中考数学一轮考点复习学案：5.2 与圆有关的位置关系（2份，原卷版+教师版）

这是一份中考数学一轮考点复习学案：5.2 与圆有关的位置关系（2份，原卷版+教师版），共4页。试卷主要包含了2 与圆有关的位置关系， 点、直线与圆的位置关系， 三角形的外接圆与内切圆等内容，欢迎下载使用。
5.2 与圆有关的位置关系
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
考点1. 点、直线与圆的位置关系
（一）点和圆的位置关系

设已知圆的半径为r,点p到圆心的距离为d．则
(1)dr⇔点p在⊙O外．
【方法总结】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．解决这类问题体现了数形结合的思想。
【拓展】反证法的定义：先____命题的结论不成立，然后由此经过_____得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设______，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
（二）直线与圆的位置关系
1.用定义判断直线与圆的位置关系
(1) 相离、相切、相交
（2）圆的切线定义：直线和圆有唯一的_____时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的_____叫做切点（如图点A）.
2.用数量关系判断直线与圆的位置关系
用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分

（1）直线和圆相交，d r
（2）直线和圆相切，d r
（3）直线和圆相离，d r
体现了数形结合思想。
考点2. 切线的判定与性质
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且_____于这条半径的直线是圆的切线.
OA为⊙O的半径，BC ⊥ OA于A。则BC为⊙O的切线。
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线。
【方法总结】判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
（1）定义法：直线和圆只有个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离____半径(即d=r)时，直线与圆相切；
（3）判定定理：经过半径的外端且_____于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质定理：圆的切线____于经过切点的半径．
直线l是⊙O 的切线，A是切点， 直线l ⊥OA.
说明：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.
考点3. 三角形的外接圆与内切圆
【温馨提示】1.在△ABC中,若∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则△ABC内切圆的半径r=a+b−c2。
2.△ABC的三边长分别为a,b,c,☉O内切于△ABC,且半径为r,则有r=2S△ABCa+b+c。
考点1. 点、直线与圆的位置关系
【例题1】（2024广州）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在上B. 点在内C. 点在外D. 无法确定
【变式练1】（2024陕西一模）已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合
【变式练2】 （2024江西一模）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交
【变式练3】（2024呼和浩特一模）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
A．2B．5C．6D．8
考点2. 切线的性质与判定
【例题2】（2024福建省）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024湖南长沙一模）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【变式练2】（2024河南一模）如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 ．
【变式练3】（2024武汉一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若，则sinC的值是（ ）
A．B．C．D．
考点3. 三角形的外接圆与内切圆
【例题3】（2024江苏苏州）如图，是的内接三角形，若，则______．
【变式练1】（2024大连一模）如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°。若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径.
【变式练2】（2024河北一模）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为 ．
【变式练3】（2024广州深圳一模）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为πr2，则△ABC的面
积为（ ）
A．rlB．πrlC．rlD．πrl
考点1. 点、直线与圆的位置关系
1. （2024上海市）在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（ ）
A. 内含B. 相交C. 外切D. 相离
2．（2024桂林）在平面直角坐标系中，以点A（4，3）为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）
A．0＜R＜5B．3＜R＜4C．3＜R＜5D．4＜R＜5
考点2. 切线的性质与判定
1. （2024江苏盐城）如图，点C在以为直径的上，过点C作的切线l，过点A作，垂足为D，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
2. （2024贵州省）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，．
（1）写出图中一个与相等的角：______；
（2）求证：；
（3）若，，求的长．
3.（2024湖北省） 中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且．
（1）求证：是的切线．
（2）连接交于点，若，求弧的长．
4. （2024江西省）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，．
（1）求证：是半圆O的切线；
（2）当时，求的长．
考点3. 三角形的外接圆与内切圆
1. （2024四川眉山）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为______．
2. （2024四川宜宾）如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
【得出结论】
．
【基础应用】
在中，，，，利用以上结论求的长；
【推广证明】
进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（R为外接圆的半径）．
请利用图1证明：．
【拓展应用】
如图2，四边形中，，，，．
求过A，B，D三点的圆的半径．
4. （2024山东滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
5. （2024四川自贡）在中，，是的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________；
（2）如图2，延长到点M，使，过点M作于点N．
求证：是的切线．
考点1. 点、直线与圆的位置关系
1．平面内，已知⊙O的半径是8cm，线段OP＝7cm，则点P（ ）
A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定
2．在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆与x轴的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．相切D．无法判断
3．已知⊙O和直线l相交，圆心到直线l的距离为10cm，则⊙O的半径可能为（ ）
A．11cmB．10cmC．9cmD．8cm
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，csA＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
5．已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相离B．相交
C．相切D．相交或相切
6．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为 ．
考点2. 切线的性质与判定
1．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （ ）
A．20°B．25°C．40°D．50°
2. 如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长．
3.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
4．如图，已知，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点A．
（1）证明：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
考点3. 三角形的外接圆与内切圆
1．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（ ）
A．110°B．120°C．125°D．130°
2．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．如图是一块直角三角形木料，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，木工师傅要从中裁下一块圆形木料，则可裁圆形木料的最大半径为 ．
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是内心，若CO＝2，△ABC的周长为16，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．16D．32
5．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）
A．B．1C．D．
6. 如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则_________．

7. 如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
8. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD，BE．
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．
考点分布
考查频率
命题趋势
考点1 点、直线与圆的位置关系
☆☆
与圆有关的位置关系部分，每年考查1道题,分值为3~10分，常以选择题、解答题的形式考查，切线性质与判断以解答题形式出现是常态,是中考重点也是难点，需要掌握相关概念及其性质的应用，多训练多总结解题规律方法。
考点2 切线的性质与判定
☆☆☆
考点3 三角形的外接圆与内切圆
☆
三角形的
外接圆
图形
相关概念
圆心的确定
内、外心的性质
经过三角形各顶点的圆叫作三角形的外接圆,外接圆的圆心叫作三角形的外心,这个三角形叫作圆的内接三角形
三角形三边垂直平分线的交点
外心到三角形的三个顶点的距离相等。
三角形的
内切圆
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆,内切圆的圆心叫作三角形的内心
三角形三条角平分线的交点
内心到三角形的三条边的距离相等。
14．（2024山东滨州）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．）