2025-2026学年四川省成都市树德中学高二下学期5月半期(期中)考试数学试题（含答案）

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满分：150 分 时间：120 分钟
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
a b
a1b1
1. 若1, a1 , a2 , a3 ,7 成等差数列，1, b1 , b2 ,125 成等比数列，则 2 2 等于( )
8 15
A. 4 B. C. D. 8
25 8
2. 若f (x) = e_2x+1 ，则 f (x)在x = 1 处的切线方程为( ) 2
A. 2x + y _ 2 = 0 B. 2x__y = 0
C. 2x+ y__e__1 = 0 D. 2ex+ y__ 2e = 0
3. (x+ y)(x__ 2y)5 的展开式中，x3y3 的系数为( )
A. －80 B. 120 C. －40 D. 40
4. 树德中学有甲乙等 5 名同学约好去看三场不同的世界杯比赛，每名同学可自由选择观看其中的一场比赛，且每场比赛都有同学观看，且甲乙去看同一场比赛，则不同选择的种数为( )
A. 30 B. 36 C. 72 D. 108
5. 若函数f = ln x+ ax2 _ 4 在区间 内存在单调递增区间，则实数 a 的取值范围是( )
A. B. C. (_ 2,+∞) D. [_ 2,+∞ )
6. 已知双曲线 a > 0, b > 0)的左、右焦点分别为F1 , F2 ，点 的坐标为 P 是双曲线在第二象限的部分上一点，且LF1PF2 = 2LF1PA ，点 Q 是线段PF2 的中点，且F1 ，Q 关于直线PA 对称，则双曲线的离心率为( )
A. 3 B. 2 C. D. va
7. 已知定义在 R 上的函数f (x) 的导函数为f ,(x) ，f (1) = e ，且对任意的 x 满足f ,(x)__f (x)< ex ，则不等式f (x) >xex 的解集为( )
A. (_ ∞ ,0) B. (_ ∞,1) C. (1,+∞) D. (0,+∞)
8. 如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸
A 192 B 216 C 264 D 288
EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 23(每),第)EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 23(两),件)，的EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 3(要),的)，
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。
9. 已知抛物线y2 = 4x的焦点为 F，过 F 的直线交抛物线于A(x1 , y1 ), B(x2 , y2) 两点，Q 为抛物线上一个动点，且P(2,1) ，则( )
A. AB 的最小值为 4 B. 以 AF 为直径的圆与抛物线的准线相切
C. D. PQ + QF 的最小值为 3
10. 已知事件A ，B，且 P(A) = 1 ，P(B| A) = 1 ，P(B | A) = 3 ，则( )
3 5 5
A. P B. P(B) = P(A)
11. 数列 {an }, {bn }满足函数fn (x) = (anx+bn)e2x ，其中f1 (x) = xe2x ，fn+1(x) = fn,(x) ，n∈N* ，现令cn 则( )
2
"A.an=2n_1B.cn" A. an= 2n_1 B. cn 为公差为1 的等差数列
C. {(_1)ncn }的前 2026 项和为 1013 D. ▽n ≥ 2, n ∈ Nln n
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分。
12. 已知一个圆锥的母线长为 1，其高与母线的夹角为45 ，则该圆锥的体积为 ．
13. 甲袋子中装有 3 个白球和 2 个红球，乙袋子中装有 4 个白球和 4 个红球，先随机取一个袋子，再从该袋子中不放回的取两次，每次取一个球，则在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为 ．
14. 函数f (x) = ax2ex _ 2ln x__x+b(a > 0)有且仅有一个零点，则a2 + b最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。
15. (13 分)如图，在四棱锥P _ ABCD 中，BC // AD ， AB = BC = 1， PE 丄 AD ，PE = DE = 2 ．
(1)若F 为线段PE中点， 求证：BF // 平面PCD ；
(2)若AB丄平面PAD ，求平面PAB与平面PCD 夹角的余弦值．
1
2
AD = 3 ，点 E在 AD上， 且 18. (17 分)设椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B , 已知椭圆的离心率为
AB = 7 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)设P ，Q 为椭圆上异于点A 的两动点，若 AP 、AQ 的斜率之积为_ 1 ． 4
①证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标；
②求△APQ 面积的最大值．
,
16. (15 分)某种资格证考试，每位考生一年内最多有 3 次考试机会，一旦考试通过，便可领取资格证书，不再参加后续考试，否则继续参加考试，直至用完三次机会.某考生小王决定参加考试，如果他参加考试通过的概率依次为 0.4 ，0.6 ，0.8 ，且每次考试是否通过相互独立，试求：
(1)小王在一年内领到证书的概率；
(2)小王在一年内参加考试次数X的分布列；
(3)假设每次考试需缴纳 80 元报名费，求小王在一年内缴纳的报名费 Y(单位：元)的分布列.
19. (17 分)已知函数f
(1)求f (x)在(0,+∞)上的极值；
(2)若x3f (x) > asinx在(0, π )上恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)若存在正实数m 使得函数h(x) = f (x)__m在(0,+∞)上有两个不同的零点x1 , x2 ，证明： ln x1 + ln x2 > 2 _ ln m ．
17. (15 分)已知数列 {an }的前n 项和为Sn ，a1 = 2 ，且满足2a1 + 22 a2 + 23 a3 + ... + 2nan (1)求数列{an }的通项公式；
(2)若bn = nlg2 an+1 ，求数列 的前n 项和Tn ；
(3)对于 ▽n ∈ N* ，(_1)n . λ< Tn 恒成立，求实数λ的取值范围.
树德中学高 2024 级高二下学期半期考试数学试题参考答案
15. 取PD 的中点为S ，接 SF, SC ，则 ，
而ED//BC, ED= 2BC，故 SF//BC, SF=BC，故四边形SFBC 为平行四边形，
故BF//SC，而 平面PCD ，SCC 平面PCD，所以 BF//平面PCD ．————5 分(2)
因为ED=2 ，故 AE= 1 ，故 AE//BC, AE=BC ，
故四边形AECB为平行四边形，故CE//AB，所以CE上 平面PAD ，————6 分
而PE, EDC 平面PAD ，故CEL PE, CE LED ，而PE上ED ，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,-1,0), B(1,-1,0), C(1,0,0), D(0,2,0), P(0,0,2) ，——————7 分
则页=(0,-1,-2),形=(1,-1,-2),论=(1,0,-2),可=(0,2,-2),
设平面PAB 的法向量为7i=(ac, y9)，则由 可得 ，取7= (0,-2,1) ，——————9 分
设平面PCD 的法向量为T=(a, b,C) ，则由 可得 ，取 沉=(2,1,1) ，— 11 分
故cs m, ，故平面 与平面 夹角的余弦值为 分
16. (1)设事件Ai = “第 i 次考试通过” (i = 1,2,3)，则一年内领到资格证书的概率为
1 _ P(A1 A2 A3) = 1 _ 0.6 × 0.4 × 0.2 = 0.952 .————5 分
(2) P(X = 1) = P(A1) = 0.4 ，P(X = 2) = P(A1A2) = 0.6×0.6 = 0.36
分布列为：
————————11 分
(3) Y = 80X ，则由 (2)，分布列为：
————————15 分
17. ， 当n≥2 时，
, 两式相减得 ， 当"≥2时，an=2" ，当n= 1 时也符合， ．——————5 分
(2) 由 可知b,=n lgan1=n lg224=n(n+1) ，则 ， .——————10 分
(3)易知Tn 随着 n 的增大而增大，当 n 为奇数时，λ> _Tn 恒成立，即λ > _T1 ， λ > _ 3 ；
4
_ 3 < λ < 8 15 分4 9
9
当 n 为偶数时， λ < Tn 恒成立，即λ< T2 ,λ< 8 ；综上所述，
18. t 由已知得 ，所以ui-ai2 ，又 ，所以 ， ，解得 ，: 椭圆C 的方程为 ．——————4 分
(2)①若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为Y=kia r+m ，P(a1, yn1) ，Q(12, y2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
D
A
C
B
C
C
B
C
AD
BCD
ABD
2π
12
41
63
1 ln 2 _ 1
2 2
X
1
2
3
P
0.4
0.36
0.24
Y
80
160
240
P
0.4
0.36
0.24

,
,
,又 A(-2,0) ，
则(a1+2)(ac2y+2)+4(ka1+m)(ka:2+m) =(1+4k2). z1ar2+(2+4km)(a1+a2)+4m2+4 . 化简m2-km-2k'=0 ，即

直线PQ 不能经过点A ， ，. m+k=0 ．. 直线PQ 的方程为Y= k(a- 1) ．
直线PQ 经过定点 (1,0) ，当直线PQ 的斜率不存在时，若直线PQ 过 (1,0) ，P ，Q点坐标为 ,
满足 ．综上，直线 过定点 ．——————11 分
② 设直线PQ 过定点 (1,0) 为D，设直线PQ 的方程为a= my+1 ，
与椭圆联立消去 得，(4+3m2)y2+6my-9=0 ， Δ=144(m2+1) >0 ，
,令 t=m2+1，则 t ≥ 1 ，
, , 当且仅当 ，即 时取等号) ，
, △APQ面积的最大值为 ． ——————17 分
19. t因为 ，所以 ，令 f'(ar)=0 ，所以 ，解得 =2 ，当ae (0,2) 时，f'(ac)< 0, f(az)单调递减，当 az E (2,+) 时，f'(ar)>0 ，f(ar) 单调递增，所以f(ac) 在(0,+) 的极小值为 ，无极大值．——————3 分
(2)z3f(ar)>asi nac在 (0, m)上恒成立，即 re"-asi nar>0 在 (0, m)上恒成立，
① 当 时，由e (0, m) ，得 ce" >0,-as ina≥0 ，因此 ，满足题意；
② 当a> 0 时，令h(ar)=zve"-asi nar ，则 h'(ar) = (ac+1)e"-a csa ，
令m(ac) = h'(ar) ，则 m'(az)= (ac+2)e"+as ina ．由 ，得 (a+2)e" >0 ，as ina> 0 ，
因此m'(ar) > 0 ，则 h'(ar)在(0, m)上单调递增，
若00 ，则 h(ar)在 (0, m)上单调递增，所以h(ac) >h(0)=0 ，满足题意；
若a> 1 ，则h'(0)=1-a