2+3x2=1502，解得x=253，
∴ BC=3x=753m，
故选：B．
2．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行17m到达点B时拍到树顶点F，仰角为63°；小静沿着坡度i=5:12的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为45°，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据：sin63°≈0.9，cs63°≈0.5，tan63°≈2.0）
A．22B．21C．20D．19
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点C作CD⊥AH，垂足为D，过点C作CE⊥FH，垂足为E，根据题意可得：CD=EH，CE=DH，AB=17米，再根据已知可设CD=5x米，则AD=12x米，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理进行计算可得CD=EH=5米，AD=12米，最后设CE=DH=y米，则BH=(y−5)米，分别在Rt△BFH和Rt△CEF中，利用锐角三角函数的定义求出FH和FE的长，从而列出关于y的方程进行计算，即可解答．
【详解】解：过点C作CD⊥AH，垂足为D，过点C作CE⊥FH，垂足为E，
由题意得：CD=EH，CE=DH，AB=17米，
∵斜坡AC的坡度i=5:12，
∴ CDAD=512，
∴设CD=5x米，则AD=12x米，
在Rt△ACD中，AC=CD2+AD2=(5x)2+(12x)2=13x（米)，
∵AC=13米，
∴13x=13，
解得：x=1，
∴CD=EH=5米，AD=12米，
设CE=DH=y米，
∴BH=AD+DH−AB=12+y−17=(y−5)米，
在Rt△BFH中，∠FBH=63°，
∴FH=BH⋅tan63°≈2(y−5)米，
在Rt△CEF中，∠FCE=45°，
∴FE=CE⋅tan45°=y米，
∵EF+EH=FH，
∴y+5=2(y−5)，
解得：y=15，
∴FH=FE+EH=15+5=20（米)，
∴这棵木棉树的高度约为20米，
故选：C．
3．（2024·四川自贡·模拟预测）如图为一大坝的横截面图，AD∥BC，背水坡AB的坡度为3:1，迎水坡的坡角为30°，若AD=4米，坝高为43米，则坡底BC长为（ ）米．

A．17B．18C．19D．20
【答案】D
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A和点D分别作BC的垂线，垂足分别为E、F，则四边形AEFD是矩形，可得AE=DF=43米，EF=AD=4米，再分别解直角三角形求出BE，CF的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A和点D分别作BC的垂线，垂足分别为E、F，
∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AE=DF=43米，EF=AD=4米，
∵背水坡AB的坡度为3:1，
∴AEBE=31，
∴BE=4米，
在Rt△CDF中，∠DCF=30°，∠DFC=90°，
∴CF=DFtanC=12米，
∴BC=BE+EF+CF=20米，
故选：D．

4．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:3，河堤的高BC=10米，则坡面AB的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是1:3指点B向水平面作垂线BC，垂足为C，BC:AC=1:3．）
【答案】20
【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡AB的坡比为1:3得出tan∠BAC=33，再根据BC=10米，得出AC的值，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得tan∠BAC=13=33，
∴AC=BCtan∠BAC=10×3=103（米），
∴AB=AC2+BC2=1032+102=20（米）．
故答案为：20．
5．（2025·上海青浦·一模）如图，梯形ABCD是某水库大坝的横截面．已知坝高AE=8m，如果将坡度为1:2的斜坡AB改为坡度为1:2的斜坡AP，那么大坝底部应加宽 m．（结果保留根号）
【答案】16−82
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据垂直的定义得到∠AEB=90°，根据三角函数的定义得到BE=82,PE=16，于是得到PB=PE−BE=(16−82)m．
【详解】解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°,
∵AE=8m,
∴tan∠ABE=AEBE=12,
∴BE=AE12=812=82,
∵tanP=AEPE=12,
∴8PE=12,
∴PE=16m,
∴PB=PE−BE=(16−82)m,
∴大坝底部应加宽(16−82)m．
故答案为：16−82
6．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度i=1:3，BE=6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°．
(1)求点B离水平地面的高度AB．
(2)求电线塔CD的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)AB=3m；
(2)电线塔CD的高度63+9m．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．
（1）由斜坡BE的坡度i=1:3，求得ABAE=13=33，利用正切函数的定义得到∠BEA=30°，据此求解即可；
（2）作BF⊥CD于点F，设DF=x，先解Rt△DBF得到BF=x，解Rt△DCE得到EC=33x+3米，进而得到方程33+33x+3=x，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵斜坡BE的坡度i=1:3，
∴ABAE=13=33，
∵tan∠BEA=ABAE=33，
∴∠BEA=30°，
∵BE=6m，
∴AB=12BE=3m；
（2）解：作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，AB=CF=3m，BF=AC，
设DF=xm，
在Rt△DBF中，tan∠DBF=DFBF，
∴BF=DFtan∠DBF=xm，
在Rt△ABE中，AE=BE2−AB2=33，
在Rt△DCE中，DC=DF+CF=x+3m，tan∠DEC=DCEC，
∴EC=x+3tan60°=33x+3，
∴BF=AE+EC，
∴33+33x+3=x，
∴x=63+6，
∴CD=63+6+3=x=63+9
答：电线塔CD的高度63+9m．
7．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长．（结果精确到米）（参考数据：sin18°≈0.31,cs18°≈0.95,tan18°≈0.32）

【答案】斜坡AB的长约为10米
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，在Rt△DEC中，利用正弦函数求得DE=6.2，在Rt△ABF中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E，则四边形ADEF是矩形，
在Rt△DEC中，CD=20，∠C=18°，
DE=CD⋅sin∠C=20×sin18°≈20×0.31=6.2．
∴AF=DE=6.2．
∵AFBF=34，
∴在Rt△ABF中，AB=AF2+BF2=53AF=53×6.2≈10（米）．
答：斜坡AB的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【题型5 仰角俯角问题】
1．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米；…
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cs18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33)．
【答案】点A到地面的距离AB的长约为27米
【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
延长CD交AB于点H，根据矩形的性质得到CM=HB=20，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：延长CD交AB于点H，
由题意得，四边形CMBH为矩形，
∴CM=HB=20，
在Rt△ACH中，∠AHC=90°，∠ACH=18.4°，
∴ tan∠ACH=AHCH，
∴ CH=AHtan∠ACH=AHtan18.4°≈AH0.33，
在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=37°，
∴ tan∠ECH=EHCH，
∴ CH=EHtan∠ECH=EHtan37°≈EH0.75，
设AH=x米．
∵AE=9，
∴EH=x+9，
∴ x0.33=x+90.75，
解得x≈7.1，
∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）；
答：点A到地面的距离AB的长约为27米．
2．（2024·西藏·中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30°；格桑在B处测得山顶C的仰角为45°．已知两人所处位置的水平距离MN=210米，A处距地面的垂直高度AM=30米，B处距地面的垂直高度BN=20米，点M，F，N在同一条直线上，求小山CF的高度．（结果保留根号）

【答案】1003−70米
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形AMFD和四边形BNFE为矩形，得出DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，FN=BE，设CD=x，则CE=CD+DE=x+10米，解直角三角形得出AD=CDtan30°=x33=3x，BE=CEtan45°=x+101=x+10，根据MN=210米，得出3x+x+10=210，求出x=1003−100，最后得出答案即可．
【详解】解：根据题意可得：∠AMF=∠DFM=∠ADF=90°，∠BEF=∠EFN=∠BNF=90°，
∴四边形AMFD和四边形BNFE为矩形，
∴DF=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD，FN=BE，
∴DE=DF−EF=30−20=10（米），
设CD=x，则CE=CD+DE=x+10米，
∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，
∴AD=CDtan30°=x33=3x，
∵∠CBE=45°，∠CEB=90°，
∴BE=CEtan45°=x+101=x+10，
∴MF=AD=3x，FN=BE=x+10，
∵MN=210米，
∴3x+x+10=210，
解得：x=1003−100，
∴CF=CD+DF=1003−100+30=1003−70米．
3．（2025·陕西西安·二模）如图是某市的广播电视中心，小明同学想利用所学的知识来测量该建筑物的高度EF．他先在B处用测倾器AB测得电视中心顶端E的仰角为37°，再从B沿BF方向走了250.5米到达D处，在D处竖立标杆CD，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与该建筑物的顶端E恰好在一条直线上，已知AB=CD=1米，测得DM=0.5米．点B、M、D、F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF．根据上述数据，计算该广播电视中心的高度EF．（结果精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】302米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
延长AC，交EF于H，根据△MDC∽△MFE列出比例式，得到MF=12EF，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：如图，延长AC，交EF于H，
则AC=BD,CH=DF,HF=AB=1米，
∵CD∥EF，
∴△MDC∽△MFE，
∴MDMF=CDEF，即0.5MF=1EF，
∴MF=12EF，
∴DF=MF−MD=12EF−12，EH=EF−HF=EF−1，
∴BF=BD+DF=250.5+12EF−12=250+12EF，
∴AH=BF=250+12EF，
在Rt△AHE中，tan∠EAH=EHAH，
∴EH=AH·tan∠EAH，即EF−1≈250+12EF×0.75，
解得：EF≈302，
答：该广播电视中心的高度EF约为302米．
4．（2025·河南·一模）开封铁塔又称“开宝寺塔”（如图1），素有“天下第一塔”之称，是见证开封千余年繁华的参照．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量开封铁塔高度”的主题活动，并写出如下报告，请完成任务．
【答案】开封铁塔DE的高度约为55m
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得AB=6.3×20=126(m)，则有BC=AB=126m，延长ED交BC的延长线于点F，如解图所示，则四边形ABFE为矩形，然后可得EF=AB=126m，设DE=xm，则DF=(126−x)m，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解
【详解】解：由题意，可知AB=6.3×20=126(m)．
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴BC=AB=126m．
延长ED交BC的延长线于点F，如解图所示，则四边形ABFE为矩形．
∴EF=AB=126m．
设DE=xm，则DF=(126−x)m．
在Rt△DFC中，∠DCF=45°，
∴FC=DF=(126−x)m．
∴BF=CF+BC=(252−x)m．
在Rt△BFD中，tan∠FBD=tan20°=DFBF，
∴DF=BF⋅tan20°，即126−x≈0.36(252−x)，
解得x≈55．
答：开封铁塔DE的高度约为55m．
5．（2025·辽宁·模拟预测）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线A−B−C表示可转动支架，支架BC可以伸缩调节，投影探头CD始终垂直于水平桌面MN，AB与BC始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3厘米，支架AB=30厘米，探头CD=10厘米．（参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan63°≈2，sin53°≈0.8，10≈3.16）

(1)当支架AB与水平线的夹角为75°，与支架BC的夹角为90°，且BC=AB时，求探头的端点D到桌面MN的距离．（结果保留一位小数）
(2)为获得更好的投影效果，调节支架AB，如图（3）所示，使得AB与水平线的夹角为53°，同时调节支架BC，使得探头端点D与点B在同一水平线上，且从点D看点A的俯角为63°，此时支架BC的长度为多少？（结果保留一位小数）
【答案】(1)29.7厘米；
(2)31.6厘米
【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算，数形结合分析，合理作出辅助线是解题的关键．
（1）如图，连接AC，延长CD交过点A的水平线于点E，则可得AC=302（厘米），∠BAC=45°，所以∠CAE=60°，由∠E=90°，根据三角函数的计算得到CE=AC⋅sin∠CAE=156≈36.7（厘米），结合探头的端点D到桌面MN的距离=36.7−10+3=29.7（厘米）即可求解；
（2）如图，作AE⊥BD于点E，根据题意AE=AB⋅sin∠ABE≈30×0.8=24（厘米），BE=AB2−AE2=18（厘米），DE=AEtan63°≈242=12（厘米），由BC=CD2+BD2≈10×3.16=31.6（厘米），即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接AC，延长CD交过点A的水平线于点E，

由题意得：BC=AB=30厘米，∠BAF=75°，∠ABC=90°，
∴AC=AB2+BC2=302（厘米），∠BAC=45°，
∴∠CAE=60°，
∵CD始终垂直于水平桌面MN，
∴∠E=90°，
∴CE=AC⋅sin∠CAE=156≈36.7（厘米），
∵投影仪的底座高3厘米，
∴探头的端点D到桌面MN的距离=36.7−10+3=29.7（厘米）．
答：探头的端点D到桌面MN的距离约为29.7厘米；
（2）解：如图，作AE⊥BD于点E，则∠AEB=∠AED=90°，

由题意得：BD∥AF，∠BAF=53°，
∴∠ABE=53°，
∵AB=30厘米，
∴AE=AB⋅sin∠ABE=30×sin53°≈30×0.8=24（厘米），
∴BE=AB2−AE2=18（厘米），
由题意得：∠BDA=63°，
∴DE=AEtan63°≈242=12（厘米），
∴DB=12+18=30（厘米），
由题意得：∠CDB=90°，
∴BC=CD2+BD2=102+302=1010≈10×3.16=31.6（厘米），
答：支架BC的长度大约为31.6厘米．
6．（2025·上海静安·一模）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩AB、CD、EF垂直于地面，且B、D、F在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为35°和47°，且AB桩与EF桩的高度差为1米，两桩的距离BF为2米．
(1)舞狮人从A跳跃到C，随后再跳跃至E，所成的角∠ACE= °；
(2)求桩AB与桩CD的距离BD的长．（结果精确到0.01米）
【答案】(1)98
(2)0.65米
【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，理解并掌握解直角三角形的计算是解题的关键．
（1）根据仰俯角，平角为180°即可求解；
（2）过点C作MN∥BF，分别交AB、EF于点M、N，则四边形BDCM、BFNM、DFNC都是矩形，设BD=CM=x米，则CN=2−x米，在Rt△AMC中，由函数函数的计算tan∠ACM=AMCM，得到AM=CM⋅tan∠ACM=x⋅tan35°，在Rt△CEN中，tan∠ECN=ENCN，得到EN=CN⋅tan∠ECN=2−x⋅tan47°，由EF−AB=EN−AM=1，即可求解．
【详解】（1）解：在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为35°和47°，
∴∠ACE=180°−35°−47°=98°，
故答案为：98；
（2）解：过点C作MN∥BF，分别交AB、EF于点M、N，
∵AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，
∴AB∥CD∥EF，
∴四边形BDCM、BFNM、DFNC都是矩形，
∴BD=CM,MN=BF,DF=CN,BM=NF，
设BD=CM=x米，则CN=2−x米，
在Rt△AMC中，tan∠ACM=AMCM，
∴AM=CM⋅tan∠ACM=x⋅tan35°，
在Rt△CEN中，tan∠ECN=ENCN，
∴EN=CN⋅tan∠ECN=2−x⋅tan47°，
∵EF−AB=EN−AM=1，
∴ 2−x⋅tan47°−x⋅tan35°=1，
解得， x=2tan47°−1tan47°+tan35°≈0.65（米），
答：桩AB与桩CD的距离BD的长约为0.65米．
【题型6 方向角问题】
1．（2025·河南焦作·一模）如图，一艘轮船位于灯塔C的北偏东57°方向，距离灯塔50海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在5小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔C的南偏东30°方向上的避风港B处．
(1)问避风港B处距离灯塔C有多远．
(2)如果轮船的航速是20海里/时，问轮船能否在5小时内赶到避风港B处．(参考数据：sin57°≈0.84，cs57°≈0.54，tan57°≈1.54，3≈1.73 )
【答案】(1)84海里
(2)能
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键；
（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90°．解Rt△ACD，Rt△BCD，求得BC，即可求解；
（2）解Rt△ACD，Rt△BCD得出BD=3CD，进而根据AB=AD+BD，求得AB的距离，根据路程除以速度，即可求解．
【详解】（1）由题意得∠A=57°，∠B=30°，AC=50海里．
如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90°．
在Rt△ACD中，sin57°=CDAC=CD50，
∴ CD=50×sin57°≈50×0.84=42 (海里)．
在Rt△BCD中，∠B=30°，
∴BC=2CD=84海里．
答：避风港B处距离灯塔C约84海里．
（2）如图，在Rt△ACD中，cs57°=ADAC=AD50
∴AD=50×cs57°≈50×0.54=27(海里)．
在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=42海里，
∴ BD=3CD≈42×1.73=72.66 (海里)，
AB=AD+BD=27+72.66=99.66 (海里)．
∴99.66÷20=4.983(小时)，
故轮船能在5小时内赶到避风港B处．
2．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行10海里后到达B港，再沿北偏东60∘万向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60∘方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30∘方向航行一定距离到达C港．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
(1)求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．
【答案】(1)77.2海里
(2)甲货轮先到达C港，计算说明见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点B作BE⊥AC，垂足为E，先在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，再在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：∠CDF=30°，DF∥AG，从而可得∠GAD=∠ADF=60°，然后利用角的和差关系可得∠ADC=90°，从而在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质求出CD和AD的长，再在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，最后进行计算比较即可解答．
【详解】（1）解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，如图所示：
在Rt△ABE中，∠BAE=90°−45°=45°，AB=40海里，
∴AE=AB⋅cs45°=40×22=202（海里），BE=AB⋅sin45°=40×22=202（海里），
在Rt△BCE中，∠CBE=60°，
∴CE=BE⋅tan60°=202×3=206（海里），
∴AC=AE+CE=202+206≈77.2（海里），
∴A，C两港之间的距离约为77.2海里；
（2）解：甲货轮先到达C港，
理由如下：
如图所示：
由题意得∠CDF=30°，DF∥AG，
∴∠GAD=∠ADF=60°，
∴∠ADC=∠ADF+∠CDF=90°，
在Rt△ACD中，∠CAD=90°−∠GAD=30°，
∴CD=12AC=102+106海里，AD=3CD=106+302海里，
在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BE=202海里，
∴BC=BEcs60°=20212=402（海里），
∴甲货轮航行的路程=AB+BC=40+402≈96.4（海里），
乙货轮航行的路程=AD+CD=106+302+102+106=206+402≈105.4（海里），
∵96.4海里＜105.4海里，
∴甲货轮先到达C港．
3．（2024·湖南长沙·模拟预测）今年4月23日，是人民海军成立75周年纪念日．东部战区海军某基地海边举办舰艇开放活动，A、B两点分别为活动入口和出口．且点B在一水平海岸线CD（如图所示）上，测得∠ABC=α，sinα=2425，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE=20米，测得∠AEB=β，tanβ=3，试根据已知条件求出活动入口和出口之间的直线距离．
【答案】500米
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
如图，过A作AQ⊥CD于Q，由AQAB=2425，设AQ=24x，则AB=25x，可得BQ=AB2−AQ2=7x，而BE=20，可得QE=QB+BE=7x+20，结合AQQE=3，即AQ=3QE，再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，过A作AQ⊥CD于Q，

∵sinα=2425，即AQAB=2425，
设AQ=24x，则AB=25x，
∴BQ=AB2−AQ2=7x，而BE=20，
∴QE=QB+BE=7x+20，
∵tanβ=3，
∴AQQE=3，即AQ=3QE，
∴24x=37x+20，
解得：x=20，
∴AB=25x=25×20=500（米），
答：A、B两点间的距离为500米．
4．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距1633海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．

(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）
【答案】(1)B，C两处的距离为16海里
(2)渔政船的航行时间为7512小时
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形．
（1）根据题意易得AC=AB，则CE=BE，再求出BE=CE=ABcs30°=8（海里），即可解答；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，设CF=x海里，则DF=CFtan65°=2.1x，DF=BFtan27°=0.516+x，则2.1x=0.516+x，求出x=5，进而得出BF=BC+CF=21海里，DF=CFtan65°=10.5海里，根据勾股定理可得：BD=DF2+BF2=2152（海里），即可解答．
【详解】（1）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．
∴∠ACE=∠ABE=30°，
∴AC=AB，
∵AE⊥BC，
∴CE=BE，
∵AB=1633海里，
∴BE=CE=ABcs30°=8（海里），
∴BC=8×2=16（海里），
∴B，C两处的距离为16海里．

（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，
设CF=x海里，
∵∠DCF=65°，
∴DF=CFtan65°=2.1x，
由（1）可知，BC=16海里，
∴BF=16+x海里，
∵∠DBF=27°，
∴DF=BFtan27°=0.516+x，
∴2.1x=0.516+x，
解得：x=5，
∴BF=BC+CF=21海里，DF=CFtan65°=10.5海里，
根据勾股定理可得：BD=DF2+BF2=2152（海里），
∴渔政船的航行时间为2152÷18=7512（小时），
答：渔政船的航行时间为7512小时．

（建议用时：40分钟）
一﹑选择题
1．（2025·陕西·一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，且sin∠BAE=12，若BD=8，则AE的长为（ ）
A．3B．2C．23D．32
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得∠ADB=∠BAE，得到sin∠ADB=sin∠BAE=12，利用正弦函数的定义求得AB=4，BE=2，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ADB=90°−∠ABE=∠BAE，
∴sin∠ADB=sin∠BAE=12，
∴ABBD=12，
∵BD=8，
∴AB=4，
∵sin∠BAE=12，
∴BEAB=12，
∴BE=2，
∴AE=AB2−BE2=23，
故选：C．
2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，sin∠BCD=35，AB=15，则BC的长为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形，同角的余角相等，熟练掌握锐角三角函数定义是解答本题的关键．
根据题意，利用同角的余角相等得到∠BCD=∠A，进而得到sin∠BCD=sin∠A，利用锐角三角函数定义求出BC的长即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴sin∠BCD=sin∠A=35，
在Rt△ABC中，AB=15，
∴sin∠A=BCAB=35，
∴BC=9，
故选：B．
3．（2025·广东深圳·一模）如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为8km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为53°，则这枚火箭此时的高度AL为（ ）km．
A．8sin53°B．8cs53°C．8tan53°D．8tan53°
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题意可得：AL⊥LR，然后在Rt△ALR中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得：AL⊥LR，
在Rt△ALR中，LR=8km，∠ARL=53°，
∴AL=LR⋅tan53°=8tan53°km，
∴这枚火箭此时的高度AL为8tan53°km，
故选：D．
4．（2025·陕西西安·二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，若点A是CD的中点，CD=43，csD=12，则AB的长为（ ）
A．35B．6C．43D．8
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
连接OC、OD，根据垂径定理得AB⊥CD，可得出CE=23，再根据同弧所对的圆心角是圆周角的两倍得出∠BOC=2∠D，易得出∠COE=60°，然后根据正弦的定义即可得出OC=4，最后根据直径是半径的2倍，即可得出答案．
【详解】解：连接OC、OD，
∵点A是CD的中点，
∴AB⊥CD，设垂足为点E，
∵ CD=43，
∴CE=12CD=23，
∵∠CDB和∠BOC所对的弧都是BC，
∴∠BOC=2∠D，
∵ cs∠BDC=12，且0