中考数学二轮专题训练重难点02 综合与实践（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮专题训练重难点02 综合与实践（2份，原卷版+解析版），文件包含第二十八章单元测试原卷docx、第二十八章旋转答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
【考情分析】生活中的建模思想逐渐渗透到中考数学中，这不仅考查学生的数学基础知识，更注重考查学生将数学应用于实际生活的能力。近年来，生活中的建模问题在中考数学试卷中出现的频率逐年增加。通常作为压轴题或综合性较强的题目出现，分值占比一般在15%至25%之间，是中考数学的重要组成部分。
【常见类型】
1. 函数建模：这类问题多涉及方程、函数、不等式等数学知识，背景常为生产计划、成本利润、市场销售等。例如，某工厂生产帐篷的任务安排问题，通过建立方程或函数模型求解每天的生产量和成本利润。
2. 几何建模：题目背景多为测量、建筑设计、航海等，涉及三角形、圆、相似形等几何知识。如灯塔与航线的安全距离问题，通过构建几何模型，利用三角函数、勾股定理等知识求解。
3. 统计与概率建模：此类问题考查学生对数据收集、整理、分析的能力，背景可能为市场调查、人口统计等。例如，通过样本数据预测某种产品的市场需求量，建立统计模型进行分析。
【解题思路与方法】
1. 理解问题：首先需要认真阅读题目，理解问题的实际背景，明确需要解决的目标。
2. 抽象简化：根据问题的特征和目的，忽略次要因素，用精确的数学语言表达问题，建立假设。
3. 模型构建：利用适当的数学工具和知识，构建数学模型。例如，建立方程、函数、几何图形等。
4. 模型求解：利用数学方法求解模型，得到数学结果。
5. 结果验证：将模型结果与实际背景进行比较，验证模型的合理性和准确性。如果模型不符合实际，需要调整假设或模型，重新求解。
6. 结果解释：将数学结果转化为实际问题的解决方案，并进行解释说明。
【趋势预测】随着教育改革的不断深入，生活中的建模问题在中考中的地位将更加重要。未来的中考数学试题可能会更加贴近生活实际，题目背景更加多样化，综合性更强。同时，对学生能力的要求也将进一步提高，不仅要求学生掌握基本的数学知识，还要具备较强的分析问题、解决问题的能力，以及创新意识和实践能力。
题型01 生活中的建模- 解直角三角形
1．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
(1)求点C到地面DE的距离；
(2)求顶部线段BC的长．（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cs15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993,cs83°≈0.122,tan83°≈8.144）
【答案】(1)点C到地面DE的距离为6.65m；
(2)顶部线段BC的长为7.14m．
【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，由∠CDE=97°得∠CDN=83°，在Rt△CDN中，解直角三角形即可得解；
（2）过点B作BP⊥CF，垂足为P ，由平行线的性质得∠FCD=∠CDN=83°，进而得∠BCP=∠BCD−∠FCD=15°，根据平行线间的距离处处相等得EF=CN=6.65，从而得BP=AF=AE−EF=8.5−6.65=1.85，最后在Rt△BCP中，解直角三角形即可得解．
【详解】（1）解：如图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，
∵∠CDE=97°
∴∠CDN=83°
在Rt△CDN中，
sin∠CDN=sin83°=CNCD=0.993,CD=6.7
∴CN=CDsin83°=6.7×0.993≈6.65
答：点C到地面DE的距离为6.65m
（2）解：如图，过点B作BP⊥CF，垂足为P ，
∵CF ∥ DE，
∴∠FCD=∠CDN=83°
∵∠BCD=98°，
∴∠BCP=∠BCD−∠FCD=15°
∵平行线间的距离处处相等
∴EF=CN=6.65，
∵AE=8.5，
∴BP=AF=AE−EF=8.5−6.65=1.85
在Rt△BCP中，
sin∠BCP=sin15°=BPBC=0.259
∴BC=BPsin15°=≈7.14
答：顶部线段BC的长为7.14m．
2．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sinαsinβ叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且csα=74，β=30°，求该介质的折射率；
(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知α=60°，CD=10cm，求截面ABCD的面积．
【答案】(1)32；
(2)1002cm2．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，
（1）根据csα=74，设b=7x，则c=4x，利用勾股定理求出a=(4x)2−(7x)2=3x，进而可得sinα=ac=3x4x=34，问题即可得解；
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为32，根据sinαsinβ=sin60°sinβ=32，可得sinβ=33，则有sin∠OCD=sinβ=33，在Rt△ODC中，设OD=3x，OC=3x，问题随之得解．
【详解】（1）∵csα=74，
∴如图，
设b=7x，则c=4x，由勾股定理得，a=(4x)2−(7x)2=3x，
∴sinα=ac=3x4x=34，
又∵β=30°，
∴sinβ=sin30°=12，
∴折射率为：sinαsinβ=3412=32．
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为32，
∵α=60°，
∴sinαsinβ=sin60°sinβ=32，
∴sinβ=33．
∵四边形ABCD是矩形，点O是AD中点，
∴AD=2OD，∠D=90°，
又∵∠OCD=β，
∴sin∠OCD=sinβ=33，
在Rt△ODC中，设OD=3x，OC=3x，
由勾股定理得，CD=(3x)2−(3x)2=6x，
∴tanβ=ODCD=3x6x=12．
又∵CD=10cm，
∴OD10=12，
∴OD=52cm，
∴AD=102cm，
∴截面ABCD的面积为：102×10=1002cm2．
3．（2024·新疆·中考真题）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：
（1）准备测量工具
①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角；
②皮尺．
（2）实地测量数据
①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）；
②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为16.8m，眼睛到地面的距离为1.6m．
（3）计算旗杆高度
①根据图3中测角仪的读数，得出仰角α的度数为 ；
②根据测量数据，画出示意图4，AB=1.6m,BC=16.8m，求旗杆CD的高度（精确到0.1m）；（参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43）
③若测量者仍站在原处（B点），能否用三角板替代测角仪测出仰角α？若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角α，请写出测量方法．
【答案】①35°；②13.4m；③不能，见详解
【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的实际应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解决本题的关键．
①根据直角三角形两锐角互余即可求解；
②由题意得：CE=AB=1.6m，AE=BC=16.8m，∠AED=90°，解Rt△EDA可求出DE≈11.8m，由CD=DE+CE即可求解；
③不能，若使用30°,60°,90°的三角板，可以把三角板的30°角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向后退，直至退到60°角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为30°，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算；若使用45°,45°,90°的三角板，可以把三角板的45°角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向前走，直至走到另一个45°角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为45°，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算．
【详解】解：①如图：
由题意得∠C=90°,∠ADC=55°，
∴∠A=α=90°−55°=35°；
②由题意得：CE=AB=1.6m，AE=BC=16.8m，∠AED=90°，
∴在Rt△EDA中，tan∠DAE=tan35°=DEAE，
∴0.7=DE16.8，
∴DE≈11.8m，
∴CD=DE+CE=11.8+1.6=13.4m，
答：旗杆CD的高度约为13.4m；
③不能，
若使用30°,60°,90°的三角板，可以把三角板的30°角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向后退，直至退到60°角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为30°，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图：
若使用45°,45°,90°的三角板，可以把三角板的45°角对着眼睛，直角边在水平线上，视线沿着三角板的斜边向上看，然后向前走，直至走到另一个45°角的顶点与点D重合即可停下，即得到此时的仰角为45°，标记自己的位置，测量自己的位置与点C的距离，即可解直角三角形进行计算，如示意图：
4．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为22km，南门O设立在A6A7边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM，A6A7在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑．在A1处测得雕塑在北偏东45°方向上，在A2处测得雕塑在北偏东59°方向上．
(1)∠CA1A2=__________°，∠CA2A1=__________°；
(2)求点A1到道路BC的距离；
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66）
【答案】(1)∠CA1A2=90°，∠CA2A1=76°
(2)2.0千米
(3)2.4km
【分析】本题考查正多边形的外角，解直角三角形，相似三角形的判定和性质：
（1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可；
（2）过点A1作A1D⊥BC，垂足为D，解Rt△CA2A1，求出CA1=A1A2⋅tan76°≈22×4.00=22，解Rt△CA1D，求出A1D=CA1⋅cs45°=22×22=2.0km，即可；
（3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作A8F⊥BC，垂足为F，解Rt△A7A8G，求出A8G，证明Rt△CA8F∽Rt△CEB，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正八边形的一个外角的度数为：360°8=45°，
∴∠CA1A2=45°+45°=90°，∠CA2A1=180°−45°−59°=76°；
故答案为：90,76；
（2）过点A1作A1D⊥BC，垂足为D．
在Rt△CA2A1中，A2A1=22，∠CA2A1=76°，
∴CA1=A1A2⋅tan76°≈22×4.00=22．
在Rt△CA1D中，∠CA1D=90°−45°=45°，
∴A1D=CA1⋅cs45°=22×22=2.0km．
答：点A1到道路BC的距离为2.0千米．
（3）连接CA8并延长交BM于点E，延长A1A8交BE于点G，过点A8作A8F⊥BC，垂足为F．
∵正八边形的外角均为45°，
∴在Rt△A7A8G中，A8G=12．
∴FB=A8G=12．
又∵A8F=A1D=CD=2，DF=A1A8=22，
∴CB=CD+DF+FB=5+22．
∵∠CFA8=∠B,∠FCA8=∠BCE，
∴Rt△CA8F∽Rt△CEB，
∴CFCB=A8FEB，即2+225+22=2EB，
∵2≈1.41，
∴EB≈2.4km．
答：小李离点B不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响．
5．（2023·江苏镇江·中考真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．
如图1是俯视图，OA，OB分别表示门框和门所在位置，M，N分别是OA，OB上的定点，OM=27cm，ON=36cm，MF，NF的长度固定，∠MFN的大小可变．

(1)图2是门完全打开时的俯视图，此时，OA⊥OB，∠MFN=180°，求∠MNB的度数．
(2)图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置OB．
（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(3)在门开合的过程中，sin∠ONM的最大值为______．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】(1)∠MNB=143°
(2)见解析
(3)0.75
【分析】（1）在Rt△OMN中，利用锐角三角函数求得结果；
（2）以点O为圆心、ON的长为半径画弧，与以点F为圆心、FN的长为半径的弧交于点N1,N2，连接ON1,ON2,得出门OB的位置；
（3）当∠ONM最大时，sin∠ONM的值最大，过点O作MN的垂线段，当这条垂线段最大时，∠ONM最大，即当垂线段为OM即垂足为M时，∠ONM最大，故sin∠ONM的最大值为OMON=2736=0.75．
【详解】（1）解：在Rt△OMN中，tan∠ONM=OMON=2736=0.75，
∴∠ONM≈37°．
∴∠MNB≈180°−37°=143°．
（2）门的位置OB如图1中OB1或OB2所示．（画出其中一条即可）

（3）如图2，连接NM，过点O作OH⊥NM，交NM的延长线于点H．

∵在门的开合过程中，∠ONM在不断变化，
∴当∠ONM最大时，sin∠ONM的值最大．
由图2可知，当OH与OM重合时，OH取得最大值，此时∠ONM最大，
∴sin∠ONM的最大值为OMON=2736=0.75．
故答案为：0.75
【点睛】本题考查了旋转、尺规作图、锐角三角函数等知识，准确作图，数形结合是解题的关键．
题型02 生活中的建模二 一次函数
6．（2024·吉林·中考真题）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x，凳面的宽度为ymm，记录如下：
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
【答案】(1)在同一条直线上，函数解析式为：y=5x+33
(2)36mm
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）将y=213代入函数解析式，解方程即可．
【详解】（1），
解：设函数解析式为：y=kx+bk≠0，
∵当x=16.5,y=115.5，x=23.1,y=148.5，
∴16.5k+b=+b=148.5，
解得：k=5b=33，
∴函数解析式为：y=5x+33，
经检验其余点均在直线y=5x+33上，
∴函数解析式为y=5x+33，这些点在同一条直线上；
（2）解：把y=213代入y=5x+33得：
5x+33=213，
解得：x=36，
∴当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36mm．
7．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF:BF=3:4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，BE=y米．

(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
【答案】(1)y=4−17x800，
∴03000，
∴这种摆放方式不安全．
当将长为60cm，宽为10cm这一面置于玻璃桌面时，
此时S=0.6×0.1=0.06(m2)，则P=2000.06=100003>3000
∴这种摆放方式不安全．
当将长为60cm，宽为40cm这一面置于玻璃桌面时，
此时S=0.4×0.6=0.24(m2)，则P=2000.24=250031.0，
∴该小较车尾气中一氧，化碳的含量没有达到标准．
16．（2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：
备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入．
小明首先简化模型，从简单情形开始研究：
①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）；
②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价1.2元，后500米计价1.1元．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）．
(1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系xOy中，画出当0b，则Da+b2,ka+kb2ab，如图，
∵点D在直线y=x上，
∴a+b2=ka+kb2ab，即k=ab
∵CD=4，AB=16
∴a−b2=128，Ca+b2−22,a+b2−22
∴a+b2−222=ab，
∵a+b=102，
∴k=ab=a+b2−a−b24=18，
∴A92,2，B2,92，C32,32，D52,52，
∵四边形EFGH是矩形，
∴FG=EH，GH=EF，
∵EF=3，EH=9，
∴F1124,2924 ，E524,2324，
∵524×2324=1158