中考数学一轮考点复习学案：4.6 特殊的平行四边形（2份，原卷版+教师版）

这是一份中考数学一轮考点复习学案：4.6 特殊的平行四边形（2份，原卷版+教师版），共4页。试卷主要包含了6 特殊的平行四边形，菱形的定义 ，菱形的性质，菱形的判定定理等内容，欢迎下载使用。
4.6 特殊的平行四边形
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。

夯实基础
考点1 矩形的判定及性质
1．矩形的定义：有一个角是直角的_______叫做矩形。
2．矩形的性质
（1）矩形的四个角都是______；
（2）矩形的______平分且相等。
3．矩形判定定理
（1）有一个角是_____的平行四边形是矩形；
（2）对角线_____的平行四边形是矩形；
（3）有______角是直角的四边形是矩形。
4．矩形的面积：S=ab（a、b分别表示矩形的长、宽）
考点2 菱形的判定及性质
1.菱形的定义 ：有一组_____相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质
（1）菱形的四条边都______；
（2）菱形的两条对角线互相_____，并且每一条对角线____一组对角。
3.菱形的判定定理
（1）一组邻边_____的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相_____的平行四边形是菱形；
（3）四条边____的四边形是菱形。
4．菱形的面积：S=ah=mn/2（菱形底边长为a，高为h，两条对角线长分别为m和n）
考点3 正方形的判定及性质
1．正方形定义：有一组邻边_____并且有一个角是_____的平行四边形叫做正方形。
2．正方形的性质：
（1）具有______、______、______的一切性质；
（2）正方形的四个角都是_____，四条边都_____；
（3）正方形的两条对角线____，并且互相________，每一条对角线____一组对角；
（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的_____直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离____。
3．正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
一是先证它是_____，再证有一组_____相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形。
二是先证它是_____，再证有一个角是____。即有一个角是直角的菱形是正方形。
4．正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b ，S=
考点4 几何中的分割与拼接问题
1. 用下面的实例来说明分割与拼接
一个直角三角形可以分割成一个正方形和两对全等的直角三角形。把完全相同的这个直角三角形通过拼接可以得到一个矩形。利用这一思想方法可以建立恒等式，来证明勾股定律，可以求解矩形面积等。
2. 割补求图形阴影部分面积：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，对图形进行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解．
①全等法（体现拼接思想）
②等面积法（体现拼接思想）
③平移法（体现拼接思想）
④旋转法（体现拼接思想）
⑤对称法（体现拼接思想）
【易错点提示】分割与拼接思想方法是中考试卷里靓丽风景线，求解不规则图形阴影部分面积问题常常用到分割与拼接。需要作答时认真观察图形特点，把不规则图形面积的求法转化为规则图形面积的求法。
考点1 矩形的判定及性质
【例题1】（2024甘肃威武）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【变式练1】（2024四川南充一模）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为 ．
．【变式练2】（2024四川自贡一模）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF．
考点2 菱形的判定及性质
【例题2】（2024贵州省）如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为______．
【变式练1】（2024河南一模）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．20B．30C．40D．50
变式练2】（2024重庆一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
考点3 正方形的判定及性质
【例题3】 （2024福建省）如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______．

【变式练1】（2024深圳一模）下列命题是假命题的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．
C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．
【变式练2】（2024天津一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（ ）
A．B．C．﹣1D．
考点4 几何中的分割与拼接问题
【例题4】（2024河北省）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段的长；
（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．
【变式练1】（2024湖北一模）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中阴影小正方形的边长；
(2)当a=2时，该阴影小正方形的面积是多少？
【变式练2】（2024广西一模）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为( )
A.20 B.24 C. 99/4 D. 53/2
考点1. 矩形的判定及性质
1. （2024四川成都市）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024黑龙江齐齐哈尔）已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______．
3. （2024黑龙江绥化）在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是______．
4. （2024江苏连云港）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，，则BC的长为__________．

5. （2024贵州省）如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件：
①，②．

（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
6. （2024上海市）如图所示，在矩形中，为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）线段延长线上一点，且满足，求证：．
7. （2024广东） 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
（1）求的长；
（2）该充电站有20个停车位，求的长．
8. （2024湖北省）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于．
（1）求证：．
（2）若为中点，且，求长．
（3）连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由．
考点2. 菱形的判定及性质
1. （2024黑龙江绥化）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024甘肃临夏）如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. （2024福建省）如图，在菱形中，点分别在边上，，求证：．
4. （2024广东） 如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为______．
5. （2024云南省）如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长．
考点3. 正方形的判定及性质
1. （2024山东烟台）如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024广西）如图，边长为5的正方形，E，F，G，H分别为各边中点，连接，，，，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 5D. 10
3. （2024武汉市）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是___________．
4. （2024甘肃临夏）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
5. （2024江苏扬州）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．
（1）如图，若，，求点与点之间的距离；
（2）如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；
（3）如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______．
考点4. 几何中的分割与拼接问题
1. （2024四川眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A. 24B. 36C. 40D. 44
2. （2024江西省）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则______．
3. （2024四川资阳）如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________．
考点1. 矩形的判定及性质
1．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 ，使四边形DBCE是矩形．
3. 如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．
（1）求证：△ABN≌△MAD；
（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
考点2. 菱形的判定及性质
1．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（ ）
A．BE＝DFB．∠BAE＝∠DAFC．AE＝ADD．∠AEB＝∠AFD
2. 如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为 度．
3. 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
4. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
5. 如图，BD为□ABCD的对角线．
（1）作对角线BD的垂直平分线，分别交AD，BC，BD于点E，F，O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BE，DF，求证：四边形BEDF为菱形．
6. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
考点3. 正方形的判定及性质
1．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是 ．
2. D是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为 ．
3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．
4.如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH．
（1）求证：BE＝CH；
（2）若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的长．
考点4. 分割与拼接
1．（拼接）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．
（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…
请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；
（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；
（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值．
考点分布
考查频率
命题趋势
考点1 矩形的判定及性质
☆☆☆
数学中考中，有关特殊的平行四边形的部分，每年考查2~3道题,分值为6~12分，通常以选择题、填空题、解答题的形式考查。属于中考必考内容，涉及知识综合性强，在解答题里出现，一般考查证明和计算。特别是压轴试题渗透本专题知识。需要在系统掌握基础知识前提下，加强训练，熟能生巧。
考点2 菱形的判定及性质
☆☆
考点3 正方形的判定及性质
☆☆
考点4 几何中的分割与拼接问题
☆☆☆
图形
公式
S阴影= S△AOB
S阴影= S扇形BOC
S阴影=S矩形ACDF

S阴影= S正方形PCQE
图形
公式
S阴影= S扇形COD
图形
公式
S阴影=S正方形BCFE
S阴影=S矩形ABHG
图形
公式
S阴影=S扇形AOE
S阴影= S扇形BOD
S阴影= S扇形ABE-S扇形MBN
图形
公式
S阴影=S△ACD
S阴影= S扇形CDE
S阴影= S△OBC=14 S正方形ABCD
S阴影= S扇形ACB- S△ACD