中考数学二轮培优练习专题08 锐角三角形及其应用（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮培优练习专题08 锐角三角形及其应用（2份，原卷版+解析版），共14页。试卷主要包含了【阅读与思考】，【基础巩固】等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc163489963" 题型01 锐角三角函数与三角形综合
\l "_Tc163489964" 题型02 锐角三角函数与四边形综合
\l "_Tc163489965" 题型03 锐角三角函数与圆综合
\l "_Tc163489966" 题型04 锐角三角函数与圆及四边形综合
\l "_Tc163489967" 题型05 锐角三角函数与圆及三角形综合
\l "_Tc163489968" 题型06 锐角三角函数与函数综合
\l "_Tc163489969" 题型07 12345模型
\l "_Tc163489976" 题型08 锐角三角形应用-仰角俯角问题
\l "_Tc163489977" 题型09 锐角三角形应用-方位角问题
\l "_Tc163489978" 题型10 锐角三角形应用-坡度坡角问题
\l "_Tc163489979" 题型11 锐角三角形应用-与不易测量相关问题
\l "_Tc163489980" 题型12 锐角三角形应用-与可调节的滑动悬杆问题
\l "_Tc163489981" （时间：60分钟）
题型01 锐角三角函数与三角形综合
1．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在锐角三角形ABC中，tanA=3,BC=5，线段BD､CE分别是AC､AB边上的高线，连接DE，则三角形ADE面积的最大值是 ．

【答案】5316/5163
【分析】利用特殊角的三角函数值求得∠A的度数，利用三角形的高的意义求得∠ACE=∠ABD=30°，利用含30°角的直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质定理得到S△ADE=14S△ABC，作出△ABC的外接圆，得出当点A为优BC的中点时，BC边上的高最大，即△ABC的面积最大，此时AB=AC，△ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质求得△ABC的面积最大值，则结论可求．
【详解】解：∵tan∠A=3，
∴∠A=60°，
∵BD、CE分别是AC、AB边上的高线，
∴CE⊥AB,BD⊥AC，
∴∠ACE=∠ABD=30°，
∴AD=12AB，AE=12AC，
∴AEAC=ADAB，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∼△ABC，
∴S△ADES△ABC=ADAB2=122=14，
∴S△ADE=14S△ABC，
∴当△ABC面积最大时，三角形ADE面积有最大值，
作出△ABC的外接圆，如图，

点A为优弧BC上的点，且∠A=60°，
∵BC=5，
∴当点A为优BC的中点时，BC边上的高最大，即△ABC的面积最大，此时AB=AC，
∴ △ABC为等边三角形，
∵S△ABC的最大值=12×5×5×sin60°=534，
∴三角形ADE面积的最大值是5316，
故答案为5316．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，利用三角形的性质求得△ABC的面积的最大值是解题的关键．
2．（2023·河南南阳·三模）小明参加了学校组织的数学兴趣小组，在一次数学活动课上，他们对两块大小不等的等腰直角三角板摆放不同的位置，做了如下探究：

(1)将两块三角板的直角顶点重合，如图1，在△ACB和△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=CE，当点D在线段AB上时（点D不与点A，B重合），
①由题意可得△ACD≌△BCE，其依据是：___________；
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
②直接写出AD与BE的数量关系___________．
(2)将两块三角板的锐角顶点重合，如图2，在△ACB和△DCE中，∠CAB=∠CDE=90°，AC=AB，CD=DE，点A与线段DE不在同一直线上，（1）中AD与BE的数量关系是否仍然成立？若不成立，请求出新的数量关系；
(3)将小三角板的锐角顶点与大三角板的直角顶点重合，如图3，在△ACB和△EDC中，∠ACB=∠EDC=90°，AC=BC=4，CD=ED．将△EDC绕点C在平面内旋转，当点D落在边AB上时，满足sin∠BCE=55，请直接写出AD的长．
【答案】(1)①B；②AD=BE
(2)不成立，见解析
(3)2或32
【分析】（1）①根据∠ACB=∠DCE=90°可推出∠ACD=∠BCE，即可根据SAS证明△ACD≌△BCE；②根据全等三角形对应边相等，即可得出结论；
（2）根据题意可得∠DCE=∠ACB=45°，CBCA=2，CECD=2，再推出∠ACD=∠BCE，即可证明△ACD∽△BCE，即可得出结论；
（3）连接BF，过点E作EF⊥AB于点F，分两种情况进行讨论即可：①当∠BCE在BC左边时，②当∠BCE在BC右边时．
【详解】（1）解：①∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=AB∠ACD=∠BCECD=DE，
∴△ACD≌△BCESAS，
故选：B；
②由①可得△ACD≌△BCESAS，
∴AD=BE；
（2）解：不成立．
∵△CDE和△CAB都是等腰直角三角形，
∴∠DCE=∠ACB=45°，CBCA=2，CECD=2．
∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB．
∴∠ACD=∠BCE，CBCA=CECD．
∴△ACD∽△BCE．
∴BEAD=CBCA=2．
即BE=2AD．
故（1）中BE和AD的数量关系不存在；
（3）解：连接BF，过点E作EF⊥AB于点F，
①当∠BCE在BC左边时，
∵∠ACB=∠EDC=90°，AC=BC，CD=ED，
∴∠CED=∠CBD=45°，
∴点C，D，E，B四点共圆，
∴∠DBE=∠DCE=45°，∠BCE=∠BDE，
∵∠EDC=90°，
∴∠CBE=180°−∠EDC=90°，
∴sin∠BCE=BECE=55，
设BE=5k,CE=5k，
在Rt△BCE中，根据勾股定理可得BC2+BE2=CE2，
则42+5k2=5k2，解得：k1=255，k2=−255（舍），
∴BE=2,CE=4，
∵∠DBE=45°，EF⊥AB，
∴BF=BE⋅cs45°=2，则BF=EF=2，
∵∠BCE=∠BDE，∠CBE=∠DFE=90°，
∴△CBE=△DFE，
∴EFBE=DFBC，即22=DF4，
解得：DF=22，
∵AC=BC=4，
∴AB=AC2+BC2=42，
∴AD=AB−DF−BF=42−22−2=2；

②当∠BCE在BC右边时，
同理可得：DF=22，BF=EF=2，
∴AD=AB−DF−BF=42−22−2=32，

综上：AD的长为2或32．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关定理和性质，正确画出辅助线，根据题意进行分类讨论．
3．（2023·重庆沙坪坝·二模）等边△ABC中，点D为直线AB上一动点，连接DC．

(1)如图1，在平面内将线段DC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CE，连接BE．若D点在AB边上，且DC=5，tan∠ACD=12，求BE的长度；
(2)如图2，若点D在AB延长线上，点G为线段DC上一点，点F在CB延长线上，连接FG、AG．在点D的运动过程中，若∠GAF+∠ABF=180°，且FB−BD=AC，猜想线段CG与线段DG之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，将△BDC沿直线BC翻折至△ABC所在平面内得到△BD'C，M点在AB边上，且AM=14AB，将MA绕点A逆时针方向旋转120°得到线段AN，点H是直线AC上一动点，将△MNH沿直线MH翻折至△MNH所在平面内得到△MN'H，在点D，H运动过程中，当N'D'最小时，若AB=4，请直接写出DN'H的面积．
【答案】(1)233
(2)见解析
(3)2138
【分析】（1）作DF⊥AC，求出DF长，再求出AD，证明△ACD≌△BCE，BE=AD即可；
（2）作DE ∥ AC，交AG的延长线于点E，由条件∠FAB=∠E，AC=DE，再证明出△FAB≌△ADE，得到DE=AB=AC，再证出△DHE≌△AGC，即可证明出结论；
（3）判断出点D'在过B且平行于BC的直线上，点N'定在以M为圆心，MN为半径的⊙M上，连接DN'，作直线MD'，交NH于F，作DE⊥MD'于E，用梯形DEFH的面积减去三角形DEN'的面积，再减去三角形FHN'的面积即可．
【详解】（1）解：如图1，作DF⊥AC于点F，

∵ tan∠ACD=12，
∴CF=2DF，
∵ DC=5，
∴ DF2+2DF2=52，
∴DF=1，CF=2，
∵∠A=60°，
∴ AD=DFsin60°=233，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵AC=BC，DC=EC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴BE=AD= 233；
（2）DG=CG．
如图2，作DE ∥ AC，交AG的延长线于点E，

∵∠GAF+∠ABF=180°，
∴∠GAF=60°，即∠FAB+∠DAG=60°，
∵ DE∥AC，
∴∠ADE=120°，即∠E+∠DAG=60°，
∴∠FAB=∠E，
∵FB−BD=AC，
∴FB=BD+AC=BD+AB=AD，
∵∠FBA=∠ADE=120°，
∴△FAB≌△ADE(AAS)，
∴AB=DE，
∴AC=DE，
∵AC ∥ DE，
∴∠E=∠GAC，
∵∠DGE=∠AGC，
∴△DHE≌△AGC(AAS)，
∴DG=CG；
（3）如图3，若将△BDC沿直线BC翻折得到△BD'C，则BD=BD'，
∴点D'在过B且平行于BC的直线上，
将△MNH沿直线MH翻折得到△MN'H，则MN=MN'，
∴点N'定在以M为圆心，MN为半径的⊙M上，
过M作MD'⊥BD'于D'，交⊙M于点N'，
则D'N'的长为最小值，
连接DD'，作直线MD'，交NH于F，作DE⊥MD'于E，

由题得点H在⊙M上，且MF⊥NH，
∵AM= 14 AB，AB=4，
∴AM=1=AN，
∵∠MAF=60°，
∴MF=AMsin30°=32，MN=2MF=3，
由折叠得，∠MHN=∠MHN'=30°，
∴FH=MFtan30°=32，
∴N'F=FH⋅tan60°=332，
∵MB=3，∠D'BM=60°
∴MD'=MB⋅sin60°=332，
∴D'N'=332−3=32，
∠D'MD=∠D'DM=30°，
∴MD'=DD'=332，
∵∠DD'E=60°，
∴D'E=12DD'=334,DE=DD'⋅sin60°=94，
∴EN'=534，
∴EF=1134，
∴S梯形DEFH=12DE+FH⋅EF=165332，
S△DEN'=12DE⋅EN'=45332，
S△N'FH=12N'F'⋅FH=938，
∴S△DN'H=165332−45332−938=2138．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等等知识点的综合应用，解直角三角形、点的轨迹的判断、直线与圆的位置关系是解题关键．
题型02 锐角三角函数与四边形综合
4．（2023·山东青岛·一模）【阅读与思考】
我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sinα的值叫做这个平行四边形的变形度．
【探究与应用】
(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是______；
(2)若矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为，试猜想S1，S2，1sinα之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2=AE⋅AD，这个矩形发生变形后为▱A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为2mm>0的▱A1B1C1D1面积为mm>0，求∠A1E1B1+∠A1D1B1的大小．
【答案】(1)233
(2)1sinα=S1S2，理由见详解
(3)45°
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到α=60°，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，根据平行四边形和矩形的面积公式即可得到结论；
（3）由已知条件得到△B1A1E1∽△D1A1B1，由相似三角形的性质得到∠A1B1E1=∠A1D1B1，根据平行线的性质得到∠A1E1B1=∠C1B1E1，求得∠A1D1B1+∠A1E1B1=∠C1E1B1+∠A1B1E1=∠A1B1C1，证得∠A1B1C1=45°，于是得到结论．
【详解】（1）
解：∵平行四边形有一个内角是120°，
∴α=60°，
∴1sinα=1sin60°=233；
故答案为：233；
（2）解：1sinα=S1S2，理由如下：
如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，
∴S1=ab，S2=aℎ，sinα=ℎb
∴S1S2=abaℎ=bℎ
则1sinα=S1S2；
（3）解：如图2，
∵AB2=AE×AD，
∴A1B12=A1E1×A1D1，即A1B1A1D1=A1E1A1B1，
∵∠B1A1E1=∠D1A1B1，
∴△B1A1E1∽△D1A1B1，
∴∠A1B1E1=∠A1D1B1
∵A1D1∥B1C1，
∴∠A1E1B1=∠C1B1E1
∴∠A1D1B1+∠A1E1B1=∠C1B1E1+∠A1B1E1=∠A1B1C1
由（2）知，1sinα=S1S2；
可知1sin∠A1B1C1=2mm=2，
∴sin∠A1B1C1=22，
∴∠A1B1C1=45°，
∴∠A1E1B1+∠A1D1B1=45°．
【点睛】本题考查了相似综合题，需要掌握平行四边形的性质，矩形的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质等知识点，正确的理解“变形度”的定义是解题的关键．
5．（2023·吉林长春·模拟预测）【实践操作】如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，AD=3cm，E为边AB上一点，把△ADE沿着DE折叠得到△A'DE，作射线EA'交射线DC于点F.过点F作FH⊥AB于点H．
(1)求证：△A'DF≌△HFE；
(2)当AE=2cm时，CF= ______ cm；
(3)【问题解决】如图②，在正方形纸片ABCD中，取边AB中点E，AD=3cm，将△ADE沿着DE折叠得到△A'DE，作射线DA'交边BC于点G，点F为CD边中点，P是边BC上一动点，将△CFP沿着FP折叠得到△C'FP，当点C'落在线段A'D上时，tan∠CFP= ______ ．
【答案】(1)见解析
(2)74
(3)34
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，翻折变换，锐角三角函数，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质．
（1）根据AAS可证明：△A'DF≌△HFE；
（2）设EH=xcm，根据勾股定理列方程可解答；
（3）如图②，连接CC'，EG，根据对称和等腰三角形的性质可得△DCC'是直角三角形，由三角形中位线定理得P是CG的中点，设BG=ycm，根据勾股定理列方程可得y的值，最后由三角函数定义可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∴AD⊥AB，
∵FH⊥AB，
∴FH=AD，
由折叠得：AD=A'D，∠A=∠EA'D=90°，
∴∠DA'F=∠EHF=90°，A'D=FH，
∵AB∥CD，
∴∠HEF=∠DFA'，
∴△A'DF≌△HFEAAS；
（2）解：设EH=xcm，
∵△A'DF≌△HFE，
∴A'F=EH=xcm，
∵AE=A'E=2cm，
∴EF=x+2cm，
在Rt△EHF中，EF2=EH2+FH2，
∴(x+2)2=x2+32，
∴x=54，
∴CF=BH=5−2−54=74cm；
故答案为：74；
（3）解：如图②，连接CC'，EG，
∵CC'关于FP对称，
∴CC'⊥FP，CF=C'F，
∵F是CD的中点，
∴DF=CF，
∴DF=CF=C'F，
∴△DCC'是直角三角形，
∴CC'⊥DG，
∴DG∥FP，
∵F为CD的中点，
∴P是CG的中点，
∵E为AB的中点，AD=3，
∴A'E=AE=BE=32，A'D=AD=3cm，
设BG=ycm，
则EG2=1.52+y2，
∵∠B=∠EA'G=90°，EB=A'E，EG=EG，
∴Rt△EBG≌Rt△EA'GHL，
∴BG=A'G=ycm，
在Rt△DGC中，
∵DG2=DC2+CG2，
∴(y+3)2=(3−y)2+32，
∴y=34，
∴CG=3−34=94，
∴CP=98，
∴tan∠CFP=CPCF=9832=34．
故答案为：34．
6．（2023·吉林长春·模拟预测）【操作一】如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，MN∥BC交CD于点N．点E是AB边上的一点，连结CE，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点B'落在MN上．求∠CB'N的大小．

以下是小明同学的部分解答过程，请你补充完整．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD．
∵MN∥BC，
∴MB=NC，∠MNC=∠D=90°
∵M是AB的中点，
∴MB=12AB=NC=12BC
由折叠，得CB=CB'
∴CN=12 ______
在Rt△B'CN中，
sin∠CB'N=NCCB'=12．
∴∠CB'N= ______ 度．
【操作二】在图①的基础上继续折叠，如图②，点F是CE边上的一点，连结AF，将正方形纸片沿AF所在直线折叠，点D的对应点D'落在MN上．求证：△BCE≌△DAF．
【应用】在图②的基础上，如图③，G、H分别是CE、AF的中点，顺次连接B'、G、D'、H，若AB=2，直接写出点H、G之间的距离．
【答案】【操作一】B'C，30；【操作二】见解析；【应用】23−2
【分析】[操作一]由所给证明过程可推导得出答案；
[操作二]先由①得∠CB'N=30°，进一步证明∠BCB'=∠CB'N=30°，再由折叠可得∠BCE=∠B'CE，BE=B'E和∠CB'E=∠B=90°，并证明∠BCE=∠B'CE=12∠BCB'=15°，同理∠DAF=∠D'AF=15°，即可得到∠BCE=∠DAF，最后根据ASA证明结论；
[应用]先根据△BCE≌△DAF，证明BE=DF和CE=AF，以及AE=CF，进一步证明四边形AECF是平行四边形，以及四边形AEGH是平行四边形，得到GH=AE，再设GH=AE=x，则B'E=BE=AB−AE=2−x，得到ME=EB'⋅cs∠MEB'=2−x⋅32，再根据M是AB的中点得到EM=AE−AM=x−1，最后解方程2−x⋅32=x−1，求出x=23−2，即可得到点H、G之间的距离为23−2．
【详解】解：[操作一]∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD，
∵MN∥BC，
∴MB=NC，∠MNC=∠D=90°，
∵M是AB的中点，
∴MB=12AB=NC=12BC，
由折叠，得CB=CB'，
∴CN=12CB'，
在Rt△B'CN中，
sin∠CB'N=NCCB'=12，
∴∠CB'N=30°．
故答案为：B'C，30°．
[操作二]∵MN∥BC，
∴∠BCB'=∠CB'N=30°，
由折叠可得∠BCE=∠B'CE，BE=B'E，∠CB'E=∠B=90°，
∴∠BCE=∠B'CE=12∠BCB'=15°，
同理∠DAF=∠D'AF=15°，
∴∠BCE=∠DAF，
在△BCE和△DAF中，
∠BCE=∠DAFBC=AD∠B=∠D，
∴△BCE≌△DAFASA．
[应用]如图，连接HG，

∵△BCE≌△DAF，
∴BE=DF，CE=AF，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CE∥AF，
∵G、H分别是CE、AF的中点，
∴EG=AH，
∴四边形AEGH是平行四边形，
∴GH=AE，
设GH=AE=x，则B'E=BE=AB−AE=2−x，
∵∠CB'E=∠B=90°，
∴∠CB'N+∠BEB'=180°，
∵∠MEB'+∠BEB'=180°，
∴∠MEB'=∠CB'N=30°，
∵MN⊥AB，
∴ME=EB'⋅cs∠MEB'=2−x⋅32，
∵M是AB的中点，
∴AM=12AB=1，
∴EM=AE−AM=x−1，
∴2−x⋅32=x−1，
解得x=23−2，
即点H、G之间的距离为23−2．
【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形性在应用，勾股定理的计算及三角形全等的证明是解题关键．
7．（2023·浙江宁波·一模）【基础巩固】
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上与点B不重合的任意一点，EF=AE，∠AEF=90°，点G是射线BC上一点，求证：∠FCG=45°．
证明思路：在AB上截取BK=BE，因为AB=BC，所以AK=CE，请完成接下去的证明；
【尝试应用】
（2）如图2，在矩形ABCD中，点E是边BC上与B不重合的任意一点，tan∠FCG=EFAE=2，∠AEF=90°，点G是射线BC上一点，求ABBC的值；
【拓展提高】
（3）如图3，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，连结BE，作∠EFG=∠EBF，使点F，G分别落在边BC，CD．上．若2BE=5BF，且tan∠CFG=13，求sin∠EFC的值．
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）104
【分析】
（1）先证明∠BAE=∠CEF，证明△EAK≌△FECSAS，得出∠AKE=∠ECF，进而可得∠FCG=∠BKE=45°；
（2）作∠AEM=∠F，交线段AB于点M，证明△AEM∽△EFC，得出AMEC=AEEF=12，进而可得BEBM=tan∠EMB=tan∠FCG=2，即可求解；
（3）过点G作∠FGH=∠EFG，即EF∥GH．△EBF∽△FGH，得出GHFG=BFBE=25，设CG=a，则CF=3a，FG=10a，得出GH=2105a，进而根据正弦的定义，即可求解．
【详解】证明：（1）∵∠AEF=90°．
∴∠AEB+∠CEF=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
在△EAK和△FEC中，
AE=EF∠KAE=∠CEFAK=EC，
∴△EAK≌△FECSAS，
∴∠AKE=∠ECF，
∵BK=BE，∠B=90°，
∴∠FCG=∠BKE=45°．
（2）作∠AEM=∠F，交线段AB于点M．
∵∠AEF=90°．
∴∠AEB+∠CEF=90°．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AEM∽△EFC，
∴AMEC=AEEF=12，∠AME=∠ECF
又∴∠BME=∠FCG，
∴BEBM=tan∠EMB=tan∠FCG=2，
∴ABBC=AM+BMCE+BE=AM+BM2AM+2BM=12．
（3）如图，过点G作∠FGH=∠EFG，即EF∥GH．
∴∠BFE=∠GHF，
∵∠EFC=∠EFG+∠GFC=∠EBF+∠BEF
∵∠EFG=∠EBF
∴∠BEF=∠GFC，
∴△EBF∽△FGH，
∴GHFG=BFBE=25．
∵tan∠CFG=13，
设CG=a，则CF=3a，FG=10a，
则GH=2105a，
∴sin∠EFC=sin∠GHC=a2510a=104．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形性质与判定，解直角三角形，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
题型03 锐角三角函数与圆综合
8．（2023·广西梧州·二模）如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD=∠BAD．
(1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)若AB=10，sin∠ABC=45，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)AD的长为25
【分析】（1）作OE⊥AB于点E，由∠AOD=∠BAD得到∠CBD=∠ABD，根据角平分线定理，即可得到OC=OE，即可得证，
（2）先根据锐角三角函数，求出AC、BC的长，由S△AOB+S△COB=S△ABC，可求OC、OA、OB的长，根据ABOA=cs∠OAD=cs∠CBD=BCOB，即可求解，
本题考查了切线的性质与判定，角平分线定理，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】（1）证明：作OE⊥AB于点E，则∠OEA=∠OEB=90°，
∵⊙O与BC相切于点C，
∴BC⊥OC，
∵AD⊥BO交BO的延长线于点D，
∴∠C=∠D=90°，
∵∠CBD+∠BOC=90°，∠OAD+∠AOD=90°，∠BOC=∠AOD，
∴∠CBD=∠OAD，
∵∠AOD=∠BAD，
∴∠ODA=180°−∠AOD−∠D=180°−∠BAD−∠D=∠ABD，
∴∠CBD=∠ABD，
∴OC=OE，
∴点E在⊙O上，
∵OE是⊙O的半径，且AB⊥OE，
∴AB是⊙O的切线，
（2）解：∵ACAB=sin∠ABC=45，AB=10，
∴AC=45AB=45×10=8，
∴BC=AB2−AC2=102−82=6，
∵S△AOB+S△COB=S△ABC，
∴12AB⋅OE+12BC⋅OC=12AC⋅BC，
∴12×10×OE+12×6×OC=12×8×6，
∴OC=3，
∴OA=AC−OC=8−3=5，OB=BC2+OC2=62+32=35，
∵ABOA=cs∠OAD=cs∠CBD=BCOB，
∴AD=OA⋅BCOB=5×635=25．
9．（2023·广东深圳·模拟预测）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且tan∠A=34，M为线段AB的中点，作DM⊥AB，点P在线段CB上，点Q在线段AC上，以PQ为直径的圆始终过点M，且PQ交线段DM于点E．

(1)求线段DM的长度；
(2)求tan∠PQM的值；
(3)当△MPE是等腰三角形时，求出线段AQ的长．
【答案】(1)154
(2)43
(3)258或5
【分析】（1）在Rt△AMD中，AM=12AB=5，然后在Rt△AMD中利用三角函数即可求解；
（2）证明∠ACM=∠A=∠QPM，然后根据等角的三角函数值相等即可求解；
（3）证明△AMQ∽△PME，故当△MPE是等腰三角形时，则△AMQ为等腰三角形．然后分①当AM=AQ=5时，②当AM=MQ时，③当AQ=MQ时三种情况求解．
【详解】（1）∵DM⊥AB，
∴△ADM为直角三角形，
∵M为线段AB的中点，AB=10，
∴AM=12AB=5，
在Rt△AMD中，
则DM=AMtanA=5×34=154；
（2）连接CM，

在Rt△ABC中，∵CM是中线，
∴CM=BM=AM，
∴∠MBC=∠MCB，
∵MP=MP,,
∴∠MCB=∠PQM，
∴∠MBC=∠MCB=∠PQM，
在Rt△ABC中，tan∠A=BCAC=34，则tan∠ABC=ACBC=43，
∴tan∠PQM=tan∠ABC=43；
（3）∵∠QMA+∠QMD=90°，∠PME+∠QMD=90°，
∴∠QMA=∠PME，
在Rt△ABC中，∵CM是中线，
∴CM=BM=AM，
∴∠ACM=∠A，
∵MQ=MQ,
∴∠ACM=∠QPM，
∴∠ACM=∠A=∠QPM，
∴△AMQ∽△PME，
∴当△MPE是等腰三角形时，则△AMQ为等腰三角形，
①当AM=AQ=5时，
此时AQ=5；
②当AM=MQ时，
∴∠A=∠AQM.
∵∠AQM>∠ACM=∠A,
∴此种情况不存在；
③当AQ=MQ时，
∴∠A=∠AMQ.
∵∠A+∠ADM=90°,∠AMQ+∠DMQ=90°,
∴∠DMQ=∠ADM,
∴DQ=MQ,
∴AQ=DQ,
∴AQ=12AD，
在Rt△AMD中，AD=AM2+DM2=52+1542=254，
则AQ=258；
综上，AQ=258或5．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形相似、解直角三角形等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
10．（2023·浙江杭州·三模）如图1，三角形ABC内接于圆O，点D在圆O上，连接AD和CD，CD交AB于点E，∠ADE+∠CAB=90°

(1)求证：AB是直径；
(2)如图2，点F在线段BE上，AC=AF，∠DCF=45°
①求证：DE=DA；
②若AB=kAD，用含k的表达式表示csB．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②k2−2k2
【分析】（1）先根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABC，从而可得∠ABC+∠CAB=90°，再根据圆周角定理即可得证；
（2）①先根据等腰三角形的性质可得∠AFC=∠ACF，根据三角形的外角性质可得∠AFC=∠ACE+45°，再根据圆周角定理可得∠DAE=∠BCD=90°−∠ACE，从而可得∠AED=∠DAE，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
②过点A作AH⊥CD于点H，设DE=DA=xx>0，BC=y，则AB=kx，csB=ykx，设csB=ykx=aa0，BC=y，则AB=kx，csB=BCAB=ykx，
在Rt△ABC中，BC45°，不符合题意；
当m>0时，
∵∠CPA=∠ABO=45°，
∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，
∴△PCD∽△APB，
∴PDAB=CDPB，即12m+22m=2212m，解得m=12．
故答案是：12．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数图形的特点，几何图像的变换是解题的关键．
题型08 锐角三角形应用-仰角俯角问题
25．（2024·江苏南京·模拟预测）今年除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度，如图，小李从B点出发，沿坡度i=5:12的山坡BA走了260米到达坡顶A点，亮亮则沿B点正东方向到达离A点水平距离80米的C点观看，此时烟花在与B、C同一水平线上的点D处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点D的正上方E点绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为45°，亮亮在C处测得E点的仰角为60°，（点A、B、C、D、E在同一平面内）．烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为430±5米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放高度（图中DE）是否属实？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
【答案】说明书写的烟花燃放高度属实
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题．过A作AG⊥BD于G，根据矩形的性质得到∠AGD=∠AGB=∠AFE=∠D=90°，AF=DG，AG=DF，设AG=5k，BG=12k，根据勾股定理得到AB=AG2+BG2=13k=260，BG=12k=240米，根据CG=80米，DF=100米，求得AF=DG=(80+CD)米，得到EF=AF=80+CD，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：过A作AG⊥BD于G，AF⊥DE于F，

则四边形AGDF是矩形，
∴∠AGD=∠AGB=∠AFE=∠D=90°，AF=DG，AG=DF，
在Rt△ABG中，AB=260米，AGBG=512，
设AG=5k，BG=12k，
∴AB=AG2+BG2=13k=260，
∴k=20，
∴AG=100米．BG=12k=240米，
∵CG=80米，DF=AG=100米，
∴AF=DG=(80+CD)米，
∵∠EAF=45°，
∴∠AEF=∠EAF=45°，
∴EF=AF=80+CD，
在Rt△CDE中，∠DCE=60°，DE=80+CD+100=180+CD，tan∠DCE=DECD，
∴180+CD=3CD，
∴CD=90+903，
∴DE=180+90+903≈426（米)．
∵426在430±5即425与435的范围内，
答：说明书写的烟花燃放高度属实．
26．（2024·江苏南京·一模）如图，山顶有一塔AB，在塔的正下方沿直线CD有一条穿山隧道EF，从与E点相距80m的C处测得A，B的仰角分别为27°，22°．从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．若隧道EF的长为323m，求塔AB的高．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）

【答案】33m
【分析】延长AB交CD于点H，则AH⊥CD，结合角的正切分析求解直角三角形．
【详解】解：如图，延长AB交CD于点H，则AH⊥CD

在Rt△ACH中，∠ACH=27°，
∵tan27°=AHCH．
∴CH=AHtan27°=AH0.51．
在Rt△BCH中，∠BCH=22°，
∵CH=BHtan22°=BH0.40，
在Rt△ADH中，∠D=45°，
∵tan45°=AHHD，
∴HD=AH．
由题意可得CE=80m，EF=323m，DF=50m
∴CD=CE+EF+DF=453
∴CH+DH=CH+AH=453
又∵CH=AH0.51，
∴AH0.51+AH=453，解得AH=153，
∴CH=1530.51=300
∴BH0.40=300，解得BH=120
∴AB=AH−BH=33m
答：塔AB的高为33m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
27．（2024·陕西商洛·一模）数学兴趣小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
请你依据此方案，求教学楼AB的高度．（结果保留整数）
【答案】教学楼的高度约为13m
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得四边形BDCE是矩形，则可得CG=BD，CD=BG=4.7m，然后分别在Rt△BCG与Rt△ACG中，利用三角函数的知识，求得CG与AG的长，进而可得AB，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是关键．
【详解】根据题意得：四边形BDCE是矩形，
∴CG=BD，CD=BG=4.7m，
在Rt△BCG中，∠BCG=13°，
∴BG=CG⋅tan13°，
∴CG=BGtan13°，
在Rt△ACG中，∠ACG=22°，
∴AG=CG⋅tan22°=BGtan13°×tan22°≈×0.40≈8m，
∴AB=AG+BG=8+4.7≈13m，
答：教学楼的高度约为13m．
28．（2024·陕西西安·三模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长．（结果精确到1m，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75，3≈1.73)
【答案】58m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；延长AB交OF于点G，延长CD交OF于点H，根据题意可得：AG⊥OF，CH⊥OF，AG=60m，OF=24m，GH=AC，然后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义求出OG的长，再利用三角形的外角性质可得∠FOE=∠FEO=30°，从而可得O=EF=24m，最后在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：延长AB交OF于点G，延长CD交OF于点H，
由题意得：AG⊥OF，CH⊥OF，AG=60m，OF=24m，GH=AC，
在Rt△AGO中，∠AOG=70°，
∴GO=AGtan70°≈602.75≈21.8(m)，
∵∠HFE是△OFE的一个外角，∠HFE=60°，∠FOE=30°，
∴∠FEO=∠HFE−∠FOE=30°，
∴∠FOE=∠FEO=30°，
∴FO=EF=24m，
在Rt△EFH中，FH=EF⋅cs60°=24×12=12(m)，
∴AC=GH=OG+OF+FH=21.8+24+12≈58(m)，
∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
题型09 锐角三角形应用-方位角问题
29．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走100米至观测点D，测得A在D 的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离（精确度到1米）．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．sin53°≈0.80，cs53°≈0.60， tan53°≈1.33
【答案】A，B两点间的距离约107米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，证得△BCD和△ABD是直角三角形是解决问题的关键．由三角形内角和定理证得△BCD和△ABD是直角三角形，解直角三角形即可求出AB．
【详解】解：根据题意得A，B，C三点共线，
∵CE∥AD，
∴∠A=∠ECA=37°，
∴∠CBD=∠A+∠ADB=37°+53°=90°，
∴∠ABD=90°，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°−53°=37°，CD=100米，cs∠BDC=BDCD，
∴BD=CD⋅cs∠37°≈100×0.80=80（米），
在Rt△ABD中，∠A=37°，BD=80米，tanA=BDAB，
∴AB=BDtan37°≈800.75≈107（米）．
答：A，B两点间的距离约107米．
30．（2023·重庆·模拟预测）如图，四边形ABCD是某公园内的休闲步道．经测量，点B在点A的正东方向，AB=100米，点C在点B的正北方向，点D在点A的西北方向，AD=2002米，点D在点C的南偏西60°方向上．（参考数据：2≈1.414,3≈1.732）
(1)求步道BC的长度；（精确到个位）
(2)甲以90米/分的速度沿A→B→C→D的方向步行，同时乙骑自行车以300米/分的速度沿A→B→C→D的方向行驶．两人能否在3分钟内相遇？请说明理由．
【答案】(1)步道BC的长度为373米
(2)两人可以在3分钟内相遇，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点D作DE⊥BC于E过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF是矩形，求得EF=AB=100米，AF=BE，解直角三角形即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）解：过点D作DE⊥BC于E过点A作AF⊥DE于F，
则四边形ABEF是矩形，
∴EF=AB=100米，AF=BE，
在Rt△DAF中，∠DAF=45°，AD=2002米，
∴AF=DF=AD⋅tan∠DAF=2002×22=200（米)，
∴BE=200米，DE=DF+EF=300米，
在Rt△DCE中，∠DCE=60°，DE=DF+EF=300米，tan∠DCE=DECE，
∴CE=DEtan60°=3003=1003（米)，
∴BC=BE+CE=200+1003≈200+100×1.732=373.2≈373（米)．
答：步道BC的长度约为373米；
（2）解：两人能在3分钟内相遇，理由如下：
在Rt△DCE中，∠DCE=60°，CE=1003米，
∴∠CDE=30°，
∴CD=2CE=2003米，
∴四边形ABCD的周长为300+3003+2002，
∴(300+3003+2002)÷(300+90)≈2.8（秒)，
故两人能在3分钟内相遇．
31．（2023·重庆·模拟预测）如图，一艘巡逻船以每小时50海里的速度从正北向正南方向进行巡逻，在点A处测得码头C在其南偏东60°方向上，继续向正南方向航行2小时到达点B处，测得码头C在其北偏东30°方向上．

(1)求此时巡逻船所在点B处与码头C的距离；（结果保留根号）
(2)巡逻船在点B处发现其南偏东75°方向上的点D处有一只正在非法捕鱼的渔船，于是立即调整方向以原速朝着点D处行驶，同时，巡逻船与停靠在码头C的海监船取得联系，渔船在码头C的南偏东15°方向上，海监船得到命令后整理装备用时10分钟，然后以每小时80海里的速度朝渔船行驶．求海监船从码头C到达渔船所在的点D处的时间；并据此判断海监船能否比巡逻船提前到达D处．（结果精确到百分位，参考数据：2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45）
【答案】(1)503海里
(2)海监船从码头C到达渔船所在的，点D处用时1.21小时，且海监船能比巡逻船提前到达点D处
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解方位角的含义是解本题的关键．
（1）先求解∠ACB=90°，AB=50×2=100海里，再解直角三角形可得BC的长度；
（2）先求解∠CBD=75°,∠BCD=45°，∠BDC=60°．过点B作BE⊥DC于点E．求解BE=CE=BC⋅cs45°=256海里．DE=BEtan60°=252海里，BD=DEcs60°=502海里．再计算时间进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意，得∠BAC=60°，∠ABC=30°，
∴∠ACB=90°，AB=50×2=100（海里）．
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴BC=AB⋅cs30°=100×32=503（海里）．
答：此时巡逻船所在点B处与码头C的距离为503海里．
（2）由题意，得∠CBD=180°−30°−75°=75°,∠BCD=30°+15°=45°，
∴∠BDC=180°−75°−45°=60°．

过点B作BE⊥DC于点E．
在Rt△CEB中，∠CEB=90°，∠BCE=45°，
∴BE=CE=BC⋅cs45°=503×22=256（海里）．
在Rt△DEB中，∠DEB=90°，∠BDE=60°，
∴DE=BEtan60°=2563=252（海里），
BD=DEcs60°=25212=502（海里）．
海监船用时为CE+DE80=256+25280≈516×(2.45+1.41)≈1.21（时），
巡逻船用时为BD50=50250=2≈1.41（时）．
∵1.21+1060≈1.21+0.17=1.38AM），则sin∠BCM的值为（ ）

A．5−12B．5+12C．5−14D．12
【答案】A
【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M'，连接CM'，BM'，根据折叠的性质可得：∠CMB=∠CM'B，BC⊥MM'，从而可得∠BDM=90°，再根据黄金分割的定义可得BMAB=5−12，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而证明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA，进而利用相似三角形的性质可得DMAC=BMAB=5−12，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：∠A=∠AMC，从而可得CA=CM，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M'，连接CM'，BM'，

由折叠得：∠CMB=∠CM'B，BC⊥MM'，
∴∠BDM=90°，
∵点M为AB的黄金分割点（BM>AM），
∴BMAB=5−12，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠MDB，
∵∠DBM=∠CBA，
∴△DBM∽△CBA，
∴DMAC=BMAB=5−12，
∵四边形ACM'B是半⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠CM'B＝180°，
∵∠AMC+∠CMB＝180°，∠CMB=∠CM'B，
∴∠A=∠AMC，
∴CA=CM，
在Rt△CDM中，sin∠BCM=DMCM=DMAC=5−12．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换（折叠问题），圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AD=5，tanB=2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B'、C'，当∠BEB'=90°时，则点C'到BC的距离是（ ）

A．5+5B．25+2C．6D．35
【答案】D
【分析】过C作CH⊥AD于H，过C'作C'F⊥AD于F，由菱形性质和正切定义求出HD=5，HC=25，再由折叠证明∠BED=∠B'ED=135°，得到∠EDC=∠EDC'=45°，从而得到△CHD≌△DFC'，则C'F=HD=5，则问题可解．
【详解】解：过C作CH⊥AD于H，过C'作C'F⊥AD于F，

由已知，AD=5，tanB=2，
∴CD=5，tan∠CDH=HCHD=2，
∴设HD=x，则HC=2x，
∴在Rt△HDC中，HC2+HD2=CD2，
2x2+x2=52，
解得x=5，
∴HD=5，HC=25，
由折叠可知，∠BED=∠B'ED，∠EDC=∠EDC'，CD=C'D
∵∠BEB'=90°，
∴∠BED=∠B'ED=135°，
∵AB∥DC，
∴∠EDC=180°−∠BED=45°，
∴∠EDC=∠EDC'=45°
∴∠CDC'=90°
∵∠CHD=∠C'AD=90°，
∴∠CDH+C'DF=90°，
∵∠CDH+∠HCD=90°，
∴∠C'DF=∠HCD，
∴△CHD≌△DFC'，
∴C'F=HD=5，
∴点C'到BC的距离是C'F+CH=5+25=35．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出∠BED=∠B'ED=135°．
6．（2023·浙江杭州·二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，∠BAC=θ0