初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 线段垂直平分线精品ppt课件

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）2. 线段垂直平分线精品ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了复习回顾，知识要点，线段垂直平分线的判定，怎样证明这个结论呢，试一试等内容，欢迎下载使用。
3.了解数学和生活的紧密联系.
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
对称轴：线段的垂直平分线
经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做线段的垂直平分线.（又名中垂线）
如何利用尺规作线段的垂直平分线呢？
作法：1.分别以A、B两点为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧相交于C、D点；
2.过C、D两点作直线CD.
所以，直线CD就是所求.
线段的垂直平分线有哪些性质呢？
如图，直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，P 是 MN 上任一点，连结 PA、PB. 将线段 AB 沿直线 MN 对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
对折后 PA、PB 能够完全重合，PA = PB.
下面我们来证明刚才得到的结论：
证明： ∵MN ⊥AB（已知），∴∠ACP =∠BCP = 90° (垂直的定义).在△ACP 和△BCP 中，∵ AC = BC，∠ACP =∠BCP，PC = PC，∴ △ACP≌△BCP (SAS).∴PA = PB (全等三角形的对应边相等).
你能用一句话来描述刚得到的结论吗？
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
几何语言叙述：∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 （或 PC⊥AB，AC = BC），∴ PA = PB.
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
一个点在线段的垂直平分线上
这个点到线段两端的距离相等
一个点到线段两端的距离相等
这个点在线段的垂直平分线上
想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？
线段垂直平分线的判定定理
逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上．
分析：为了证明点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上，可以先经过点 Q 作线段 AB 的垂线，然后证明该垂线平分线段 AB； 也可以先平分线段 AB，设线段 AB 的中点为点 C，然后证明 QC 垂直于线段 AB．
证明：过点 Q 作 MN⊥AB，垂足为点 C，∵ QA = QB，QC⊥AB，∴ AC = BC (等腰三角形的三线合一).∴ 点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上.
你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？
应用格式：∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
点拨：要证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.其思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
证明：连接 PA，PB，PC.∵ 点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上，∴ PA = PB，PA = PC (线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等).∴ PB = PC.∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上).
1.如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA=PB.
提示：作AB的垂直平分线与直线l的交点.
2. 如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE=CE. 求证：AB+CD=AD +CB.
证明：∵BD⊥AC，AE=CE，∴AD=CD，AB=BC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)，∴AB+CD=AD+CB.
3.如图，在△ABC中，已知点D在边BC上，且BD+AD=BC. 求证：点D在边AC的垂直平分线上 .
证明：∵BD+AD=BC，BD+CD=BC，∴AD=CD，∴点D在边AC的垂直平分线上.
1．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°.用直尺和圆规在边AB上确定一点D，连结CD，则∠ACD的大小为(　　)A．60° B．75° C．65° D．70°
2．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC的周长为16，AC＝6，则DC的长为(　　)A．5 B．8 C．9 D．10
3. 如图，在锐角△ABC中，∠A＝75°，DE和DF分别垂直平分边AB，AC，则∠DBC的度数为(　　)A．15°B．16°C．18°D．20°
4．如图，在△ABC中，E是BC边上一点，连结AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连结DE.(1)若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，则AB＝________；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
因为∠ABC＝30°，∠C＝45°，所以∠BAC＝180°－30°－45°＝105°.由题意易得AB＝EB，AD＝ED.又因为BD＝BD，所以△BAD≌△BED(SSS)．所以∠BED＝∠BAC＝105°.所以∠CDE＝∠BED－∠C＝105°－45°＝60°.
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长是________．
6. 风筝又称“纸鸢”，距今已有2 000多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知AB＝AD，BC＝CD，AC＝90 cm，BD＝60 cm，则制作这个风筝需要的布料至少为________cm2.
7. 如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，求证：OP垂直平分AB.
【证明】证法1(判定定理法)：∵P为∠MON平分线上一点，∴∠AOP＝∠BOP.∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB，∴△AOP≌△BOP(AAS)，点P在AB的垂直平分线上．∴OA＝OB.∴点O在AB的垂直平分线上．∴OP垂直平分AB.
如图，设OP与AB相交于点C，∵∠AOC＝∠BOC，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC(SAS)．∴∠ACO＝∠BCO＝90°，AC＝BC.∴OP⊥AB.∴OP垂直平分AB.