中考数学二轮专题训练重难点05 函数大综合（2份，原卷版+解析版）

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1．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数y=−x2+(2a+4)x−a2−4a（a为常数）．
(1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)当a+1≤x≤2a+5(a≥−1)时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
(3)若二次函数图象对称轴为直线x=1，该函数图象与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为CD的中点，过点M的直线l（直线l不过C,D两点）与二次函数图象交于E,F两点，直线CE与直线DF相交于点P．
①求证：点P在一条定直线上；
②若S△COP=35S△ABP，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．
2．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线C1:y=x2−2x−8交x轴于A,B两点（A在B的左边），交y轴于点C．

(1)直接写出A,B,C三点的坐标；
(2)如图（1），作直线x=t0AB，求n的范围；
②若m≠n，当抛物线C1与抛物线C2的交点始终在定直线x=k（k为常数）上时，求此时y1+y2的最小值（用含k的代数式表示）．
5．（2024·四川成都·一模）如图，直线y=−x−4分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线y=15x2+bx+c过A，B，C三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点B作BD∥AC交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线AC下方抛物线上的一动点，连接PD交AC于点E，连接EB，求S△PEB的最大值及最大值时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线y=−2x与新抛物线交于O，G两点，点H是线段OG的中点，过H作直线RQ（不与OG重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线GR与直线OQ交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．
题型02 直线过定点问题
6．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y=ax2−2ax−3aa>0与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值；
(3)延长CD交x轴于点E，当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'．将抛物线L平移得到抛物线L'，使得点A'，B'都落在抛物线L'上．试判断抛物线L'与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
7．（2023·湖南·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2−2ax+3与x轴交于点A−1,0和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线．

(1)求a的值．
(2)将直线BC向下平移mm>0个单位长度，交抛物线于B'、C'两点．在直线B'C'上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B'C'的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO=45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．
8．（2024·湖北·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，D0,−3，抛物线y=−2x2+6x+8与y轴交于C点，交x轴于A、B两点（A在B的左边），E为抛物线第一象限上一动点．
(1)直接写出A，B两点坐标；
(2)连接BD，过E作EF⊥x轴交BD于F，当DF=CE时，求点E的横坐标；
(3)连接ED，平移至MN，使M，E对应，使M，N分别与D，E对应，且M，N均落在抛物线上，连接EM，判断并证明直线EM是否经过一个定点．
题型03 恒定值的有关计算问题
9．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过△AOD的三个顶点，其中O为原点，A2,4，D6,0，点F在线段AD上运动，点G在直线AD上方的抛物线上，GF∥AO，GE⊥DO于点E，交AD于点I，AH平分∠OAD，C−2,−4，AH⊥CH于点H，连接FH．
(1)求抛物线的解析式及△AOD的面积；
(2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求△AFH的面积；
(3)试探究FGGI的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由．
10．（2024·河南商丘·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(1，0)B(3，0)两点，M为抛物线的顶点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB的中点为E，直线AD，BC的交点为P．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若C(4,3)，D(m,−34)，且m0．
(1)求证：该抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
(2)如图，设抛物线与x轴的交点为A，B（点A在点B的左边），与y轴的交点为C，已知点D(0,2m)，直线AD交抛物线于另一点E，连接CE，过点B作BF⊥x轴，交CE于F．
①请直接写出A，B，C的坐标（可用含m的式子表示）；
②求证：当m(m>0)变化时，线段BF的长度恒为定值．
12．（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与y轴交于点C0,−3．

(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，点T是x轴上一动点，将顶点M绕点T旋转90°刚好落在抛物线上的点N处，求点T的坐标；
(3)点P为抛物线y=ax²+bx+c的对称轴上一定点，过点P的直线交抛物线于点E、F(点E在F的左侧)．若1PE+1PF恒为定值m，求m的值．
题型04 特殊角的唯一存在性
13．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线C1:y=ax2−2ax−3aa0交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是抛物线的顶点．

(1)当m=2时，直接写出A，B两点的坐标：
(2)点D是对称轴右侧抛物线上一点，∠COB=∠OCD，
①如图（1），求线段CD长度；
②如图（2），当m>2，Tt,0t>0，P为线段OC上一点．若△PCD与△POT相似，并且符合条件的点P有2个，求t和m之间的数量关系．
18．（21-22九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点B(3,0)，点C(0,3)，D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使∠AQC=90°，求点Q的坐标；
(3)在坐标平面内找一点P，使△OCD与△CBP相似，且∠COD=∠BCP，求出所有点P的坐标．
19.（2023·湖南长沙·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+4(a>0)与x轴交于点A(1,0)和B(4,0)，与y轴交于点C
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，连接OQ，当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE=2∠ODQ，在直线QE上是否存在点F，使得△BEF与△ADC相似？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
题型06 新定义与函数综合
20．（2025·湖南长沙·一模）定义：若一次函数y=ax+b和反比例函数y=−cx交于两点x1, y1和x2, y2，满足x2=ky1x10与反比例函数y2=4x交于A, B两点，它们的“−a属合成”函数为y3，若点A在直线y=−ax+5上，求y3的解析式；
(3)如图，若y=ax+b与y=−32x的“2属合成”函数的图象与x轴交于M, N两点（M在N点左侧），它的顶点为D1, y0，P为第三象限的抛物线上一动点，NP与y轴交于点E，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，射线ME与射线FN交于点G，连接MP，若∠MGN=2∠MPN，求点P的坐标．
21．（2024·湖南·模拟预测）定义：若抛物线C1沿x轴向右平移m个单位长度得到抛物线C2，那么我们称抛物线C2是C1的“友好抛物线”，m称为“友好值”．如图，抛物线C1:y=a(x+2)2−6与x轴交于A−8,0,B两点，抛物线C2是C1的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线C2与x轴交于A1,B1两点，与y轴交于点C，作直线B1C，点M是抛物线C2上一动点．
(1)抛物线C2的表达式为_________；
(2)若点M在第四象限，过点M作MQ⊥x轴于点Q，交B1C于点P，当PQ=2PM时，求MQ的长；
(3)是否存在点M，使得∠MCB1=15°？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的直角边长为n（n为正整数，且n≥2），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点Mx,y在等腰直角三角形OAB边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形OAB的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形OAB只有两个交点且交点均是等腰直角三角形OAB的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形OAB的“整点函数”．

(1)如图1，当n=2时，一次函数y=kx+t是等腰直角三角形OAB的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为______（写出一个即可）；
(2)如图2，当n=3时，函数y=mx的图像经过C1,2，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由；
(3)当n=4时，二次函数y=ax2+bx+2经过AB的中点，若该函数是“整点函数”，求a的取值范围；
(4)在（3）的条件下Pa+1,y1，Qa+2,y2是二次函数y=ax2+bx+2图象上两点，若点P、Q之间的图象（包括点P、Q）的最高点与最低点纵坐标的差为3a，求a的值
【命题预测】
1．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线y=−x2+3x+4与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图（1），P是抛物线上异于A，B的一点，将点B绕点P顺时针旋转45°得到点Q，若点Q恰好在直线AP上，求点P的坐标
(3)如图（2），M，N是抛物线上异于B，C的两个动点，直线BN与直线CM交于点T，若直线MN经过定点1,3，求证：点T的运动轨迹是一条定直线．
2．（2024·山东德州·一模）已知抛物线C1:y=ax2+2ax+a−23．
(1)写出抛物线C1的对称轴：______．
(2)将抛物线C1平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线C2，且抛物线C2经过点A−2,−2和点B（点B在点A的左侧）．
①求C2的函数解析式；
②若△ABO的面积为4，求点B的坐标．
(3)在（2）的条件下，直线l1:y=kx−2与抛物线C2交于点M,N，分别过点M,N的两条直线l2,l3交于点P，且l2,l3与y轴不平行，当直线l2,l3与抛物线C2均只有一个公共点时，请说明点P在一条定直线上．
3．（2025·云南·模拟预测）已知函数y=kx2+(2k+1)x+2（k为正整数）．
(1)若函数y=kx2+(2k+1)x+2的图象与坐标轴有3个不同的交点，且交点的横、纵坐标均为整数，求此函数的解析式；
(2)无论k为何值，该函数都经过定点Ms,t，且T+3=st，求T11−T9−2T7+2T5+T3−TT4−2T2+1的值．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A−1,0和B3,0两点，与y轴交于点C，点P为第一象限抛物线上一个动点．
(1)直接写出该抛物线的解析式；
(2)如图1，若tan∠PCA=2，求点P的坐标；
(3)如图2，过A作AQ⊥AP交抛物线于点Q，当点P在运动过程中，直线PQ是否经过一个定点，若经过定点，求出该定点的坐标．
5．（2024·四川南充·三模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−3,0，B两点，与y轴交于C点，对称轴直线x=−1．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，直线x=−1与抛物线，x轴分别交于点M，N，ND⊥AC于点D，点E在坐标平面内，若以M，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；
(3)如图2，若过（2）中点D的直线与抛物线交于P、Q两点（点P在点Q左侧），过Q点的直线y=2x+c与抛物线交于点R，探究直线PR是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．
6．（2024·江苏泰州·三模）如图1，抛物线y=ax+1x−3a≠0与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C0，3．点P是第一象限抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线解析式．
(2)如图2，若点P是抛物线顶点，连接AC、CP、AP，求△ACP面积．
(3)如图3，点Q是第四象限抛物线上的另一动点，AP交y轴于H点，AQ交y轴于G点．在点P、Q运动的过程中始终满足OH⋅OG=2，试探究直线PQ是否经过某一个定点，若是，则求出该定点的坐标；若不是，说明理由．
7．（2024·甘肃酒泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+x+6与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
(1)求B、C两点的坐标；
(2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PE⊥BC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，抛物线上是否存在一点Q，使∠BCQ=45°，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】
如图，记二次函数y=ax−b2+c和y=−ax−p2+qa≠0的图象分别为抛物线C和C1．
定义：若抛物线C1的顶点Qp,q在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点Pb,c在C1上．
【理解与运用】
（1）若二次函数y=−12x−22+m和y=−12x−n2+12的图象都是抛物线y=12x2的伴随抛物线，则m=______，n=______．
【思考与探究】
（2）设函数y=x2−2kx+4k+5的图象为抛物线C2．
①若函数y=−x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点x1,0，x2,0 x10)与x轴交于点A，与抛物线E:y=ax2交于B，C两点（B在C的左边）．

(1)求A点的坐标；
(2)如图1，若B点关于x轴的对称点为B'点，当以点A，B'，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；
(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如−2,1，2,0等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．
10．（2023·江苏南通·中考真题）定义：平面直角坐标系xOy中，点Pa,b，点Qc,d，若c=ka，d=−kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点−4,6是点2,3的“−2级变换点”．
(1)函数y=−4x的图象上是否存在点1,2的“k级变换点”?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
(2)点At,12t−2与其“k级变换点” B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点m2,y1，m2,y2．若k≤−2，求证：y1−y2≥2；
(3)关于x的二次函数y=nx2−4nx−5nx≥0的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y=−x+5上，求n的取值范围．
11．（2025·山东·一模）新定义：我们把抛物线y=ax2+bx+c（其中ab≠0与抛物线y=bx2+ax+c称为“关联抛物线”，例如，抛物线y=2x2+3x+1的“关联抛物线”为y=3x2+2x+1，已知抛物线C1：y=4ax2+ax+4a−3(a>0)的“关联抛物线”为C2，C1与y轴交于点E．
(1)若点E的坐标为0,−1，求C1的解析式；
(2)设C2的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标；
(3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2，于点M，N．
①当MN=6a时，求点P的坐标；
②当a−4≤x≤a−2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
12．（2024·广西·模拟预测）阅读与探究．定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，将原函数中的自变量x替换为x，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“绝对函数”．例如，函数y=x+1的“绝对函数”是y=x+1，即y=x+1x≥0−x+1(x