河南省南阳市六校2025-2026学年高二下学期6月检测数学试卷

这是一份河南省南阳市六校2025-2026学年高二下学期6月检测数学试卷，共14页。试卷主要包含了已知数列{𝑎𝑛}，已知函数𝑓 = 𝑒𝑥等内容，欢迎下载使用。
单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{??}为等差数列，?3 + ?7 = 6,?13 = 17，则?9 = ()
A. 2B. 4C. 10D. 1
2.已知数列{??}
的前?项和?? = 2?
?4
−1
，则
?3
等于()
A. 1B. −1C. 4D. 2
3.函数?(?) = 2ln?−5? + 3?2的单调递增区间是()
2
2
3
A. 1 , + ∞B. −∞,
2
∪ (1, + ∞)
2
3
C. 0,
∪ (1, + ∞)D. 0,
和(1, + ∞)
2
3
4.设??为数列{??}的前?项和，?? > 0，则“{??}为递增数列”是“{??}为递增数列”的()
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
?
6
8
10
12
?
7
?
4
3
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
5.已知变量?和?满足经验回归方程? = −0.6? + 10.4，且变量?和?之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是()
A. 变量?和?呈负相关B. 当? = 14时，?一定等于2
C. ? = 6D. 该经验回归直线必过点(9,5)
(−1)?+2027
?
?
6.若数列{??},{??}的通项公式分别为?? = (−1)?+2026?,?? = 2 +，且? < ??，对任意? ∈ ? ∗ 恒
成立，则实数?的取值范围是()
A. −1, 1
2
B. [−1,1)C. [−2,1)D.
3
[−2,2)
7.已知?(?) = ?ln? + 1?2(? > 0)，若对任意两个不等的正实数? ,? ，都有?(?1)−?(?2) > 1恒成立，则?的取
2
值范围是()
1 2?1−?2
A. (0,1]B. 1 , + ∞C. (0,1)D. [1, + ∞)
4
8.已知函数?(?) = ??
()
A. 1
?
?1
?
+?−2，?(?) = ln? + ?−2，若∃?1 ∈ ?,?2 > 0，使得?(?1) = ?(?2)，则
2
B. −1C. −?D. − 1
?2
的最大值为
多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
?
9.设函数?(?) = ?ln?,?(?) = ?′(?)，给定下列命题，则下列选项正确的是()
?
函数?(?)的最小值为1
?
不等式?(?) > 0的解集为1 , + ∞
函数?(?)在(0,?)单调递增，在(?, + ∞)单调递减
若?(?)−??2 ≤ 0恒成立，则实数? ≥ 1
?
10.设数列{??}的前?项和为??
,??
+?−1 = ??,? ∈ ?∗且?
1
?
= 19，则下列选项正确的是()
A. ??
= −2? + 21B. 数列
为等差数列
??
?
C. 当? = 11时，??取最大值D. 设?? = ????+1,?? < 0，则? = 10
11.设定义在?上的函数?(?)满足?(−?) +?(?) = ?2，且当? ≤ 0时，?′(?) < ?.已知存在?0 ∈
?|?(?)− 1 ?2 ≥ ?(1−?)− 1 (1−?)2 ，且? 为函数?(?) = ??− ??−?(? ∈ ?,?为自然对数的底数)的一个零
220
点，则实数?的取值可能是()
1
2
C. ?D.
?
?
22
填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若曲线?(?) = ??2 + ln?存在斜率为0的切线，则实数?的取值范围是
13.设数列{??}是由正数组成的等比数列，公比? = 2，且?1?2?3⋯?30 = 230，那么?2?5 ⋅⋅⋅ ?29 =
14.定义在?上的函数?(?)满足：?′(?) > 1−?(?)，?(1) = 2，?′(?)是?(?)的导函数，则不等式???(?) > ??
+?(其中?为自然对数的底数)的解集为
解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记??为等比数列{??}的前?项和，已知?1?2 = ?3,?1 ≠ ?2,?2 = 2．
(1)求{??}的通项公式；
(2)判断??+1,??,??+2是否成等差数列，并给出证明．
16.(本小题15分)
设函数?(?) = ?3?−3??(? > 0)
(1)判断?(?)的单调性并求最值；
(2)证明：?(?) ≥ ln?−?23
2 + 2.
17.(本小题15分)
某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量?(单位：亿元)对年销售额?(单位：亿元)的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①? = ? + ??2，②? = ???+?，其中
?,?,?,?均为常数，?为自然对数的底数．
?
现该公司收集了近12年的年研发资金投入量??和年销售额??的数据，? = 1,2,⋯,12，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令?? = ?2,?? = ln??(? = 1,2,⋯,12)，经计算得如下数据：
设{??}和{??}的相关系数为?1，{??}和{??}的相关系数为?2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
(2)(?)根据(1)的选择及表中数据，建立?关于?的回归方程(系数精确到0.01)；
(??)若下一年销售额?需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量?是多少亿元？
∑? (? −?)(? −?)
附：①相关系数? = ?=1 ??，回归直线? = ? + ??中斜率和截距的最小二乘估计公式分别
∑? (? −?)2 ∑? (? −?)2
?
?
12
(??−?)2
?=1
12
(??−?)2
?=1
?
?
20
66
770
200
460
4.20
12
(??−?)2
?=1
12
(??−?)(??−?)
?=1
12
(??−?)2
?=1
12
(??−?)(??−?)
?=1
3125000
21500
0.308
14
∑?
?=1 ?
(? −?)(? −?)
?=1 ?
为：? =
?=1 ?
?
?，? = ?−??；
∑?=1(??−?)2
90
②参考数据：308 = 4 × 77，
≈ 9.4868，?4.4998 ≈ 90．
18.(本小题17分)
已知数列{??}满足3?
?+1
−??
= 1 + ??
??+1
(? ∈ ?∗)，且?1
1
= 3.
1
??−1
求证：数列
是等差数列，并求??;
令??
=1
(?+2)2??
(? ∈ ?∗)，求数列{??}的前?项和??.
19.(本小题17分)
已知函数?(?) = ?2?ln(1 + ?)．
(1)求曲线? = ?(?)在点0,?(0)处的切线方程；
(2)设?(?) = ?′(?)，讨论函数?(?)在[0, + ∞)上的单调性；
证明：∀?,? ∈ (0, + ∞)，有?(? + ?) > ?(?) +?(?)．
参考答案
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
12.(−∞,0)
13.210
14.(1, + ∞)
15.解：(1)已知数列{??}为等比数列，所以?? = ?1??−1,(?1 ≠ 0,? ≠ 0)，
?2? = ?1?2
因为?1?2 = ?3,?2 = 2，所以 1
，解得? = 1或−2，
?1 + ?1? = 2
因为?1 ≠ ?2，所以? = −2，?1 = −2，所以?? = (−2)?，? ∈ ?∗． (2)??+1,??,??+2成等差数列，理由如下：
由(1)知?
= ?1 1−??
= −2[1− −2)?
2 (−2)?−1]
2
3
2
3
?1−?
1−(−2)= 3[，
??+1
+ ?
?+2
=
(−2)?+1−1 + (−2)?+2−1 =
−(−2)?+1−2，
而2??
4 (−2)?−1]
= [，
3
因为 −2)?+1?+1?
?
= −2 ⋅ (−2，则−(−2)= 2(−2) ，
所以?
?+1
+ ?
2
?
?+2 = 3[2(−2) −2
=
(−2)?−1] = 2??，
4
3
因此??+1,??,??+2 成等差数列．
16.解：(1)已知函数?(?) = ?3?−3??(? > 0)，所以?′(?) = 3?3?−3? = 3(?3?−?)．
令?′(?) = 0，得?3? = ?，即? = 1ln?，
3
当? < 1ln?时，?3? < ?，?′(?) < 0；当? > 1ln?时，?′(?) > 0．
33
故?(?)在 −∞, 1 ln? 上单调递减，在 1 ln?, + ∞ 上单调递增，
33
所以?(?)在? = 1ln?处取得极小值，也是最小值，
3
所以?(?)
min
= ?(1ln?) = ?(1−ln?)，函数?(?)无最大值．
3
要证?(?) ≥ ln?−?23
2 + 2，由(1)知?(?) ≥ ?(1−ln?)，
所以只需证?(1−ln?) ≥ ln?−?23
2 + 2，
即?−?ln?−ln? + ?2−3 ≥ 0⇔?2 +?−(? + 1)ln?−3 ≥ 0．
2222
令?(?) = ?23
2 +?−(? + 1)ln?−2，? > 0，
则?′(?) = ? + 1− ln? + (? + 1) ⋅ 11
? = ?−ln?−?，
1
令?(?) = ?−ln?−?，? > 0，
1 2 3
所以?′(?) = 1−1 + 1 = ?2−?+1 = ?− 2 +4 > 0，
??2
?2
?2
所以?(?)在(0, + ∞)上单调递增，即?′(?)在(0, + ∞)上单调递增，
又?′(1) = 1−0−1 = 0，所以当0 < ? < 1时，?′(?) < 0，?(?)在(0,1)上单调递减，
当? > 1时，?′(?) > 0，?(?)在(1, + ∞)上单调递增，
因此?(?) ≥ ?(1) = 1 +1−0−3 = 0，即?(1−ln?) ≥ ln?−?23
22
所以?(?) ≥ ln?−?23
2 + 2，
1
2 + 2成立，等号当且仅当? = 1且? = 3ln1 = 0时取得，证毕．
17.解：(1)由题意，?1
∑12 ( ??−?)(??−?)
∑12 (? −?)2 ∑12 (? −?)2
?=1
?
?=1?
=?=1
= 21500 = 21500 = 43 = 0.86，
3125000×200
2500050
∑12 ( ??−?)(??−?)14
∑12 (??−?)2 ∑12 (??−?)2
?=1
?=1
?2 =
?=1 =
770×0.308
=14
77×0.2
= 10 ≈ 0.91，
11
则|?1| < |?2|，因此从相关系数的角度，模型? = ???+?的拟合程度更好； (2)(?)先建立?关于?的线性回归方程，
由? = ???+?，得ln? = ? + ??，即? = ? + ??；
由于? =
∑12 (??−?)(??−?) =
?=1
?=1
∑12 (??−?)2
14
770
≈ 0.018，
? = ?−?? = 4.20−0.018 × 20 = 3.84，
所以?关于?的线性回归方程为? = 0.02? + 3.84，所以ln? = 0.02? + 3.84，则? = ?0.02?+3.84；
(??)下一年销售额?需达到90亿元，即? = 90，代入? = ?0.02?+3.84，得90 = ?0.02?+3.84，
又?4.4998 ≈ 90，所以4.4998 ≈ 0.02? + 3.84，
所以? ≈ 4.4998−3.84 = 32.99，
0.02
所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元
18.解：(1)因3??+1−?? = ????+1 +1⇒(3−??)??+1 = ?? +1，易得?? ≠ 3，
则?
= ??+1⇒?
−1 = ??+1−3+?? = 2(??−1) 1 = 2+1−?? = 1 1
?+1
3−??
?+1
3−??
3−??
??+1−1
2(??−1)
− ，
⇒
2
??−1
1
??−1
即
1 1
−
1
1 31
?
??+1−1
? −1 = −2，则
是以= − 为首项，公差为− 的等差数列，
?1−122
1
则
? −1
3 1(?−1) = −
?+2
⇒?? =
? ;
1
?+2
= −
−
?2 22?+2
(2)由(1)?
= 1 = 1 = 1
1 −，
?(?+2)2⋅ ?
?+2
(?+2)?
2 ?
则?? = ?1 + ?2 + ?3 +⋯ + ??−2 + ??−1 + ??
1
2
1
? + 2
1111111111
=
1− 3 + 2 − 4 + 3 − 5 + ⋯ + ?−2 − ? + ?−1 − ? + 1 + ? −
1
?+2
= 1 1 + 1 − 1 −
3 2?+3
22?+1
= 4−2(?+1)(?+2)．
?+1
19.解：(1)?′(?) = 2?2?ln(? + 1) + ?2? ，则?′(0) = 1，从而切线方程为? = ?′(0)(?−0) +?(0)⇔? = ?；
4?+3
(?+1)2
(2)由(1)，?′(?) = ?2? 4ln(? + 1) +> 0，从而?(?)在[0, + ∞)上单调递增；
(3)相当于证明∀?,? ∈ (0, + ∞),?(? + ?)−?(?)−?(?) > 0，令?(?) = ?(? + ?)−?(?)−?(?),? ∈ [0, + ∞),? ∈ (0, + ∞).则?′(?) = ?(? + ?)−?(?)，因? + ? > ?，由(2)可得?(? + ?) > ?(?)⇒?′(?) > 0，从而?(?)在 [0, + ∞)上单调递增，则当? ∈ (0, + ∞)，?取固定正值时，?(?) > ?(0)，即?(? + ?)−?(?)−?(?) > ?(?)−? (0)−?(?) = 0，命题得证．
【分析】(1)由题可得切线斜率，然后由点斜法可得答案；
(3)相当于证明∀?,? ∈ (0, + ∞),?(? + ?)−?(?)−?(?) > 0，令?(?) = ?(? + ?)−?(?)−?(?),? ∈ [0, + ∞),? ∈ (0, + ∞).则?′(?) = ?(? + ?)−?(?)，因? + ? > ?，由(2)可得?(? + ?) > ?(?)⇒?′(?) > 0，从而?(?)在 [0, + ∞)上单调递增，则当? ∈ (0, + ∞)，?取固定正值时，?(?) > ?(0)，即?(? + ?)−?(?)−?(?) > ?(?)−? (0)−?(?) = 0，命题得证．