辽宁省沈阳市第一二0中学2025-2026学年度高二年级下学期5月期中考试数学试题（含答案）

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1．意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数ch的图象，现定义双曲正弦函数sh ，他们
1
之间具有类似于三角函数的性质．（已知 cs x ≥ 1 - x2 ）
2
(1)证明：①倍元关系：sh(2x) = 2sh(x)ch(x) ；②平方关系：ch2 (x) - sh2 (x) = 1
(2)对任意x ≥ 0 ，恒有sh(x) ≥ ax 成立，求实数 a 的取值范围；
(3)证明：
2 ．已知数列{an } 是等差数列，an+1 - an = 1 ，其前 5 项和为 15；数列{bn } 是等比数列，且b1 = 2 ，4b2 ，2b3 ， b4 成等差数列．
(1)求{an }和{bn } 的通项公式；
(2)设 "cn=an.bn" cn = an.bn ，求数列的前n 项和Tn ．
(3)若将数列{an } 中的所有项按原顺序依次插入数列{bn } 中，组成一个新数列：
b1 ，a1 ，b2 ，a2 ，a3 ，b3 ，a4 ，a5 ，a6 ，a7 ，b4 ，… , bk 与bk +1 之间插入2k-1 项{an } 中的项，该新数列记作数列{dn } ，求数列 {dn } 的前 211 项的和P211 ．
(1)求函数f (x) 的最大值；
(2)若函数g(x) 在(0,+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；
(3)若函数g(x)≤ 0 在x ∈[1, +∞)上恒成立，求实数a 的取值范围.
4 ．已知数列{an } 的前n 项和为Sn ，a1 = 5 且an+1 = 2Sn - 4n + 5 ．
(1)求证：数列{an - 2} 为等比数列；
(2)若对一切n ∈ N* ，不等式λ(an - 2) > n2 - 3n 均成立，求实数 λ 的取值范围．
5 ．已知函数f lnx -1, a ∈ R ．
(1)若曲线y = f (x)在点P(1, f (1))处的切线平行于直线y = -x +1，求实数a 的值；
(2)讨论函数y = f (x) 的单调区间．
二、填空题
6 ．若不等式tetx ln 对任意x ∈[2e +1, + ∞ )恒成立，则正实数 t 的取值范围是 ．
7 ．已知函数f (x) 的定义域为 R ，f (0) = 0 ，若对任意x ∈ R ，都有f (x) > -1+f ,(x) ，则不等式f (x) < -1+ ex
的解集为 ．
8 ．已知{an } 为等差数列，a1 + a3 + a5 = 15 ，a2 + a4 + a6 = 9 ，则 a10 =
三、多选题
9 ．已知函数f (x) = xx (x >0) ，则下列说法中正确的有( )
A ．ln f (x) = x ln x
B ．y = f (x)在(1, f (1)) 处的切线方程为：x - y = 0
C ．若函数g(x ) = ln (af (x )) ，$x ∈ (0,+∞ ) 使得g(x) ≤ 0 成立，则0 < a ≤ ee
D ．若函数h(x) = ln f (x) - x - m 有两个零点x1 , x2 ，则 x1 + x2 < e
10 ．已知函数f ，则下列结论正确的是( )
A ．函数f (x )存在两个不同的零点
B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值
C ．当-e< k ≤ 0 时，方程f (x) = k 有且只有两个实根
D ．若x ∈[t, +∞ ) 时，f max ，则 t 的最小值为 2
11 ．已知无穷等差数列{an } 的前 n 项和为Sn ，S6 < S7 ，且S7 > S8 ，则( )
A ．在数列{an } 中，a1 最大 B ．在数列{an } 中，a3 或a4 最大
C ．S3 = S10 D ．当n ≥ 8 时，an < 0
四、单选题
12 ．已知函数f (x )，g (x ) 的定义域为R，f , (x ) 为f (x ) 的导函数，f - g f (x ) = f (1- x )，f , (x ) = f , (-1- x ) ．若f g (1) = -1，则 ）
A ．2026 B ．1013 C ．1 D ．-1
13 ．已知函数f (xln x ，若方程f = k 有三个根， 则实数 k 的取值范围是( )
A ． B ． C ． D ．
14 ．已知Sn 和Tn 分别是数列{an }和{bn } 的前n 项和，且满足Sn an ，bn = -4n + 5 ，若对"n ∈ N* ，使得5Tn - 3Sn ≤ a(a +2) 成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≤ -4 或a ≥ 2 B ．a ≤ -1 或a ≥ 3
C ．a ≤ -2 或a ≥ 4 D ．a ≤ -3 或a ≥1
15 ．已知a > 0 ，函数 f (x) = (x - a )lnx 在区间(1, e)上不单调，则a 的取值范围是( )
A ．0 < a < 1 B ．a > e C ．a > 4 D ．1 < a < 2e
3x -1
16 ．不等式 ≥ 1 的解集为( )
2 - x
A ． B ．
17 ．在数列{an } 中，a1 = 2 ，a2 = 5 ，an+2 + an = an+1 （ n ∈ N+ ），则 a5 = ( )
A ．3 B ．-2 C ．-5 D ．-3
18 ．已知f (x) = x2 + 2xf , (1)，则 f , (3) = ( )
A ．1 B ．2 C ．-2 D ．4
19 ．已知集合A = {-1, 0, 2,3, 4}, B = {x lln x ≤ 1} ，则 A∩ B = ( )
A ．(0, e] B ．{-1, 0, 2} C ． {2} D ． {2,3}
1 ．(1)证明见解析
(2) (-∞,1]
(3)证明见解析
【详解】（1）证明：①2sh ch sh
（2）构造函数 F = sh - ax ax, x ∈[0, +∞), F, a
①当a ≤1 时，因为ch，当且仅当 ex =e-x 即x = 0 时等号成立，所以F ,(x)≥0 ，故F(x) 单调递增，
此时F(x) ≥ F(0) = 0 ，故对任意x ≥ 0, sh(x) ≥ ax恒成立，符合题意；
②当a > 1 时，令G(x) = F,(x), x ∈[0, +∞) ，
则G, 0 恒成立，故G(x) 单调递增，
1
由G(0) = 1- a < 0 与G(ln 2a) = > 0 ， 4a
可知存在唯一x0 ∈ (0, ln 2a) ，使得G(x0) = 0 ，
当x ∈(0, x0) 时，F,(x) = G(x) < G(x0) = 0 ，则F(x) 在(0, x0) 内单调递减，故对任意x ∈(0, x0), F(x) < F(0) = 0 ，即sh(x) < ax ，不合题意，舍去；
综上所述，实数 a 的取值范围为(-∞,1] .
（3）由（2）知：当 a = 1 时，sh(x) > x, x ∈ (0, +∞) ，令 x ，则sh 令m(x) = x - sin x, x ∈ (0, +∞), m,(x) = 1- cs x > 0, m(x) 单调递增，
所以m(x) > m(0) = 0 ，即 x > sin x 恒成立，
所以sh æ|è EQ \* jc3 \* hps23 \\al(\s\up 3(2 ö),n ø)| > > 2 sin ，则 cs
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
答案
ABD
ABC
AD
D
B
D
D
A
C
B
题号
19
答案
C
令n = cs x x2 , x ∈ (0, +∞), n, = - sin x + x > 0, n 单调递增，
所以n(x) > n(0) = 0 ，即 cs x > 1 - x2 恒成立，令x cs 所以 cs1+ cs cs cs
2 ．(1) an = n ，bn = 2n .
(3)21216
【详解】（1）由 an+1 - an = 1 得公差d = 1，
又因为a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 15 ，
得 化简得 ，解得 a1 = 1 ，所以an = a1 + (n -1)d = n .
由4b2 ，2b3 ，b4 成等差数列，得2. 2b3 = 4b2 + b4
由bn 是等比数列，设bn = b1 . qn-1 代入2. 2b3 = 4b2 + b4 ，得2. 2b1 . q2 = 4b1 . q + b1 . q3 ，消去b1 . q ，
得4q = 4 + q2 ，化简并解得q = 2 ， bn = b1 .qn-1 = 2n .
（2）由（1）得 cn = n . 2n
第一部分为 k . 2k ，
令Sn k . 2k ，
两式相减：

-Sn = 2 + (2n+1 - 4) - .n 2n+1
-Sn = (1- n) . 2n+1 - 2
Sn = (n -1) . 2n+1 + 2 ，
第二部分利用裂项求和：
合并：Tn =
（3）由题可知新数列dn 中，bk +1 前有1+ 2 + 22 +…+ 2k-1 + k 项，令k = 7 ，得b8 前有1+ 2 + 22 +…+ 26 + 7 = 134项，
令k = 8 ，得b9 前有1+ 2 + 22 +…+ 27 + 8 = 263项，
d211 恰好位于b8 与b9 之间，所以前211 项中包含bn 的前八项，剩下的全是an 中的项，211- 8 = 203 ，即 an 的前203 项，
P211 = b1 + b2 + … + b8 + a1 + a2 + …a203
= 2 + 4 + … + 28 + 1 + 2 + … + 203
= 510 + 20706
= 21216 .
3 ．(1)1

【详解】（1）f ，定义域为 (0,+∞ ) ，f , (x ) = ，
令f , (x ) = 0 ，得 x = 1 ，当 0 < x < 1时， f , (x ) > 0 ；当 x > 1 时，f , (x ) < 0 ，所以函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞ )上单调递减，
所以当x = 1 时，f (x )取得最大值，且最大值为f (1) = 1 .
（2）因为函数g(x )在(0,+∞ )上单调递减，所以g, (x) = lnx +1- 2ax ≤ 0 在(0,+∞ )上恒成立，即2a 在(0,+∞ )上恒成立，即2a max ，
由（1）可知，f 的最大值为 1，所以 2a ≥1，即 a ≥ ,所以实数a 的取值范围为
（3）若函数g(x) ≤ 0 在x ∈[1,+∞ )上恒成立，即g(x) = xlnx - ax2 + a ≤ 0 在x ∈[1,+∞ )成立，所以lnx - ax 在x ∈[1,+∞ )上恒成立，
令h = lnx - ax
则h,
因为x ≥ 1，所以当 a ≤ 0 时，h, (x )≥ 0 在x ∈[1,+∞ )上恒成立，
所以函数h(x)在x ∈[1,+∞ )上单调递增，所以h(x) ≥ h(1) = 0 ，所以a ≤ 0 时不符合题意；当a > 0 时，令t (x ) = -ax2 + x - a ，
①当 Δ = 1 - 4a2 ≤ 0时，即a ≥ 时，则t (x) = -ax2 + x - a ≤ 0 恒成立，
即h, (x)≤ 0 在x ∈[1,+∞ )上恒成立，所以函数h(x)在x ∈[1,+∞ )上单调递减，
1
2
所以h (x) ≤ h(1) = 0 ，所以 a ≥
时符合题意；
2
②当 Δ = 1 - 4a2 > 0时，即0 < a < 1 时，令t (x ) = -ax2 + x - a = 0 ，
则x
因为x1x2 = 1, x1 + x ，所以 0 < x1 < 1 < x2 ，
所以当x ∈(1, x2) 时，t (x ) > 0 ，所以h, (x) > 0 在x ∈(1, x2)上恒成立，
即函数h(x) 在x ∈(1, x2)上单调递增，所以当x ∈(1, x2) 时，h (x) > h (1) = 0 ，
1
所以0 < a < 时，不符合题意.
2
综上所述，实数a 的取值范围为
4 ．(1)证明见解析
【详解】（1）已知an+1 = 2Sn - 4n + 5 ，当 n ≥ 2 时，an = 2Sn-1 - 4(n -1)+ 5 .则an+1 - an = 2Sn - 4n + 5 - (2Sn-1 - 4(n -1) + 5) = 2an - 4 ，
所以an+1 = 3an - 4 ，即an+1 - 2 = 3 (an - 2) .
当n = 1 时，a2 = 2S1 - 4´ 1+ 5 = 2a1 +1 = 2 ´ 5 +1 = 11 ，则a2 - 2 = 9 ，a1 - 2 = 3 ，满足
因此，数列{an - 2} 是以 3 为首项，3 为公比的等比数列.
（2）由（1）得 an - 2 = 3 ´ 3n-1 = 3n ，
故不等式λ(an - 2) > n2 - 3n 可化为 λ . 3n > n2 - 3n ，即 λ > n2 - 3n .
3n设bn n ∈ N* ，故只需λ > (bn)max 即可.
当n = 1 时，b2 - b ，即b2 > b1 ；
当n = 2 时，b3 - b ，即b3 > b2 ；
当n = 3 时，b4 - b ，即b4 > b3 ；
当n = 4 时，b5 - b ，即b5 < b4 ；
当n ≥ 5 时，n2 - 4n +1 > 0 ，3n+1 > 0 ，所以bn+ 1 - bn < 0 ，即bn+1 < bn .
因此，bn 在n = 4 时取得最大值为b 故实数 λ 的取值范围为λ > 4 .
81
5 ．(1) a = 2
(2)当a ≤ 0 时，f (x )在(0,+∞ )递增;当a > 0 时，f (x )在(0, a )单调递减，在(a, +∞ )单调递增. 【详解】（1）f ln x -1, a ∈ R ，定义域为(0,+∞ ),
所以f , x ∈ (0,+∞ ) ，因为直线y = -x +1 的斜率为-1，
所以f , (1) = -a +1= -1 ，所以 a = 2 .
（2）f , ，定义域为 (0,+∞ )，
若a ≤ 0 ，则 f , (x) > 0 在(0,+∞ )恒成立，故f (x)在(0,+∞ )递增;若a > 0 ，令 f , (x) > 0 得x > a ，令 f , (x) < 0 得0 < x < a ，
故f (x)在(0, a )单调递减，在(a, +∞ )单调递增;
综上所述：当a ≤ 0 时，f (x)在(0,+∞ )递增，
当a > 0 时，f (x)在(0, a )单调递减，在(a, +∞ )单调递增.
【详解】因 x ≥ 2e +1 ,则tetx ln 0 等价于txetx ≥ (x -1)ln (x -1) ，即etx . ln etx ≥ (x -1)ln (x -1) ，
令f (x) = x ln x, x > 1，则 f , (x) = ln x +1 > 0 ，则 f (x)在(1,+∞ )上单调递增，
因为不等式tetx ln 对任意x ∈[2e +1, +∞ )恒成立，所以f (etx) ≥ f (x -1)对任意x ∈[2e +1, +∞ )恒成立，
因为x ≥ 2e +1, t > 0 ，所以 etx > 1 ，x -1≥ 2e ，
所以etx ≥ x -1对任意x ∈[2e +1, +∞ )恒成立，
则t 对任意x ∈[2e +1, +∞ )恒成立，
令g x ≥ 2e +1 ，则g,
令h ln , x ≥ 2e +1 ，
则h, ，则h(x) 在[2e +1, +∞ )上单调递减，因为h ln ln
所以h(x) < 0 ，则g, (x) < 0 ，即g(x)在[2e +1, +∞ )上单调递减，则g max = g ，故 t ，
则正实数 t 的取值范围是 .
7 ．(0, +∞)
【详解】丫 f (x) < -1+ ex ，\f (x) +1- ex < 0 ，
丫 ex > 0 ，\f (x) +1- ex < 0 的每一项都除以ex 不等号方向不变，即 ， \e-xf (x) + e-x -1< 0 ，设g(x) = e-xf (x) + e-x -1，则g, (x) = -e-x (f (x) +1- f , (x)) ，丫 f (x) > -1+ f , (x) ，\f (x) +1- f , (x) > 0 ，\g, (x) = -e-x (f (x) +1- f , (x)) < 0 ，
\g(x) = e-xf (x) + e-x -1 为 R 上的减函数，丫 g(0)=e-0f (0) + e-0 -1 = 0 ，
\g(x) = e-xf (x) + e-x -1< 0 等价于g(x) < g(0) ，丫 g(x ) 为 R 上的减函数，
\g(x) < g(0) 的解为x > 0 ，丫 f (x) < -1+ ex 等价于g(x) < g(0) ，
\f (x) +1- ex < 0 的解集为(0,+∞) .
故答案为：(0, +∞)
8 ．-9
【详解】在等差数列 {an } 中，由a1 + a3 + a5 = 15 ，得3a3 = 15 ，解得 a3 = 5
由a2 + a4 + a6 = 9 ，得3a4 = 9 ，解得 a4 = 3 ，公差d 所以a10 = a3 + 7d = -9 .
9 ．ABD
【详解】对于 A，由 f (x) = xx (x > 0) ，则ln f (x) = ln xx = x ln x ，故 A 正确；
对于 B，由 f (x) = xx = eln xx = ex ln x ，则 f , (x) = (1+ ln x)ex ln x ，
所以f (1) = 1 ，f , (1) = 1，故 y = f (x)在(1, f (1)) 处的切线方程为y -1 = x -1，即y = x ，故 B 正确；对于 C，因为g (x) = ln (af (x)) = ln (axx) = ln a + x ln x ，
要存在$x ∈(0,+∞ ) ，使得g(x)≤ 0 成立，即ln a ≤ -x ln x有解，令φ(x) = -x ln x ，则φ, (x) = - ln x -1，令φ, (x) = 0 ，得 x
当x 时， φ, (x) > 0 ，即φ(x) 单调递增，
当x 时， φ, (x) < 0 ，即φ(x) 单调递减，
,所以只需ln a ≤ ,即得 0 < a ≤ e ，故 C 错误；
对于 D，由h(x) = ln f (x) - x - m = x ln x - -x m ，则h, (x) = ln x ，x ∈(0,+∞ ) ，当x ∈(0,1)时， h, (x) < 0 ，即h(x) 单调递减，
当x ∈(1,+∞ ) 时，h, (x) > 0 ，即h(x) 单调递增，
若函数h(x) 有两个零点x1 , x2 ，则 0 < x1 < 1 < x2 ，且h(x1) = h (x2) = 0 ，要证x1 + x2 < e ，即证1< x2 < e - x1 ，又h(x)在(1,+∞ )上单调递增，即证h(x2) < h(e - x1) ，即证h(x1) < h(e - x1) ，
只要证x1 ln x1 - x1 - m < (e - x1)ln (e - x1) - (e - x1) - m ，即证x1 ln x1 - (e - x1)ln (e - x1) - 2x1 + e < 0 ，
令t (x) = x ln x - (e - x)ln (e - x) - 2x + e ，0 < x < 1，则t, = ln x ln ln
当0 < x < 1时， y = -x2 + ex ∈ (0, e -1)，
所以存在x0 ∈ (0,1) ，使得 -xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),0) + ex0 = 1，
当x ∈(0, x0) 时，t, (x) < 0 ，即 t (x)单调递减，
当x ∈(x0 ,1) 时，t, (x) > 0 ，即 t (x)单调递增，
当x → 0 时，t (x) → 0 ，而 t (1) = - (e -1)ln (e -1)- 2 + e ，
令m (x) = x -1- x ln x ，x ∈(1, 2) ，
则m, (x) = - ln x < 0 ，即 m (x )在(1, 2)上单调递减，故m (x) < m(1) = 0 ，所以m (e -1) < 0 ，即e -1-1-(e -1)ln (e -1) < 0 ，即 t (1) < 0 ，
所以t (x)< 0 对0 < x < 1恒成立，
又x1 ∈ (0,1)，则 t (x1) < 0 ，即x1 ln x1 - (e - x1)ln (e - x1)- 2x1 + e < 0 成立，即x1 + x2 < e 成立，问题得证，故 D 正确.
故选：ABD.
10 ．ABC
【详解】对于 A，由 f (x) = 0 ，得 x2 + x -1 = 0 ，六 x ，故 A 正确；
对于 B ，f ,
当x ∈(-∞, -1)U (2,+∞ ) 时，f , (x ) < 0 ，当x ∈(-1, 2) 时，f , (x ) > 0 ，六 f (x )在(-∞, -1) ，(2,+∞ ) 上单调递减，在(-1, 2)上单调递增，
六 f (-1)是函数的极小值， f (2)是函数的极大值，故 B 正确；
对于 C，当x → +∞ 时，y → 0 ，根据 B 可知，函数的最小值是f(-1) = -e ，再根据单调性可知，当-e < k ≤ 0时，方程f (x) = k 有且只有两个实根，所以C 正确；
对于 D：由图象可知，t 的最大值是 2，所以 D 不正确．
故选：ABC.
11 ．AD
【详解】由 S6 < S7 ，S7 > S8 ，得 a7 = S7 - S6 > 0 ，a8 = S8 - S7 < 0所以等差数列{an } 的公差d < 0 ,
所以等差数列{an } 是递减的等差数列，则最大项为a1 ，故 A 正确，B 错误，又因为得a8 < 0 且公差d < 0 ,所以当n ≥ 8 时，an ≤ a8 < 0 ，估 D 正确；
S10 - S3 = a4 +a5 + + + + +aaaa a678910 = 7a7 > 0 ，所以S10 > S3 ，故 C 错误；
12 ．D
【详解】因为 f = f ，且f ，所以 f ，因为f , (x) = f , (-1- x) ，所以 f ,(x) 关于直线x 对称，
则原函数f (x) 关于点 对称，所以f (x) = -f (-1- x)+ 2
所以f (-1- x) = -f (1- x) + 2 ，
令t = -1- x ，则 f (t) = -f (2+ t) + 2，即 f (2+ t) = 2- f (t) ，
所以f (x +4) = 2- f (x +2) = 2- (2- f (x)) = f (x) ，
所以f (x) 的周期为4 ，
又f - g 即g ，所以g(x) 的周期也为4 ，由f 得g = g
由f 得g = g ，所以g(4) = g (0) = 0 ，由g = -1 得g = g ，所以 f
又f (2+ x) = 2- f (x) ，所以 f 所以g = g
所以g (1)+ g (2)+ g (3)+ g (4) = -1+ 0 +1+ 0 = 0 ，又2026÷ 4 = 506…2 ，
所以 =506 ´ 0 -1+ 0 = -1 .
13 ．B
【详解】当 x ≤ 0 ，f (x) = 2xex ，则 f , (x) = 2 (ex + xex) = 2ex (1+ x) ，因为当x ∈(-∞, -1) ，f , (x) < 0 ，f (x ) 单调递减；
当x ∈(-1,0) ，f , (x) > 0 ，f (x ) 单调递增；f ，当x > 0 ，f = ln x f ,
设g = k ，则g(x)过定点P
当x > 0 ，g (x) 图像与f (x ) 图像相切时，设切点为 x0 , lnx ，则切线斜率为 k ，切线方程： y lnx ，因为切线过点 P ，代入得：
lnx 化简得- ln x ln x
因为y = ln x在单调递增，当x = 1 ，y = 0 ，所以 x0 = 1，切线斜率 k = 1，此时g(x) 图像与f (x ) 图
像有两个交点；
当g(x) 过原点，k 所以当 2 < k < 1时， g (x) 图像与f
e
,因为0 < 2 < 1，此时g(x) 图像与f (x ) 图像有四个交点； e
(x ) 图像有三个交点，从而方程f = k 有三个根.
14 ．D
【详解】由 Sn an 得a1 = S a1 , ∴a
∴数列{an } 为首项为a ，公比为q = 的等比数列，
丫 bn = -4n + 5 ，∴{bn }为等差数列，
记f = -10n2 +15n
当 n∈N*时，f (n)为n 的单调递减函数， ∴ f (n)max = f (1) = 3
5Tn - 3Sn ≤ a(a +2) 恒成立的充分必要条件是3 ≤ a(a + 2) ,解得a ≤ -3 或a ≥ 1 ，故选：D
15 ．D
【详解】由题意得：f , = ln x ln x，令g(x) = f , (x) ，
所以g, ，所以g(x )在(1, e)单调递增，且f ,(1) = 1 - a ，f , 又因为f (x)在(1, e)上不单调，所以 ，解得1< a < 2e .
16 ．A
3x -1 4x - 3
【详解】由 ≥ 1，整理可得 ≤ 0 ，
2 - x x - 2
等价于 ，解得 ≤ x < 2 ，所以不等式 ≥ 1 的解集为 .
故选：A.
17 ．C
【详解】由已知得an+2 = an+1 - an (n ∈ N*) ，
所以a3 = a2 - a1 = 5 - 2 = 3 ，a4 = a3 - a2 = 3 - 5 = - 2 ，a5 = a4 - a3 = - 2 - 3 = - 5 ，故选：C.
18 ．B
【详解】由题意，函数 f (x) = x2 + 2xf , (1)，可得 f , (x) = 2x + 2f , (1) ，令x = 1 ，可得 f , (1) = 2 + 2f , (1) ，解得 f , (1) = -2 ，所以 f¢(x) = 2x - 4 ，所以f , (3) = 2 ´ 3 - 4 = 2 .
19 ．C
【详解】由 ln x ≤ 1 → 0 < x ≤ e ，故B = (0, e] .可得A∩ B = {2} .