中考数学二轮培优练习热点07 相似三角形（7大题型+高分技法+限时提升练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮培优练习热点07 相似三角形（7大题型+高分技法+限时提升练）（2份，原卷版+解析版），共8页。试卷主要包含了黄金分割及平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用等内容，欢迎下载使用。

中考数学中《相似三角形》部分主要考向分为三类：
一、黄金分割及平行线分线段成比例（每年1道，3分）
二、相似三角形的判定与性质（每年1~2道，3~12分）
三、相似三角形的应用（每年1~2题，3~14分）
相似三角形在中考数学中的地位永远都是无法撼动的第一，不管是对相似三角形性质、判定、亦或是应用的考察，都有出题类型多变，出题形式随意的特点，并且，因为其高度的融合性，不管是在选择题、填空题、解答题的压轴题中，都可以作为压轴题的问题背景出现，也是解决压轴题问题不可或缺的方法途径。基于以上特征，相似三角的考察难度可以从中等跨越到较难，属于中考数学中较为重要的压轴考点。
考向一：平行线分线段成比例
【题型1 比例与比例线段】
1．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一测量电路，Ry为待测电阻，Rx为可调电阻，R，R1，R2为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节Rx的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有RyR1=R2Rx，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过Rx的电阻求得Ry的电阻，现已知R1=2Ω，R2=8Ω．当Rx=4Ω时电流表读数为0，那么此时将Ry减小3Ω，则Rx需要如何变，电流表示数才能为0？
A．增大12ΩB．增大8ΩC．减小3ΩD．减小1Ω
【答案】A
【分析】本题考查了比例式，读懂题意，则根据RyR1=R2Rx，R1=2Ω，R2=8Ω，Rx=4Ω，求出Ry=4Ω，因为将Ry减小3Ω，故把Ry=1Ω代入RyR1=R2Rx算出调整后的Rx=16Ω，即可作答．
【详解】解：∵RyR1=R2Rx，R1=2Ω，R2=8Ω，Rx=4Ω，
∴Ry2Ω=8Ω4Ω，
∴Ry=4Ω，
∵将Ry减小3Ω，
∴调整后的Ry=1Ω，
∵电流表示数才能为0，
∴RyR1=R2Rx，
∵R1=2Ω，R2=8Ω，Ry=1Ω，
则1Ω2Ω=8ΩRx，
解得Rx=16Ω，
∴16Ω−4Ω=12Ω，
即Rx增大12Ω，
故选：A．
2．（2025·广东深圳·一模）已知a，b，c，d成比例线段．若a=5cm，b=10cm，d=8cm，则c的长为（ ）
A．2.5cmB．4cmC．10cmD．16cm
【答案】B
【分析】本题考查成比例线段，解题的关键是掌握：若四条线段a，b，c，d成比例，则ab=cd（或a:b=c:d），是有顺序的，位置不能随意颠倒．据此列式解答即可．
【详解】解：∵a，b，c，d成比例线段，且a=5cm，b=10cm，d=8cm，
∴ab=cd，即510=c8，
∴c=4cm．
故选：B．
3．（2025·上海黄浦·一模）已知线段a=2cm，b=3cm，如果线段c是线段a和b的比例中项，那么线段c的长为（ ）
A．6cmB．6cmC．−6cmD．±6cm
【答案】B
【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题．
本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型．
【详解】解：解：∵线段c是线段a和b的比例中项，
∴c2=ab，
∵a=2cm，b=3cm，c>0，
∴c=2×3=6cm，
故选：B．
4．（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则mn的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出A、B两地的实际直线距离，B、C两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可．
【详解】解：由题意，得A、B两地的实际直线距离为400−200=200，B、C两地的实际直线距离为200−100=100，
∴m:n=200:100=2:1，
即mn=21=2．
故答案为：2．
5．（2025·上海虹口·一模）已知线段a是线段b、c的比例中项，b=2 cm，c=8 cm，那么a= cm．
【答案】4
【分析】本题考查了比例线段，根据题意可得a2=bc，代入数值求解即可．
【详解】解：∵线段a是线段b,c的比例中项，b=2 cm，c=8 cm
∴a2=bc=2×8=16
∴a=4（负值舍去）
∴a=4cm
故答案为：4．
【题型2黄金分割】
1．（2024·广东深圳·三模）黄金分割比被称之为比例之王，在艺术创作和建筑设计上有很多例子．不过，事实上黄金分割符合的是西方美学，而东方美学更钟爱于白银分割．其中爱国品牌红旗汽车H9的设计中应用了白银分割（图1)；福州华林寺大殿——现存最古老木构建筑物中也大量运用了白银比例．东方人之所以喜欢白银分割比，因为在日常生活中随处都可以见到白银分割的身影，比如常用到的A4纸，对折后得到两个全等的A5纸、A5纸折叠后得到两个全等的A6纸等等（图2)，A4纸，A5纸、A6纸等的长与宽的比都等于白银比，这样的矩形称为白银矩形．
如图3，若菱形的边长与高之比为白银比，则称这个菱形为白银菱形，以白银菱形作为平面镶嵌图形从而构造出具有对称美的图形，则这个矩形地毯的长宽比为( )
A．2B．2+1C．5−1D．5
【答案】B
【详解】解：由题意得，白银矩形四边形ABFE∽白银矩形四边形ADCB，
∴ ABAD=AEAB，
即AB2=AD⋅AE，
∵AD=2AE，
∴AB2=12AD2，
∴ AD2AB2=2，
∴ ADAB=2（负值舍去）
即白银矩形的长与宽的比为2．
如下图，作EI⊥HG于点I,GJ⊥PQ于J，FK⊥QM于K，在QM上截取QS=QH,连接SH,

由题可知：EHEI=2,
∴sin∠EHG=EIEH=22,
∴∠EHI=45°,
∵EF=FL,
∴EK=LK,FK=QH,
同理可得QH=HJ=JR=RP,QE=EK=KL=LM,
∴∠QHE=∠RHG=12180°−45°=67.5°,
∴∠QEH=90°−67.5°=22.5°,
∵QH=QS,
∴∠QHS=∠QSH=45°,
∴∠SHE=∠QEH=22.5°,
∴SH=SE,
设QH=QS=m,
∴PQ=4m,SH=2m,
∴QE=2+1m,
∴QM=42+1m,
∴QMPQ=42+1m4m=2+1,
故选：B．
【点睛】本题考查的时候相似多边形的性质、平面镶嵌（密铺）、菱形的判定与性质、翻折变换（折叠问题）、比例的性质、黄金分割，解决本题的关键是理解白银矩形的定义．
2．（2025·江西·模拟预测）定义：若线段AB上有一点C满足AC=5−12AB或BC=5−12AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．在如图所示的五角星图案中，已知点M,N是线段AB的黄金分割点，若AB=8，则线段MN的长为 ．
【答案】85−16/−16+85
【分析】本题考查的是黄金分割的概念，熟记线段的黄金分割点有两个是解题的关键．根据黄金分割的定义可得AN=BM=5−12AB=45−4，继而由AM=AB−BM求出AM，再由线段和差计算即可求解．
【详解】解：由题意得，AN=BM=5−12AB=45−4，
∴AM=AB−BM=8−45−4=12−45，
∴MN=AN−AM=45−4−12−45=85−16，
故答案为：85−16．
3．（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即AC2=AB⋅BC，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C，D之间的距离 cm．（结果保留根号）
【答案】805−160
【分析】本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方程是解题的关键．设AC=xcm，则BC=80−xcm，由AC2=BC⋅AB得x2=8080−x，解方程求出AC的长，同理求出AC的长，进而可求出点C，D之间的距离．
【详解】解：设AC=xcm，则BC=80−xcm，
∵ AC2=BC⋅AB，
∴x2=8080−x，
解得x1=405−40,x2=−405−40（舍），
∴ AC=405−40cm，
同理可求， BD=405−40cm，
∴AD=AB−BD=80−405−40=120−405cm，
∴CD=AC−AD=405−40−120−405=805−160cm．
故答案为：805−160．
4．（2024·江苏常州·模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，BE>AE．已知AB为2米，则线段BE的长为 米．
【答案】5−1
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为5−12进行求解即可．
【详解】解：∵E为边AB的黄金分割点，BE>AE，
∴BE=5−12AB=5−1米，
故答案为：5−1．
5．（2024·福建厦门·模拟预测）活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽MN为2cm）
活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形．
如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以2a为腰长的黄金三角形△A′B′C′．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
步骤一：作一条线段GH，使得GH的长度等于△A′B′C′的腰长；
步骤二：作一条线段PQ，使得PQ的长度等于△A′B′C′的底边长；
步骤三：作黄金三角形△A′B′C′．
【答案】（1）活动一：①2；②1；③5−1；④5−12；
（2）见解析
【分析】活动一：利用折叠的性质和勾股定理解答即可；
活动二：利用作一条线段等于已知线段的方法，黄金分割的作法和SSS公理解答即可．
【详解】解：活动一：
①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则NC=MN=2cm；
②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则AC=AN=12NC=1cm；
③折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处，则AD=AB=AC2+BC2=12+22=5cm；
④展平纸片，按照所得到的点D折出DE，DE=BC=2cm,CD=AD−AC=5−1cm，则CDBC=5−12；
活动二：
步骤一：作一条线段GH，使得GH的长度为2a，
步骤二：1．过点H作HL⊥GH于点H，
2．在HL上截取HE=a，连接GE，
3．在EG上截取EK=a，
4．以点G为圆心，以GK为半径画弧交GH于点M， 则点M为GH的黄金分割点，GM的长度等于5−12GH，则GM的长度等于△A′B′C′底边的长度，即GM=PQ，如图：
步骤三：作△A′B′C′，作线段B′C′=GM，分别以B′,C′为圆心，以GM为半径画弧，两弧交于点A′，连接A′B′,A′C′，如图，
则△A′B′C′为黄金三角形．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，黄金分割的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，基本作图，本题是操作性题 目，熟练掌握基本作图的知识和折叠的性质是解题的关键．
【题型3 平分线分线段成比例】
1．（2025·河南·一模）如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC=50cm，CE=30cm，BD=45cm，则BF的长为（ ）
A．27cmB．50cmC．72cmD．80cm
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键．
先根据平行线等分线段定理列比例式求得DF=27cm，再运用线段的和差求解即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ACCE=BDDF，即5030=45DF，解得：DF=27cm．
∴BF=BD+DF=72cm．
故选C．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，直线a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=2，BC=3，DE=3，则EF=（ ）
A．103B．152C．4D．92
【答案】D
【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理解答即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键．
【详解】解：∵a∥b∥c，
∴ABBC=DEEF，
∴23=3EF，
∴EF=92，
故选：D．
3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，AB⊥BD,CD⊥BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF⊥BD垂足为F．则下列结论错误的是（ ）
A．AEEC=BEEDB．AEDE=ABCD
C．EFAB=DFDBD．ADBD=AEBF
【答案】A
【分析】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．
【详解】解： ∵AB⊥BD,CD⊥BD,EF⊥BD，
∴AB∥CD∥EF
∴△ABE∽△DCE，
∴AEED=ABCD=BEEC ，故选项A错误，选项 B正确，
∵EF∥AB，
∴△DEF∽△DAB，
∴EFAB=DFDB，故选项C正确；
∵EF∥AB，
∴ADAE=BDBF，
∴ADDB=AEBF，故选项D正确，
故选：A．
4．（2025·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，点G是重心，连接AG交BC于点D，BC=4，cs∠ACB=25，F是边AC上一点，当FG⊥AD时，则CF的长为（ ）
A．1B．53C．32D．3
【答案】B
【分析】本题考查了重心的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，掌握相关知识是解题的关键．根据重心和等腰三角形的性质可得：DG=12AG=13AD，CD=12BC=2，∠ADC=90°，由cs∠ACB=25可得AC=5，结合FG⊥AD得到GF∥BC，推出CFAC=DGAD=13，即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，点G是重心，
∴ DG=12AG=13AD，CD=12BC=2，∠ADC=90°，
∵ cs∠ACB=25，
∴ cs∠ACB=CDAC=2AC=25，
∴ AC=5，
∵ FG⊥AD，AD⊥BC，
∴ GF∥BC，
∴ CFAC=DGAD=13，即CF5=13，
∴ CF=53，
故选：B．
5．（2025·上海崇明·一模）如图，AB∥CD∥EF，AE:CE=3:2，BF=6，那么BD的长等于 ．
【答案】10
【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理得到AEEC=BFDF=32，求出DF=23BF=4，即可求出BD的长．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，AE:CE=3:2，
∴AEEC=BFDF=32，
∵BF=6，
∴DF=23BF=4
∴BD=BF+DF=10，
故答案为：10．
6．（2025·上海长宁·一模）如图，AB∥CD∥EF，如果AD=2，DF=1.5，BC=2.4，那么BE的长是 ．
【答案】4.2
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵ AB∥CD∥EF，
∴ADDF=BCCE，
∵ AD=2，DF=1.5，BC=2.4，
∴21.5=2.4CE，
解得：CE=1.8，
∴BE=BC+CE=2.4+1.8=4.2．
故答案为：4.2．
7．（2023·安徽宿州·一模）如图，在△ABC中，CG平分∠ACB，过点A作AH⊥CG交BC于点H，且H是BC的中点．若AH=4，CG=6，则AB的长为 ．
【答案】152
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，作HK∥CG交AB于点K，由平行线分线段成比例定理可证AG=KG=BK，根据勾股定理求出AK的长，进而可求出AB的长．
【详解】解：作HK∥CG交AB于点K，
∴BKKG=BHCH，AGKG=ANNH．
∵H是BC的中点，
∴BH=CH，
∴BK=KG，
∴HK=12CG．
∵AH⊥CG，
∴∠ANC=∠HNC=∠ANG=90°．
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACN=∠HCN．
∵CN=CN，
∴△ACN≌△HCNASA，
∴AN=HN，
∴AG=KG，
∴AG=KG=BK，
∵HK∥CG，
∴∠KHA=∠ANG=90°，
∴AK=AH2+HK2=5，
∴AG=KG=BK=12AK=52，
∴AB=AG+KG+BK=152．
故答案为：152．
考向二：相似三角形判定与性质
【题型4 相似三角形的性质】
1．（2025·河南开封·一模）如果两个相似三角形的对应边之比是1:4．那么它们的面积之比是（ ）
A．1:4B．1:6C．1:8D．1:16
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵相似三角形的面积之比等于相似比的平方，
∵两个相似三角形的相似比是1:4，
∴它们的面积的比是1:16，
故选：D．
2．（2025·重庆·模拟预测）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA:OD=2:3，△ABC的面积为8，则△DEF的面积为（ ）
A．8B．12C．18D．24
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，所以ABDE=OAOD=23，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴ABDE=OAOD=23，
∵△ABC∽△DEF，
∴S△ABCS△DEF=ABDE2=49，
∴S△DEF=94S△ABC=94×8=18．
故选：C．
3．（2025·河北邯郸·一模）嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示），已知△ABC∽△DEF．测得AC=3cm，DF=4cm，△DEF的面积为16cm2，则△ABC的面积为（ ）
A．6cm2B．9cm2C．10cm2D．12cm2
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵△ABC∽△DEF，
∴S△ABCS△DEF=ACDF2，
∵AC=3cm，DF=4cm，△DEF的面积为16cm2，
∴S△ABC16=342，
∴△ABC的面积为9cm2．
故选：B．
4．（2025·重庆·模拟预测）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若AA′=3OA′，B′C′=5，则BC的长为（ ）
A．15B．20C．10D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了位似变换、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的性质可得△ABC∽△A′B′C′且相似比为2：1，然后由相似三角形对应边的比等于相似比解答即可．
【详解】解：∵AA′=3OA′，
∴OAOA′=12．
∵△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，
∴△ABC∽△A′B′C′且AC∥AC′，
∴BCBC′=ACAC′=OAOA′=2，
∵B′C′=5，
∴BC=2B′C′=10．
故选：C．
5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDES△CDE=13，则S△BDES△BAC的值为（ ）

A．13B．14C．19D．116
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握等高不同底的三角形的面积的比等于底的比与三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
由S△BDES△CDE=13，得到BECE=13，于是得到BEBC=14，根据DE∥AC，推出△BDE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵S△BDES△CDE=13
∴BECE=13
∴BEBC=14
∵DE∥AC
∴△BDE∽△ABC
∴DEAC=BEBC=14
∴S△BDES△BAC=142=116
故选：D．
【题型5 相似三角形的判定】
1．（2025·湖南长沙·一模）如图，下列条件不能判定△ABD∽△ACB的是（ ）
A．∠ADB=∠ABC B．∠DBA=∠C C．AB2=AD⋅AC D．BCAC=DCBC
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定的判定方法即可得出答案，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB,∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，故选项不符合题意；
B、∵∠DBA=∠C,∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，故选项不符合题意；
C、∵AB2=AD⋅AC，
∴ABAC=ADAB，
又∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，故选项不符合题意；
D、对应边不成比例，不能判定△ABD∽△ACB，故选项符合题意．
故选：D．
2．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．

【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3
【分析】（1）由矩形的性质可得∠ADE=∠DCF=90°，则∠CDF+∠DFC=90°，再由AE⊥DF，可得∠DGE=90°，则∠CDF+∠AED=90°，根据等角的余角相等得∠AED=∠DFC，即可得证；
（2）利用“HL”证明△ADE≌△DCF，可得DE=CF，由CH=DE，可得CF=CH，利用“SAS”证明△DCF≌△DCH，则∠DHC=∠DFC，由正方形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质，即可得证；
（3）延长BC到点G，使CG=DE=8，连接DG，由菱形的性质可得AD=DC，AD∥BC，则∠ADE=∠DCG，推出△ADE≌△DCGSAS，由全等的性质可得∠DGC=∠AED=60°，DG=AE，进而推出△DFG是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=∠DCF=90°，
∴∠CDF+∠DFC=90°，
∵ AE⊥DF，
∴∠DGE=90°，
∴∠CDF+∠AED=90°，
∴∠AED=∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，AD∥BC，∠ADE=∠DCF=90°，
∵AE=DF，
∴△ADE≌△DCFHL，
∴DE=CF，
又∵ CH=DE，
∴ CF=CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴ ∠DCH=∠DCF=90°，
∵DC=DC，
∴△DCF≌△DCHSAS，
∴∠H=∠DFC，
∵ AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC=∠H；
（3）解：如图，延长BC到点G，使CG=DE=8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠DCG，
∴△ADE≌△DCGSAS，
∴∠DGC=∠AED=60°，DG=AE，
∵AE=DF，
∴DG=DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG=FC+CG=DF=11，
∴FC=11−CG=11−8=3．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键．
3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，求证：△ACD∽△CBD．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，由相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD．
4．（2025·上海徐汇·一模）在矩形ABCD中连接AC，过点D作AC的垂线交AC于E，AB于F．
(1)证明：△ABC∽△DEA；
(2)若EF=1，ED=2，连接FC，求tan∠FCA的值．
【答案】(1)见解析
(2)tan∠FCA=24
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质．
（1）由矩形的性质得∠B=∠DAF=90°，再由垂直得∠AED=∠B=90°，由角的等量代换推出∠CAB=∠ADE，即可得出结论；
（2）先证明△ADE∽△FAE得AEDE=EFAE，进而得AE=2，再由平行得AEEC=EFDE=12，EC=2AE=22，最后由tan∠FCA=EFEC可得答案．
【详解】（1）证明：∵ABCD是矩形，
∴∠B=∠DAF=90°，
∵DF⊥AC于点E，
∴∠AED=∠B=90°，
∴∠DAF=∠DAE+∠EAF=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠EAF=∠ADE，即∠CAB=∠ADE，
∴△ABC∽△DEA；
（2）解：如图，
∵DF⊥AC，
∴∠AED=∠AEF=90°，
由（1）∠EAF=∠ADE，
∴△ADE∽△FAE，
∴AEDE=EFAE，
∴AE2=DE⋅EF，
∵EF=1，ED=2，
∴AE=2（负值舍去），
∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴AEEC=EFDE=12，
∴EC=2AE=22，
∴tan∠FCA=EFEC=122=24．
5．（2025·湖北·一模）（1）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BH⊥AC于点H，求证：△AHB∽△BHC；
（2）如图2，已知∠ABC=∠D=90°，E为BD上一点，且AE=AB，若ABBC=45，求BECD的值；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC，E为边CD上一点，且AE=AB，BE⊥CD，求DECE的值．
【答案】（1）见解析；（2）85；（3）32
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用前面探索的结论和方法解决新问题是解题的关键．
（1）利用同角的余角相等得∠ABH=∠C，即可证明结论；
（2）过点A作AF⊥BE于点F，利用两个角相等证明△ABF∽△BCD，得BFCD=ABBC，从而得出答案；
（3）过点A作AH⊥BE于点H，延长BE，AD相交于点N，设BH=xx>0，则EH=x,BE=2x,首先证明△AHB≌△BEC，得AH=BE=2x,BH=CE=x,再根据△AHB∽△NHA，得NH=4x,NE=NH−EH=4x−x=3x,最后根据△NED∽△BEC进而解决问题．
【详解】解：（1）证明：∵BH⊥AC，∠ABC=90°，
∴∠AHB=∠BHC=90°，∠A+∠C=90°，∠A+∠ABH=90°，
∴∠ABH=∠C，
∴△AHB∽△BHC；
（2）过点A作AF⊥BE于点F，则∠AFB=90°=∠D，
∵AE=AB，AF⊥BE，
∴BF=EF=12BE．
∵∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABF+∠CBD=90°，∠C+∠CBD=90°，
∴∠ABF=∠C，
∴△ABF∽△BCD，
∴BFCD=ABBC．
又∵ABBC=45，
∴12BECD=45，
∴BECD=85．
（3）过点A作AH⊥BE于点H，延长BE，AD相交于点N．
∵AE=AB，AH⊥BE，
∴BH=EH=12BE．
设BH=x，则EH=x，BE=2x．
∵AH⊥BE，∠ABC=90°，BE⊥CD，
∴∠AHB=∠BEC=90°，∠ABH+∠CBE=90°，∠C+∠CBE=90°，
∴∠ABH=∠C．
又∵AB=BC，
∴△AHB≌△BECAAS，
∴AH=BE=2x，CE=BH=x．
∵AH⊥BE，∠DAB=90°，
∴∠AHB=∠NHA=90°，∠ABH+∠N=90°，∠N+∠NAH=90°，
∴∠ABH=∠NAH，
∴△AHB∽△NHA，
∴AHNH=BHAH，
∴2xNH=x2x，
∴NH=4x，
∴NE=NH−EH=4x−x=3x．
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AN∥BC，
∴△NED∽△BEC，
∴DECE=NEBE=3x2x−32．
考向三：相似三角形的应用
【题型6 相似三角形的应用】
1．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD=3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ）
A．4.5米B．4米C．3.5米D．2.5米
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为FH，连接AF并延长交BC于点G，根据题意得到CE∥FH∥AB，证明△DCE∽△DBA,△GHF∽△GBA，得到CEAB=CDBD,FHAB=GHGB，由CE=FH推出CDBD=GHGB，即可得出结论．
【详解】解：设回过程中小杰身高为FH，连接AF并延长交BC于点G，
根据题意得到CE∥FH∥AB，
∴ △DCE∽△DBA,△GHF∽△GBA，
∴ CEAB=CDBD,FHAB=GHGB，
∵ CE=FH
∴ CDBD=GHGB，
∵BD>GB，
∴CD>GH，
∵ CD=3米，
∴ GH