2025-2026学年四川省成都市树德中学高一下学期5月期中考试数学试题（含答案）

这是一份2025-2026学年四川省成都市树德中学高一下学期5月期中考试数学试题（含答案），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
树德中学高 2025 级高一下期阶段性测试数学试卷
命题人：杨世卿 审题人：程鑫垚 洪晓蕾 严芬
满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.复数z = i2026 (1+ i)(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于第（ ）象限
A ．一 B ． 二 C ．三 D ． 四
, 那么原三角形 ABC 是一个
2.水平放置的三角形 ABC 的直观图如图，其中B,O, = O,C, = A,O, = 3 ( )
A ．等边三角形 B ．腰和底边不相等的等腰三角形
C ．直角三角形 D ．钝角三角形
3. 已知1 , 2 是平面内不共线的两向量，则下列向量组不能作为平面向量的基底的是 ( )
A ． 1 + 2 , 1 _ 2 B ． 1 , 1 + 32 C ． 1 _ 22 , 62 _ 31 D ． 1 _ 22 , 21 + 2
4. △ABC 中内角 A ，B ，C 所对的边分别为a, b, c ，若 A = 45 ， a = 6 ，b = 3 2 ，则B = ( )
A ． 30 B ． 60 C ． 30 或150 D ． 60 或120
5. 已知非零向量 , 满足( + ). = 0 ，则向量 在向量 上的投影向量为 ( )

a
A ． a B ． _ a C ． _ D ．
2 2
6.一艘渔船航行到A 处时看灯塔B 在 A 的南偏东15 ，距离为126 海里，灯塔C 在 A 的北偏东60 ，距离为123 海里，该渔船由 A 沿正东方向继续航行到D 处时再看灯塔B 在其南偏西30 方向，则 此时渔船距离灯塔C 为（ ）海里
A ． 83 B ． 123 C ． 123 +12 D ． 12
7. 已知 cs 2α = 1 ，则cs ( )
A ． B ． C ． D ．
8.如图，在长方体ABCD__ A' B ' C ' D ' 中， E ， F ， G 分别为棱 AB ， BC ， CC ' 的中点，点K 在棱 AA ' 上．则下列说法正确的是 ( )
A ．若K, E, F, G 四点共面，则直线D ' K, DA, FE 三线共点
B ． 彐K ，使得直线D ' K C 平面EFG
C ． ▽K ，直线D ' K 与直线EG 异面
D ．与三直线 AB, A ' D ', CC ' 同时相交的直线有无数条
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9.下列关于多面体的说法错误的是( )
A ．{x|x 是正棱锥} {x|x 是四面体}={x|x 是正四面体}
B ．{x|x 是正棱柱} {x|x 是平行六面体}={x|x 是正方体}
C ．有两个面相互平行，且为边数相等的多边形，其余各面均为梯形的多面体是棱台
D ．存在八面体，其八个面都是等边三角形
10. 已知 i 是虚数单位，下列关于复数 z1 , z2 的说法正确的是( )
A ．若 z1 = m2 _ 2m + mi ( m∈R )是纯虚数，则 m = 2
B ．若| z1 |=| z2 | ，则 z12 = z22
C ．若 z1 , z2 是关于 x 的实系数一元二次方程 x2 + px + q = 0(p2 _ 4q < 0) 的两根，则 z1 = z2
D ．若| z1 _ 2 _ 2i |=| z1 | ，则| z1 | 的最小值为 2
11.如图，面积为4π 的扇形SAB 折成圆锥 SO 的侧面后，A, B 两点重合在C 点，扇弧上的P 点即圆锥底

面圆周上的P 点， CD 为圆锥底面直径，且 . = 14 ，设SP = xSA+ ySB ，则下列说法正确的是( )
A ．圆锥的高为4
1
B ．当LASP = 30 时， OP. OC = _ 2
C ．当x = y 时， OP 丄 CD
4x
D ．当 + y 取得最大值时，沿圆锥侧面从P 走到C 的3
410
最短路程是
5
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡中的横线上）
\l "bkmark1" 12.设l 表示直线，α 表示平面，用集合符号语言完善基本事实二：“A ∈ l, B ∈ l, A ∈ α , B ∈ α → . ”.
\l "bkmark2" 13. 函数y = tan(⑴x _ π ) 图象的一个对称中心为( π , 0) ，且3 < ⑴ < 9 ，则 ⑴ 的值为 .
\l "bkmark3" 3 6
\l "bkmark4" 14. 已知△ABC 的内角为 A，B ，C，满足10 sin B = 11sin C ，点D, E, F 分别将边 AB ，BC，CA 分
\l "bkmark5" 成AD: DB = 3 : 2, BE : EC = 1:1, CF : FA = 3 : 8的两部分，若LDEF = 90 ，则csA = .
2026-05 高一半期数学 第 1 页 共 2 页
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分 13 分）
已知某圆台的上底面半径为2 ，下底面半径为4 ，母线长为11 .
（1）求其体积；
（2）若某球与此圆台体积相同，求此球的表面积.
16. （本题满分 15 分）
如图，在梯形 ABCD 中， = 2 ， = 2 ， = 2 .
（1）用 ， 表示 ；
（2）若 AE 与 BF 交于点G ，用 ， 表示 .
17.（本题满分 15 分）
已知f(x)= Asin(⑴x +φ) （ A > 0 ， ⑴ > 0 ， φ < π ) 的部分图象如下图所示．
（1）求函数f(x) 的解析式；
（2）将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再将所得的函数图象
6
上所有点向左平移 π 个单位，得到函数g(x)的图象.
①若y = g (x)(x ≥ 0) 的图象正好是某简谐振动的图象，求此简谐振动的初相；
②求y = g (x)一1在区间[0, π ]上的零点．
18.（本题满分 17 分）
在 △ABC 中， 内角A, B, C 的对边分别是a, b, c ，且 且b ．
（1）求角B 的大小；
（2）D 为 AC 边上的一点，BD 是角 B 的平分线，且BD = 2 ，求 △ABC 的面积；
（3）若 △ABC 为锐角三角形，求 AC 边上的高的取值范围．
19. （本题满分 17 分）
已知△ABC 内角 A ，B ，C 所对的边分别为a, b, c ，外心为O ，内心为 I，外接圆半径为R ，内切
圆半径为r .定义λ = R 为 △ABC 的“偏离比 ”.
r
（1）若 . 求R ；
（2）若C 求偏离比 λ 的取值范围；
（3）请在下列两问题中选择其一完成（两问题均做按第一个问题评分）.
问题一：
新信息一：三元均值不等式：若x > 0, y > 0, z > 0 ，则 x +y +z ≥ 3xyz ⇋ xyz ≤ ( x +y +z )3 ，当且
3 3仅当x = y = z 时取等号；
新信息二：琴生不等式：若 α , β, Y ∈ (0, π ) ，则 sin 当且仅当α = β = Y 时取等号.
请将偏离比 λ 表示为只含有sin A, sin B, sin C的代数式，并以此求 λ 的最小值.
问题二：
新信息：相交弦定理：某圆的两弦AB, CD 交于圆内一点P ，则 AP .PB = CP .PD .
请将 OI 长度表示为只含有R, r 的代数式，并以此求偏离比 λ 的最小值.
树德中学高 2025 级高一下期阶段性测试数学参考答案
一、选择题：
1.C 2.B 3.C 4.A 5.C 6.D 7.A 8.D
二、选择题：
9.ABC 10.ACD 11.BD
三、填空题：
"12.lc" 12. l c α 13. 5 和 8 14. 5 8
四、解答题：
3 3
15.解：（1）设圆台高为 h ，则 h = ·11 _ (4 _ 2)2 = 7· .则其体积为 V = 1 π (22 + 42 + 2 . 4) . 7· = 287· π .
（7分）
（2）设球的半径为 R ，由题意 4 π R3 = 28 π → R3 = 7 → R = 7 .则其表面积为 S = 4π R2 = 28π .
3 3
（13 分）
16.解：（1） 由图， = + = + 2 = + 2 x(+ + )
3 3
= 1 + 2 + 2 x 1 = 2 + 2 . （7 分）
3 3 3 2 3 3
（2）设 = λ , 则 = + = + λ
( 2 2 ) 2 2 1 _ λ = μ, (|λ = ,
设 AG = μ AE ，则 AG = μ |( 3 AB + 3 AD丿l = 3 μ AB + 3 μ AD ，则〈|l λ = μ , 解得〈|l μ = ,
所以 （ 15 分）
AG 6
注：几何法：添辅助线，由平几知识易得 = ，
AE 7
所以由（1）得
坐标法：特殊化梯形建系利用坐标待定系数. 用以上方法答案正确，过程清楚均不扣分.
17.解：（1） 由图象可知： A = 2 ，最小正周期T = 2 ΓlL _(|( _ l = 4π ,
且 ⑴ > 0 ，可得 ⑴ = = ，所以f = 2sin 由图可得fsin
6 2 3
则 π + φ = _ π + 2kπ,k ∈ Z ，解得φ = _ 2π + 2kπ, k ∈ Z ，
且| φ |< π , 可得k = 0, φ = _ ，所以f = 2sin （5 分）
（2）①由题易得g(x ) = 2 sin . 4x + 丿)l_ = 2 sin(2x _ EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 8(π),3)) ，所以对应简谐振动初相为_ .
（10 分）
: x 所以y = g (x)__1在区间[0, π ]上的零点为 ， ． （15 分）
18.解：（1）在 △ABC 中， 由正弦定理可得：
由A∈(0, π ) 得sinA > 0, :2sinC = sinA + 2sinBcsA ，
:2sin (A + B ) = sinA + 2sinBcsA ，六2sinAcsB + 2 cs A sin B = sinA + 2 cs A sin B ，
六2sinAcsB = sinA ， : sinA(2cs B _1) = 0 ，
2 3
又sinA > 0 ， : cs B = 1 ，又B ∈(0, π ) ，所以B = π . （5 分）
（2） 由面积和S△ABC = S△ABD + S△BCD ，得 acsin = x 、2csin + x 、2asin ，即s2ac = 3 (a + c) .
在 △ABC 中， 由余弦定理得b2 = a2 + c2 _ 2accs π , 则 a2 + c2 _ ac = 12 ，（由上易得 8 ≤ ac ≤ 12 ）， 3 3
联立 得(ac)2 _ 2ac _8 = 0 → ac = 4 ， :S△ABC = acsin = 3 . （ 11 分）
（3） 由正弦定理得2R 故 a = 4sin A, c = 4sin C ，故ac = 16sinAsinC = 16sinAsin(|( A +)丿l = 8sinA( sinA +3cs
= 8sin2 A sinAcsA = 8 xsin2A = 8si
由于△ABC 为锐角三角形，故 故 < A < ，
因此2A - ∈ (|( , 丿)l ， sin (|(2A - l ∈ (|( , 1EQ \* jc3 \* hps19 \\al(\s\up 7(1),」)| ， 8sin 因此8 < ac ≤ 12 ，
设 AC 边上的高为h ， S△ABC acsinB bh → h 所以h ∈ (2, 3] .
注：若用几何意义，配图，并有详细文字说明可得满分，否则酌情扣分 （17 分）
19.解：过点O 作OD 丄 AB ，垂足为H ，则H 为 AB 的中点， 由 . = 2 . = 22 = 2 .则 cs LACI → LACI → LACB = 2LACI
由正弦定理 → R （4 分）
(2) 证明: 由题意
另法：也可提前做第（3） 问问题一， 由求得的表达式得 并令t = sinA+csA ，换元求得取值范围；亦可直接由边的函数求范围，正确均给分. （9 分）
（3）若选择问题一：
由面积和知 r (a +b + c ) = absinC → = .
由正弦定理R → R
代入上式即得 （12 分）
A, B, C ∈(0, π ), sinA > 0, sinB > 0, sinC > 0， : 由上式和新信息可得：
当且仅当A = B = C = 即 △ABC 为等边三角形时λ 取得最小值 2.
（17 分）
若选择问题二：
如图：设 △ABC 的外接圆圆心为O ，内切圆圆心为I ，过点I作IF 垂直 AC 于点F .
连接 AI 并延长交圆O 于点D ，连接DO 并延长交圆 O于点E ，
因为I 为 △ABC 的内心，所以 AI 为 LBAC 的平分线，得 = ，则LBED = LDAC .
所以Rt△EBD 和Rt△AFI 相似，得 又DE = 2R ， IF = r ，得2Rr = AI . BD .
连接IB ，则LABI = LCBI ，又 LDBC = LDAC ，所以 LABI + LDBC = LCBI + LDAC ，
即LDBI = LDIB ，所以DI = BD .得2Rr = AI . DI .
作直线OI 与圆 O 交于M ， N 两点，由新信息（相交弦定理）得：
AI . DI = MI . NI = (MO + OI )(NO - OI ) = (R - OI )(R + OI ) = R2 - OI2得2Rr = R2 - OI2 . 即OI2 = R2 - 2Rr → OI = R2 - 2Rr . （ 15 分）
由OI2 ≥ 0 → R2 - 2Rr ≥ 0(R > 0, r > 0) ， : R - 2r ≥ 0(R > 0，r > 0) → : λ = R ≥ 2 . r
当且仅当OI = 0 ，即 △ABC 外心，内心重合，即 △ABC 为等边三角形时λ 取得最小值 2.（17 分）附：部分试题教材溯源（以此告诉大家重视教材和基础）
试卷题号
教材出处
方式
试卷题号
教材出处
方式
9, 10 ，12
《必修二》P79 ，例6P125 ，等教材正文
直接考
教材
7
《必修一》P228 ，15
略微改编
17（2）
《必修一》P243 正文
14 的若干种解法之一
《必修二》P23, 15
利用教材中的
思想方法
19（1）条件
《必修二》P23,7，P24， 24 ；P51, 1
16
《必修二》P54, 19
10 D
《必修二》P81,9