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2022-2023学年河南省南阳市六校高二（下）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年河南省南阳市六校高二（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省南阳市六校高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知变量y关于x的线性回归方程为y＝﹣0.7x+a，且，，则x＝2时，预测y的值为（ ）
A．0.5 B．0.4 C．﹣0.4 D．﹣0.5
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，，则a1＝（ ）
A．16 B．8 C．6 D．2
3．已知O为坐标原点，A（x0，y0）为一个动点．条件p：O，A，三点共线；条件q：动点A在抛物线y2＝﹣x上，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点．若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．3x±2y＝0 B．2x±3y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
5．给出新定义：设f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为f（x）的“拐点”，已知函数的一个拐点是P（x0，y0），且，则y0＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知F为抛物线x2＝y的焦点，点Pn（xn，yn）（n＝1，2，3，…）在抛物线上．若|Pn+1F|﹣|PnF|＝2，x3＝2，则y10＝（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
7．已知，，c＝12，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c
8．已知直线l：x+y+2＝0与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线l1：y＝﹣mx（m∈R）和l2：my﹣x﹣4m+2＝0交于点P，则△MNP的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．已知向量是平面α的一个法向量，点P（1，1，2）在平面α内，则下列点也在平面α内的是（ ）
A．（2，1，1） B．（0，0，3） C．（3，2，3） D．（2，1，4）
（多选）10．已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2）（σ＞0），a为大于0的常数，则下列结论中正确的是（ ）
A．P（X≤a）＞0.5 B．P（X≤﹣a）＞P（X≥a+2）
C．σ越大，P（﹣a≤X≤0）越小 D．E（aX）＞EX
（多选）11．已知数列{an}的每一项均为0或1，其前n项和为Sn，数列{an•Sn}的前n项和为Tn，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列a1，a2，a3，…，an的所有可能情况共有n2种
B．若Sn﹣Sn﹣1（n≥2）为定值，则Tn恒为0
C．若Tn﹣Tn﹣1（n≥2）为定值，则{an}为常数列
D．数列{Sn}可能为等比数列
（多选）12．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣x（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．f（x）恒有一个极大值点和一个极小值点
B．若f（x）在区间[0，1]上单调递减，则a的取值范围是[2，+∞）
C．若f′（1）＝0，则直线y＝﹣1与f（x）的图象有2个不同的公共点
D．若a＝3，则f（f′（x））有6个不同的零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若的展开式中x2的系数为20，则实数a＝ ．
14．如图是《中国生物物种名录》中记载的2013—2022年中国生物物种及种下单元的数量变化图，从中依次不重复地抽取两个年份的数据进行研究，则在第一次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000的条件下，第二次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数也超过90000的概率为 ．
15．已知正项数列{an}是公比为的等比数列，数列{bn}的通项公式为．若满足an＞bn的正整数n恰有3个，则a1的取值范围为 ．
16．已知函数，f′（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，不等式f（3a2﹣2a﹣1）≤f′（x）+2x﹣1恒成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S12＝78，a8＝4a2．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，且AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，BC＝1，CD＝3，Q为AD的中点，M是棱PC上靠近点C的三等分点．
（1）求证：PQ⊥CD；
（2）求二面角A﹣QB﹣M的平面角的余弦值．
19．已知函数，，a∈（﹣∞，﹣1）．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）若g（x）极大值＝f（x）极小值+b，求实数b的取值范围．
20．淄博烧烤走红契合了公众“说走就走”的情绪．美食也是生活，更是社会情绪的折射．随着城市间人口流动的日益频繁，给自己一个说走就走的旅行，是当下很多年轻人的选择．为了解年轻人对淄博烧烤的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）：
非常喜欢
感觉一般
合计
男性
a
女性
2a
100
合计
70
（1）求a的值，并判断是否有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关．
（2）从样本中筛选出4名男性和3名女性共7人作为代表，这7名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢淄博烧烤．现从这7名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记ξ为这5人中非常喜欢淄博烧烤的人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（χ2≥k0）
0.1
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
21．已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，坐标原点O到直线AB的距离为，△AOB的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点（1，0）且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，证明：|OP|•|OQ|为定值．
22．已知函数f（x）＝lnxm+2ex﹣1﹣2x+m（m∈R）．
（1）当m＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≥mx在[1，+∞）上恒成立，求m的取值范围．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知变量y关于x的线性回归方程为y＝﹣0.7x+a，且，，则x＝2时，预测y的值为（ ）
A．0.5 B．0.4 C．﹣0.4 D．﹣0.5
【分析】根据回归直线过点，代入回归方程计算得a的值，再将x＝2代入回归方程计算，即可得出答案．
解：∵回归直线过点，
∴0.3＝﹣0.7+a，解得a＝1，
∴y＝﹣0.7x+1，
∴当x＝2时，预测y的值为﹣0.7×2+1＝﹣0.4．
故选：C．
【点评】本题考查线性回归方程，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，，则a1＝（ ）
A．16 B．8 C．6 D．2
【分析】先利用等比数列前n项和公式及性质求出公比q，然后利用等比数列通项公式求出首项即可．
解：设等比数列{an}的公比为q，
由，
即，
可得q3＝8，即q＝2，
又a2＝4，所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
3．已知O为坐标原点，A（x0，y0）为一个动点．条件p：O，A，三点共线；条件q：动点A在抛物线y2＝﹣x上，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由kAO＝kOB列式整理可知p是q的充分条件，取原点验证可知p是q的不必要条件，然后可得答案．
解：当动点A满足p时，直线OB的斜率存在，且不为0，有kAO＝kOB，
即，化简得，p是q的充分条件；
反之，抛物线y2＝﹣x的顶点（0，0）并不满足p，p是q的不必要条件．
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查四个条件、抛物线性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点．若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．3x±2y＝0 B．2x±3y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
【分析】根据题意可得，然后由公式可得，即可得渐近线方程．
解：设双曲线C的半焦距为c（c＞0）．
由题可知|F1F2|＝2c，|PF1|﹣|PF2|＝2a，
则，所以，
所以，所以C的渐近线方程为x±2y＝0．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题．
5．给出新定义：设f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为f（x）的“拐点”，已知函数的一个拐点是P（x0，y0），且，则y0＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】二次求导，根据拐点定义求得x0，然后代入函数f（x）可得．
解：由题可知，f″（x）＝﹣4sin2x﹣4cos2x，
结合题意知﹣4sin2x0﹣4cos2x0＝0，即，
又，所以，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查了导数的计算，考查了两角和的正弦公式，属于基础题．
6．已知F为抛物线x2＝y的焦点，点Pn（xn，yn）（n＝1，2，3，…）在抛物线上．若|Pn+1F|﹣|PnF|＝2，x3＝2，则y10＝（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【分析】根据抛物线方程可得，准线为，结合抛物线的定义可得，，进而结合题意可得yn+1﹣yn＝2，进而得到数列{yn}是公差为2的等差数列，再结合等差数列的通项公式求解即可．
解：由抛物线x2＝y，可得，准线为，
根据抛物线的定义可得，，，
所以，
故数列{yn}是公差为2的等差数列，
因为x3＝2，
所以y3＝4，
所以yn＝4+2（n﹣3）＝2n﹣2，
所以y10＝18．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7．已知，，c＝12，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c
【分析】由题可知，构造函数，利用f（x）的单调性求解．
解：由题可知．
设，则，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
由f（x）的单调性可知f（e）＞f（3）＞f（4），
即，
即，
故a＜b＜c．
故选：A．
【点评】本题考查利用函数的单调性比较大小，构造函数并利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属中档题．
8．已知直线l：x+y+2＝0与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线l1：y＝﹣mx（m∈R）和l2：my﹣x﹣4m+2＝0交于点P，则△MNP的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据l1，l2所过定点和位置关系可得点P轨迹方程，然后利用点到直线的距离公式和两点间的距离公式可得面积最小值．
解：直线l1：mx+y＝0过定点O（0，0），
由直线l2：my﹣x﹣4m+2＝0，得m（y﹣4）+2﹣x＝0，则直线过定点B（2，4），
∵m×（﹣1）+1×m＝0，∴无论m取何值，都有l1⊥l2，
∴点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为（1，2），半径为，
设P（x，y），则点P的轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，
圆心到直线l的距离为，则P到直线l的距离的最小值为．
由已知可得M（﹣2，0），N（0，﹣2），则，
∴△MNP的面积的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查直线与直线、直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．已知向量是平面α的一个法向量，点P（1，1，2）在平面α内，则下列点也在平面α内的是（ ）
A．（2，1，1） B．（0，0，3） C．（3，2，3） D．（2，1，4）
【分析】记选项中的四个点依次为A，B，C，D，结合数量积的坐标运算验证，，，是否与垂直即可．
解：记选项中的四个点依次为A，B，C，D，
则，，
，，
又，
∴，故与不垂直，故A错误；
，故与垂直，故B正确；
，故与垂直，故C正确；
，故与垂直，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查向量坐标运算法则、平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2）（σ＞0），a为大于0的常数，则下列结论中正确的是（ ）
A．P（X≤a）＞0.5 B．P（X≤﹣a）＞P（X≥a+2）
C．σ越大，P（﹣a≤X≤0）越小 D．E（aX）＞EX
【分析】根据正态分布的定义及对称性求解即可．
解：由题意，X服从正态分布N（0，σ2）（σ＞0），正态分布曲线的对称轴为X＝0，
对于A，因为a大于0，所以P（X≤a）＞P（X≤0）＝0.5，故A正确；
对于B，因为P（X≤﹣a）＝P（X≥a），而P（X≥a）＞P（X≥a+2），
所以P（X≤﹣a）＞P（X≥a+2），故B错误；
对于C，σ越大，正态分布曲线越矮胖，表示总体的分布越分散，故P（﹣a≤X≤a）越小，故C正确；
对于D，由题可知E（X）＝0，故E（aX）＝aE（X）＝0，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
（多选）11．已知数列{an}的每一项均为0或1，其前n项和为Sn，数列{an•Sn}的前n项和为Tn，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列a1，a2，a3，…，an的所有可能情况共有n2种
B．若Sn﹣Sn﹣1（n≥2）为定值，则Tn恒为0
C．若Tn﹣Tn﹣1（n≥2）为定值，则{an}为常数列
D．数列{Sn}可能为等比数列
【分析】由分步乘法计数原理可判断A；Sn﹣Sn﹣1为定值，即an为定值，则an＝0或an＝1，分别讨论an＝0或an＝1，求出Tn可判断B；Tn﹣Tn﹣1为定值，即an⋅Sn为定值，结合题意分析知只有an＝0能满足要求可判断C；取特值可判断D．
解：对于选项A，由分步乘法计数原理可知ai（i＝1，2，⋅⋅⋅，n）的值为0或1，共2种情况，
所以数列a1，a2，a3，⋅⋅⋅，an的所有可能情况共有2n种，
故选项A错误；
对于选项B，已知Sn﹣Sn﹣1为定值，
即an为定值，
由题可知an＝0或an＝1，
当an＝0时，Tn＝0，当an＝1时，，
故选项B错误；
对于选项C，已知Tn﹣Tn﹣1为定值，
即an⋅Sn为定值，
由题可知为0或1，
当a1＝1时，
则a1⋅S1＝a2⋅S2＝1，此时a2无满足题意的解，
故只有an＝0能满足要求，
所以{an}为常数列，
故选项C正确；
对于选项D，当{an}为1，0，0，…时，Sn＝1，
则{Sn}是公比为1的等比数列，
故选项D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等比数列的定义，属中档题．
（多选）12．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣x（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．f（x）恒有一个极大值点和一个极小值点
B．若f（x）在区间[0，1]上单调递减，则a的取值范围是[2，+∞）
C．若f′（1）＝0，则直线y＝﹣1与f（x）的图象有2个不同的公共点
D．若a＝3，则f（f′（x））有6个不同的零点
【分析】利用导数讨论单调性，然后可得极值点，可判断A；根据二次函数性质讨论导函数符号即可判断B；利用导数讨论单调性，作图分析可判断C；先解方程f（x）＝0，然后根据二次函数性质可判断D．
解：由题可知f′（x）＝3x2﹣2ax﹣1，
因为Δ＝（﹣2a）2﹣4×3×（﹣1）＝4a2+12＞0，
所以f′（x）＝3x2﹣2ax﹣1恒有两个异号的实根x1，x2，
不妨设x1＜x2，
则当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）恒有一个极大值点x1和一个极小值点x2，故A正确；
因为f（x）在区间[0，1]上单调递减，
所以对任意的x∈[0，1]，f′（x）≤0恒成立，
所以，解得a≥1，故B错误；
若f′（1）＝0，则3﹣2a﹣1＝0，解得a＝1，
此时f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）（3x+1），
则当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）极小值＝f（1）＝﹣1，
又当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，
所以直线y＝﹣1与f（x）的图象有2个不同的公共点，故C正确；
若a＝3，则f（x）＝x3﹣3x2﹣x，f′（x）＝3x2﹣6x﹣1，
因为，
所以f（x）的3个零点为，0，，
又f′（x）＝3（x﹣1）2﹣4≥﹣4，且，
所以当f′（x）分别为，0，时，均有2个不同的x的值与其对应，
所以f（f′（x））有6个不同的零点，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若的展开式中x2的系数为20，则实数a＝ 2 ．
【分析】利用二项展开式的通项公式求解．
解：由题可知含x2的项为，则x2的系数为，
即，解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
14．如图是《中国生物物种名录》中记载的2013—2022年中国生物物种及种下单元的数量变化图，从中依次不重复地抽取两个年份的数据进行研究，则在第一次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000的条件下，第二次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数也超过90000的概率为 ．
【分析】利用条件概率公式计算即可．
解：由图可知，这10年中物种及种下单元的总数超过90000的年份为2017—2022年，共6年，
设事件A为“第一次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000”，
事件B为“第二次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000”，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查条件概率公式，属于基础题．
15．已知正项数列{an}是公比为的等比数列，数列{bn}的通项公式为．若满足an＞bn的正整数n恰有3个，则a1的取值范围为 （6，16] ．
【分析】根据数列{an}，{bn}的单调性列出不等式组求解即可．
解：由题可知数列{an}单调递减，{bn}单调递增，
故a1＞b1，a2＞b2，a3＞b3，，
故只需即可，即解得6＜a1≤16．
故答案为：（6，16]．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及数列单调性的应用，属于基础题．
16．已知函数，f′（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，不等式f（3a2﹣2a﹣1）≤f′（x）+2x﹣1恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【分析】利用基本不等式判断出f′（x）＞0，则f（x）在R上递增，求得f′（x）+2x﹣1的最小值，由此化简不等式f（3a2﹣2a﹣1）≤f′（x）+2x﹣1，进而求得a的取值范围．
解：由题可知，
两处等号不能同时取到，
所以f′（x）＞0，
则f（x）在R上单调递增．
，
当且仅当x＝0时等号同时成立，
所以f（3a2﹣2a﹣1）≤0．
又f（0）＝0，
所以3a2﹣2a﹣1≤0，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S12＝78，a8＝4a2．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式列方程组求首项和公差，然后可得通项公式；
（2）由错位相减法求和即可．
解：（1）设{an}的公差为d．
因为S12＝78，a8＝4a2，
所以，
解得，
所以an＝1+（n﹣1）×1＝n，
即{an}的通项公式为an＝n；
（2）由（1）知．
所以，①
则，②
①﹣②得，
则．
【点评】本题考查了等差数列求和公式和通项公式的求法，重点考查了错位相减法求和，属中档题．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，且AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，BC＝1，CD＝3，Q为AD的中点，M是棱PC上靠近点C的三等分点．
（1）求证：PQ⊥CD；
（2）求二面角A﹣QB﹣M的平面角的余弦值．
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值．
解：（1）证明：在△PAD中，PA＝PD，Q为AD的中点，
所以PQ⊥AD．
因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，
所以PQ⊥底面ABCD．
又CD⊂平面ABCD，
所以PQ⊥CD．
（2）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，Q为AD的中点，
所以BC∥DQ且BC＝DQ，
所以四边形BCDQ为平行四边形，
所以BQ∥DC．
因为AD⊥DC，
所以AD⊥QB，
由（1）可知PQ⊥平面ABCD，
所以，以Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则Q（0，0，0），，C（﹣1，3，0），B（0，3，0）．
易知平面AQB的一个法向量．
因为M是棱PC上靠近点C的三等分点，
所以点M的坐标为，
所以，．
设平面MQB的法向量为，
则，
令x＝3，可得．
设二面角A﹣QB﹣M的平面角为θ，则．
由图可知，二面角A﹣QB﹣M的平面角为钝角，
所以二面角A﹣QB﹣M的平面角的余弦值为．
【点评】本题考查空间中垂直关系的判定，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
19．已知函数，，a∈（﹣∞，﹣1）．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）若g（x）极大值＝f（x）极小值+b，求实数b的取值范围．
【分析】（1）利用导数分析单调性即可求解；
（2）由（1）可知g（x）的单调性，从而求得g（x）极大值，进而利用导数分析f（x）的单调性，从而求得f（x）极小值，可得b＝aln（﹣a），构造函数h（x）＝xln（﹣x），利用导数分析其单调性，进而求解．
解：（1）由题可知g（x）的定义域为（﹣1，+∞），
，
当a＜﹣1时，﹣a﹣1＞0，
∵x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，
x∈（0，﹣a﹣1）时，g′（x）＞0，
x∈（﹣a﹣1，+∞），g′（x）＜0，
∴g（x）的单调递减区间为（﹣1，0），（﹣a﹣1，+∞），单调递增区间为（0，﹣a﹣1）．
（2）由（1）知，
由已知可得f′（x）＝x2﹣x＝x（x﹣1），
∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0
x∈（0，1）时，f′（x）＜0，
x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴．
由g（x）极大值＝f（x）极小值+b，可得b＝g（x）极大值﹣f（x）极小值＝aln（﹣a），
设h（x）＝xln（﹣x），则h′（x）＝ln（﹣x）+1，
∵x∈（﹣∞，﹣1），h′（x）＞h′（﹣1）＝1＞0，
∴h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，
∴h（x）＜h（﹣1）＝0，又当x→﹣∞时，h（x）→﹣∞．
∴b的取值范围为（﹣∞，0）．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．
20．淄博烧烤走红契合了公众“说走就走”的情绪．美食也是生活，更是社会情绪的折射．随着城市间人口流动的日益频繁，给自己一个说走就走的旅行，是当下很多年轻人的选择．为了解年轻人对淄博烧烤的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）：
非常喜欢
感觉一般
合计
男性
a
女性
2a
100
合计
70
（1）求a的值，并判断是否有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关．
（2）从样本中筛选出4名男性和3名女性共7人作为代表，这7名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢淄博烧烤．现从这7名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记ξ为这5人中非常喜欢淄博烧烤的人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（χ2≥k0）
0.1
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
【分析】（1）根据表中数据求得a，然后可完成列联表，由卡方公式计算可得；
（2）由排列组合与古典概型公式求概率，可得分布列，再由期望公式可解．
解：（1）由题可知2a+70﹣a＝100，解得a＝30．
2×2列联表如下：
非常喜欢
感觉一般
合计
男性
70
30
100
女性
60
40
100
合计
130
70
200
，
所以没有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关．
（2）设进一步交流的男性中非常喜欢淄博烧烤的人数为m，女性中非常喜欢淄博烧烤的人数为n，
则ξ＝m+n，且ξ的所有可能取值为2，3，4．
，
，
，
所以ξ的分布列为：
ξ
2
3
4
P
则．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，独立性检验，考查运算求解能力，属于中档题．
21．已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，坐标原点O到直线AB的距离为，△AOB的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点（1，0）且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，证明：|OP|•|OQ|为定值．
【分析】（1）根据三角形面积公式和两点间距离公式，列关于a，b的方程组求解可得；
（2）分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用点M，N坐标表示出P，Q坐标，结合韦达定理可得．
解：（1）由题意知A（﹣a，0），B（0，b）．
因为△AOB的面积为，
所以①．
，
因为点O到直线AB的距离为，
所以②．
由①②结合a＞b＞0可得．
所以椭圆C的方程．
（2）证明：由（1）可知A（﹣3，0）．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，代入椭圆方程得，
不妨设此时，，
则，直线AM的方程为，
当x＝0时，，
易得，
所以．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），
由，得（1+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣9＝0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，．
直线AM的方程为，
令x＝0，得，即，
同理，得．
所以
＝
＝．
综上可得．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
22．已知函数f（x）＝lnxm+2ex﹣1﹣2x+m（m∈R）．
（1）当m＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≥mx在[1，+∞）上恒成立，求m的取值范围．
【分析】（1）利用导数的几何意义，结合导数的四则运算即可得解．
（2）构造函数g（x）＝f（x）﹣mx，利用导数分析得m＞2时不合题意，从而讨论m≤2时的情况，利用不等式x﹣1≥lnx将问题转化为证lnx﹣2x+ex﹣1+1≥0，构造函数h（x）＝lnx﹣2x+ex﹣1+1，利用导数即可得证．
解：（1）当m＝2时，f（x）＝lnx2+2ex﹣1﹣2x+2，
则．
所以f′（1）＝2，
又f（1）＝2，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x．
（2）令g（x）＝f（x）﹣mx＝mlnx+2ex﹣1﹣2x+m﹣mx，x∈[1，+∞），
则，且g（1）＝0，g′（1）＝0．
令，
则．
若s′（1）≥0，则m≤2，若s′（1）＜0，则m＞2，
当m＞2时，∃x0∈（1，+∞），使得当x∈[1，x0）时，s（x）≤0，
即g（x）在[1，x0）上单调递减，则g（x）≤g（1）＝0，不合题意．
当m≤2时，令t（x）＝x﹣lnx﹣1，x∈[1，+∞），
则，
故函数t（x）在[1，+∞）上单调递增，
则t（x）≥0，即x﹣1≥lnx．
所以m（lnx+1﹣x）+2ex﹣1﹣2x≥2（lnx+1﹣x）+2（ex﹣1﹣x）＝2（lnx﹣2x+ex﹣1+1），
令h（x）＝lnx﹣2x+ex﹣1+1，x∈[1，+∞），
则，
令，x∈[1，+∞），
则．
因为m′（x）单调递增，
所以m′（x）≥m′（1）＝0，
所以m（x）单调递减，
所以m（x）≥m（1）＝0，
所以h（x）单调递增，
所以h（x）≥h（1）＝0，
所以m（lnx+1﹣x）+2ex﹣1﹣2x≥0，
故m≤2符合题意，即实数m的取值范围是（﹣∞，2]．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
2022-2023学年河南省南阳市六校高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知变量y关于x的线性回归方程为y＝﹣0.7x+a，且，，则x＝2时，预测y的值为（ ）
A．0.5 B．0.4 C．﹣0.4 D．﹣0.5
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，，则a1＝（ ）
A．16 B．8 C．6 D．2
3．已知O为坐标原点，A（x0，y0）为一个动点．条件p：O，A，三点共线；条件q：动点A在抛物线y2＝﹣x上，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点．若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．3x±2y＝0 B．2x±3y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
5．给出新定义：设f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为f（x）的“拐点”，已知函数的一个拐点是P（x0，y0），且，则y0＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知F为抛物线x2＝y的焦点，点Pn（xn，yn）（n＝1，2，3，…）在抛物线上．若|Pn+1F|﹣|PnF|＝2，x3＝2，则y10＝（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
7．已知，，c＝12，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c
8．已知直线l：x+y+2＝0与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线l1：y＝﹣mx（m∈R）和l2：my﹣x﹣4m+2＝0交于点P，则△MNP的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．已知向量是平面α的一个法向量，点P（1，1，2）在平面α内，则下列点也在平面α内的是（ ）
A．（2，1，1） B．（0，0，3） C．（3，2，3） D．（2，1，4）
（多选）10．已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2）（σ＞0），a为大于0的常数，则下列结论中正确的是（ ）
A．P（X≤a）＞0.5 B．P（X≤﹣a）＞P（X≥a+2）
C．σ越大，P（﹣a≤X≤0）越小 D．E（aX）＞EX
（多选）11．已知数列{an}的每一项均为0或1，其前n项和为Sn，数列{an•Sn}的前n项和为Tn，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列a1，a2，a3，…，an的所有可能情况共有n2种
B．若Sn﹣Sn﹣1（n≥2）为定值，则Tn恒为0
C．若Tn﹣Tn﹣1（n≥2）为定值，则{an}为常数列
D．数列{Sn}可能为等比数列
（多选）12．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣x（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．f（x）恒有一个极大值点和一个极小值点
B．若f（x）在区间[0，1]上单调递减，则a的取值范围是[2，+∞）
C．若f′（1）＝0，则直线y＝﹣1与f（x）的图象有2个不同的公共点
D．若a＝3，则f（f′（x））有6个不同的零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若的展开式中x2的系数为20，则实数a＝ ．
14．如图是《中国生物物种名录》中记载的2013—2022年中国生物物种及种下单元的数量变化图，从中依次不重复地抽取两个年份的数据进行研究，则在第一次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000的条件下，第二次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数也超过90000的概率为 ．
15．已知正项数列{an}是公比为的等比数列，数列{bn}的通项公式为．若满足an＞bn的正整数n恰有3个，则a1的取值范围为 ．
16．已知函数，f′（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，不等式f（3a2﹣2a﹣1）≤f′（x）+2x﹣1恒成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S12＝78，a8＝4a2．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，且AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，BC＝1，CD＝3，Q为AD的中点，M是棱PC上靠近点C的三等分点．
（1）求证：PQ⊥CD；
（2）求二面角A﹣QB﹣M的平面角的余弦值．
19．已知函数，，a∈（﹣∞，﹣1）．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）若g（x）极大值＝f（x）极小值+b，求实数b的取值范围．
20．淄博烧烤走红契合了公众“说走就走”的情绪．美食也是生活，更是社会情绪的折射．随着城市间人口流动的日益频繁，给自己一个说走就走的旅行，是当下很多年轻人的选择．为了解年轻人对淄博烧烤的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）：
非常喜欢
感觉一般
合计
男性
a
女性
2a
100
合计
70
（1）求a的值，并判断是否有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关．
（2）从样本中筛选出4名男性和3名女性共7人作为代表，这7名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢淄博烧烤．现从这7名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记ξ为这5人中非常喜欢淄博烧烤的人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（χ2≥k0）
0.1
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
21．已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，坐标原点O到直线AB的距离为，△AOB的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点（1，0）且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，证明：|OP|•|OQ|为定值．
22．已知函数f（x）＝lnxm+2ex﹣1﹣2x+m（m∈R）．
（1）当m＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≥mx在[1，+∞）上恒成立，求m的取值范围．
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知变量y关于x的线性回归方程为y＝﹣0.7x+a，且，，则x＝2时，预测y的值为（ ）
A．0.5 B．0.4 C．﹣0.4 D．﹣0.5
【分析】根据回归直线过点，代入回归方程计算得a的值，再将x＝2代入回归方程计算，即可得出答案．
解：∵回归直线过点，
∴0.3＝﹣0.7+a，解得a＝1，
∴y＝﹣0.7x+1，
∴当x＝2时，预测y的值为﹣0.7×2+1＝﹣0.4．
故选：C．
【点评】本题考查线性回归方程，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，，则a1＝（ ）
A．16 B．8 C．6 D．2
【分析】先利用等比数列前n项和公式及性质求出公比q，然后利用等比数列通项公式求出首项即可．
解：设等比数列{an}的公比为q，
由，
即，
可得q3＝8，即q＝2，
又a2＝4，所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
3．已知O为坐标原点，A（x0，y0）为一个动点．条件p：O，A，三点共线；条件q：动点A在抛物线y2＝﹣x上，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】由kAO＝kOB列式整理可知p是q的充分条件，取原点验证可知p是q的不必要条件，然后可得答案．
解：当动点A满足p时，直线OB的斜率存在，且不为0，有kAO＝kOB，
即，化简得，p是q的充分条件；
反之，抛物线y2＝﹣x的顶点（0，0）并不满足p，p是q的不必要条件．
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查四个条件、抛物线性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点．若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．3x±2y＝0 B．2x±3y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
【分析】根据题意可得，然后由公式可得，即可得渐近线方程．
解：设双曲线C的半焦距为c（c＞0）．
由题可知|F1F2|＝2c，|PF1|﹣|PF2|＝2a，
则，所以，
所以，所以C的渐近线方程为x±2y＝0．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题．
5．给出新定义：设f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为f（x）的“拐点”，已知函数的一个拐点是P（x0，y0），且，则y0＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】二次求导，根据拐点定义求得x0，然后代入函数f（x）可得．
解：由题可知，f″（x）＝﹣4sin2x﹣4cos2x，
结合题意知﹣4sin2x0﹣4cos2x0＝0，即，
又，所以，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查了导数的计算，考查了两角和的正弦公式，属于基础题．
6．已知F为抛物线x2＝y的焦点，点Pn（xn，yn）（n＝1，2，3，…）在抛物线上．若|Pn+1F|﹣|PnF|＝2，x3＝2，则y10＝（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【分析】根据抛物线方程可得，准线为，结合抛物线的定义可得，，进而结合题意可得yn+1﹣yn＝2，进而得到数列{yn}是公差为2的等差数列，再结合等差数列的通项公式求解即可．
解：由抛物线x2＝y，可得，准线为，
根据抛物线的定义可得，，，
所以，
故数列{yn}是公差为2的等差数列，
因为x3＝2，
所以y3＝4，
所以yn＝4+2（n﹣3）＝2n﹣2，
所以y10＝18．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7．已知，，c＝12，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c
【分析】由题可知，构造函数，利用f（x）的单调性求解．
解：由题可知．
设，则，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
由f（x）的单调性可知f（e）＞f（3）＞f（4），
即，
即，
故a＜b＜c．
故选：A．
【点评】本题考查利用函数的单调性比较大小，构造函数并利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属中档题．
8．已知直线l：x+y+2＝0与x轴、y轴分别交于M，N两点，动直线l1：y＝﹣mx（m∈R）和l2：my﹣x﹣4m+2＝0交于点P，则△MNP的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据l1，l2所过定点和位置关系可得点P轨迹方程，然后利用点到直线的距离公式和两点间的距离公式可得面积最小值．
解：直线l1：mx+y＝0过定点O（0，0），
由直线l2：my﹣x﹣4m+2＝0，得m（y﹣4）+2﹣x＝0，则直线过定点B（2，4），
∵m×（﹣1）+1×m＝0，∴无论m取何值，都有l1⊥l2，
∴点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为（1，2），半径为，
设P（x，y），则点P的轨迹方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，
圆心到直线l的距离为，则P到直线l的距离的最小值为．
由已知可得M（﹣2，0），N（0，﹣2），则，
∴△MNP的面积的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查直线与直线、直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．已知向量是平面α的一个法向量，点P（1，1，2）在平面α内，则下列点也在平面α内的是（ ）
A．（2，1，1） B．（0，0，3） C．（3，2，3） D．（2，1，4）
【分析】记选项中的四个点依次为A，B，C，D，结合数量积的坐标运算验证，，，是否与垂直即可．
解：记选项中的四个点依次为A，B，C，D，
则，，
，，
又，
∴，故与不垂直，故A错误；
，故与垂直，故B正确；
，故与垂直，故C正确；
，故与垂直，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查向量坐标运算法则、平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2）（σ＞0），a为大于0的常数，则下列结论中正确的是（ ）
A．P（X≤a）＞0.5 B．P（X≤﹣a）＞P（X≥a+2）
C．σ越大，P（﹣a≤X≤0）越小 D．E（aX）＞EX
【分析】根据正态分布的定义及对称性求解即可．
解：由题意，X服从正态分布N（0，σ2）（σ＞0），正态分布曲线的对称轴为X＝0，
对于A，因为a大于0，所以P（X≤a）＞P（X≤0）＝0.5，故A正确；
对于B，因为P（X≤﹣a）＝P（X≥a），而P（X≥a）＞P（X≥a+2），
所以P（X≤﹣a）＞P（X≥a+2），故B错误；
对于C，σ越大，正态分布曲线越矮胖，表示总体的分布越分散，故P（﹣a≤X≤a）越小，故C正确；
对于D，由题可知E（X）＝0，故E（aX）＝aE（X）＝0，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
（多选）11．已知数列{an}的每一项均为0或1，其前n项和为Sn，数列{an•Sn}的前n项和为Tn，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列a1，a2，a3，…，an的所有可能情况共有n2种
B．若Sn﹣Sn﹣1（n≥2）为定值，则Tn恒为0
C．若Tn﹣Tn﹣1（n≥2）为定值，则{an}为常数列
D．数列{Sn}可能为等比数列
【分析】由分步乘法计数原理可判断A；Sn﹣Sn﹣1为定值，即an为定值，则an＝0或an＝1，分别讨论an＝0或an＝1，求出Tn可判断B；Tn﹣Tn﹣1为定值，即an⋅Sn为定值，结合题意分析知只有an＝0能满足要求可判断C；取特值可判断D．
解：对于选项A，由分步乘法计数原理可知ai（i＝1，2，⋅⋅⋅，n）的值为0或1，共2种情况，
所以数列a1，a2，a3，⋅⋅⋅，an的所有可能情况共有2n种，
故选项A错误；
对于选项B，已知Sn﹣Sn﹣1为定值，
即an为定值，
由题可知an＝0或an＝1，
当an＝0时，Tn＝0，当an＝1时，，
故选项B错误；
对于选项C，已知Tn﹣Tn﹣1为定值，
即an⋅Sn为定值，
由题可知为0或1，
当a1＝1时，
则a1⋅S1＝a2⋅S2＝1，此时a2无满足题意的解，
故只有an＝0能满足要求，
所以{an}为常数列，
故选项C正确；
对于选项D，当{an}为1，0，0，…时，Sn＝1，
则{Sn}是公比为1的等比数列，
故选项D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等比数列的定义，属中档题．
（多选）12．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣x（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．f（x）恒有一个极大值点和一个极小值点
B．若f（x）在区间[0，1]上单调递减，则a的取值范围是[2，+∞）
C．若f′（1）＝0，则直线y＝﹣1与f（x）的图象有2个不同的公共点
D．若a＝3，则f（f′（x））有6个不同的零点
【分析】利用导数讨论单调性，然后可得极值点，可判断A；根据二次函数性质讨论导函数符号即可判断B；利用导数讨论单调性，作图分析可判断C；先解方程f（x）＝0，然后根据二次函数性质可判断D．
解：由题可知f′（x）＝3x2﹣2ax﹣1，
因为Δ＝（﹣2a）2﹣4×3×（﹣1）＝4a2+12＞0，
所以f′（x）＝3x2﹣2ax﹣1恒有两个异号的实根x1，x2，
不妨设x1＜x2，
则当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）恒有一个极大值点x1和一个极小值点x2，故A正确；
因为f（x）在区间[0，1]上单调递减，
所以对任意的x∈[0，1]，f′（x）≤0恒成立，
所以，解得a≥1，故B错误；
若f′（1）＝0，则3﹣2a﹣1＝0，解得a＝1，
此时f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）（3x+1），
则当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）极小值＝f（1）＝﹣1，
又当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，
所以直线y＝﹣1与f（x）的图象有2个不同的公共点，故C正确；
若a＝3，则f（x）＝x3﹣3x2﹣x，f′（x）＝3x2﹣6x﹣1，
因为，
所以f（x）的3个零点为，0，，
又f′（x）＝3（x﹣1）2﹣4≥﹣4，且，
所以当f′（x）分别为，0，时，均有2个不同的x的值与其对应，
所以f（f′（x））有6个不同的零点，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若的展开式中x2的系数为20，则实数a＝ 2 ．
【分析】利用二项展开式的通项公式求解．
解：由题可知含x2的项为，则x2的系数为，
即，解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
14．如图是《中国生物物种名录》中记载的2013—2022年中国生物物种及种下单元的数量变化图，从中依次不重复地抽取两个年份的数据进行研究，则在第一次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000的条件下，第二次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数也超过90000的概率为 ．
【分析】利用条件概率公式计算即可．
解：由图可知，这10年中物种及种下单元的总数超过90000的年份为2017—2022年，共6年，
设事件A为“第一次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000”，
事件B为“第二次抽到的年份对应的物种及种下单元的总数超过90000”，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查条件概率公式，属于基础题．
15．已知正项数列{an}是公比为的等比数列，数列{bn}的通项公式为．若满足an＞bn的正整数n恰有3个，则a1的取值范围为 （6，16] ．
【分析】根据数列{an}，{bn}的单调性列出不等式组求解即可．
解：由题可知数列{an}单调递减，{bn}单调递增，
故a1＞b1，a2＞b2，a3＞b3，，
故只需即可，即解得6＜a1≤16．
故答案为：（6，16]．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及数列单调性的应用，属于基础题．
16．已知函数，f′（x）是f（x）的导函数，若∀x∈R，不等式f（3a2﹣2a﹣1）≤f′（x）+2x﹣1恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【分析】利用基本不等式判断出f′（x）＞0，则f（x）在R上递增，求得f′（x）+2x﹣1的最小值，由此化简不等式f（3a2﹣2a﹣1）≤f′（x）+2x﹣1，进而求得a的取值范围．
解：由题可知，
两处等号不能同时取到，
所以f′（x）＞0，
则f（x）在R上单调递增．
，
当且仅当x＝0时等号同时成立，
所以f（3a2﹣2a﹣1）≤0．
又f（0）＝0，
所以3a2﹣2a﹣1≤0，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S12＝78，a8＝4a2．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）根据等差数列求和公式和通项公式列方程组求首项和公差，然后可得通项公式；
（2）由错位相减法求和即可．
解：（1）设{an}的公差为d．
因为S12＝78，a8＝4a2，
所以，
解得，
所以an＝1+（n﹣1）×1＝n，
即{an}的通项公式为an＝n；
（2）由（1）知．
所以，①
则，②
①﹣②得，
则．
【点评】本题考查了等差数列求和公式和通项公式的求法，重点考查了错位相减法求和，属中档题．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，且AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，BC＝1，CD＝3，Q为AD的中点，M是棱PC上靠近点C的三等分点．
（1）求证：PQ⊥CD；
（2）求二面角A﹣QB﹣M的平面角的余弦值．
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值．
解：（1）证明：在△PAD中，PA＝PD，Q为AD的中点，
所以PQ⊥AD．
因为平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，
所以PQ⊥底面ABCD．
又CD⊂平面ABCD，
所以PQ⊥CD．
（2）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，Q为AD的中点，
所以BC∥DQ且BC＝DQ，
所以四边形BCDQ为平行四边形，
所以BQ∥DC．
因为AD⊥DC，
所以AD⊥QB，
由（1）可知PQ⊥平面ABCD，
所以，以Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则Q（0，0，0），，C（﹣1，3，0），B（0，3，0）．
易知平面AQB的一个法向量．
因为M是棱PC上靠近点C的三等分点，
所以点M的坐标为，
所以，．
设平面MQB的法向量为，
则，
令x＝3，可得．
设二面角A﹣QB﹣M的平面角为θ，则．
由图可知，二面角A﹣QB﹣M的平面角为钝角，
所以二面角A﹣QB﹣M的平面角的余弦值为．
【点评】本题考查空间中垂直关系的判定，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
19．已知函数，，a∈（﹣∞，﹣1）．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）若g（x）极大值＝f（x）极小值+b，求实数b的取值范围．
【分析】（1）利用导数分析单调性即可求解；
（2）由（1）可知g（x）的单调性，从而求得g（x）极大值，进而利用导数分析f（x）的单调性，从而求得f（x）极小值，可得b＝aln（﹣a），构造函数h（x）＝xln（﹣x），利用导数分析其单调性，进而求解．
解：（1）由题可知g（x）的定义域为（﹣1，+∞），
，
当a＜﹣1时，﹣a﹣1＞0，
∵x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，
x∈（0，﹣a﹣1）时，g′（x）＞0，
x∈（﹣a﹣1，+∞），g′（x）＜0，
∴g（x）的单调递减区间为（﹣1，0），（﹣a﹣1，+∞），单调递增区间为（0，﹣a﹣1）．
（2）由（1）知，
由已知可得f′（x）＝x2﹣x＝x（x﹣1），
∵x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0
x∈（0，1）时，f′（x）＜0，
x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴．
由g（x）极大值＝f（x）极小值+b，可得b＝g（x）极大值﹣f（x）极小值＝aln（﹣a），
设h（x）＝xln（﹣x），则h′（x）＝ln（﹣x）+1，
∵x∈（﹣∞，﹣1），h′（x）＞h′（﹣1）＝1＞0，
∴h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，
∴h（x）＜h（﹣1）＝0，又当x→﹣∞时，h（x）→﹣∞．
∴b的取值范围为（﹣∞，0）．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．
20．淄博烧烤走红契合了公众“说走就走”的情绪．美食也是生活，更是社会情绪的折射．随着城市间人口流动的日益频繁，给自己一个说走就走的旅行，是当下很多年轻人的选择．为了解年轻人对淄博烧烤的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）：
非常喜欢
感觉一般
合计
男性
a
女性
2a
100
合计
70
（1）求a的值，并判断是否有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关．
（2）从样本中筛选出4名男性和3名女性共7人作为代表，这7名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢淄博烧烤．现从这7名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记ξ为这5人中非常喜欢淄博烧烤的人数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P（χ2≥k0）
0.1
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
【分析】（1）根据表中数据求得a，然后可完成列联表，由卡方公式计算可得；
（2）由排列组合与古典概型公式求概率，可得分布列，再由期望公式可解．
解：（1）由题可知2a+70﹣a＝100，解得a＝30．
2×2列联表如下：
非常喜欢
感觉一般
合计
男性
70
30
100
女性
60
40
100
合计
130
70
200
，
所以没有95%的把握认为年轻人对淄博烧烤的态度与性别有关．
（2）设进一步交流的男性中非常喜欢淄博烧烤的人数为m，女性中非常喜欢淄博烧烤的人数为n，
则ξ＝m+n，且ξ的所有可能取值为2，3，4．
，
，
，
所以ξ的分布列为：
ξ
2
3
4
P
则．
【点评】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，独立性检验，考查运算求解能力，属于中档题．
21．已知椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，坐标原点O到直线AB的距离为，△AOB的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点（1，0）且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点，证明：|OP|•|OQ|为定值．
【分析】（1）根据三角形面积公式和两点间距离公式，列关于a，b的方程组求解可得；
（2）分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用点M，N坐标表示出P，Q坐标，结合韦达定理可得．
解：（1）由题意知A（﹣a，0），B（0，b）．
因为△AOB的面积为，
所以①．
，
因为点O到直线AB的距离为，
所以②．
由①②结合a＞b＞0可得．
所以椭圆C的方程．
（2）证明：由（1）可知A（﹣3，0）．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，代入椭圆方程得，
不妨设此时，，
则，直线AM的方程为，
当x＝0时，，
易得，
所以．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），
由，得（1+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣9＝0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，．
直线AM的方程为，
令x＝0，得，即，
同理，得．
所以
＝
＝．
综上可得．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查分类讨论思想和运算求解能力，属于中档题．
22．已知函数f（x）＝lnxm+2ex﹣1﹣2x+m（m∈R）．
（1）当m＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≥mx在[1，+∞）上恒成立，求m的取值范围．
【分析】（1）利用导数的几何意义，结合导数的四则运算即可得解．
（2）构造函数g（x）＝f（x）﹣mx，利用导数分析得m＞2时不合题意，从而讨论m≤2时的情况，利用不等式x﹣1≥lnx将问题转化为证lnx﹣2x+ex﹣1+1≥0，构造函数h（x）＝lnx﹣2x+ex﹣1+1，利用导数即可得证．
解：（1）当m＝2时，f（x）＝lnx2+2ex﹣1﹣2x+2，
则．
所以f′（1）＝2，
又f（1）＝2，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x．
（2）令g（x）＝f（x）﹣mx＝mlnx+2ex﹣1﹣2x+m﹣mx，x∈[1，+∞），
则，且g（1）＝0，g′（1）＝0．
令，
则．
若s′（1）≥0，则m≤2，若s′（1）＜0，则m＞2，
当m＞2时，∃x0∈（1，+∞），使得当x∈[1，x0）时，s（x）≤0，
即g（x）在[1，x0）上单调递减，则g（x）≤g（1）＝0，不合题意．
当m≤2时，令t（x）＝x﹣lnx﹣1，x∈[1，+∞），
则，
故函数t（x）在[1，+∞）上单调递增，
则t（x）≥0，即x﹣1≥lnx．
所以m（lnx+1﹣x）+2ex﹣1﹣2x≥2（lnx+1﹣x）+2（ex﹣1﹣x）＝2（lnx﹣2x+ex﹣1+1），
令h（x）＝lnx﹣2x+ex﹣1+1，x∈[1，+∞），
则，
令，x∈[1，+∞），
则．
因为m′（x）单调递增，
所以m′（x）≥m′（1）＝0，
所以m（x）单调递减，
所以m（x）≥m（1）＝0，
所以h（x）单调递增，
所以h（x）≥h（1）＝0，
所以m（lnx+1﹣x）+2ex﹣1﹣2x≥0，
故m≤2符合题意，即实数m的取值范围是（﹣∞，2]．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
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